8[1]3全微分教学讲解教学课件

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1、 8.3 全全 微微 分分函数的变化情况函数的变化情况.偏导数讨论的只是某一自变量变化时偏导数讨论的只是某一自变量变化时函数的变化率函数的变化率.现在来讨论当各个自变量同时变化时现在来讨论当各个自变量同时变化时1 8.3 全全 微微 分分先来介绍先来介绍全增量全增量的概念的概念为了引进全微分的定义为了引进全微分的定义,全增量全增量.内有定义内有定义,函数取得的增量函数取得的增量全增量全增量.一、全微分的定义一、全微分的定义设二元函数设二元函数z=f(x,y)在点在点P(x,y)的某邻域的某邻域当变量当变量x、y点点(x,y)处分别有增量处分别有增量x,y时时,称为称为 f(x,y)在点在点(x

2、,y)的的2 8.3 全全 微微 分分y=f(x)在点在点x可微可微,一元函数的微分一元函数的微分成立成立(其中其中A是与是与x 无关的常数无关的常数),则称函数则称函数3 8.3 全全 微微 分分定义定义8.6全微分全微分.可表示为可表示为可微分可微分,则称函数则称函数z=f(x,y)在点在点(x,y)称为函数称为函数z=f(x,y)在点在点记作记作即即函数若在某平面区域函数若在某平面区域D内处处可微时内处处可微时,则称则称可微函数可微函数.这函数在这函数在D内的内的而不依赖于而不依赖于x、处处(x,y)处的处的如果函数如果函数z=f(x,y)在点在点(x,y)的全的全其中其中A、B仅与仅与

3、x、y 有关有关,y,全微分的定义可推广全微分的定义可推广到三元及三元以上函数到三元及三元以上函数.增量增量4 8.3 全全 微微 分分可微与连续有何关系呢？可微与连续有何关系呢？微分系数微分系数注注全微分全微分有类似一元函数微分的有类似一元函数微分的A=?B=?两个性质两个性质:高阶无穷小高阶无穷小.可微与偏导数存在有何关系呢？可微与偏导数存在有何关系呢？(1)dz是是x与与y的的线性函数线性函数;(2)z与与dz之差是比之差是比5 8.3 全全 微微 分分多元函数可微必连续多元函数可微必连续不连续不连续的函数的函数若函数若函数z=f(x,y)在点在点(x,y)可微分可微分,一定是一定是不可

4、微不可微的的.定理定理8.28.2则函数在点则函数在点(x,y)必连续必连续.都不能保证都不能保证函数在该点连续函数在该点连续,数数在某点在某点可微可微是否保证是否保证上一节指出上一节指出,多元函数多元函数在某点各个在某点各个偏导数偏导数即即使都使都存在存在,函数在该点连续函数在该点连续 而而多元函多元函6 8.3 全全 微微 分分证证则则所以所以证毕。证毕。z=f(x,y)在点在点(x,y)连续连续 8.3 全全 微微 分分可微必可导可微必可导定理定理8.38.3(可微的必要条件可微的必要条件)若函数若函数z=f(x,y)可微分可微分,且函数且函数z=f(x,y)在点在点(x,y)的全微的全

5、微在点在点(x,y)则该函数在点则该函数在点(x,y)的偏导数的偏导数必存在必存在,分为分为8 8.3 全全 微微 分分证证总总成立成立,同理可得同理可得上式仍成立上式仍成立,此时此时的某个邻域的某个邻域如果函数如果函数 z=f(x,y)在点在点P(x,y)可微分可微分,如果函数如果函数z=f(x,y)在点在点(x,y)可微分可微分,则该函数在点则该函数在点(x,y)的的且函数且函数z=f(x,y)在点在点(x,y)的全微分为的全微分为可微可微可偏导可偏导不可偏导不可偏导不可微不可微9 8.3 全全 微微 分分10记全微分为记全微分为通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分通常把二元函数的全微

6、分等于它的两个偏微分叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况.习惯上习惯上,称为二元函数的微分符合称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理.如三元函数如三元函数u=f(x,y,z),则则之和之和 8.3 全全 微微 分分11解解例例 计算函数计算函数在点在点(1,2)的全微分的全微分.所以所以 8.3 全全 微微 分分12解解例例 8.3 全全 微微 分分13答案答案答案答案 8.3 全全 微微 分分全微分的计算全微分的计算1.若求初等函数或分段函数在非分段点的全微分，若求初等函数或分段函数在非分段点的全微分，直接用公式直接用公式计算。计算。2.求分段

7、函数在分段点求分段函数在分段点(x0,y0)的全微分，则按以下的全微分，则按以下步骤进行：步骤进行：(a)用定义求偏导数用定义求偏导数如果偏导数不存在，则函数在此点不可微。如果偏导数不存在，则函数在此点不可微。如果偏导数存在，则转如果偏导数存在，则转(b)(b)计算计算若此极限等于若此极限等于0，则函数在此点可微，否则不可微。则函数在此点可微，否则不可微。8.3 全全 微微 分分多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 如如,下面举例说明下面举例说明二元函数可微一定存在两个偏导数二元函数可微一定存在两个偏导数.一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在但两个偏导数都存在函数也不一定可

8、微但两个偏导数都存在函数也不一定可微.(由偏导数定义可求得由偏导数定义可求得)由定理由定理8.3知知:一元函数的可导与可微的关系一元函数的可导与可微的关系?微分存在微分存在.全微分存在全微分存在.15 8.3 全全 微微 分分则则说明它不能随着说明它不能随着而趋于而趋于0,因此因此,如果考虑点如果考虑点沿直线沿直线趋近于趋近于(0,0),函数在点函数在点(0,0)处不可微处不可微.16 8.3 全全 微微 分分说明说明 这也是这也是一元函数一元函数推广到推广到多元函数多元函数出现的又出现的又函数是函数是可微分可微分的的.多元函数的各偏导数存在并不能保证多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在

9、全微分存在.一个本质一个本质区别区别.现再假定函数的现再假定函数的则可证明则可证明各个偏导数连续各个偏导数连续,17 8.3 全全 微微 分分 证证在该点的某一邻域内必存在在该点的某一邻域内必存在的意思的意思.定理定理8.48.4用拉氏定理用拉氏定理(可微的充分条件可微的充分条件)假定偏导数在点假定偏导数在点P(x,y)连续连续,就含有就含有偏导数偏导数的的偏导数偏导数若函数若函数z=f(x,y)则该函数在点则该函数在点(x,y)可微分可微分.18 8.3 全全 微微 分分所以，所以，8.3 全全 微微 分分无穷小量无穷小量无穷小量无穷小量所以，所以，是有界变量。是有界变量。证毕。证毕。8.3

10、 全全 微微 分分若函数若函数在点在点可微，可微，是否其两个偏导数是否其两个偏导数在点在点连续？连续？反过来，反过来，例例 证明证明在点在点(0,0)处处可微可微，但，但点点(0,0)处处不连续不连续。8.3 全全 微微 分分22同样同样,在原点在原点(0,0)可微可微.8.3 全全 微微 分分于是于是,即函数即函数 f(x,y)在原点在原点(0,0)可微可微.23 8.3 全全 微微 分分 但是但是,事实上事实上,偏导数在原点偏导数在原点(0,0)不连续不连续.特别是特别是 不存在不存在.即即fx(x,y)在原点在原点(0,0)不连续不连续.极限极限fy(x,y)在原点在原点(0,0)也不连

11、续也不连续.同理可证同理可证,24 8.3 全全 微微 分分 对对多元函数多元函数的极限、连续、可导、可微的关系：的极限、连续、可导、可微的关系：偏导连续偏导连续 可微可微 连续连续 有极限有极限 有偏导有偏导 8.3 全全 微微 分分 2019年考研数学一年考研数学一,3分分考虑二元函数考虑二元函数 f(x,y)的下面的下面4条性质条性质:选择题选择题 f(x,y)在点在点(x0,y0)处连续处连续,f(x,y)在点在点(x0,y0)处的两个偏导数连续处的两个偏导数连续,f(x,y)在点在点(x0,y0)处可微处可微,f(x,y)在点在点(x0,y0)处的两个偏导数存在处的两个偏导数存在.若

12、用若用“”表示可由性质表示可由性质P推出性质推出性质Q,则有则有(A).(B).(C).(D).8.3 全全 微微 分分27若函数若函数 f(x,y)在区域在区域D内具有二阶偏导数内具有二阶偏导数,则则 选择题选择题 结论正确的是结论正确的是().(B)f(x,y)在在D内必可微内必可微.(C)f(x,y)在在D内必连续内必连续.(D)(A),(B),(C)三个结论都不对三个结论都不对 8.3 全全 微微 分分连续连续.C结论结论不正确不正确的是的是().都存在都存在,8.3 全全 微微 分分二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用当当二元函数二元函数z=f(x,y)在点在点P

13、(x,y)的的由二元函数的全微分的定义及关于全微分存在由二元函数的全微分的定义及关于全微分存在的充分条件可知的充分条件可知,两个偏导数两个偏导数fx(x,y),fy(x,y)连续连续,并且并且|x|,|y|都较小都较小时时,就有近似等式就有近似等式上式也可以写成上式也可以写成29 8.3 全全 微微 分分解解例例 计算计算的近似值的近似值.利用函数利用函数在点在点处的可微性处的可微性,可得可得|x|,|y|都较小时都较小时当两个偏导数当两个偏导数fx(x,y),fy(x,y)连续连续,30 8.3 全全 微微 分分全微分的定义全微分的定义全微分的计算全微分的计算多元函数极限、连续、偏导、可微的

14、关系多元函数极限、连续、偏导、可微的关系(注意注意:与一元函数有很大的区别与一元函数有很大的区别)三、小结三、小结可微分的必要条件、可微分的必要条件、可微分的充分条件可微分的充分条件31 8.3 全全 微微 分分 对对多元函数多元函数的极限、连续、可导、可微的关系的极限、连续、可导、可微的关系:偏导连续偏导连续有偏导有偏导可微可微 连续连续 有极限有极限 对对一元函数一元函数的极限、连续、可导、可微的关系的极限、连续、可导、可微的关系:可微可微 可导可导连续连续 有极限有极限32 8.3 全全 微微 分分是非题是非题(非非)事实上事实上,由偏导数定义可求得由偏导数定义可求得在点在点(0,0)处

15、有处有故全微分不存在故全微分不存在.从而从而 f(x,y)在点在点(0,0)的全微分是零的全微分是零.33 8.3 全全 微微 分分作业作业习题习题8.38.3(326(326页页)1.1.偶数题偶数题 2.2.4.7.4.7.34 8.3 全全 微微 分分35 8.3 全全 微微 分分36同理同理故函数故函数 z=f(x,y)在点在点(x,y)处处可微可微.因为因为 8.3 全全 微微 分分37判别判别 f(x,y)在点在点(x0,y0)是否可微是否可微的方法的方法:(1)若若f(x,y)在点在点(x0,y0)不连续不连续,或偏导不存在或偏导不存在则必不可则必不可微微;(2)若若f(x,y)在点在点(x0,y0)的邻域内偏导存在且的邻域内偏导存在且连续必可连续必可微微;(3)检查检查是否为是否为的高阶的高阶无穷小无穷小?即检查即检查是否为是否为 的高阶无穷小的高阶无穷小(即极限为即极限为0)?若为若为0,则可微则可微,否则不可微否则不可微.8.3 全全 微微 分分38解解例例试比较试比较的值的值.8.3 全全 微微 分分39考研数学考研数学(三三,四四)填空填空4分分解解解解谢谢！谢谢！4041