第三章能带理论ppt课件

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1、第三章第三章能带论能带论能带论能带论-I I I I 能带的概念、形成能带的概念、形成能带的概念、形成能带的概念、形成近自由电子近似近自由电子近似近自由电子近似近自由电子近似紧束缚近似紧束缚近似紧束缚近似紧束缚近似第三章能带论-I 能带的概念、形成1n前面讨论了晶体离子晶格的排列n本章讨论晶体中价电子的性质 n价电子的运动受到多种因素的影响：1)与 离子 的作用；2)与其他电子的作用。o这是复杂的多体问题（量子多体）只能依赖专门的计算理论与高速计算机，能带计算本身是一项很专业的科研工作。o在本科的固体物理学，使用初等量子力学，了解能带的形成机制。o重点是理解导体、绝缘体、半导体的本质重点是理解

2、导体、绝缘体、半导体的本质前面讨论了晶体离子晶格的排列2 快速浏览快速浏览快速浏览快速浏览1.1.初识能带初识能带2.2.能带的成因能带的成因3.3.能带的重要意义能带的重要意义4.4.能带理论的发展能带理论的发展5.5.能带的近似理论能带的近似理论 快速浏览初识能带3一、初识能带n经典理论：连续能量n量子理论：量子化能级（分立）准连续能级一、初识能带经典理论：连续能量准连续能级4一、初识能带n当原子结合成固体，形成带状能级能带n大量能级形成准连续的带，带间可能有间隔（带隙）n能带同时具有分立、连续的能量特点Band-1Band-2Band-3Band gapBand gapBand gapB

3、and gap一、初识能带当原子结合成固体，形成带状能级能带Band-5第三章能带理论ppt课件6二、能带的成因反对称，反键态，能量高对称，成键态，能量低二、能带的成因反对称，反键态，能量高对称，成键态，能量低7二、能带的成因二、能带的成因8二、能带的成因1s2p2s分裂2分裂N原子原子分子晶体一般地，形成固体时，原子轨道一般地，形成固体时，原子轨道能级能级展开成一个展开成一个能带能带二、能带的成因1s2p2s分裂2分裂N原子分子晶体一般地，形9二、能带的成因P 146,图 75二、能带的成因P 146,图 7510三、能带的重要意义n固体的导电性质，主要是能带结构决定，而不是由电子的多少决定

4、。n能带是分析新材料、设计新器件的基础能带工程n能带的概念被推广到固体中光、声的传播（1987光子晶体、声子晶体）能带理论是凝聚态物理中最重要的部分三、能带的重要意义固体的导电性质，主要是能带结构决定，而不是11四、能带理论的发展n1900,Drude建立金属自由电子气体模型，解释金属的电导、热导；1928，Sommerfeld引入Fermi-Dirac统计（量子），解释电子的热容量等。n固体的能带理论的建立：1928，F.Bloch 应用量子理论研究固体的电子运动，提出Bloch定理，奠定了现代量子固体物理的基础。1931年，A.H.Wilson 依据能带理论，成功地解释了金属、绝缘体和半导

5、体的差别（定性研究）。Kokn,物理学家、1998年诺贝尔化学奖n 1964,W.Kohn等建立密度泛函理论，借助与计算机，能够定量计算高分子、纳米材料、介观器件等。（精确计算）四、能带理论的发展1900,Drude建立金属自由电子气体模12五、能带的近似理论1)BornOppenheimer 绝热近似 认为离子实是静止不动的 理由之一：原子振动相对于原子间距是很小的，5%，所以电子感觉到晶格的畸变很小(正常态）；理由之二：原子质量大，相对与电子的运动速度慢。能带论是一种近似理论，主要有三个假设（近似）：五、能带的近似理论BornOppenheimer 绝热近13五、能带的近似理论2）单电子近

6、似其他电子的影响忽略，或归结到势场。理由：由于泡利不相容原理，两电子间的平均距离较大。3)周期场近似 离子实或其他电子的作用归结为一个周期性势场：五、能带的近似理论2）单电子近似14五、能带的近似理论本 章 下 面 的 内 容 主 要 讨 论 这 种 单 电 子Schordinger 方程的求解方法初等量子力学能带问题简化为“单电子在周期场”的运动五、能带的近似理论本章下面的内容主要讨论这种单电子Schor153-1 3-1 布洛赫定理布洛赫定理及能带及能带Next:Next:怎样求解周期场中的怎样求解周期场中的Schordinger Schordinger 方程方程3-1 布洛赫定理及能带N

7、ext:怎样求解周期场中的S1619251926，Heisenberg，Schordinger等人建立量子力学的矩阵力学形式和波动力学形式。n1946年他和汉森、帕卡德一起研究发展核感应原理，即用原子核感应的方法测量由于原子核磁矩旋所感应的电动势，提出核磁共振技术，和 E.M.Purcell获得 1952年诺贝尔物理学奖。n 在Heisenberg的建议下，Bloch 应用量子力学研究固体中的电子问题。他从电子在周期性离子间运动的图像出发，得出固体中电子运动的波函数的一般形式（Bloch波函数），这一理论为现代固体理论奠定了基础（1928）19251926，Heisenberg，Schordi

8、n17一、Bloch 定理（1）n在周期性势场中运动的电子的波函数可写成布洛赫波的形式：u是晶格的周期函数：布洛赫波是平面波与周期函数的乘积，或：振幅受周期性调制的平面波。这样的电子也称为Bloch 电子（区别与自由电子）：它的波幅从一个原胞到另一个原胞时发生周期性变化。Bloch 电子在整个晶体中运动，也称晶体电子。一、Bloch 定理（1）在周期性势场中运动的电子的波函数可18一、Bloch 定理（2）单电子在等效周期势中运动时，波函数形式为：n即：平移晶格矢量 Rn 时，波函数只增加一个相因子在一维情况下被称为Floquet定理，因为Floquet首先证明了一维情况。一、Bloch 定理

9、（2）单电子在等效周期势中运动时，波19一、Bloch 定理（证明）一、Bloch 定理（证明）20由归一性：n根据关系：n选取线性关系：q证毕一、Bloch 定理（证明）由归一性：根据关系：选取线性关系：证毕一、Bloch 定理（21二、二、K K的值及物理意义的值及物理意义电子波选取周期性边界（同晶格振动）根据Bloch波：二、K的值及物理意义电子波选取周期性边界（同晶格振动）根据B22可以取：n根据周期性，可以把 li 限制在第一布里渊区：nK态在第一BLZ 均匀分布，总数为N,密度为：l为整数二、二、K K的值及物理意义的值及物理意义可以取：根据周期性，可以把 li 限制在第一布里渊区

10、：K23二、二、K K的值及物理意义的值及物理意义nK的意义：K是Bloch波的波矢，但hK并不是电子的动量。nhK被称为“晶体动量”，K是描述电子状态的一个量子数。二、K的值及物理意义K的意义：K是Bloch波的波矢，但hK24思考复习1.1.简单说明原子的能级与固体能带间的联简单说明原子的能级与固体能带间的联系系2.2.什么是什么是BornOppenheimer BornOppenheimer 绝热近似绝热近似？解释该近似的根据。？解释该近似的根据。3.3.能带论的单电子近似采用哪些近似？能带论的单电子近似采用哪些近似？4.4.简述布洛赫定理简述布洛赫定理 。试说明电子布洛赫。试说明电子布

11、洛赫波的意义。波的意义。5.5.证明：证明：BlochBloch电子波的波矢电子波的波矢hKhK不是动量不是动量算符的本征值。算符的本征值。思考复习简单说明原子的能级与固体能带间的联系25三、一维电子：空格子模型 n本征波矢：n布里渊区：一维无限深势阱三、一维电子：空格子模型 本征波矢：布里渊区：一维无限深势阱26本征能n特点：nE 与 P2/k2 成正比n不形成能带kE0本征能特点：kE0273.2 3.2 弱周期势近似弱周期势近似实际晶格中，势能是周期性变化的，若势能起伏不太大 取平均势势的起伏用微扰论处理（周期性微扰）3.2 弱周期势近似实际晶格中，势能是周期性变化的，若势28一、模型和

12、微扰计算一、模型和微扰计算 周期势：1.零级近似：一、模型和微扰计算 周期势：零级近似：29 零阶解：n解为平面波因为忽略了晶格势的变化nBloch 波也是平面波，但波幅周期性变化 零阶解：解为平面波因为忽略了晶格势的变化Bloch 波30补充：Dirac 符号n波函数（态）n正交归一性补充：Dirac 符号波函数（态）正交归一性312.微扰计算 微扰哈密顿：能量一级微扰：能量二级微扰：波函数一级微扰：微扰计算 微扰哈密顿：能量一级微扰：能量二级微扰：波函数一级323.计算矩阵元对每个元胞，令：表示在V的作用下，电子从k 到k态的几率计算矩阵元对每个元胞，令：表示在V的作用下，电子从k 到k3

13、334n其中：干涉相消干涉相消其中：干涉相消35综合：只有当k 与 k 相差整数个倒格子时，即：微扰结果：波长相差 nb 的态有作用，差别越大，影响越小。k综合：只有当k 与 k 相差整数个倒格子时，即：364.布里渊边界处的态 当时，k=n/a 上面的微扰计算不适用如 k=/a 和 k=-/a 是简并的 即：在布里渊区边界的态，要考虑简并问题考虑两个态：布里渊边界处的态 当时，k=n/a 上面的微扰计算不37 类似于两个波形成共价键的处理方法：可解出：当0时：类似于两个波形成共价键的处理方法：可解出：当0时：38n结论：在布里渊边界，发生“能级的排斥”结论：在布里渊边界，发生“能级的排斥”3

14、9二、二、能带和能隙能带和能隙 1.1.能带和能隙能带和能隙自由电子能量（空盒子模型）受到周期性势的作用。k 远离 n/a 处的态（=na)受到的影响较小；在n/a 处的态影响很显著，E(k)断开形成突变 。二、能带和能隙 能带和能隙402.简约波矢（区）第一能带称为简约区，相应的波矢为简约波矢 这些态形成一些（准）连续的能级能带能带间的能量差 能隙。n电子不能以能隙中的能量存在。第m个带（不含简约区）的波矢简约波矢（区）第一能带称为简约区，相应的波矢为简约波矢 这41可以把各个带的态都在简约区内表示。可以把各个带的态都在简约区内表示。424-3 4-3 三维周期场中电子运动三维周期场中电子运

15、动的近自由电子近似的近自由电子近似 n一维的讨论可以推广到二维、三维一、模型4-3 三维周期场中电子运动的近自由电子近似 一维的讨论可43q 0级近似空盒子模型 0级近似44补充补充从原子到分子从原子到分子q单原子：补充从原子到分子单原子：45Dirac 符号 波函数：正交归一性：本征方程：Dirac 符号 波函数：正交归一性：本征方程：46q 结合成分子，电子在两势阱中隧穿，在每个原子中都有出现的几率：本征方程：结合成分子，电子在两势阱中隧穿，在每个原子中都有出现的几率47第三章能带理论ppt课件48同样：所以：同样：所以：49左乘 ，积分：左乘 ，积分，有类似的结果。用Dirac符号，简记

16、：左乘 ，积分：左乘 50 假设2).1)与 正交归一，即：假设.与 正交归一51解：解：52 当 时：当 时：反键态成键态 当 53q 结论电子在两个原子附近出现的概率相等。J1 反映原子交迭的情况，决定能级分裂的大小。推广到3个原子，分裂为3个能级；推广到N个原子，分裂为N个能级(能带）作业：4.4；4.5；4.6 结论电子在两个原子附近出现的概率相等。作业：4.4；4.543-3 3-3 3-3 3-3 紧束缚近似紧束缚近似紧束缚近似紧束缚近似原子轨道线性组合法原子轨道线性组合法Linear Combination of Atomic OrbitalsLinear Combination

17、 of Atomic OrbitalsLCAOLCAO3-3 紧束缚近似原子轨道线性组合法55紧束缚近似是凝聚态理论中使用最广泛的模型模型思想：电子在一个原子(格点)附近时，主要受到该原子势场的作用，而将其它原子势场的作用看作是微扰将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线性组合（LCAO)，得到原子能级和晶体中电子能带之间的关系适合过渡金属中很重要的3d能带等，能带低而窄，壳层半径比晶格常数小得多。紧束缚近似是凝聚态理论中使用最广泛的模型模型思想：电子在一个561、单原子的束缚态（一维）简记：1、单原子的束缚态（一维）简记：572、电子在晶格中的Schordinger方程晶体的周期性势场

18、_所有原子的势场之和2、电子在晶格中的Schordinger方程晶体的周期性势场583、晶体中电子的波函数被称为：原子轨道线性组合(LCAO)原因：电子在原子间隧穿，在各原子附近有出现的几率|am|2 N 个简并态的简并微扰。波函数 为 的线性迭加叠加系数3、晶体中电子的波函数被称为：原子轨道线性组合(LCAO)波59基本要求:(1)正交性：(2)满足布洛赫定理：3、晶体中电子的波函数证明基本要求:(1)正交性：(2)满足布洛赫定理：3、晶体中电604、微扰能量nH作用在(x)上:4、微扰能量H作用在(x)上:61简记为：两边左乘：4、微扰能量简记为：两边左乘：62 J反映不同原子波函数的交迭

19、情况4、微扰能量n令：J反映不同原子波函数的交迭情况4、微扰能量令：634、微扰能量4、微扰能量64第三章能带理论ppt课件65 当 采用紧近邻近似：S波，各向同性，J(a)=J(-a)4、微扰能量 当 采用紧近邻近似：S波，各向同性，J(a)=J(-a)665、布里渊区nK 的取值满足周期性边界条件：n晶格的周期性要求，相差到格矢的波矢等价：nn(k)是k的周期函数，可以限制在第一布里渊区,对确定的 i,共有 N 个能级能带，i 是带指标5、布里渊区K 的取值满足周期性边界条件：晶格的周期性要求，676、原子能级与能带的对应6、原子能级与能带的对应686、原子能级与能带的对应一个原子能级i对

20、应一个能带，不同的原子能级对应不同的能带。当原子形成固体后，形成了一系列能带能量较低的能级对应的能带较窄能量较高的能级对应的能带较宽6、原子能级与能带的对应一个原子能级i对应一个能带，不同的697、能带的图示周期布里渊图式7、能带的图示周期布里渊图式707、能带的图示简约能区图式对对于于同同一一个个能能带带来来说说能能量量在在k k空空间间具具有有周周期性期性7、能带的图示简约能区图式对于同一个能带来说能量在k空间具717、能带的图示扩展能区图式n第一能带n第二能带7、能带的图示扩展能区图式第一能带第二能带728、紧束缚近似（三维）对球面波（s波）：8、紧束缚近似（三维）对球面波（s波）：73

21、例：根据紧束缚近近似，写出简单立方晶格中原子 S 态形成的能带，并在空间中画出其等能面示意图。n分析：出发点是找到最紧邻的原子例：根据紧束缚近近似，写出简单立方晶格中原子 S 态形成的能74简单立方晶格紧近邻原子6个：nS波是各向同性的，所以J与方向无关简单立方晶格紧近邻原子6个：S波是各向同性的，所以J与方向754-7 4-7 能态密度和费米面能态密度和费米面 本节介绍等能面、态密度、费米面概念 一、能态密度函数一、能态密度函数 固体中，能量分布是准连续的，只能用态密度描述 1.统计物理中的态密度 自由电子气体的态空间空间中，态很密，但每个态要占据的体积是h 4-7 能态密度和费米面 本节介

22、绍等能面、态密度、费米面概76态密度：对空间坐标积分：体积元 中的状态数：态密度：对空间坐标积分：体积元 中77 自由电子：非相对论性电子：自由电子：非相对论性电子：781)假定自由电子能量:2)态很密集 3)固体中与 k 之间无简单的关系 假定自由电子能量:792.能态密度的定义在k空间：常数 等能面 EE+E 间的状态数：其中：能态密度的定义在k空间：常数 等能面 EE+E 间803.自由电子因为：所以：等能面是k空间的球面：自由电子因为：所以：等能面是k空间的球面：81第三章能带理论ppt课件82二、费米面在T=0k时，电子尽量占据低能级，排在最高的等能面，称为费米面。1.自由电子等能面

23、为球面2.能带电子 价带，导带，导体、金属、绝缘体二、费米面在T=0k时，电子尽量占据低能级，排在最高的等能面83作业，复习题作业，复习题习题习题 4-1，4-4，4-6，4-7，4-81.1.简单说明原子的能级与固体能带间的联系简单说明原子的能级与固体能带间的联系2.2.什么是什么是BornOppenheimer BornOppenheimer 绝热近似？解释该绝热近似？解释该近似的根据。近似的根据。3.3.能带论的单电子近似采用哪些近似？能带论的单电子近似采用哪些近似？4.4.简述布洛赫定理简述布洛赫定理 。试说明电子布洛赫波的意义。试说明电子布洛赫波的意义。5.5.简述近自由电子近似模型、方法和所得到的主要简述近自由电子近似模型、方法和所得到的主要结论。结论。6.6.简单解释紧束缚近似方法简述紧束缚近似模型的简单解释紧束缚近似方法简述紧束缚近似模型的思想和主要结论。思想和主要结论。作业，复习题习题 4-1，4-4，4-6，4-7，4-884