4--抽样分布及统计推断原理课件

《4--抽样分布及统计推断原理课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《4--抽样分布及统计推断原理课件（71页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、Sampling Distribution and Principle of Statistical Deduction 前面我们初步研究了概率和随机变量等有关前面我们初步研究了概率和随机变量等有关概念，我们知道生物界大量的现象都可以用随机概念，我们知道生物界大量的现象都可以用随机变量来描述。但是全面观测一个随机变量往往是变量来描述。但是全面观测一个随机变量往往是困难的，一个重要的研究随机变量的方法就是抽困难的，一个重要的研究随机变量的方法就是抽样法，也就是从要研究的对象的全体中抽取一部样法，也就是从要研究的对象的全体中抽取一部分进行观察和研究，从而对整体进行推断。这是分进行观察和研究，从而对

2、整体进行推断。这是一个从局部论及整体的方法，由于局部是整体的一个从局部论及整体的方法，由于局部是整体的一部分，所以对局部的观察在一定程度上反映了一部分，所以对局部的观察在一定程度上反映了整体的特征，但在另一方面，这些局部的观察不整体的特征，但在另一方面，这些局部的观察不可能完全精确地反映整体的也在，因此这种推断可能完全精确地反映整体的也在，因此这种推断的不可定性也是一种逻辑的必然。的不可定性也是一种逻辑的必然。这样推出来的结论势必要冒一定的风这样推出来的结论势必要冒一定的风险。因此，在用抽样法对整体进行推断时险。因此，在用抽样法对整体进行推断时必须要解决如何处理抽样的结果（观测数必须要解决如何

3、处理抽样的结果（观测数据）的问题，也就是如何从观测数据对原据）的问题，也就是如何从观测数据对原来的总体的某些特征作出判断。例如，对来的总体的某些特征作出判断。例如，对一些总体的参数值进行估算，或者在一定一些总体的参数值进行估算，或者在一定的风险下对与总体参数有关的假设作出判的风险下对与总体参数有关的假设作出判断，也就是说，应该如何进行统计推断。断，也就是说，应该如何进行统计推断。第一节第一节 总体、样本和样本统计量总体、样本和样本统计量一、总体、样本和抽样一、总体、样本和抽样 我们把我们把所研究的对象的全体称为所研究的对象的全体称为“总体总体”。例。例如我们考察一块麦田中的小麦或者麦田中的害虫

4、如我们考察一块麦田中的小麦或者麦田中的害虫的个数等。我们把总体中的每一个基本单位称为的个数等。我们把总体中的每一个基本单位称为“个体个体”。总体中的每一个个体的某些数量特征一般。总体中的每一个个体的某些数量特征一般都是以随机变量的形式出现。因此对于一都是以随机变量的形式出现。因此对于一个总体个总体的这个数量特征来说自然可以用一个随机变量的这个数量特征来说自然可以用一个随机变量 X 来描述来描述。样本是总体的一部分，通常就是要用样本是总体的一部分，通常就是要用样本的观测值作出关于总体的某些推断。样本的观测值作出关于总体的某些推断。假定，假定，X1,X2,Xn 是总体是总体X 中抽出的一个中抽出的

5、一个容量为容量为n 的样本。由于个体数量特征取值的的样本。由于个体数量特征取值的随机性，每一个随机性，每一个Xi(i=1,2,n)都可以看都可以看成是随机变量。当然，对于每一次具体的成是随机变量。当然，对于每一次具体的观测，它们又都是具体的数值，可以记作观测，它们又都是具体的数值，可以记作 x1,x2,xn，称为样本值或，称为样本值或样本观测值样本观测值。称。称（x1,x2,xn）为）为一个样本点一个样本点。鉴于总体中每个个体数量特征变化的随机性鉴于总体中每个个体数量特征变化的随机性,为了保证样本的代表性，在抽样时必须遵循样本为了保证样本的代表性，在抽样时必须遵循样本抽取的随机性原则，要求每一

6、个样本值抽取的随机性原则，要求每一个样本值Xi 与总体与总体X 有相同的概率分布。在抽样时，一般我们还要有相同的概率分布。在抽样时，一般我们还要求不同的样本值之间是相互独立的。我们称这种求不同的样本值之间是相互独立的。我们称这种样本为样本为“简单随机样本简单随机样本”或或“随机样本随机样本”。以后。以后,凡提凡提到样本，就是指简单随机样本。到样本，就是指简单随机样本。从数学上说，所谓总体就是一个随机变量从数学上说，所谓总体就是一个随机变量X。一个容量为一个容量为n 的样本，就是的样本，就是n 个相互独立且与总体个相互独立且与总体有相同概率分布的随机变量有相同概率分布的随机变量X1,X2,Xn，

7、它们它们的观测值是的观测值是 x1,x2,xn。随机样本的取得最重要的是要保证每个样本个体随机样本的取得最重要的是要保证每个样本个体抽取过程的随机性。在抽样时抽取过程的随机性。在抽样时“挑选有代表性的样本挑选有代表性的样本”的做法的做法是不恰当的是不恰当的，因为在我们对总体尚不了解之前，因为在我们对总体尚不了解之前,你不可能知道哪些个体能够代表这个随机变量的总体。你不可能知道哪些个体能够代表这个随机变量的总体。通常使用随机数来决定样本个体的选取，随机数通常通常使用随机数来决定样本个体的选取，随机数通常可以由计算机或计算器产生或者利用随机数表查得。可以由计算机或计算器产生或者利用随机数表查得。抽

8、样前，需要对所讨论的总体中的每个个体进行编号抽样前，需要对所讨论的总体中的每个个体进行编号,然后通过查得的随机数产生出被抽样的个体进行观测。然后通过查得的随机数产生出被抽样的个体进行观测。要注意，计算机或计算器所产生的随机数通常是要注意，计算机或计算器所产生的随机数通常是0,1区间内的随机数（小数），而由随机数表查得的随机区间内的随机数（小数），而由随机数表查得的随机数通常是（数通常是（10以内的）整数。但产生样本个体的所需以内的）整数。但产生样本个体的所需的编号可能与上述随机数不同，要进行适当的调整使的编号可能与上述随机数不同，要进行适当的调整使得所得到的随机数满足抽样时的要求。得所得到的随

9、机数满足抽样时的要求。例如，例如，我们要通过抽样研究我们要通过抽样研究100个小区水稻的个小区水稻的产量。首先将这产量。首先将这100个小区从个小区从0099进行编号，我进行编号，我们以它为总体从中抽取们以它为总体从中抽取 n=10 的随机样本。利用的随机样本。利用计算器产生计算器产生 10 个随机数个随机数0.134,0.974,0.625,0.454,0.980,0.374,0.279,0.470,0.506,0.006。取小数点。取小数点后的两位数作为样本小区的编号可得：后的两位数作为样本小区的编号可得：13,97,62,45,98,37,27,47,50,00。这。这 10 个个体为样

10、本个体，个个体为样本个体，可以通过观测可以通过观测 这这10个小区水稻的产量来研究该地个小区水稻的产量来研究该地区这区这100个小区水稻生产的情况。个小区水稻生产的情况。二、样本统计量二、样本统计量 1.统计量统计量 统计学中的参数估计，假设检验等问题都是统计学中的参数估计，假设检验等问题都是利用样本值对总体有关的参数进行推断。为了集利用样本值对总体有关的参数进行推断。为了集中所有样本值中有关总体的信息，往往要利用样中所有样本值中有关总体的信息，往往要利用样本值的一些函数进行推断。例如我们经常使用样本值的一些函数进行推断。例如我们经常使用样本平均数本平均数作为总体期望值作为总体期望值 EX 的

11、估计值，而用样本方差的估计值，而用样本方差作为总体方差作为总体方差DX=s s 2的估计值。我们称这样的的估计值。我们称这样的样本的函数为样本统计量，简称样本的函数为样本统计量，简称统计量统计量。一般来说，我们称不依赖于总体未知参数的一般来说，我们称不依赖于总体未知参数的样本值函数样本值函数 f(X1,X2,Xn)为统计量。由于样本为统计量。由于样本值都是随机变量，故而样本统计量是随机变量。值都是随机变量，故而样本统计量是随机变量。对于一个正态总体对于一个正态总体 XN(m m,s s 2)，假设，假设 m m,s s 2均未知。这时，前述的均未知。这时，前述的 f1(X1,X2,Xn)及及

12、f2(X1,X2,Xn)都是统计量，但函数都是统计量，但函数不是统计量，因为它还依赖于未知参数不是统计量，因为它还依赖于未知参数 m m。2.用于估计总体参数的样本均值和方差用于估计总体参数的样本均值和方差 由前面关于随机变量数字特征的论述，我们由前面关于随机变量数字特征的论述，我们知道，数学期望实际上是一个总体的平均，而方知道，数学期望实际上是一个总体的平均，而方差实际上是总体与其平均数之差的平方的平均数。差实际上是总体与其平均数之差的平方的平均数。因此很自然，我们就想到使用样本平均数来估计因此很自然，我们就想到使用样本平均数来估计总体的平均数。这样一来，总体的方差很自然要总体的平均数。这样

13、一来，总体的方差很自然要由样本值与均值之差的平方的平均数由样本值与均值之差的平方的平均数来估计。来估计。这一结论与上一段我们给出用样本方差这一结论与上一段我们给出用样本方差S2来来估计总体方差是不一致的，哪一个更好呢？进一估计总体方差是不一致的，哪一个更好呢？进一步，上面已提到用样本平均数来估计总体的平均步，上面已提到用样本平均数来估计总体的平均数，平均也有不同的方式，如算术平均、加权平数，平均也有不同的方式，如算术平均、加权平均等，用哪一个方式的平均来估计更理想呢？这均等，用哪一个方式的平均来估计更理想呢？这里列出一些常用的标准，以便于判定各种不同的里列出一些常用的标准，以便于判定各种不同的

14、估计量的好坏。估计量的好坏。（1）无偏性）无偏性 称估计量称估计量 是参数的无偏估计是参数的无偏估计量，如果对所有用容许的参数值都有量，如果对所有用容许的参数值都有 这个准则表明，对于确定的参数这个准则表明，对于确定的参数q q 来说（虽然来说（虽然我们不知道它的值），当我们用一个随机变量去估我们不知道它的值），当我们用一个随机变量去估计它时，尽管我们不能保证估计值刚好就好似所要计它时，尽管我们不能保证估计值刚好就好似所要估计的参数估计的参数 q q，但它却保证了估计值一定在待估参，但它却保证了估计值一定在待估参数数q q 左右摇动，不会产生系统偏差，这当然是对估左右摇动，不会产生系统偏差，这

15、当然是对估计量很自然的要求。计量很自然的要求。例例4.1 设设m m 是总体是总体X 的期望值，则其样本的算的期望值，则其样本的算术平均值术平均值 m m1 及加权平均值及加权平均值 m m2 都是都是 m m 的无偏估计的无偏估计量。这里量。这里 证证 因为对于总体因为对于总体 X 有有EX=m m,Xk为总体为总体X 的的样本且样本且EXk=m m，故有，故有由此可知它们都是总体期望值的无偏估计量。由此可知它们都是总体期望值的无偏估计量。例例4.2 设总体设总体X 具有有限的期望值具有有限的期望值 m m 和方差和方差s s 2，试问样本方差，试问样本方差S2和和Sn2是否都是总体方差的无

16、是否都是总体方差的无偏估计量？偏估计量？解解 因为总体因为总体X 的样本的样本X1,X2,Xn相互独立相互独立且与总体且与总体X 有相同的分布，因而有有相同的分布，因而有EXi=m m，DXi=s s 2(i=1,2,n)。对于。对于Sn2我们有我们有 由此可见由此可见Sn2不是总体方差不是总体方差s s 2的无偏估的无偏估计量，它的期望值比计量，它的期望值比s s 2偏小一些。偏小一些。所以，样本方差所以，样本方差S2是总体方差是总体方差s s 2的无偏估计的无偏估计量。量。（2）有效性）有效性 一个总体参数的无偏估计量有时不止一个。一个总体参数的无偏估计量有时不止一个。例如前面我们讨论的算

17、术平均数例如前面我们讨论的算术平均数m m1和加权平均数和加权平均数m m2都是总体期望值都是总体期望值m m 的无偏估计，甚至每一个样的无偏估计，甚至每一个样本观测值本观测值 Xi 都可以作为总体期望的无偏估计值。都可以作为总体期望的无偏估计值。这时，如果总体的方差存在，我们还可以用比较这时，如果总体的方差存在，我们还可以用比较这些无偏估计量的方差来进一步比较它们的好坏这些无偏估计量的方差来进一步比较它们的好坏,当然是方差小的较好。例如，不难算出当然是方差小的较好。例如，不难算出故有故有D(m m1 1)1)。这说明用这说明用 m m1和和 Xi 来估计来估计m m 时虽然都是无偏的时虽然都

18、是无偏的,但是用但是用 m mi 作为估计量总的来说要比用作为估计量总的来说要比用Xi 作为估计作为估计量更加集中在量更加集中在m m 的附近。从这个意义上讲，我们说的附近。从这个意义上讲，我们说 m mi 作为作为m m 的估计量比的估计量比 Xi 更加有效。更加有效。一般地，设一般地，设q q1(X1,X2,Xn)，q q2(X1,X2,Xn)都是参数都是参数q q 的无偏估计量，且的无偏估计量，且D(q q1)D(q q2)，则称，则称q q1 比比 q q2 有效。有效。例例4.3 设总体设总体X 具有有限的期望值具有有限的期望值 m m 和方差和方差s s 2，X1,X2,Xn 是一

19、个随机样本。试讨论算术是一个随机样本。试讨论算术平均数平均数m m1和加权平均数和加权平均数m m2作为总体期望值作为总体期望值m m的估计的估计值的有效性。值的有效性。解解 对于对于m m1显然有显然有D(m m1)=s s 2/n。而对于。而对于m m2我我们有们有 如果记如果记C为权量为权量Ck 0的算术平均数，的算术平均数，C=(1/n)Ck，则，则C=1/n，于是得，于是得可见可见m m1较较m m2有效。有效。还有其他一些评价估计量好坏的准则，我们这还有其他一些评价估计量好坏的准则，我们这里就不进一步介绍了。里就不进一步介绍了。第二节第二节 抽样分布抽样分布 为了进一步利用样本对总

20、体进行推断，就需为了进一步利用样本对总体进行推断，就需要进一步讨论一些重要的样本统计量的分布。由要进一步讨论一些重要的样本统计量的分布。由于用正态随机变量刻画的随机现象比较普遍，我于用正态随机变量刻画的随机现象比较普遍，我们将限于讨论正态总体的样本统计量的分布。们将限于讨论正态总体的样本统计量的分布。一、一些重要的统计量的分布一、一些重要的统计量的分布 1.c c2分布分布 若样本若样本XiN(0,1)i=1,2,n，且，且Xi 相互独相互独立，则我们称随机变量立，则我们称随机变量所服从的概率分布为自由度所服从的概率分布为自由度 n 的的c c2分布。记作分布。记作c c2 c c2(n)，这

21、里的参数这里的参数n表明表明c c2变量中独立的标准正态随机变量变量中独立的标准正态随机变量Xi的个的个数，我们称之为数，我们称之为c c2 分布的自由度。分布的自由度。已知随机变量已知随机变量c c2 c c2(n)，对于给定的概率，对于给定的概率a a 0，我们称满足条件，我们称满足条件 P|c c2 c ca a2(n)|=的数值的数值c ca a2(n)为为c c2分布的概率为分布的概率为 a a 的临界值。的临界值。由于在生物统计学中经常使用由于在生物统计学中经常使用c c2分布的随机分布的随机变量进行推断，为此编制了变量进行推断，为此编制了c c2分布表，供研究人分布表，供研究人员

22、使用。一般的，员使用。一般的，c c2 值表列出了在不同的自由度值表列出了在不同的自由度n 下对不同的概率下对不同的概率 a a 的变量的临界值的变量的临界值c ca a2(n)，见表，见表4-1。例如，当例如，当 n=3 时，对于时，对于 a a =0.10 有有 c c20.10(3)=6.251，而对于，而对于 a a=0.05 有有 c c20.05(3)=7.815。这意味。这意味着，对于着，对于c c2c c2(3)，P|c c2 6.251|=0.10，而，而P|c c2 7.815|=0.05。2.t 分布分布 若若XN(0,1)，Yc c2(n)，且，且X 和和Y 独立，则独

23、立，则称随机变量称随机变量服从自由度为服从自由度为 n 的的 t 分布，记为分布，记为 tt(n)。当。当 n 很很大时，如果记大时，如果记 p(x,n)为随机变量为随机变量 t 的分布密度，的分布密度，则可以证明，有则可以证明，有也就是说，当自由度也就是说，当自由度 n 无限增大时，分布趋向于无限增大时，分布趋向于标准正态分布标准正态分布N(0,1)。对于给定的概率对于给定的概率a a 0 及及tt(n)，我们称满足条件，我们称满足条件 P|t|ta a(n)=a a 的数值的数值 ta a(n)为分布为分布 t(n)的概率是的概率是 a a 的（双尾）临界的（双尾）临界值，满足条件值，满足

24、条件 Pt ta a(n)=a a 的数值的数值ta a(n)为分布为分布 t(n)的概率是的概率是a a的（单尾）临界值。的（单尾）临界值。对于给定的对于给定的 a a 来说，这两个临界值之间有如下的来说，这两个临界值之间有如下的关系关系 ta a(n)=ta a/2(n)利用利用 t 分布的分布密度可以算出对于不同的自由分布的分布密度可以算出对于不同的自由度度 n 和不同的概率和不同的概率 a a 下下 t 变量的临界值变量的临界值 ta a(n)。把这。把这些临界值列成表将来进行统计推断使用（见表些临界值列成表将来进行统计推断使用（见表4-2）。）。例如，当例如，当 n=13时，有时，有

25、t0.05(13)=2.106，t0.01(13)=3.012，t0.05(13)=t0.10(13)=1.771。这意味着对。这意味着对于于tt(13)，P|t|2.106=0.05，P|t|3.012=0.01，而，而P t 1.771=0.05。3.F 分布分布 如果随机变量如果随机变量 X 和和 Y 相互独立，而且分别服相互独立，而且分别服从自由度为从自由度为 n1 和和 n2 的的 c c2 分布：分布：Xc c2(n1)，Yc c2(n2)，则称随机变量，则称随机变量所服从的分布为所服从的分布为 F 分布，分布，n1 和和 n2分布称为第一自由分布称为第一自由度和第二自由度。通常记

26、作度和第二自由度。通常记作 FF(n1,n2)。由由F分布的定义可以得到，当分布的定义可以得到，当tt(n)时，有时，有 t2 F(1,n)。如果。如果XF(n1,n2)，则有，则有1/XF(n2,n1)。对于给定的概率对于给定的概率 a a 0 及及 FF(n1,n2)，我们，我们称满足条件称满足条件 PFFa a(n1,n2)=a a 的数值的数值Fa a(n1,n2)为分布为分布F(n1,n2)的概率为的概率为 a a 的临的临界值。可以证明，它具有如下性质：界值。可以证明，它具有如下性质：Fa a(n1,n2)=1/F1-a a(n2,n1)事实上，对于事实上，对于XF(n1,n2)，

27、有，有 P X Fa a(n1,n2)=a a。由于。由于 利用利用 F 分布的分布密度可以算出在不同的自分布的分布密度可以算出在不同的自由度由度 n1,n2下，下，F 变量关于概率变量关于概率 a a 的临界值的临界值Fa a(n1,n2)。为了便于将来进行统计推断使用，人们将这。为了便于将来进行统计推断使用，人们将这些临界值列成些临界值列成F 值表（见表值表（见表4-3）。表中每一个格）。表中每一个格内上面的数字为内上面的数字为 a a=0.05时的临界值，而下面的时的临界值，而下面的数字为数字为 a a=0.01时的临界值。时的临界值。二、样本平均值和样本方差的分布二、样本平均值和样本方

28、差的分布 1.正态总体样本的线性函数的分布正态总体样本的线性函数的分布 设总体设总体XN(m m,s s 2)，X1,X2,Xn 是来自总体是来自总体容量为容量为 n 的随机样本，考虑统计量的随机样本，考虑统计量 Y=a1X1+a2X2+anXn，其中，其中 a1,a2,an 是已知常数。显然，是已知常数。显然，Y是样本是样本Xi的一个线性函数。关于统计量的一个线性函数。关于统计量Y，我们，我们有如下结论（证明从略），统计量有如下结论（证明从略），统计量Y 也是正态随机也是正态随机变量，它的期望值和方差分布为变量，它的期望值和方差分布为 如果在这个函数中取如果在这个函数中取ai=1/n，则，则

29、Y 就就是样本的算术平均数。因此，样本平均值是样本的算术平均数。因此，样本平均值将服从期望值为将服从期望值为m m，方差为，方差为 的正态分布。的正态分布。2.与样本方差有关的分布与样本方差有关的分布 关于样本方差的分布的讨论较之平均数的分关于样本方差的分布的讨论较之平均数的分布要复杂，先考虑来自标准正态分布总体布要复杂，先考虑来自标准正态分布总体N(0,1)的随机样本。由于样本方差可以写成的随机样本。由于样本方差可以写成 可以看出，表达式中方括号内的第一项就是可以看出，表达式中方括号内的第一项就是一个分布的统计量，但是由于方括号内还有一项一个分布的统计量，但是由于方括号内还有一项存在，而且很

30、明显它们之间是不独立的，必须要存在，而且很明显它们之间是不独立的，必须要进行更深入的讨论。这些讨论我们这里就从略了。进行更深入的讨论。这些讨论我们这里就从略了。关于标准正态总体我们有如下的结论：关于标准正态总体我们有如下的结论：设设X1,X2,Xn 是从标准正态总体是从标准正态总体 N(0,1)中中抽取的一个随机样本，则可证明：抽取的一个随机样本，则可证明：和和S2是独立是独立的，而且的，而且 如果所讨论的正态总体不是标准的，而是正如果所讨论的正态总体不是标准的，而是正态总体态总体N(m m,s s 2)中的一个随机样本，那么只要做中的一个随机样本，那么只要做代换代换Xi=(Xi-m m)/s

31、 s 再研究再研究Xi的方差的分布就可的方差的分布就可以了。这时有：以了。这时有：设设X1,X2,Xn是正态总体是正态总体N(m m,s s 2)中抽取的中抽取的一个随机样本，再注意到前面关于样本方差的分一个随机样本，再注意到前面关于样本方差的分布的结论则可以证明：布的结论则可以证明：和和S2是独立的，而且是独立的，而且 如果如果X1,X2,Xn是服从正态总体是服从正态总体 N(m m,s s 2)中抽取的一个随机样本，则统计量中抽取的一个随机样本，则统计量将服从自由度为将服从自由度为 n-1 的的 t 分布。分布。如果如果X1,X2,Xn是正态总体是正态总体N N(m m1,s s12)的一

32、的一个随机样本，个随机样本，Y1,Y2,Ym是正态总体是正态总体N N(m m2,s s22)的一个随机样本，它们之间相互独立，则的一个随机样本，它们之间相互独立，则服从自由度为服从自由度为n-1，m-1的的 F 分布，其中分布，其中分布是上述两个正态总体的样本方差。分布是上述两个正态总体的样本方差。另外，如果另外，如果 X1,X2,Xn 和和 Y1,Y2,Ym 分别分别是来自具有相同方差的两个正态总体是来自具有相同方差的两个正态总体N N(m m1,s s02)和和N N(m m2,s s02)的随机样本，按照前面的结论，这两组样的随机样本，按照前面的结论，这两组样本平均值之差本平均值之差X

33、-Y也同样服从正态分布也同样服从正态分布N N(m m0,s s 2)，其中其中m m0=m m1 m m2,不难证明，不难证明，S2同样也是同样也是s s 2的无偏估计量。因此的无偏估计量。因此将是两组样本的平均值之差的方差将是两组样本的平均值之差的方差 s s02=(1/n+1/m)s s 2 的无偏估计量。这样一来，就可以得到如下的的无偏估计量。这样一来，就可以得到如下的结论：结论：如果如果X1,X2,Xn和和Y1,Y2,Ym分别是来自具分别是来自具有相同方差的两个正态总体有相同方差的两个正态总体N(m m1,s s02)和和N(m m2,s s02)的随机样本，且它们之间相互独立，那么

34、的随机样本，且它们之间相互独立，那么将服从自由度为将服从自由度为 n+m-2 的的 t 分布。分布。三、大数定律和中心定理三、大数定律和中心定理 这一段我们将不加证明地介绍两个很重要的这一段我们将不加证明地介绍两个很重要的定理。这两个定理将告诉我们样本平均值的两个定理。这两个定理将告诉我们样本平均值的两个重要的统计学性质，与前面不同的是这些性质并重要的统计学性质，与前面不同的是这些性质并不要求样本来源的总体一定是正态总体。因此，不要求样本来源的总体一定是正态总体。因此，它将保证我们将来介绍的统计分析的方法能够适它将保证我们将来介绍的统计分析的方法能够适用到更加广泛的范围中去。用到更加广泛的范围

35、中去。1.大数定律大数定律 大数定律告诉我们，随着样本容量大数定律告诉我们，随着样本容量 n 的增加，的增加，一个总体一个总体X 的随机样本的平均值与总体的期望值的随机样本的平均值与总体的期望值的偏差小于任给定的（很小的）数的概率将趋近的偏差小于任给定的（很小的）数的概率将趋近于于1。如果用数学的语言，它可以写为：。如果用数学的语言，它可以写为：设设X1,X2,Xn是总体是总体X 的随机样本，且的随机样本，且m m=EX 及及 DX 都存在，则对任意给定的都存在，则对任意给定的 e e 0，将有，将有式中式中 X 样本平均值样本平均值 ，定理的证明从略。，定理的证明从略。这个定理告诉我们，不管

36、随机变量总体的分这个定理告诉我们，不管随机变量总体的分布如何，只要样本的容量充分大，样本平均数一布如何，只要样本的容量充分大，样本平均数一般来说总能够与期望值相当接近。般来说总能够与期望值相当接近。2.中心极限定理中心极限定理 有关平均数的另一个重要的性质是：无论一有关平均数的另一个重要的性质是：无论一个总体的分布如何，只要它有有限的方差，那么个总体的分布如何，只要它有有限的方差，那么当样本的容量当样本的容量 n 相当大时，样本平均数将近似地相当大时，样本平均数将近似地服从正态分布。它的数学表述如下：服从正态分布。它的数学表述如下：设设X1,X2,Xn是总体是总体 X 的容量为的容量为 n 的

37、随机的随机样本，总体的数学期望样本，总体的数学期望 m m=EX 及及 s s 2=DX 均存均存在，且在，且s s 20，则当，则当 n 无限增大时统计量无限增大时统计量的分布密度将逼近于标准正态分布的密度。的分布密度将逼近于标准正态分布的密度。这个定理告诉我们对于来自任何具有这个定理告诉我们对于来自任何具有有限方差和期望值的总体的随机样本的平有限方差和期望值的总体的随机样本的平均值，只要样本的容量足够大，就可以认均值，只要样本的容量足够大，就可以认为它近似地服从期望值为为它近似地服从期望值为 m m，方差为，方差为s s 2/n 的正态分布。的正态分布。同样我们不证明这个定理，因为它用到同

38、样我们不证明这个定理，因为它用到了更多的数学知识。了更多的数学知识。3.生物统计中的正态分布生物统计中的正态分布 在生物统计的理论与实际中，正态分布占有在生物统计的理论与实际中，正态分布占有重要的地位，之所以如此，一方面在于许多生物重要的地位，之所以如此，一方面在于许多生物现象所形成的随机变量的总体都相当好地接近于现象所形成的随机变量的总体都相当好地接近于正态分布。例如，生长与某块农田中小麦植株的正态分布。例如，生长与某块农田中小麦植株的高度，某种动物的体重或者微生物菌株的产量等高度，某种动物的体重或者微生物菌株的产量等等都以足够好的正态形式而分布，这些现象也可等都以足够好的正态形式而分布，这

39、些现象也可以用中心极限定理来解释。以用中心极限定理来解释。以小麦植株高度为例，对于种在同一块田上的以小麦植株高度为例，对于种在同一块田上的同一品种的小麦来说，在其生长过程中要受到许多同一品种的小麦来说，在其生长过程中要受到许多因素的影响，这些因素的每一个都只有微小的效应因素的影响，这些因素的每一个都只有微小的效应,而植株的高度则是所有这些因素的效应的总和。如而植株的高度则是所有这些因素的效应的总和。如果我们把每一个因素的效应都看作是来自某个总体果我们把每一个因素的效应都看作是来自某个总体的一个观测值，那么植株的高度就可以理解为来自的一个观测值，那么植株的高度就可以理解为来自一组总体的观测值的总

40、和。按中心极限定理所述关一组总体的观测值的总和。按中心极限定理所述关于平均数的性质，我们就可以认为所观察的植株高于平均数的性质，我们就可以认为所观察的植株高度的数据近似地服从正态分布。另一方面，有关正度的数据近似地服从正态分布。另一方面，有关正态分布的理论研究已经比较成熟，使我们能够比较态分布的理论研究已经比较成熟，使我们能够比较容易地实现对正态总体从样本到总体的推断。正因容易地实现对正态总体从样本到总体的推断。正因为如此，生物统计中的大量理论和方法都是以正态为如此，生物统计中的大量理论和方法都是以正态总体及其抽样分布为基础展开的。总体及其抽样分布为基础展开的。要特别指出的是，并非生物界的全部

41、现象都要特别指出的是，并非生物界的全部现象都是呈正态分布的，非正态分布也同样大量地存在是呈正态分布的，非正态分布也同样大量地存在于生物界。因此，在利用基于正态总体抽样分布于生物界。因此，在利用基于正态总体抽样分布的统计方法来处理观察资料时，首先必须搞清楚的统计方法来处理观察资料时，首先必须搞清楚这些数据是否来自正态总体，至少也应近似地是这些数据是否来自正态总体，至少也应近似地是正态总体。如果总体是正态的，就可以直接利用正态总体。如果总体是正态的，就可以直接利用这些方法。如果总体不是正态分布，或者利用数这些方法。如果总体不是正态分布，或者利用数据代换的方法使得变换后的数据服从正态分布，据代换的方

42、法使得变换后的数据服从正态分布，或者利用更一般的、不依赖于正态分布的非参数或者利用更一般的、不依赖于正态分布的非参数分析方法。分析方法。第三节第三节 统计推断原理统计推断原理 在生物统计上经常会遇到样本观察值对总体在生物统计上经常会遇到样本观察值对总体的某些特征进行推断的问题。例如，当培育出一的某些特征进行推断的问题。例如，当培育出一个小麦的新品种之后，如何判断这个品种的产量个小麦的新品种之后，如何判断这个品种的产量是否优于原来的地方品种的产量？如何评价药物是否优于原来的地方品种的产量？如何评价药物对某些疾病的疗效？某些外界因素对生物生长发对某些疾病的疗效？某些外界因素对生物生长发育的影响如何

43、等等。研究这些问题，往往需要首育的影响如何等等。研究这些问题，往往需要首先提出一个有关总体参数的假设。例如假设某小先提出一个有关总体参数的假设。例如假设某小麦品种和原来的地方品种的小麦的产量一样，或麦品种和原来的地方品种的小麦的产量一样，或者比原来的地方品种的产量更高。但是如何确切者比原来的地方品种的产量更高。但是如何确切地证实所做的假设正确呢？地证实所做的假设正确呢？最完善的办法是检验这两个总体，来比较它最完善的办法是检验这两个总体，来比较它们的参数。但这往往是困难的，甚至是根本不可们的参数。但这往往是困难的，甚至是根本不可能的。另一种方法就是设法得到它们的样本观测能的。另一种方法就是设法得

44、到它们的样本观测值，然后利用这些观测值来推断原来的假设是否值，然后利用这些观测值来推断原来的假设是否正确。由于抽样的随机性，样本观测值不可避免正确。由于抽样的随机性，样本观测值不可避免地会出现抽样误差。这样一来，利用样本观测值地会出现抽样误差。这样一来，利用样本观测值来推断总体时与通常的数学推理就大不一样。一来推断总体时与通常的数学推理就大不一样。一般这种推断没有一个百分之百肯定的结论，它总般这种推断没有一个百分之百肯定的结论，它总是带有随机的特点，因此称这一类推理为统计推是带有随机的特点，因此称这一类推理为统计推断或称之为假设检验。这一节将介绍统计推断的断或称之为假设检验。这一节将介绍统计推

45、断的基本原理，具体的各种统计推断的方法将在后面基本原理，具体的各种统计推断的方法将在后面陆续地介绍。陆续地介绍。一、假设检验的基本方法一、假设检验的基本方法 结合一个例子来介绍检验的基本方法。我们结合一个例子来介绍检验的基本方法。我们知道一个正常人的脉搏平均为知道一个正常人的脉搏平均为72次次/min，现在我，现在我们从医院测得们从医院测得10名患某种疾病的病人的平均脉搏名患某种疾病的病人的平均脉搏为为67.4次次/min，并测得样本方差为，并测得样本方差为35.16。现在问。现在问这些病人的脉搏是否正常？也就是说，如果把医这些病人的脉搏是否正常？也就是说，如果把医院的这种病人看成是一个总体，

46、我们的问题是利院的这种病人看成是一个总体，我们的问题是利用这些数据来判断这个总体的期望值是不是用这些数据来判断这个总体的期望值是不是72次次/min？一般可以按如下的步骤解决这个问题。一般可以按如下的步骤解决这个问题。1.对所研究的总体提出一个假设对所研究的总体提出一个假设H0 这是我们进一步分析的基础，因此假设必须这是我们进一步分析的基础，因此假设必须要作得恰当，这个假设首先必须与我们要分析的要作得恰当，这个假设首先必须与我们要分析的问题紧密地联系在一起，将来无论是拒绝这个假问题紧密地联系在一起，将来无论是拒绝这个假设还是不拒绝这个假设，都可能成为我们所讨论设还是不拒绝这个假设，都可能成为我

47、们所讨论的问题的回答。其次，所做的假设也必须有利于的问题的回答。其次，所做的假设也必须有利于我们构成和计算某个统计量。这样一来，我们就我们构成和计算某个统计量。这样一来，我们就可以根据统计量的分布规律来判别观测值出现的可以根据统计量的分布规律来判别观测值出现的概率。概率。在我们的例子中，最合适的假设为假设在我们的例子中，最合适的假设为假设H0：m m=72。也就是说，患这种病的病人的脉搏是正。也就是说，患这种病的病人的脉搏是正常的，他们的期望值等于正常人的脉搏常的，他们的期望值等于正常人的脉搏72次次/min。这时样本平均值这时样本平均值 =67.4和和 m m 之间的差异之间的差异|-m m

48、|=4.6应理解为随机误差。而应理解为随机误差。而HA：m m 72，称之为，称之为 H0 的备则假设。不同的问题中所需要做的假设的备则假设。不同的问题中所需要做的假设将在下面的具体检验问题中介绍。将在下面的具体检验问题中介绍。2.在假设在假设H0下构造一个样本统计量，并研究这个下构造一个样本统计量，并研究这个统计量的分布统计量的分布 在上面的例子中，我们构造统计量在上面的例子中，我们构造统计量在假设在假设H0下有下有m m=72，而且知道，而且知道 =67.4，S2=35.16，n=10。因此这个统计量就可以使用上述。因此这个统计量就可以使用上述的样本观测值算出的样本观测值算出我们还可以根据

49、上一章的分析知道这个统计量服我们还可以根据上一章的分析知道这个统计量服从自由度从自由度df=n-1=9 的的 t 分布。分布。3.确定假设确定假设 H0 的否定域的否定域 前面算出的前面算出的 t=-2.453只是在承认假设成立的只是在承认假设成立的前提下得到的。现在我们还不知道病人的平均脉前提下得到的。现在我们还不知道病人的平均脉搏是不是符合这个假设。搏是不是符合这个假设。经验告诉我们，如果这样算出来的经验告诉我们，如果这样算出来的 t 值是不值是不合理的，就表明我们所做的假设合理的，就表明我们所做的假设H0是不合适的，是不合适的，这时我们就应该拒绝或否定原假设这时我们就应该拒绝或否定原假设

50、 H0。如若不然，。如若不然，我们就不能拒绝或否定所做的假设我们就不能拒绝或否定所做的假设H0；这时我们；这时我们称原来的假设是相容的。称原来的假设是相容的。使得我们拒绝或否定原假设使得我们拒绝或否定原假设 H0 的的 t 值的全体值的全体称为称为 H0 的否定域。的否定域。确定否定的关键在于分清哪些值是确定否定的关键在于分清哪些值是“合理合理”的，的，而哪些是而哪些是“不合理不合理”的。这里所说的的。这里所说的“合理合理”与与“不合不合理理”又指的是什么呢？它实际上是基于人们在实际又指的是什么呢？它实际上是基于人们在实际中广泛采用的一个原则：小概率事件在一次观测中广泛采用的一个原则：小概率事

51、件在一次观测中可以认为基本上不会发生，如果已成观测就发中可以认为基本上不会发生，如果已成观测就发生了小概率事件，我们就认为这个现象是不合理生了小概率事件，我们就认为这个现象是不合理的。的。在我们的例子中，如果假设在我们的例子中，如果假设 H0 成立，那么成立，那么 m m =72就是总体的期望值，就是总体的期望值，|-m m|只是表示随机误只是表示随机误差，因此，这时的差，因此，这时的|-m m|或者或者|t|一般来说不会一般来说不会太大。它们虽然可能取到较大的数值，但概率是太大。它们虽然可能取到较大的数值，但概率是较低的。由前面的分析我们知道，给定较低的。由前面的分析我们知道，给定 a a

52、0，对，对于分布来说，我们可以求出它的临界值于分布来说，我们可以求出它的临界值 ta a，使得，使得P|t|ta a=P|t|2.262=0.05，在我们的例子，在我们的例子中就可以由中就可以由 t 值表查得值表查得 ta a=2.262，而且有，而且有P|t|ta a=P|t|2.262=0.05。这表明，在假设这表明，在假设 H0成立的前提下，虽然变量成立的前提下，虽然变量 t 可能取不同的值，但一般来说可能取不同的值，但一般来说|t|的数值不会太的数值不会太大，满足不等式大，满足不等式|t|ta a=2.262 的的t 值出现的机会值出现的机会已经很小了，只有已经很小了，只有5%的可能性

53、。于是我们就称事的可能性。于是我们就称事件件|t|ta a=|t|2.262或事件或事件|-m m|为为小概率事件。如果在一次观测中发生了这个事件，小概率事件。如果在一次观测中发生了这个事件，也就是说由我们观测的样本算得的值满足不等式也就是说由我们观测的样本算得的值满足不等式|t|ta a=2.262，它表明在这次观测中发生了小概率，它表明在这次观测中发生了小概率事件。按照我们前面提到的原则，就应该认为这事件。按照我们前面提到的原则，就应该认为这个现象是不合理的，从而拒绝或否定原来的假设个现象是不合理的，从而拒绝或否定原来的假设H0。因此由不等式。因此由不等式|t|2.262 给出的给出的 t

54、 值的范围就值的范围就构成了假设构成了假设H0的否定域。的否定域。4.对原假设进行推断对原假设进行推断 在上例中，由样本观测值算出在上例中，由样本观测值算出 t=-2.453，它落入了假设它落入了假设 H0 的否定域的否定域|t|2.262 之内。因之内。因此认为假设此认为假设 H0 是不成立的，或者说是不成立的，或者说 m m 72次次/min，也就是说这时的差数，也就是说这时的差数|-72|=4.6次次/min 已经大到如此的程度，将它解释为随机误差已经已经大到如此的程度，将它解释为随机误差已经很牵强了，因此要否定假设很牵强了，因此要否定假设 H0，这时我们也可，这时我们也可以称这个以称这

55、个差异是显著的差异是显著的。二、两类错误和显著性水准二、两类错误和显著性水准 前面在做统计推断时，我们是基于前面在做统计推断时，我们是基于“小概率小概率事件在一次观测中不会发生事件在一次观测中不会发生”这样一个认识来拒这样一个认识来拒绝原来的假设的。但是在这次观测中是不是真的绝原来的假设的。但是在这次观测中是不是真的不会发生小概率事件呢？更具体地说，在前面的不会发生小概率事件呢？更具体地说，在前面的例子中会不会在假设例子中会不会在假设H0：m m=72 成立的前提下也成立的前提下也能得到使能得到使 =67.2 的观测值呢？由于样本是随机的观测值呢？由于样本是随机抽取的，这个现象当然是有可能发生

56、的。但在我抽取的，这个现象当然是有可能发生的。但在我们的推断过程中却把原来正确的假设否定了，这们的推断过程中却把原来正确的假设否定了，这时，在这个问题上我们做了一个错误的判断：把时，在这个问题上我们做了一个错误的判断：把原本正确的假设否定了，我们称这样的错误为原本正确的假设否定了，我们称这样的错误为第第一类错误一类错误。与此相应，当我们不能否定假设与此相应，当我们不能否定假设H0时，也会时，也会出现类似的情况：假设出现类似的情况：假设H0是错误的，但在做统计是错误的，但在做统计推断时我们却不能否定它，这就是所谓的推断时我们却不能否定它，这就是所谓的第二类第二类错误错误，其关系如表，其关系如表4

57、-4所示。所示。小概率事件发生的概率小概率事件发生的概率 a a 正好是我们否定正正好是我们否定正确的原假设确的原假设 H0 的概率，也就是我们做统计推断是的概率，也就是我们做统计推断是犯第一类错误的概率。上例子中的假设犯第一类错误的概率。上例子中的假设 H0：m m=72次次/min，取，取 a a=0.05，由前面的推导可知，由前面的推导可知 落落在在m m ta a 范围之外，范围之外，72+2.262 1.875=76.2 或或 72 2.262 1.875=67.76 的概率是的概率是0.05，这时我们就否定了原假设，这时我们就否定了原假设 H0。也就是说，。也就是说，在假设在假设

58、H0 成立的条件下，样本均值成立的条件下，样本均值 有有5%的可的可能落入到上述的否定域内。因而我们得到了一个能落入到上述的否定域内。因而我们得到了一个正确的假设，作出否定的结论的概率就是正确的假设，作出否定的结论的概率就是 a a =0.05。这就是犯第一类错误的概率，这说明我们利用小这就是犯第一类错误的概率，这说明我们利用小概率事件的原则进行统计推导时，否定原假设是概率事件的原则进行统计推导时，否定原假设是冒有冒有5%的风险来下结论的，也就是说有的风险来下结论的，也就是说有5%的危的危险把原来正确的假设否定掉了。险把原来正确的假设否定掉了。犯第二类错误的概率用犯第二类错误的概率用 b b

59、表示。它给出了当表示。它给出了当假设假设H0不成立时，我们通过检验却不能否定这个不成立时，我们通过检验却不能否定这个假设的可能性的大小。当然这种情况只有在假设的可能性的大小。当然这种情况只有在H0不不能否定的情况下发生。在前面的例子中，如果假能否定的情况下发生。在前面的例子中，如果假设设H0是错误的，而实际病人脉搏的期望值是是错误的，而实际病人脉搏的期望值是 m m1=70次次/min时，这个总体的真实分布的密度函数应时，这个总体的真实分布的密度函数应该为该为 这时，观测值的平均数落入区间这时，观测值的平均数落入区间67.76，76.24的概率可以由密度函数的概率可以由密度函数p1(x)在这个

60、区间上的积分在这个区间上的积分给出给出 这表明在这表明在 m m1=70的真实总体中，样本均值落的真实总体中，样本均值落入假设入假设H0：m m=72 的不能被否定的区域的不能被否定的区域 67.76，76.24 中的概率大约是中的概率大约是0.862，也就是说，我们有，也就是说，我们有86.2%的可能性否定不了原来的错误的假设。这的可能性否定不了原来的错误的假设。这就是犯第二类错误的概率就是犯第二类错误的概率b b=86.2%。由上述分析可以看到，只要用抽样的方法进由上述分析可以看到，只要用抽样的方法进行判断，不管怎样选择否定域，总会犯错误的，行判断，不管怎样选择否定域，总会犯错误的，而且当

61、样本的容量给定以后，否定域越而且当样本的容量给定以后，否定域越“小小”，犯，犯第一类错误的概率就越小；犯第二类错误的可能第一类错误的概率就越小；犯第二类错误的可能性就越大。反之，假设的否定域越性就越大。反之，假设的否定域越“大大”，犯第一，犯第一了错误的可能性越大，犯第二类错误的可能性就了错误的可能性越大，犯第二类错误的可能性就越小。越小。在用样本对原假设作检验时，要想两类错误在用样本对原假设作检验时，要想两类错误都避免是不可能的。因此，下面所做的统计检验都避免是不可能的。因此，下面所做的统计检验所依据的原则使犯第一类错误的概率不超过某个所依据的原则使犯第一类错误的概率不超过某个给定的数给定的

62、数a a（0 a a 1），同时使犯第二类错误的），同时使犯第二类错误的概率尽可能地小。当然，这时概率尽可能地小。当然，这时b b并不一定是很小，并不一定是很小，它的大小还取决于样本容量的多少，通常取为它的大小还取决于样本容量的多少，通常取为0.05 或或 0.01，叫做检验的信度或显著性水准（水，叫做检验的信度或显著性水准（水平）。如果在平）。如果在 a a=0.05 的水准下否定原假设，则的水准下否定原假设，则称称差异是显著差异是显著的；在的；在 a a=0.01 的水准下否定原假的水准下否定原假设，则称设，则称差异是极显著差异是极显著的，的，这种检验又称显著性这种检验又称显著性检验。检验

63、。显著性检验对于假设显著性检验对于假设H0来说是个保护性的检验，来说是个保护性的检验，也就是说，它保证了在否定假设也就是说，它保证了在否定假设H0时不至于犯重大的时不至于犯重大的错误。在做显著性检验时，在水准错误。在做显著性检验时，在水准 a a 下否定原假设下否定原假设H0的情况已经讨论清楚了。如果在水准的情况已经讨论清楚了。如果在水准 a a下分析的结果下分析的结果不能否定原假设，是否就相当于不能否定原假设，是否就相当于“接受原假设接受原假设H0”呢？呢？正如前面我们所估算的那样，当我们正如前面我们所估算的那样，当我们“接受原假设接受原假设H0”时，有可能冒有相当大的犯第二类错误的风险。在

64、我时，有可能冒有相当大的犯第二类错误的风险。在我们的例子中，如果接受假设们的例子中，如果接受假设H0，就会有，就会有86.2%的可能的可能接受的错误的假设（因为正确的不是接受的错误的假设（因为正确的不是 72次次/min，而是，而是70次次/min）。这样一来，）。这样一来，“接受原假设接受原假设”这一术语的可这一术语的可信度就很低了。因此从本节一开始我们就尽量避免使信度就很低了。因此从本节一开始我们就尽量避免使用这个术语，而采用了一个更为确切的说法用这个术语，而采用了一个更为确切的说法“不能否不能否定原假设定原假设”。后面几章所介绍在各种不同情况下的显著性检验后面几章所介绍在各种不同情况下的

65、显著性检验的方法都是基于这一原则。的方法都是基于这一原则。本章小结本章小结 本章介绍了抽样的基本概念、统计分析中使本章介绍了抽样的基本概念、统计分析中使用的统计量的分布以及统计推断分析的基本原理。用的统计量的分布以及统计推断分析的基本原理。抽样是人们认识随机事件的主要手段，在抽抽样是人们认识随机事件的主要手段，在抽样的基础上得到的随机变量就是样的基础上得到的随机变量就是样本统计量样本统计量，这，这时我们今后进行统计分析经常使用的工具。正态时我们今后进行统计分析经常使用的工具。正态分布、分布、c c 2 分布、分布、t 分布和分布和 F 分布是在今后的统计分布是在今后的统计分析工作中经常使用的分

66、布，必须要掌握它们的分析工作中经常使用的分布，必须要掌握它们的基本特征。样本均值和样本方差是两个十分重要基本特征。样本均值和样本方差是两个十分重要的样本统计量，它们的分布和统计学特征必须要的样本统计量，它们的分布和统计学特征必须要很好的掌握。很好的掌握。统计推断的原理介绍了如何将样本统计量应统计推断的原理介绍了如何将样本统计量应用于假设检验的统计分析工作，这一思维方式对用于假设检验的统计分析工作，这一思维方式对大家来说是新颖的，在其他领域是较少见到的。大家来说是新颖的，在其他领域是较少见到的。它一方面将前面所学的有关概率、随机变量、样它一方面将前面所学的有关概率、随机变量、样本统计量的所有知识综合地应用于统计推断的分本统计量的所有知识综合地应用于统计推断的分析当中，另外还使用了一种称之为概率性的反证析当中，另外还使用了一种称之为概率性的反证法的较为新颖的推论方法。这种推断方式在生物法的较为新颖的推论方法。这种推断方式在生物统计分析当中是经常使用的，较好的掌握这个原统计分析当中是经常使用的，较好的掌握这个原理对于深入地理解统计分析的基本思路是至关重理对于深入地理解统计分析的基本思路是至关