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1、14-114-214-314-414-5解解例例.证明三角形余弦定理证证:则如图.设机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证14-914-10 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表定义定义定义定义1 1即即补充补充 ：二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式一、一、定义定义定义定义主对角线主对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶行列式的计算二阶行列式的计算定义定义定义定义2 2记记记记（4 4）式称为数表（）式称为数表（3 3）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.(1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列
2、式的计算.列标列标行标行标(不常用）不常用）(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式例例例例1 1 1 1 解解解解按对角线法则，有按对角线法则，有对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算小结小结性质性质性质性质1 1 1 1 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.如例如例1互换行列式的二、三行互换行列式的二、三行二、性质二
3、、性质二、性质二、性质推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 性质性质性质性质2 2 2 2 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数等于用数 乘此行列式乘此行列式.推论推论推论推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面性质性质3行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零则此行列式为零性质性质4把行
4、列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变例如例如三、余子式与代数余子式三、余子式与代数余子式在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即四、行列式按行（
5、列）展开法则四、行列式按行（列）展开法则特别，对三阶行列式有特别，对三阶行列式有例例2 计算行列式计算行列式解解按第一行展开，得按第一行展开，得引例引例14-27性质性质(2)分配律分配律(3)结合律结合律(证明略证明略)证明证明:机动 目录 上页 下页 返回 结束/运算规律运算规律：向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式即即向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束 由上式可推出由上式可推出/向量积的几何意义向量积的几何意义例如例如，解解解解三角形三角形ABC的面积为的面积为解解14
6、-3614-3714-38混合积的坐标表示混合积的坐标表示设机动 目录 上页 下页 返回 结束 14-4014-4114-42例例.证明四点共面.解解:因故 A,B,C,D 四点共面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:机动 目录 上页 下页 返回 结束 混合积:2.向量关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.设计算并求夹角 的正弦与余弦.答案答案:2.用向量方法证明正弦定理:机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:由三角形面积公式所以因机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.已知向量的夹角且解：解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.已知三点角形 ABC 的面积 解解:如图所示,求三机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解例例6
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