8-1-3-交通流参数的泊松分布解读课件

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1、第八章第八章 交通流理论交通流理论第一节第一节 交通流参数的统计分布交通流参数的统计分布一、一、分析交通流参数分析交通流参数分布的作用分布的作用二、交通参数及其分布二、交通参数及其分布三、离散型分布的基础三、离散型分布的基础四、交通参数的二项分布四、交通参数的二项分布五、交通参数的负二项分布五、交通参数的负二项分布六、交通参数的泊松分布六、交通参数的泊松分布本节需要掌握：本节需要掌握：一、概念：一、概念：二、规律：二、规律：泊松分布的应用泊松分布的应用1_泊松分布泊松分布六、交通参数的泊松分布六、交通参数的泊松分布 在二项分布的计算中，我们讨论到，当在二项分布的计算中，我们讨论到，当n很大时，

2、试验的特定结很大时，试验的特定结果发生的概率果发生的概率p很小时，计算相当复杂，为了简化计算，我们来讨很小时，计算相当复杂，为了简化计算，我们来讨论二项分布的近似计算定理论二项分布的近似计算定理泊松分布。此分布是由法国数学家泊泊松分布。此分布是由法国数学家泊松松1837年引入的。年引入的。（一）（一）Poisson的适用条件的适用条件l(Poisson distribution)是一种离散分布，常用于研究单位是一种离散分布，常用于研究单位时间或单位时间时间或单位时间(空间空间)内某罕见事件的发生次数：内某罕见事件的发生次数：在单位容积充分摇匀的水中的细菌数；在单位容积充分摇匀的水中的细菌数；野

3、外单位空间中的某种昆虫数；野外单位空间中的某种昆虫数；一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数；一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数；一定时间内，到车站等候公共汽车的人数；一定时间内，到车站等候公共汽车的人数；一定页数的书刊上出现的错别字个数。一定页数的书刊上出现的错别字个数。泊松资料泊松资料Born:21 June 1781 in Pithiviers,FranceDied:25 April 1840 in Sceaux(near Paris),FranceSimon Poisson(二二)Poisson分布的定义分布的定义l 如果在足够多的如果在足够多的n次独立次独立Bernouli试

4、验中，随机变量试验中，随机变量X所有可能的取值为所有可能的取值为0，l，2，取各个取值的概率为：取各个取值的概率为：则称则称X服从参数为服从参数为的的Poisson分布，记为分布，记为XP()。其中其中X为单位时间为单位时间(或面积、容积等或面积、容积等)某稀有事件发生数，某稀有事件发生数，e=2.7183，是是Poisson分布的总体均数。分布的总体均数。也就是，若某现象发生的概率小，而样本例数多时，则也就是，若某现象发生的概率小，而样本例数多时，则二项分布逼近二项分布逼近Poisson分布。分布。poisson distribution二项二项分布分布 泊松分布泊松分布n很大很大,p 很小

5、很小 在生物学、医学在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中事业的排队等问题中 ,泊松分布是常见的，例如地震、泊松分布是常见的，例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服都服从泊松分布。从泊松分布。电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数例1 若某非传染性疾病的患病率为18万，试根据Poisson分布原理求1 000人中发生 k=0，1，2阳性数概率。=n=1000 0.0018=1.8(三)Poisson分布的图形=0.6=2=6=14(四四)Poiss

6、on分布的性质分布的性质1.Poisson分布的方差等于均数，即分布的方差等于均数，即 2=。2.Poisson分布的可加性。分布的可加性。对于服从对于服从Poisson分布的分布的 m个相互独立的随机变个相互独立的随机变量量Xl，X2，,Xm它们之和它们之和X1+X2+Xm也也服从服从Poisson分布，且均数为分布，且均数为m个随机变量的均个随机变量的均数之和。数之和。3、当、当20，Poisson分布近似正态分布。分布近似正态分布。例2 某放射性物质每0.1 s放射粒子数服从均数为2.2的Poisson分布，现随机取3次观测结果为2，3及4个粒子数，请问每0.3 s放射粒子数为多少?利用

7、Poisson分布的可加性原理得到，Xl+X2+X3=2+3+4=9个 均值为2.2+2.2+2.2=6.6 每0.3s放射粒子数为9个。二项分布的泊松逼近二项分布的泊松逼近 在二项分布的计算中，当在二项分布的计算中，当n很大时，计算相当复杂，很大时，计算相当复杂，为了简化计算，我们来讨论泊松定理为了简化计算，我们来讨论泊松定理.证明证明泊松定理：泊松定理：二项分布的泊松逼近：二项分布的泊松逼近：11(六）Poisson分布的应用 一)总体均数的估计 1.点估计：2.直接用单位时间(空间或人群)内随机事件发生数X(即样本均数)作为总体均数的估计值。2.区间估计（1）正态近似法（X50）当Poi

8、sson分布的观察单位为n=1时：当Poisson分布的观察单位为nl时：例用计数器测得某放射物质半小时内发出的脉冲数为360个，试估计该放射物质每30min平均脉冲数的95可信区间。即该放射物质每即该放射物质每30min平均脉冲数平均脉冲数(个个)的的95可信区间为可信区间为(322.8，397.2)。(2)查表法 如果X50时，样本资料呈Poisson分布，可查阅正态分布表。例对某地区居民饮用水进行卫生学检测中，随机抽查1 mL水样，培养大肠杆菌2个，试估计该地区水中平均每毫升所含大肠杆菌的95和99可信区间。本例，X=250，查附表4，95可信区间为(0.2，7.2)；99可信区间为(0

9、.1，9.3)。二)单个总体均数的假设检验1.直接计算概率法 l 根据Poisson分布的概率分布列计算概率或累积概率，并依据小概率事件原理，作出统计推断。例某罕见非传染性疾病的患病率一般为1510万，现在某地区调查1000人，发现阳性者2人，问此地区患病率是否高于一般。解：H0：此地区患病率与一般患病率相等；H1：此地区患病率高于一般患病率；单侧=0.05本例，n=1000，0=1510万，0=n0=0.15，则在Ho成立前提下，所调查的1000人中发现的阳性数XP(0.15)，则有 P(x2)=1-P(X=0)+P(X=1)=1-(0.860 7+0.129 1)=0.010 2故：100

10、0人中阳性数不低于2人属于小概率事件。2.正正态态近近似似法法 当当20，Poisson分分布布近近似似正正态分布，可利用正态近似原理分析资料。态分布，可利用正态近似原理分析资料。例 某种儿童化妆晶含细菌数不超过500个ml为合格品，现检测此种儿童化妆晶1 ml菌数450个，问此种化妆品是否合格。Ho：此种化妆品不合格，即=0 H1：此种化妆品合格，即0 单侧 =0.05本例以1 mL儿童化妆晶为一个Poisson分布观察单位。按单侧按单侧=0.05水平拒绝水平拒绝Ho，接受接受H1，认为此种化妆品合格。认为此种化妆品合格。1、泊松分布基本公式：、泊松分布基本公式：式中：式中：在计数间隔在计数

11、间隔 内到达内到达 辆车的概辆车的概率；率；平均到达率平均到达率(辆辆s)；每个计数间隔持续的时间每个计数间隔持续的时间(s)；若令若令 ，则，则 为在计数间隔为在计数间隔 内平均到内平均到达的车辆数，达的车辆数，又称为泊松分布的参数。又称为泊松分布的参数。三）交通参数的泊松分布三）交通参数的泊松分布2、泊松分布的递推公式：、泊松分布的递推公式：3、泊松分布的均值和方差：、泊松分布的均值和方差：设设1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X,则则可利用泊松定理计算可利用泊松定理计算所求概率为所求概率为解解 例例 有一繁忙的汽车站，有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆每

12、天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001，在每，在每天的该段时间内有天的该段时间内有1000 辆汽车通过，问出事故的次数不辆汽车通过，问出事故的次数不小于小于2的概率是多少？的概率是多少？例例在某段公路上，观测到达车辆数，以在某段公路上，观测到达车辆数，以5min为计数间为计数间隔，结果如下表，试求隔，结果如下表，试求5min内到达车辆数的分布并检验。内到达车辆数的分布并检验。序号序号来车数来车数观测频数观测频数10321632314341546165697646序号序号来车数来车数观测频数观测频数87319811109711

13、10812119到达车辆数到达车辆数-到达频次到达频次解：根据表中数据，可作出虚线散点图解：根据表中数据，可作出虚线散点图:解：根据表中数据，可知：解：根据表中数据，可知：接近接近1认为可以认为可以用泊松分布拟合此车流用泊松分布拟合此车流的到达流量分布。的到达流量分布。例例某交叉口信号周期长为某交叉口信号周期长为90s，某相位的有效绿灯时，某相位的有效绿灯时间为间为45s，在有效绿灯时间内排队车辆以，在有效绿灯时间内排队车辆以1200辆辆/h的流的流量通过交叉口。假设信号交叉口上游车辆到达率为量通过交叉口。假设信号交叉口上游车辆到达率为400辆辆/h，服从泊松分布。求：，服从泊松分布。求：（1）一个周期内到达车辆不超过）一个周期内到达车辆不超过10辆的概率；辆的概率；（2）求到达车辆不致两次排队的周期最大百分率。）求到达车辆不致两次排队的周期最大百分率。例例设有设有30辆车随意分布在辆车随意分布在6km长的道路上，试求其中长的道路上，试求其中任意任意500m长的一段，至少有长的一段，至少有4辆车的概率。辆车的概率。