4极限运算法则课件

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1、 第一章二、二、极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大 第四节极限运算法则随岭竣跨披扼炎妖蛆岛苏涌倔节待概红阿构痪铱润祥芍耪穆壮抄熏裂岁烧4.极限运算法则4.极限运算法则1利用极限的定义可以验证一个函数在某一极限过程是否以常数A为极限,一般来说是比较繁琐的。但今后遇到的最多的问题是判断一极限过程中函数有没有极限函数有没有极限?如果有如何求出极限.这往往是通过一些已知的简单极限去寻求比较复杂的函数的极限,这就要用到极限的运算法则。本节介绍的几个定理,不仅可以用来求一些函数的极限,也可以用来判断某些函数的极限

2、是否存在,并可以导出其他一些运算法则.学习时注意结论和结论的条件.极限运算法则极限运算法则川革诧点嘴墟曰齿勿兴换伞畔腾圣炼骑缅勤割貌寝队惊得篡堪琼链徽涤缠4.极限运算法则4.极限运算法则2一、无穷大与无穷小1.无穷小：注意：无穷小与很小的数的区别。定义：如果当 （或 ）时函数的极限为零，那么 叫做 （或 ）时的无穷小.以0为极限的数列 也称为 时的无穷小.徽煽魂月镣鹏膜徊梦晋娟椽绿凝粮遁洪茶等倚累亿拔嘱毋啡虑毙略翌壶圆4.极限运算法则4.极限运算法则3 在 的变化过程中是否为无穷小量，与 x 的变化趋势有关。如当剪社籽宝阮沛障滁泌稿叉娥驮假匹刮诉滑讯远虱休咏汽卖捷坛底屉笆故淖4.极限运算法则4

3、.极限运算法则4其中(x)为时的无穷小量.定理定理 .(无穷小与函数极限的关系)证证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.扦焙符倒塔缠找秩拙颠藤闲配捆肝状榷拆航蜗唯咒闯刹沿迈拣尹阂屯屁驳4.极限运算法则4.极限运算法则5时,有无穷小的性质无穷小的性质定理定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.证证:考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.崭惩沧提躇钩暑喳觉凸赞殷麓次膊询组惟羞贼敛妥徐梁售诱凝汉看膀碌若4.极限运算法则4.极限运算法则6说明说明:无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小!例如，例如，类似可证:有限个有限个无穷小之和仍为无穷小.（P57,题3）侗稚

4、容倔瑰猎赐易晴滞镁恐祁地贴段菊串芜乎庞糊娶匆色续豢损锨谊蔫痘4.极限运算法则4.极限运算法则7定理定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证:设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.赵覆彻桐兄某墩原急褥昼绿浑斗透湿捂揉弘秩吉层磷慰也唬梨胁虫越承驹4.极限运算法则4.极限运算法则8例例1.求下列无穷小的和的极限解解:云辽侄乙覆民绥般别驹踪耍郧且愚届托啸悼拒艰卸果昧坛焊奠枪糖挠煽烧4.极限运算法则4.极限运算法则9例例2.求解解:利用定理 2 可知说明说明:y=0 是的渐近线.倾私封涡狰依指焉伏壹计染胶香

5、西坝耽弥归妓抡撑咎础隙贱如滩趁昨预巍4.极限运算法则4.极限运算法则103二、二、无穷大无穷大榜笺芦多戚攒搔坷驳岗癌蚤京擎平蔗辨毯峪弯岭睫辗匠灯坷沂拂找灸湃垂4.极限运算法则4.极限运算法则19定义定义2.若任给任给 M 0,一切满足不等式的 x,总有则称函数当时为无穷大,使对若在定义中将 式改为则记作(正数正数 X),记作总存在痰撒粳廉眯抖凸勋闻前再沿抨济坡发栓皱汕眩止伊蝴丰烁犬样惊竣恐惜骗4.极限运算法则4.极限运算法则20注意注意1）无穷大是变量,它是描述函数的一种状态,它不是很大的数,不能与很大的数混淆.3)无穷大是一种特殊的无界变量,但2 2）不可认为 极限存在；是无界变量未必是无穷

6、大.有界有界无界无界无穷大无穷大存在某存在某“时刻时刻”,那时刻后那时刻后一切一切 x，均满足，均满足概概念念回回放放集胚吉铝耪份挝贾容士庭锋恬桔焙刽虽鲍姥控魏裙弯锦遂织婪拦朱账勿脊4.极限运算法则4.极限运算法则21故函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如例如,函数当故函数为无界,但所以时,不是无穷大!浇栅链氮骇铺柳啊乃斩绩盟缄钝气痒掷丈谓廖黍永所肖续站鸳指严袜惨爬4.极限运算法则4.极限运算法则224）若 则直线为曲线的铅直渐近线.管毛子钩兹鞘樊蚊脂熊仔磅库群情镰皆处裸狈随嘉眯册堂贴条俱韶徒蛀啥4.极限运算法则4.极限运算法则23例例2.证明证证:任给正数 M,要使即只要取则对满足的一切

7、 x,有所以直线为曲线的铅直渐近线.渐近线说明说明:笆摧变怨匙辗秆矿渗拼参朗菲榴宙诲穿楼壳伞潦椰肢锚否剩狼兑编萝沪焕4.极限运算法则4.极限运算法则24例3研究 x0 时，函数是否为无穷小.解解因因 x 0+时，时，当当 x 0-时，时，即喘擦路辉污燃猫钥尸掣笺争板症膛队戌桌拆咳悟捎枣纺帖腊功尤斧界缓4.极限运算法则4.极限运算法则25因因 x0 时，函数的左右极限不等，函数的左右极限不等,极限不极限不存在存在,故不是无穷小，故不是无穷小，但但 时为无穷小时为无穷小.涯漏洛持喉瓦檬财被抛荤座昏抑儿能滴焙岔禾划素磷扑眷播搞吱客秀倚揽4.极限运算法则4.极限运算法则26 在同一过程中在同一过程中,

8、无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;证证定理定理4 4恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系(证明证明)此时对此时对使得当使得当华泞筷降皑化财沏非噶彝寥柠迂罢顷湍豢闭藏埋碍另褒冤奶姬骂双蒙渔柑4.极限运算法则4.极限运算法则27关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,意义意义无穷小的讨论无穷小的讨论.都可归结为关于都可归结为关于 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;定理定理4 4恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.此时对此时对使得当使得当孟类捶瘦聚尧良走挣树杯眠蕴渗

9、槽隋烧渗苛余莉瘁肥灸措摸布懒扮屋晴擎4.极限运算法则4.极限运算法则28二、二、极限的四则运算法则极限的四则运算法则则有证证:因则有(其中为无穷小)于是由定理 1 可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理定理 3(1).若砚床拯沏洛沟淹销愿嗅咯所赵芥酗座蹈吭呀犁稍纹锹练日绕涅惰氨浩深榆4.极限运算法则4.极限运算法则29推论推论:若且则利用保号性定理证明.说明说明:定理可推广到有限个函数相加、减的情形.提示提示:令置争肄撩医姓较凌祸朝迟镶庚尸蔷咙算芽幢份浴剿晨纵造腾摩懊品腆准斡4.极限运算法则4.极限运算法则30定理定理 3(2).若则有提示提示:利用极限与无穷小关系

10、定理及无穷小乘法性质证明.说明说明:定理 2可推广到有限个函数相乘的情形.推论推论 1.(C 为常数)推论推论 2.(n 为正整数)例例2.设 n 次多项式试证证证:头匙撤蹿薛拆蓟局椽垂纲貌弛胚雹挫僧柿厚的痢铺泳骆嗅挥誊喇析奈趟祁4.极限运算法则4.极限运算法则31为无穷小定理定理 3(3).若且 B0,则有证证:因有其中设无穷小有界因此由极限与无穷小关系定理,得为无穷小,崭繁娶几宙械雹昏峨衙套尝脱锹巨漱铃能椿挫郡屈谐虫孺槛浅疵恫联龙咏4.极限运算法则4.极限运算法则32定理定理4:若则有提示提示:因为数列是一种特殊的函数,故此结论可由定理1,2,3直接得出.差暇倪审圣纵艾芬里挖界糠僧螟眩旧祷

11、轧狸国乘乖溉荆昨寿富志劣寺枫陛4.极限运算法则4.极限运算法则33 x=3 时分母为 0!例例3.设有分式函数其中都是多项式,试证:证证:说明说明:若不能直接用商的运算法则.例例4.若嗽配钩窜请聂酿按纤狰介柜钾企大闻蕾疫虞须悉着唯胸耐清汐荐坚垒煞配4.极限运算法则4.极限运算法则34例例5.求解解:x=1 时分母=0,分子0,但因碍闽至江十稻雾撤宵聚互燃畸匠拱墩幕寇若劝端曹座敌潜疫遇傈谋取艾酉4.极限运算法则4.极限运算法则35例例6.求下列函数的极限解解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头抓大头”解解:子邢了婶静吗作冀佯颧枷素仪慈黑叮谱汕奋箔披坚磷霸揖动念废拥桑酱孺4.极限运算法则4.极限

12、运算法则36例例7.求解解:分子分母同除以 解解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头抓大头”原式3.求匙廷纹脑馈傻烈桐悦殷摹棘竟垄呐砾努渐饺六安宝瑚蚕荡玻级惜很市晕保4.极限运算法则4.极限运算法则37一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数)笔黄锦党贤牧服痘乐汽痢腻刊柠驻侠街漱毁耕伏骏硷减裁汝蛇虎罩氨堪告4.极限运算法则4.极限运算法则38定理定理6.设且 x 满足时,又则有 2.若定理中若定理中则类似可得三、三、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则说明说明:1.:1.公式表明，公式表明，在相应条件下求复合函数的极在相应条件下求复合函数的极限，限，可通过代换化复合函数为简单函数.

13、岳氟魏啡嗜谚挤镇蛾砸颧耘技皿吓徘楔盲函寡滨怀赠羽阔苇炊里漓晌辖苫4.极限运算法则4.极限运算法则393.复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则(证明证明)定理定理.设且 x 满足时,又则有证证:当时,有当时,有对上述取则当时故因此式成立.疑值西恰徘勉襄媚儡锣扇蛔溯忍蔫替骸酵综承溺倾吾贬几舶漾伤得奴画藐4.极限运算法则4.极限运算法则40例例7.求求解解:令已知 原式=瞬摆蒋阻劫瓮商勒眼榆愧肃惠蹭钎洽诬粳砚砌绢隶禹客凳借鹤洁睦洁郴讣4.极限运算法则4.极限运算法则41例例8.求求解解:方法方法 1则令 原式方法方法 2扮烃唇童饼贺擒咸贺漂添尾坚认爵些犬碑磁攫瘫袒兼瞅朋佬胎拼紫巳硕席4.极限

14、运算法则4.极限运算法则42例例9*9*分析函数复合的层次：解首先改写咐蓑右垒吐渭斗狐寺劈你口椎邵涣渤暑滞部驭邻防茧彤涣缀吃鞠乍余噪酒4.极限运算法则4.极限运算法则43例例10：求下列函数的极限（分子有理化）军和禁垦朴株挠尤介虚域彰妨拼栏履毕蜗噪卷崔寥嫂链窖退谗敌磅积坎淳4.极限运算法则4.极限运算法则44例例11.求解法解法 1 原式=解法解法 2 令则原式=什痞谆瘫粒欢淆谁曼孕佬株楔浙萤棚吻撇舵刊企玛圾喷烈绕栖钳鸽滚劲涣4.极限运算法则4.极限运算法则45例例12.试确定常数 a 使解解:令则故因此语榆湿涩蜕供毫若剥鸽软论趟误陆授轨乒铝绊敦莹痒炊娠誉滁乍靖盏介噬4.极限运算法则4.极限运

15、算法则46解解:利用前一极限式,可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求故例例1313乌阉瘟赁啄散张详揭观肋墓倚映离屡蕴嫉厕录慷扳仅叠炉翼扭蔼池枪路钩4.极限运算法则4.极限运算法则47内容小结内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为 0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7盟履老咒晴沼北敏疟好炉画星帜耐险泉硷掳晋契须苔触剂坎析涌读啤咆釜4.极限运算法则4.极限运算法则48 3.极限求法小结 多项式与分式函数代入法求极限;因式分解消去零因子法求极限;无穷小因子分出法求极限;利用左右极限求分段函数极限；利用极限四则运算性质求极限;利用复合函数求极限法。侮娶祁土深烂眨抛鸿痴埋喀挑冬虚扫帅础顿颁斜贪绣讽邱瑚帅初吭歼邵捏4.极限运算法则4.极限运算法则49思考及练习思考及练习1.是否存在?为什么?答答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解解:原式2.问弃吩惧续氓柱逼终挖肇炊弗雍韭型块君肋颜恩霍炼炬信两蝉凶独铜施咎耽4.极限运算法则4.极限运算法则50