兰州大学固体物理第7章能带ppt课件

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1、 第七章 能带1、近自由电子模型 1.近自由电子模型近自由电子模型认为：电子在晶体中要受周围势场的作用，但这个势场的平均势场是一个很微弱的势场，平均势场是周期势场 ,由于 很弱，可以用量子力学中的微扰论来处理，这时Shodinger方程中的哈密顿量既有动能又有势能。第七章 能带1、近自由电子模型 1.1这里 ，这样可用自由电子的波函数代替电子的零级波函数，用微扰论求解Shodinger方程，这样一种物理模型称之为近自由电子模型 或准自由电子模型，这也就是Sommuefeld的自由电子模型再加上弱周期势的修正。这里 ，这样可用自由电子的波函数代替电子2兰州大学固体物理第7章能带ppt课件32、能

2、隙的起因 对于一维点阵（点阵常数为a），电子的波函数 若k远离Bz边界时（即 时），电子波不受Bragg反射，从各原子散射的波没有确定的位相关系，对入射波的传播无什么影响，与x-ray在晶体中的传播是相同的。2、能隙的起因 对于一维点阵（点阵常数为a4但当 时，如 ，此时平面波 满足Bragg条件，波程差为2a，相位差为2，从相邻的原子反射的波有相同的位相，发生相长干涉，产生向反方向传播的波 ，这个波同样受到其近邻原子的Bragg反射，再一次反向，这样就形成了向相反方向传播的两列行进波，平衡时两波叠加形成驻波。但当 时，如 ，此时平面波 满5有两种形态的驻波：这是由自由电子的行波在Bz边界上的

3、Bragg反射而形成的，两个驻波使电子聚积在不同的区域内。有两种形态的驻波：这是由自由电子的行波在Bz边界6兰州大学固体物理第7章能带ppt课件7 下面我们分别计算一下这两种情况下电子的平均能量。（+）这种分布时的能量低，（-）分布时能量高，电子的平均能量是不同的，没有周期势场的-k曲线是一条抛物线，在有周期势场存在时，在Bz边界上分裂成两个波函数，相应的能量也分成两个，一个E+、一个E-，可以证明，对 的电子的能量与 的电子的能量是不同的，这个能量差就是能隙，这个能隙就是所谓的禁带。下面我们分别计算一下这两种情况下电子的平均能量。8 为简单起见，我们考虑势场是谐和势（简谐势）对于L=1的单位

4、晶体：=为归一化因子，对（+）.（-）计算平均能量（+）:（+）（-）:（-）（+）-（-）为简单起见，我们考虑势场是谐和势（简谐势）9=(-)=(-)=10 实际的势场并非是上面的简单形式，而是一个复杂函数，但可用倒易点阵矢量展成付氏级数，展成余弦势的叠加，在一级近似下，在Bz边界都有能量间隙。=能隙的大小等于相应的傅立叶分量，Un是收敛的，能隙的宽度越来越小。实际的势场并非是上面的简单形式，而是一个复杂函数，但112、Bloch定理在存在周期性势场时，电子满足的Shodinger方程为:其中 =(+)Bloch定理是关于周期势场中单电子Shodinger方程的本征解的形式的问题。2、Blo

5、ch定理在存在周期性势场时，电子满足的Shod12 Bloch定理：对于一个周期势场，单电子Shodinger方程的解必定具有形式：=即波函数为一个周期性函数与一个平面波相乘的形式，其中 是一个具有晶体点阵周期性的函数。=（+）为点阵平移矢量。Bloch定理：对于一个周期势场，单电子Shod13把波函数平移点阵平移矢量可得：=这也是Bloch定理的另一种表达式，利用这种表达式Bloch定理可叙述为：周期势场中单电子Shodinger方程的本征函数 可以这样来选取，使得与每个 相联系的有一个波矢 满足：=把波函数平移点阵平移矢量可得：=14由Bloch定理可得两个重要结论：1Bloch定理表明周

6、期势场中电子的本征函数有Bloch函数的形式，是一个被周期势场调幅了的平面波，平面波的振幅具有周期势场的周期性，这与自由电子的波函数不同，自由电子的波函数是一个平面波。由Bloch定理可得两个重要结论：1Bloch定理表152Bloch波函数是周期势场中电子的本征函数，这个波在晶体空间是自由（均匀）传播的，既不随时间和空间而衰减，也不会在传播过程中突然改变形态，即不会由一个Bloch波变成另一个Bloch波。2Bloch波函数是周期势场中电子的本征函数，这个波在晶16Bloch定理的证明:首先从正空间证明。先定义平移算符，若点阵的平移矢量是，当 取一系列整数值时，它代表平移矢量群，对此，我们可

7、定义平移算符 把平移算符作用在Shodinger方程中的上得；=Bloch定理的证明:首先从正空间证明。先定17 =有平移不变性，在周期场中 =则 =有平移不变性，在周期场中 18 平移算符与哈密顿算符是对易算符，据量子力学可知，对易算符有相同的本征函数，即 的本征函数也就是 的本征函数。若 是同一平移矢量群中的任意两个矢量，则：=这就是说同一平移矢量群中的两个平移算符彼此是对易的。平移算符与哈密顿算符是对易算符，据量子力学可知，对易19 现在就一维情况来证明Bloch定理：考虑长为L的一维晶体，有N个初基晶胞，L=Na，固体物理考虑的都是理想晶体，不考虑边界，为排除晶体的有限尺寸对问题的限制

8、，采用周期性边界条件，即把晶体首尾相接成一个环型晶体。现在就一维情况来证明Bloch定理：考虑长20Shodinger方程的解以晶体长度为周期重复：是周期场中哈密顿算符的本征函数，也是平移算符的本征函数:c为 算符的本征值。Shodinger方程的解以晶体长度为周期重复：21当用平移算符重复作用时，将平移算符在波函数上作用N次，则：当用平移算符重复作用时，将平移算符在波函数上作用N次，22按周期性边界条件：这是由平移对称性得到的。于时 则 =令 （周期性边界条件下k的允许值）这正是一维点阵中Bloch定理的表达式。按周期性边界条件：这是由平移对称性得到23 对三维晶体在x、y、z方向都用周期性

9、边界条件和平移算符，同样可得：对三维晶体在x、y、z方向都用周期性边界条件和平移算符24 在以上的证明中，我们没有用到周期势的性质和波函数的具体形式，只用了平移对称性，Bloch定理是晶体平移对称性的直接结果，不仅适用于周期场中的电子的本征态，而且适用于严格具有完全的平移对称性的体系，它的所有本征函数都具有Bloch函数的形式。在以上的证明中，我们没有用到周期势的性质和波函数的253、电子在周期势场中的波动方程周期势场中的Shodinger方程为：=现在我们要把Shodinger方程和解的形式在波矢空间中表示出来，就要经过量子力学中的表象变换。3、电子在周期势场中的波动方程周期势场中的Shod

10、ing261.中心方程 势函数和波函数的傅立叶分析 势函数有平移对称性，总可以用倒易点阵矢量展成付氏级数，在一维情况下，可对倒易矢量展开成付氏级数：n为整数若 是实函数，付氏级数的傅立叶分量的系数 有如下性质：1.中心方程 势函数和波函数的傅立叶分析 27 是实函数，第二章中讲过，实周期函数必有此结果：任指定 ，则上式左边为 右边为要使上面等式成立，则须 是实函数，第二章中讲过，实周期函数必有此28若势函数具有中心反演对称性：则在势函数既是实函数又具有中心反演对称性的情况下若势函数具有中心反演对称性：则在势函29波函数：一个波函数可对波矢k展开成付氏级数，在周期性边界条件下：（n为整数）在波矢

11、空间中关键就是c（k），只要c（k）已知，则 在K空间的形式就知道了，此时 就唯一确定了。波函数：一个波函数可对波矢k展开成付氏级数，在周期性边界条302中心方程的推导空间的Shodinger方程为：=把波函数展开成付氏级数,K取边界条件允许的所有值（包括倒易阵点和非倒易阵点）把势函数对倒易矢量展开成付氏级数将波函数和势函数的付氏级数代入一维Shodinger方程中。2中心方程的推导空间的Shodinger方程为：31动能项为：=势能项为：=则一维情况下的Shodinger方程变为：=+=动能项为：32任意指定一个傅立叶分量 （一个波矢代表一个分量），是边界条件允许的K 值，我们看一看各项的系

12、数；第一项分量为 ，当 时，系数为：第二项要使分量仍为 ，只有 系数为：等式右边，时，分量 的系数为任何一个傅立叶分量的系数都应满足这个关系：+=任意指定一个傅立叶分量 （一个波矢代表一个分量），是33因此可以把 再写成 ，则：+=式中的 是边界条件允许的任意一个 值。为方便起见，我们引入 ，代表波矢为的平面波的动能，于是上面的方程可写成：+=0这就是中心方程。因此可以把 再写成 ，则：+343 3中心方程说明的问题中心方程说明的问题 中心方程是一个代数方程，它是由真实空中心方程是一个代数方程，它是由真实空间中的间中的ShodingerShodinger方程（微分方程）演变来的，是方程（微分方

13、程）演变来的，是周期势场中单电子周期势场中单电子ShodingerShodinger方程在波矢空间的表方程在波矢空间的表现形式，这个方程要对现形式，这个方程要对G G求和（这是因为一个给定求和（这是因为一个给定的势函数展开付氏级数要对的势函数展开付氏级数要对G G求和）。它应包含无求和）。它应包含无穷多项，穷多项，K K是周期性边界条件允许的任意一个是周期性边界条件允许的任意一个K K值，值，这实际上是一个包含无穷多项和无穷多个方程的这实际上是一个包含无穷多项和无穷多个方程的代数方程组，求解中心方程的目的是求代数方程组，求解中心方程的目的是求 和各付和各付立叶分量的系数，从表面看，这样一个有无

14、穷多立叶分量的系数，从表面看，这样一个有无穷多个方程，而每个方程又包含有无穷多项的方程组个方程，而每个方程又包含有无穷多项的方程组是没法求解的，但是在一些近似条件下，取一些是没法求解的，但是在一些近似条件下，取一些有限项和有限的方程，还可说明许多问题。有限项和有限的方程，还可说明许多问题。3中心方程说明的问题 中心方程是一个代数方程，35 中心方程把波函数的傅立叶分量C（K）及C（K-G）联系了起来，在中心方程中对K不求和，只对G求和，在中心方程中出现的傅立叶分量的系数为 C（K）和C（K-G），G要取所有的倒易点阵矢量，中心方程把 联系起来了。中心方程把波函数的傅立叶分量C（K）及C（K-G

15、）36如在一维情况下，令最短的 ，所有倒易点阵矢量G可写成 n取所有的整数，因此中心方程包含这样一些傅立叶分量：在方程中出现的只是如在一维情况下，令最短的 ，所有倒易点阵矢37我们可以在波矢空间中标出这些分量：我们可以在波矢空间中标出这些分量：38 在中心方程中出现的只有与指定的K相差一个G的傅立叶分量，统称之为C(K)、C(K-G),G取所有倒易点阵矢量。也就是说当用中心方程求解波函数的本征函数的傅立叶分量时，只能求出C(K)与C(K-G)这样一些系数的分量，而与K相差不是一个G的那些分量是不出现的。在中心方程中出现的只有与指定的K相差一个G的傅立叶分39 求解中心方程是为了求解电子波函数的

16、本征函数，在中心方程中消失掉的傅立叶分量，在中心方程的解中也不会出现，这也就是说，周期势场中单电子Shodinger方程的解不会包括边界条件所允许的所有K值的分量，而只包含一些特殊的分量。求解中心方程是为了求解电子波函数的本征函数，在中心方40 +式中的K值是边界条件的任意一个K值。可以简写为：式中的G值取所有的倒易点阵矢量。这就是由中心方程得到的单电子在周期势场中电子波函数的本征函数的形式。+41 把含有分量K的波函数（本征函数）给一个下标，表示波矢为K的傅立叶分量只要知道了K分量，其它的分量可用 找出来，波函数就唯一地确定了，即 =它们都是由相同的傅立叶分量组成，因此它们都是相同的，与 表

17、示相同的波函数。把含有分量K的波函数（本征函数）给一个下标，表示波矢为42既然 与 是同一个波函数，由相同的付氏级数组成，通常我们就把K限制在第1BZ之内，用k表示，称简约波矢，它所表示的本征函数都可以通过加减适当的G用第1BZ以内的本征函数来表示，第1BZ以外的波函数只不过是第1BZ以内的波函数的重复和再现而已。既然 与 是同一个波函数，由相同的付氏级数组成43 另外要注意的是，格波不存在比2a更短的波长，即波矢超出第1BZ是没有物理意义的，然而电子波则不同，电子波是几率波，代表在 处电子出现的几率，在阵点以外的空间仍有物理意义，也就是说，对电子波，波矢可超出第1BZ，在第1BZ以外，它是有

18、物理意义的，只不过与第1BZ以内的是重复的，这是与格波不同的地方。另外要注意的是，格波不存在比2a更短的波长，即波矢超出444Bloch定理重述由中心方程再看Bloch定理。用简约波矢：=我们现在证明这样一个付氏级数就是Bloch函数 =4Bloch定理重述由中心方程再看Bloch定理。用45令 =现在只要证明 =具有点阵周期性即可证明 为Bloch函数。令 =现在只要证明 46 =是Bloch函数，即 =47 以前我们讲过一个具有晶体点阵周期性的函数可用倒易点阵矢量展开成付氏级数，现在我们证明了它的逆定理，即若一个函数可用倒易点阵矢量展成付氏级数，那么这个函数必定有点阵周期性质。以前我们讲过

19、一个具有晶体点阵周期性的函数可用倒易点阵48由Bloch函数的付氏级数形式 =可写成：=+对三维波函数：=+由Bloch函数的付氏级数形式 =49据Laue衍射条件：=，在 方向有一个反射波 =-，除第一项外，其它分量的波矢都有 -的形式，因此它们都是各级Bragg反射波，取所有倒易点阵矢量，即得各级平面的所有反射，就是把所有的反射波加起来，Bloch波实际是是一个平面波与它的各级Bragg反射波的叠加。据Laue衍射条件：=，在 方向有一个反射50 2.电子的晶体动量1Bloch函数的下标k是表征本征函数本征态的量子数，描写函数的量子态需要两个量子数，波矢 和自旋量子数 。2.电子的晶体动量

20、1Bloch函数的下标k是表征本征512如果周期势 =0，则 =0，此时中心方程为：=0要使 有非零解，则必须 =0 即 =这正是自由电子的能量，此时的波函数为 =，相当于自由电子的波函数。2如果周期势 =0，则 =0，此时中心方程为：52这时的波矢 表示这样的物理意义：代表电子动量的本征值，但 0，则 不代表电子动量的本征值，Bloch波是由许多平面波叠加起来的，Bloch函数不是动量算符的本征函数，而是能量算符的本征函数。我们把动量算符作用到Bloch函数上得：+不是电子动量的本征值。这时的波矢 表示这样的物理意义：代表电子动量的本征53 3 凡是有Bloch电子参与的碰撞过程中，这个量要

21、出现在守恒定律中，它的作用与一个动量的作用一样，所以我们把叫做电子的晶体动量。3 凡是有Bloch电子参与的碰撞过程中，这个54用量子力学的方法来计算有Bloch电子参与的过程的跃迁几率，可得到波矢的选择定则,对于电子与声子的碰撞：=+式中 为电子波矢，为声子波矢 为电子跃迁后的波矢，为倒易点阵矢量，的选取以保证 不超出第1BZ，满足上述波矢选择定则的跃迁是允许的，否则就是不允许的。用量子力学的方法来计算有Bloch电子参与的过程的跃迁几率，55若对波矢选择定则两边乘以 ，相当于动量守恒定律：=+式中 代表电子跃迁后的动量。若对波矢选择定则两边乘以 ，相当于动量守恒定律：56 出现在动量守恒定

22、律中，相当于一个动量，称为电子的晶体动量，它即非电子动量的本征值，又不是电子动量的平均值，只是它的性质相于一个动量。电子在外场作用下，的变化服从牛顿定律。出现在动量守恒定律中，相当于一个动量，称为电子的晶57 3.中心方程的解 =0在中心方程中出现的系数只有k、k-G的形式，对波矢空间任一点（如 ）求解，可对此点写出中心方程，这时对有关的傅立叶分量都要写出中心方程，因为用一个方程是无法求解能量的本征值与本征函数的，只有用一系列的方程列成方程组来求解。3.中心方程的解 58现在我们考虑最简单的情况，假定势函数只包含有两个傅立叶分量：=+并设 =则 G=为整数于是 可写成余弦函数的形式：=现在我们

23、考虑最简单的情况，假定势函数只包含有两个傅立叶分量：59在波矢空间任意指定一个k值，则中心方程为：+=0由于方程中只有：=，而 =0中心方程简化为：+=0 在波矢空间任意指定一个k值，则中心方程为：60对 写出中心方程：把是式(1)中的k换成 +=0 对 写出中心方程来：+=0 对 写出中心方程：把是式(1)中的k换成 61但由此引出的中心方程是无穷的，即中心方程是由无穷多的方程组成的奇次方程组。这些方程把 、等波矢联系起来了，这样一个由无穷多个方程组成的方程组是无法求解的，但在一定的近似条件下，我们把波函数 =的傅立叶分量只取有限个项，则中心方程是有限的方程组，还是可以求解的。但由此引出的中

24、心方程是无穷的，即中心方程是由无穷多的方程组62如对上面势函数只有两个分量的情况下，我们取：即波函数只有五个分量 、时，中心方程只有5个。如对上面势函数只有两个分量的情况下，我们取：即波函数只63对 写出中心方程为：对 写出中心方程为：对 写出中心方程为：64 把上述方程组按一定顺序排列，如排列，要使关于有非零解，则其系数行列式须满足：把上述方程组按一定顺序排列，如排列，要使关于有非零65 若势函数包含有两对傅立叶分量如对于波函数取五个分量的情况，这时写出的中心方程的系数行列式为：若势函数包含有两对傅立叶分量如对于波函数取五66中心方程的解说明的问题：1对每一个给定的k值，是多值的，有多少个

25、值，取决于波函数傅立叶分量的个数，对于每一个波矢k，有不止一个能量，每一个 值对应一个能带，所以标志电子的一个能量状态，需要两个指标 ，即一个是波矢指标，一个是能带指标，同样标志一个波函数 也需要两个指标，因为 是将 代入中心方程得到的。中心方程的解说明的问题：1对每一个给定的k值，是67兰州大学固体物理第7章能带ppt课件682将中心方程中的k平移一个任意倒易点阵矢量，中心方程所代表的方程组不变，解也是不变的。k是边界条件允许的任意值。中心方程把 这些傅立叶分量联系在一起，若指定k，则只能出现的形式的分量，G取所有倒易点阵矢量。2将中心方程中的k平移一个任意倒易点阵矢量，中心方程所代69若对

26、K求解中心方程，则对都要写出中心方程来，若将K平移任意倒易矢量G，如 ，现在实际上对 求解中心方程，现在的中心方程组中只出现与 相差一个G的所有分量，如 ，也就是说对 写出的中心方程组实际上是与对K写出的中心方程组相同，所不同的只是方程的顺序有些变化而已。由此解中心方程组解出的能量与波函数也不变。若对K求解中心方程，则对都要写出中心方程来，若将K平移任70兰州大学固体物理第7章能带ppt课件71 同一个能带中的能量是G的周期数，同一个能带中的波函数也是G的周期函数，这是能带在周期势场中的性质，与格波的色散关系 相对应，这些性质都是由周期势场引起的，所以我们只在第1BZ内解出所有的能带和轨道就全

27、部解决了电子的能带和轨道问题，在三维情况下：同一个能带中的能量是G的周期数，同一个能带中的波函数也72 特别要注意的是：在正空间 有正点阵的平移不变性，而波函数没有平移不变性，但在波矢空间，即倒易空间，和 都对倒易点阵矢量 有平移不变性。特别要注意的是：在正空间 有正点阵的平移不73 4.弱周期势下BZ边界附近的近似解设势函数有三角函数的形式：势函数展开包括两个傅立叶分量：比电子在BZ边界是的动能要小得多，即：现在来求在附近中心方程的解 4.弱周期势下BZ边界附近的近似解设势函数有三角函数的形741当 时 （波矢为K的自由电子的能量或波矢为K的平面波分量的动能）1当 时 （波矢为K的自由电子7

28、5（波矢为 与 的自由电子的动能是相同的）+当 时：（波矢为 与 的自由电子的动能是相同的）76 在波函数中 的分量与-的分量具有同样重要的地位，在比较粗略的近似下，必须保留这一对傅立叶分量（时这一对分量的 是相同的），而将其它高阶分量略去，这就是波函数的两分量近似，这两个分量有同样重要的地位。在波函数中 的分量与-的分量具有同样重要的地位77略去高阶项，对 写出中心方程，这时势函数有一对分量，波函数也只有一对分量：略去高阶项，对 写出中心方程，这时势函数有一对分量78这方程组要有非零解，须：得：这方程组要有非零解，须：79 由中心方程在两个分量近似下，得到了电子的能带为 ，若无周期势场电子的

29、能带应为自由电子能带，但由于弱周期势场的作用，使能带分成两个，这两个能量差为：由中心方程在两个分量近似下，得到了电子的能带为 80兰州大学固体物理第7章能带ppt课件81将 代回中心方程可得波函数的两个解：若不考虑归一化因子，就有上述形式，此时：与前面的似真性论证得到的结果完全一样。将 代回中心方程可得波函数的两个解：若不考822k在BZ边界 附近 此时电子的本征函数k与k-G这两个分量有大约相差的动能，其它的G可略去。2k在BZ边界 附近 此时电子的本征函数83对k、k-G分别写出中心方程：其中 对k、k-G分别写出中心方程：其中 84要使上述方程组有非零解，须可得：或 要使上述方程组有非零

30、解，须可得：或 85由此可得：为了能清楚看出和k的关系，我们引入：即从布里渊区边界算起的波矢差。由此可得：为了能清楚看出和k的关系，我们引入：86则 则 87代入能量关系式中得：或代入能量关系式中得：或88当波矢k足够靠近BZ边界时，即 足够小时，使得 就可把后项（方括号内的项）用二项式定理展开，取一级近似得：当波矢k足够靠近BZ边界时，即 足够小时，使得 89于是式中是波矢 时自由电子的动能，能量对BZ边界对称。于是式中是波矢 时自由电子的动能，能量对90 是抛物线函数，抛物线的顶点分别在（+）和（-）两点，若U0，则势是吸引势，（+）、（-）如图所示 是抛物线函数，抛物线的顶点分别在（+）

31、91由中心方程可得：把中心方程得到的的两个根分别代入，可求出 的关系，得到如上面右图的关系。由中心方程可得：把中心方程得到的的两个根分别代入，可92当k远离BZ边界（即）时，分别对两个能带来说，只有一个平面波分量是主要的，如对第一带来说，因为此时 ，即 ，也就是说用一个分量表示就可以了，离BZ边界越远 越小。对于第二带来说，只要k离 越远 ，占主要地位，也只有一个平面波占主要地位。当k远离BZ边界（即）时，分别对两个能带来说，只有一个平面93当 时，两个分量都是主要的，此时当k=时，两个分量相等，与前面讲的完全一致。当 时，两个分量都是主要的，此时当k=时94 4、能带图示法1.简约区图、周期

32、区图和扩展区图 前面我们由中心方程得到了重要的结论：即对于同一个能带，能量和波函数都是倒易矢量G的周期函数：,4、能带图示法1.简约区图、周期区图和扩展区图 95 -k的关系曲线在波矢空间有三种画法：1简约区图把 限制在第1BZ之中，在第1BZ中解出 与能带，画出能带曲线，如一维时只看0 范围与前面讲的 附近的图非常相似，能带与能带之间有间隙，对于任一波矢k对应有不同的能量值,是k的多值函数，只在第1BZ之中画图。-k的关系曲线在波矢空间有三种画法：1简约区图96兰州大学固体物理第7章能带ppt课件972周期区图把第1BZ中的 曲线平移 移到波矢空间其它区域，这样得到的图叫周期区图或重复区图。

33、2周期区图把第1BZ中的 曲线平移 移到波矢983扩展区图 、都有两个下标n和 ，有时需要 是 的单值函数，在这个前提下出现了能带的扩展区图。约定在第1BZ中画第一带（n=1），在第2BZ中画第二带（n=2），在第3BZ画第三带，以此类推，由此得到的曲线称之为扩展区图。3扩展区图 、都有两个下标n和 ，有时需要99兰州大学固体物理第7章能带ppt课件100 对于简约区图并不是说第1BZ以外的能带和轨道是不存在的，而是为了避免重复，周期区图虽然是重复的，但它是最完整的，扩展区图是在每个BZ中只画出一个能带，并不是说其它能带在这些BZ中不存在，如在第3BZ中的第一、二能带与第一、二BZ是一样的，这

34、三种图式在不同的场合都要用到，常用的是简约区图。对于简约区图并不是说第1BZ以外的能带和轨道是不存在1012.空点阵近似 所谓空点阵近似就是点阵依然存在，周期性也存在，但势场为零。当周期势场非常弱 0，对 =0的极限情况，称为空点阵近似。空点阵近似就是周期结构中的自由电子近似。2.空点阵近似 所谓空点阵近似就是点阵依然存在，周期102 在一维情况下，自由电子的函数为 ，（，为整数），空点阵近似的 图与自由电子的 图相同，但有三种图示法，我们采用简约区图。我们从自由电子的 图画出空点阵近似下的 图的简约区图，只要把k平移适当的 移入第1BZ就得到空点阵近似下 的简约区图。在一维情况下，自由电子的

35、函数为 ，（103兰州大学固体物理第7章能带ppt课件1041G=0，把第1BZ边界的能量写成作为度量其它能量的单位。1G=0，1052 在BZ中心，k=0，在BZ边界上，即 时，这样就画出了空点阵近似下一维的简约区图。2 在BZ中心，k=0，在BZ边界106在弱周期势下，在第1BZ边界是，能带都要一分为二，出现能隙，这样就得到了一维情况下弱势场的简约区图。在弱周期势下，在第1BZ边界是，能带都要一分为二，出现能隙，107 三维情况下，K沿不同方向，曲线可能不同，（这是因为晶体本身就是各向异性的），画 图就要指定K的方向，如K沿100方向，就表示100方向的K值。三维情况下，K沿不同方向，曲线

36、可能不同，（这是因为晶108 三维情况下空点阵近似的能带的简约区图，即把自由电子的 关系曲线，平移到第1BZ之中，令 ,则简约区中 =这就是简约区中的函数。三维情况下空点阵近似的能带的简约区图，即把自由电子的109三维空间的 曲线图都是要在波矢空间给定的方向画出，如SC点阵的100方向，为简便起见，令 =1，即以 为能量的度量单位，则简约区中的 函数为：=三维空间的 曲线图都是要在波矢空间给定的方向画出，110SC点阵的倒易点阵矢量是表示倒易点阵矢量的，给定h,k,l，就给定了。作为一个例子，对SC点阵，来研究K沿100方向，曲线的形状。SC点阵的倒易点阵矢量是表示倒易点阵矢量的，给定h,k,

37、l111 =（000）（以 为单位表示的指数）即 则 也就是说，K本来就在简约区中。在100方向，即 这就是简约区中的函数沿方向的函数形式。=（000）（以 为单位表示的指数）即 112 在第1BZ中心 在第1BZ边界 把第1BZ边界是的值为，作为度量其它能量的单位。在第1BZ中心 在第1BZ边界 113 最短的 =100、010、001、根据这些相对于方向的对称性分组，对称性相同的取作一组，因此100、为一组，010、为一组，001、为一组。最短的 =100、010、114先看 =100和 ，这是对 =100对称的，即 ，代入简约区中的 =中得：=先看 =100和 ，这是对 =100115再

38、沿 方向显示能带，此时则 在BZ 中心 在BZ边界上 再沿 方向显示能带，此时则 在BZ 中心 在B116再看相对于 k100的另外四个 =010、，或 =001、对于这样两组 ，先写出简约区中的函数形式：=010、时：=001、时：再看相对于 k100的另外四个 =010、117 沿 方向的 的形式：=在BZ区中心：=0，在BZ区边界：，沿 方向的 的形式：118对于次短的 ，即 =110令 =110，对 方向对称的还有 分别写出简约区中的函数在 方向的形式：（令 ）则 =对于次短的 ，即 =110令 =110，119在BZ区中心，=0，=8在BZ边界，在BZ区中心，=0，=8120这样就可

39、画出一维情况下，空点阵近似的能带图。如右图所示这样就可画出一维情况下，空点阵近似的能带图。如右121 这是空点阵近似的能带若考虑弱周期势的微扰是在区边界上将原来简单带分开就可得近自由电子的能带图（如图中红线所示）。这是空点阵近似的能带若考虑弱周期势的微扰是在区122上面是SC点阵的能带图，对于其它点阵要特别注意 的选取，因为在上述考虑中 是采用了惯用轴，但对于如fcc点阵，就不是基矢，（为 ），这时就要考虑结构的消光规律，对于fcc点阵，hkl只能取全奇或全偶的指数，除000外，下一个 就应取111，再下一个就是200，在作能带图时一定要考虑到消光规律。上面是SC点阵的能带图，对于其它点阵要特

40、别注意 的选取，123 空点阵近似下简约区图的作图步骤。对给定的点阵先写出倒易点阵矢量 ，由于 是惯用晶轴h、k、l的取值要考虑到消光规律。空点阵近似下简约区图的作图步骤。对给定的124把 依次代入到 函数中去简约区中的 =注意对于波矢空间中的给定方向 的对称性，对称性相同的 可同时代入，这样每 可能是同一曲线或对称性很高的曲线。把 依次代入到 函数中去简约区中的 125对波矢空间给定的方向,写出 函数形式如沿 方向 则 沿 方向 则 沿 方向 则 沿111方向:对波矢空间给定的方向,写出 函数形式如沿 126定出区中心的能量值 和区边界上的能量值,对区边界要注意计算,如沿100方向,区边界为

41、 ,若沿111方向就不再是 ,对于fcc点阵,111方向的边界为 =处，=只有把 值定准，才能把 算准。定出区中心的能量值 和区边界上的能量值,对区边界1275、金属和绝缘体1.能带中的轨道数根据前面讲过的能量和波函数的性质：能带和波函数对波矢K有周期性，只要我们对第1BZ解出 和 ，则Bloch电子的所有能带和轨道都解出来了，第1BZ以外的所有波矢代表的轨道只是第1BZ以内的轨道的重复而已，一个能带中的轨道数，就指的是这个能带在第1BZ之内的轨道数。5、金属和绝缘体1.能带中的轨道数根据前面讲过的能量和128在一维情况下，对长为L的一维晶体，第1BZ的体积为 ，而边界条件允许的每个K值占有的

42、体积为 ，则 =也就是说第1BZ中的K值的数目与晶体的初基晶胞的数目相同，每个K值又对应两个自旋相反的电子，因此每个能带中有2N个轨道。在一维情况下，对长为L的一维晶体，第1BZ的体积为 ，而129以SC点阵为例，对于三维晶体来说，第1BZ的体积为 ，则：=为SC点阵的初基晶胞数，我们认为晶体的宏观体积是一个正方体，即：长宽高=LLL，则三维时的轨道数为2 个，这时仍认为2 =2 （=），则能带中仍有2 个轨道。以SC点阵为例，对于三维晶体来说，第1BZ的体积为 ，1302.金属和绝缘体1金属 若一种固体，每个初基晶胞中包含一个一价原子，晶体中共有N个初基晶胞，就有N个价电子，这N个价电子填充

43、轨道时，只能填满一个能带中2N个轨道的一半，另一半是空的，同时其它能带也都是空带，半满的能带在外加电磁场下电子的运动状态可发生变化，对电流有贡献，这样的固体将是所谓的金属。2.金属和绝缘体1金属 若一种固体，每个初基晶胞131兰州大学固体物理第7章能带ppt课件132 同理，若每个初基晶胞中有3个价电子，晶体中将有3N个价电子，可填满一个半能带，完全被电子填满的能带在外加电场下是惰性的，根据泡利原理，电子的状态不可能发生变化，而半满的能带中的电子的状态可能发生变化，这样的固体仍是所谓的金属。同理，若每个初基晶胞中有3个价电子，晶体中将有3N个价1332绝缘体 若一种固体每个初基晶胞中有一个二价

44、原子，在一个能带中有2N个价电子，这2N个价电子刚好填满一个能带，填满的能带在外加电场下是惰性的，这样的固体将形成绝缘体。2绝缘体 若一种固体每个初基晶胞中有一个二价原子，在134 同理，每个初基晶同理，每个初基晶胞中若有两个胞中若有两个2 2价原子，价原子，则则4N4N个电子刚好填满两个电子刚好填满两个能带，这样的固体仍个能带，这样的固体仍是绝缘体。是绝缘体。同理，每个初基晶胞中若有两个2价原子，则4N个电子刚1353 3半金属半金属 若初基晶胞中包含的价电若初基晶胞中包含的价电子数是偶数这是可能形成绝子数是偶数这是可能形成绝缘体的必要条件，但不是充缘体的必要条件，但不是充分条件，不是说初基

45、晶胞中分条件，不是说初基晶胞中的价电子数是偶数时就一定的价电子数是偶数时就一定形成绝缘体，有时还可形成形成绝缘体，有时还可形成所谓的半金属。所谓的半金属。3半金属 若初基晶胞中包含的价电子数是偶数这是可能形136兰州大学固体物理第7章能带ppt课件137 在波矢空间的不同方向能带可重叠，电子填充时是不论方向而是先占据能量低的轨道，而不是先占据第一带，再占据第二带的，这样2N各价电子在填轨道时，可能在某个方向的第一带还未填满时，就去填另一个方向的第二带的少数轨道，使得某一方向的第一带同另一方向的第二能带都是部分填满的，也就是说，这2N个价电子本来是可以填满一个能带的，但由于能带的交叠，结果使两个

46、能带都是部分填满的，两个能带在外场作用下对电流都有贡献，但总的贡献还是比较小，这样的晶体称为半金属。在波矢空间的不同方向能带可重叠，电子填充时是不论方向而是1384 4半导体半导体在在0K0K时半导体都是绝缘体，时半导体都是绝缘体，半导体性能的出现，主要半导体性能的出现，主要是温度的升高，出现热激是温度的升高，出现热激发引起的。发引起的。4半导体在0K时半导体都是绝缘体，半导体性能的出现，主139 在T=0K 时，若初基晶胞中的价电子数是偶数，在无能带交叠的情况下，能带非满带，即空带，我们把电子能填充的最高能带称为价带，而靠近价带的空带称为导带，半导体与绝缘体的差别在于半导体的禁带较小（能隙小

47、），在温度升高时，一部分电子由于热激发跃迁到导带，在价带中出现少量空轨道，在导带中有少量电子，这样在外场作用下空轨道和电子对电流都有贡献，这样的固体称为半导体，这种半导体称作本征半导体。在T=0K 时，若初基晶胞中的价电子数是偶数，在无能带140 还有一种半导体称为杂质半导体，是在族的Si、Ge中掺入族或族元素形成的，Si、Ge在T=0K时都是绝缘体，Si是金刚石结构，每个初基晶胞中有2个Si原子，Si是4价，每个初基晶胞有8个价电子，刚好填满4个能带。还有一种半导体称为杂质半导体，是在族的Si、Ge中掺入141 若掺入族元素后，在禁带中将会出现一些杂质能级，杂质的周期性与原物质的周期性不同，

48、破坏了原物质的周期性，由于热激发杂质的价电子可能跃迁到导带中去，在外场作用下这些电子对电流有贡献，靠导带中的电子导电，这种半导体称为N型半导体，族元素称为施主杂质。若掺入族元素后，在禁带中将会出现一些杂质能级，杂质的周142 若在Si中掺入了族元素（称为受主杂质）满带顶部的电子由于热激发可跃迁到杂质轨道，形成空轨道，外加电场下对电流也有贡献，靠空轨道导电，这种半导体称为P型半导体。若在Si中掺入了族元素（称为受主杂质）满带顶部的电子由143兰州大学固体物理第7章能带ppt课件144兰州大学固体物理第7章能带ppt课件145 第七章能带（I）内容提要1.布洛赫定理2.周期场中电子的波动方程3.弱周期势场中的电子BZ边界 附近的近似解4.能隙5.能带的简约区、扩展区 和周期区图6.轨道密度7.金属和绝缘体 第七章能带（I）内容提要1.布洛赫定理2.周期场中146