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1、 当一点处的三个主应力都不等于零时，称当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应力状态为该点处的应力状态为空间应力状态空间应力状态(三向应力三向应力状态状态)；钢轨在轮轨接触点处就处于空间应力；钢轨在轮轨接触点处就处于空间应力状态状态(图图a)。7.3 三向应力状态三向应力状态正应力正应力 x，y，z的下角标表示其作用面的外法的下角标表示其作用面的外法线方向，切应力线方向，切应力t txy，t txz，t tyx，t tyz，t tzx，t tzy的第的第一个下角标表示其作用面的外法线方向，第二一个下角标表示其作用面的外法线方向，第二个下角标表示切应力的具体方向。个下角标表示切应力的具体方
2、向。(回忆回忆)最一般表现形式的空间应力状态中有最一般表现形式的空间应力状态中有9个应力个应力分量，但根据切应力互等定理有分量，但根据切应力互等定理有t txyt tyx，t tyzt tzy，t txzt tzx，因而，因而独立的应力分量为独立的应力分量为6个个，即，即 x，y，z，t tyx，t tzy，t tzx。当空间应力状态的三个当空间应力状态的三个主应力主应力 1，2，3已知时已知时(图图a)，与任何一个主平面垂直的，与任何一个主平面垂直的那些那些斜截面斜截面(即平行于该主平即平行于该主平面上主应力的斜截面面上主应力的斜截面)上的应上的应力均可用应力圆显示。力均可用应力圆显示。例如
3、图例如图a中所示平行于中所示平行于 3的斜截面，其上的应力的斜截面，其上的应力由图由图b所示分离体可知，它们与所示分离体可知，它们与 3无关，无关，因而表示这因而表示这类斜截面上应力的点必落在以类斜截面上应力的点必落在以 1和和 2作出的应力圆上作出的应力圆上(参见图参见图c)。同理，表示与同理，表示与 2(或或 1)平行的那类斜截面上应力平行的那类斜截面上应力的点必落在以的点必落在以 1和和 3(或或 2和和 3)作出的应力圆上。作出的应力圆上。进一步的研究证明进一步的研究证明*，表示任意斜截面，表示任意斜截面(图图a中的中的abc截面截面)上应力的点上应力的点D必位于如图必位于如图c所示以
4、主应力作所示以主应力作出的三个应力圆所围成的阴影范围内。出的三个应力圆所围成的阴影范围内。(a)(c)据此可知，受力物体内一点处代数值最大的正据此可知，受力物体内一点处代数值最大的正应力应力 max就是主应力就是主应力 1，即，即上上述述两两公公式式同同样样适适用用于于平平面面应应力力状状态态或或单单轴轴应应力力状状态态,只只需需将将具具体体问问题题的的主主应应力力求求出出,并并按按代代数数值值 1 2 3 的的顺顺序序排列。排列。而最大切应力为而最大切应力为例例:单单元元体体的的应应力力如如图图所所示示,求求出出主主应应力力和和最大切应力值。最大切应力值。xyz20 MPa40 MPa20
5、MPa20 MPaxyz20 MPa40 MPa20 MPa20 MPa因因此此与与该该主主平平面面正正交交的的各各截截面面上上的的应应力力与与主主应应力力 z无无关关，可可采采用用解解析析法法求求出出另另外外两两个个主主应应力力。也也可可画画出应力圆求出应力圆求解解(不鼓励不鼓励)。解解:该该单单元元体体有有一一个个已已知知主主应力应力xy y yt tyxt tyxt txyt txy x xabcd得另外两个主应力为得另外两个主应力为 46 MPa,-26 MPa该该单单元元体体的的三三个个主主应应力力按按其其代代数数值值的的大大小小顺顺序序排列为排列为:对对于于各各向向同同性性材材料料
6、,沿沿各各方方向向的的弹弹性性常常数数E,G,均均分分别别相相同同。在在线线弹弹性性范范围围、小小变变形形条条件件下下,正正应应力力只只引引起起线线应应变变,而而切切应力只引起同一平面内的切应变应力只引起同一平面内的切应变。可可用用叠叠加加原原理理,分分别别计计算算出出 x,y,z单单独独存存在在时时x,y,z方方向向的的线线应应变变 x,y,z,然后代数相加。然后代数相加。7.4 广义胡克定律广义胡克定律7.4.1 广义胡克定律广义胡克定律 x单独存在时单独存在时 y单独存在时单独存在时 z单独存在时单独存在时x 方向的线应变方向的线应变在在 x,y,z同时存在时同时存在时,x方向的线应变方
7、向的线应变 x为为7.4 广义虎克定律广义虎克定律依此类推，依此类推，y,z方向的线应变方向的线应变 为为切切应应变变g gxy,g gyz,g gzx与与切切应应力力t txy,t tyz,t tzxzx间间的的关关系系分别为分别为 一一般般空空间间应应力力状状态态下下,在在线线弹弹性性范范围围内内、小小变形条件下各向同性材料的变形条件下各向同性材料的广义胡克定律广义胡克定律7.4 广义胡克定律广义胡克定律若若已已知知空空间间应应力力状状态态下下单单元元体体的的三三个个主主应应力力,则则沿主应力方向只有线应变沿主应力方向只有线应变,而无切应变。而无切应变。与与主主应应力力 1,2 2,3相相
8、应应的的线线应应变变分分别别记记为为 1,2,3,称为称为主应变主应变。主应变主应变每每单单位位体体积积的的体体积积变变化化,称称为为体积应变体积应变,用用q q 表示。表示。1 2 3a1a2a3如如图图,设设单单元元体体的的三三对对平平面面为为主主平平面面,三三个个边边长长为为a1,a2,a3。变变 形形 后后 的的 边边 长长 分分 别别 为为a1(1+,a2(1+2,a3(1+3。变形后单元体的体积为变形后单元体的体积为7.4.2 体积应变体积应变由由体体积积应应变变的的定定义义,并并在在小小变变形形条条件件下下略略去去线线应变乘积项的高阶微量应变乘积项的高阶微量,可得可得在在任任意意
9、形形式式的的应应力力状状态态下下,各各向向同同性性材材料料内内一一点点处处的的体体积积应应变变与与通通过过该该点点的的任任意意三三个个相相互互垂垂直直平平面面上上的的正正应应力力之之和和成成正正比比,而而与与切切应应力力无无关。关。令令K为体积弹性模量，为体积弹性模量，m为平均主应力。为平均主应力。物物体体受受外外力力作作用用而而产产生生弹弹性性变变形形时时,在在物物体体内内部部将将积积蓄蓄有有应应变变能能,每每单单位位体体积积内内所所积积蓄蓄的的应应变能称为变能称为应变能密度应变能密度。在在单轴应力状态单轴应力状态下下,物体内所积蓄的应变能密物体内所积蓄的应变能密度为度为应变能密度的计算公式
10、应变能密度的计算公式7.4.3 复杂应力状态下的应变能密度复杂应力状态下的应变能密度在在同同一一比比例例加加载载时时,对对应应于于每每一一主主应应力力,其其应应变变能能密密度度等等于于该该主主应应力力在在与与之之相相应应的的主主应应变变上上所所作作的的功功,而而其其它它两两个个主主应应力力在在该该主主应应变变上上并并不不做做功功。因因此此,同同时时考考虑虑三三个个主主应应力力在在与与其其相相应应的的主主应应变变上上所所作作的功的功,单元体的应变能密度应为单元体的应变能密度应为经整理得经整理得在在一一般般情情况况下下,单单元元体体将将同同时时发发生生体体积积改改变变和和形形状状改改变变。可可将将
11、主主单单元元体体分分解解为为图图示示两两种种单单元元体的叠加。其中体的叠加。其中 m称为称为平均应力平均应力,即即 m m m(b)1-m 2-m 3-m(c)1 2 3(a)在在平平均均应应力力作作用用下下(图图b),单单元元体体的的形形状状不不变变,仅仅发发生生体体积积改改变变,故故其其应应变变能能密密度度就就等等于于图图a所所示示单单元元体体的的体体积积改变能密度改变能密度,即即 m m m(b)图图c所所示示单单元元体体的的三三个个主主应应力力之之和和为为零零,故故其其体体积积不不变变,仅仅发发生生形形状状改改变变。于于是是,其其应应变变能能密密度度就就等等于于图图a所所示示单单元元体
12、体的的形形状状改改变变能能密密度度(畸变能密度畸变能密度)。1-m 2-m 3-m(c)应应变变能能密密度度v等等于于体体积积改改变变能能密密度度vV与畸变能密度与畸变能密度vd之和。之和。例例1 已已知知一一受受力力构构件件自自由由表表面面上上某某一一点点处处的的两两个个面面内内主主应应变变分分别别为为：x=240 10-6，y=-160 10-6，弹弹性性模模量量E=210 GPa，泊泊松松比比为为 =0.3，试求该点处的主应力及另一主应变试求该点处的主应力及另一主应变。根据广义胡克定律根据广义胡克定律,有有:解：在自由面上，有一个主应力等于。解：在自由面上，有一个主应力等于。例例2 边长
13、边长a=0.1 m的铜质立方体置于刚性很大的铜质立方体置于刚性很大钢块中的凹坑内钢块中的凹坑内(图图a)，钢块与凹坑之间无间隙。，钢块与凹坑之间无间隙。试求当铜块受均匀分布于顶面的竖向外加荷载试求当铜块受均匀分布于顶面的竖向外加荷载F=300 kN时，铜块内的主应力、最大切应力。时，铜块内的主应力、最大切应力。已知铜的弹性模量已知铜的弹性模量E=100 GPa，泊松比，泊松比 0.34。铜块与钢块上凹坑之间的摩擦忽略不计。铜块与钢块上凹坑之间的摩擦忽略不计。(a)解：解：1.铜块水平面上的压应力为铜块水平面上的压应力为 2.铜块在铜块在 y作用下不能横向膨胀，即作用下不能横向膨胀，即 x=0，
14、z0，可见铜块的，可见铜块的x截面和截面和z截面上必有截面上必有 x和和 z存在存在(图图b)。(b)按照广义胡克定律及按照广义胡克定律及ex0和和ez0的条件有方程的条件有方程：从以上二个方程可见，当它们都得到满足时显从以上二个方程可见，当它们都得到满足时显然然 x z。于是解得。于是解得(b)由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦，所以由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦，所以 x，y，z都是主应力，且都是主应力，且3.铜块内的最大切应力为铜块内的最大切应力为(b)例例4:一一直直径径d20 mm的的实实心心圆圆轴轴,在在轴轴的的两两端端加加力力偶偶矩矩Me126 Nm。在在轴轴的的表表面面上上
15、某某一一点点A处处用用应应变变仪仪测测出出与与轴轴线线成成-45方方向向的的应应变变 5.0 10-4,试求此圆轴材料的剪切弹性模量试求此圆轴材料的剪切弹性模量G。解解:包包围围A点点取取一一单单元体元体A-45MeA45xMeA-45MeA45xMe提问与解答环节Questions And Answers谢谢聆听 学习就是为了达到一定目的而努力去干,是为一个目标去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard,Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
C07应力状态和强度理论22课件
