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1、第三章第三章 函数极限函数极限由上章讨论知，数列实质就是一种特殊的由上章讨论知，数列实质就是一种特殊的函数函数整标函数整标函数1 函数极限的概念4/25/20241第三章 函数极限由上章讨论知，数列实质就是一种特殊的函数引例4/25/20242引例7/31/20232 当当x无限增大时，函数无限增大时，函数f(x)=arctanx无无限接近于限接近于 问题问题:如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划“无限增大无限增大”、“无限接近无限接近”?直观上，当直观上，当 x 无限增时无限增时4/25/20243 当x无限增大时，函数f(x)=arct对任给定的对任给定的 0，都存在自然数，都存在自然数
2、N=N()，使得使得当当 nN 时，恒有时，恒有|xn-a|=|f(x)-a|X 时，恒有时，恒有|f(x)-A|0，使得当使得当 x-X 时，时，恒有恒有|f(x)-A|0，使得当使得当|x|X 时，恒有时，恒有|f(x)-A|0，使得当使得当0|x-x0|时，时，恒有恒有|f(x)-A|0,使得当使得当 0 x-x0 (即即x0 x x0+)时，恒有时，恒有|f(x)-A|0,使得当使得当-x-x00 (即即x0-x x0)时，恒有时，恒有|f(x)-A|0，4/25/202425例5 证明：证：对任给定的 0，7/31/20232例例6 6 证明证明 4/25/202426例6 证明 证
3、：证：准备知识准备知识 1 证明：证明：4/25/202427证：准备知识 1 证明：7/31/202327准备知识准备知识 2 两角和公式两角和公式4/25/202428准备知识 2 两角和公式7/31/202328准备知识准备知识 2 2 积化和差、和差化积积化和差、和差化积4/25/202429准备知识 2 积化和差、和差化积7/31/202329例例6 证明证明 证证4/25/202430例6 证明 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例7证证4/25/202431左右极限存在但不相等,例7证7/31/202331例例8解：解：4/25/202432例8解：7/31/20233
4、2例例9 证明：当证明：当n是任意整数时，是任意整数时，1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo y=x证证 仅证第一式。仅证第一式。不妨设不妨设 nx0,同理可证同理可证A0,同理可证A0的情况。四、不等式性四、不等式性定理定理4 4证证4/25/202439四、不等式性定理4证7/31/202339五、迫敛性（夹逼准则）五、迫敛性（夹逼准则）定理定理6 64/25/202440五、迫敛性（夹逼准则）定理67/31/202340六、四则运算法则六、四则运算法则定理定理7 74/25/202441六、四则运算法则定理77/31/202341说明说明：同数列极
5、限需注意4/25/202442说明：同数列极限需注意7/31/202342例例1 1 计算下列极限：计算下列极限：解解4/25/202443例1 计算下列极限：解7/31/2023434/25/2024447/31/202344例例2 2 计算下列极限：计算下列极限：解解4/25/202445例2 计算下列极限：解7/31/2023454/25/2024467/31/2023463 函数极限存在的条件函数极限存在的条件一、归结原则一、归结原则(Heine定理定理)定理定理8 84/25/2024473 函数极限存在的条件一、归结原则(Heine定理)定证证4/25/202448证7/31/20
6、2348(用反证法)4/25/202449(用反证法)7/31/2023494/25/2024507/31/202350例如例如,注注1归结原则是把函数极限问题归结为相应的数归结原则是把函数极限问题归结为相应的数列极限问题。列极限问题。4/25/202451例如,注1归结原则是把函数极限问题归结为相应的数列极限问题。注注2若可以找到一个以若可以找到一个以x0为极限的数列为极限的数列xn，使，使或可以找到两个以或可以找到两个以x0为极限的数列为极限的数列xn1xn2，使，使4/25/202452注2若可以找到一个以x0为极限的数列xn，使或可以找到两例例1证证二者不相等二者不相等,4/25/20
7、2453例1证二者不相等,7/31/202353例例2 证明证明 证证4/25/202454例2 证明 证7/31/202354注注3 归结原则对归结原则对xx0+,xx0-,x+,x-,x,也成立，但对也成立，但对xx0+,xx0-,x+,x-有更强的形式。有更强的形式。定理定理94/25/202455注3 归结原则对xx0+,xx0-,x+,证证4/25/202456 证7/31/202356x0 xnx2x1矛盾！矛盾！4/25/202457x0 xnx2x1矛盾！7/31/202357同样有同样有定理定理91定理定理924/25/202458同样有定理91定理927/31/202358
8、二、单调有界定理（仅对二、单调有界定理（仅对4种单侧极限成立）种单侧极限成立）定理定理对于对于x时的单调有界定理，请同学叙述并证明。时的单调有界定理，请同学叙述并证明。4/25/202459二、单调有界定理（仅对4种单侧极限成立）定理对于x时的 证证另一方面，上确界是上界，故另一方面，上确界是上界，故4/25/202460 证另一方面，上确界是上界，故7/31/202360三、三、Cauchy 收敛准则收敛准则定理定理104/25/202461三、Cauchy 收敛准则定理107/31/202361 证证4/25/202462 证7/31/202362用归结原则。用归结原则。4/25/202463用归结原则。7/31/2023634/25/2024647/31/202364由归结原则，由归结原则，4/25/202465由归结原则，7/31/202365注注1注注24/25/202466注1注27/31/202366例例4 证明证明 证证4/25/202467例4 证明 证7/31/202367作业：作业：P55.2 3 4 4/25/202468作业：P55.27/31/202368
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