34平稳过程的谱密度解读课件

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1、3.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度王洋王洋2024/4/231主要内容主要内容l一、平稳过程的（自）谱密度及性质一、平稳过程的（自）谱密度及性质l二、平稳过程的互谱密度及性质二、平稳过程的互谱密度及性质l三、谱密度与相关函数的关系三、谱密度与相关函数的关系l四、傅立叶变换的性质四、傅立叶变换的性质2024/4/232谱密度的概念谱密度的概念l l在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以波、随

2、机振动或者声波。当波的频谱密度乘以波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度（功率，这被称为信号的功率谱密度（功率，这被称为信号的功率谱密度（功率，这被称为信号的功率谱密度（power power spectral density,PSDspectral density,PSD）或者谱功率分布）或者谱功率分布）或者谱功率分布）或者谱功率分布（spectral power distribution,SPDspe

3、ctral power distribution,SPD）。功率）。功率）。功率）。功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/HzW/Hz）表示，或者使用波长而不是频率，）表示，或者使用波长而不是频率，）表示，或者使用波长而不是频率，）表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数（即每纳米的瓦特数（即每纳米的瓦特数（即每纳米的瓦特数（W/nmW/nm）来表示。）来表示。）来表示。）来表示。2024/4/233一、平稳过程的（自）谱密度一、平稳过程的（自）谱密度定义定义3.5 设设 是一个平稳过是一

4、个平稳过程，如果含参变量的广义积分程，如果含参变量的广义积分 存在，那么，称存在，那么，称 为平稳过程为平稳过程 的的（自）谱密度（自）谱密度2024/4/234维纳维纳-辛钦公式证明了如下结果：当相关函数辛钦公式证明了如下结果：当相关函数 绝对可积，即绝对可积，即 时，时，存在，存在，且相关函数且相关函数 这表明谱函数这表明谱函数 是相关函数是相关函数 的的傅立叶傅立叶变换变换，而，而 是是 的的傅立叶逆变换傅立叶逆变换.2024/4/235通常记作通常记作对于平稳序列，（自）谱密度定义为容易看出上式右端是一个傅立叶级数。2024/4/236赫尔格洛茨证明了如下结果：当相关函数赫尔格洛茨证明

5、了如下结果：当相关函数赫尔格洛茨证明了如下结果：当相关函数赫尔格洛茨证明了如下结果：当相关函数 满满满满足足足足 时，时，时，时，存在（即上述傅立叶级数收敛）存在（即上述傅立叶级数收敛）存在（即上述傅立叶级数收敛）存在（即上述傅立叶级数收敛），且相关函数，且相关函数，且相关函数，且相关函数2024/4/237例例例例3.11 3.11 设设设设是一个离散白噪声时间序列。例是一个离散白噪声时间序列。例是一个离散白噪声时间序列。例是一个离散白噪声时间序列。例3.53.5中已经证明了中已经证明了中已经证明了中已经证明了 是一个平稳序列，且相关函数是一个平稳序列，且相关函数是一个平稳序列，且相关函数是

6、一个平稳序列，且相关函数于是，谱密度于是，谱密度于是，谱密度于是，谱密度这个谱密度这个谱密度这个谱密度这个谱密度 是常数，即平稳序列是常数，即平稳序列是常数，即平稳序列是常数，即平稳序列 的谱密度在的谱密度在的谱密度在的谱密度在各个频率各个频率各个频率各个频率 上具有相同的分量，由于物理上白光的谱上具有相同的分量，由于物理上白光的谱上具有相同的分量，由于物理上白光的谱上具有相同的分量，由于物理上白光的谱为常数，因此，称为常数，因此，称为常数，因此，称为常数，因此，称 为白噪声（序列）。为白噪声（序列）。为白噪声（序列）。为白噪声（序列）。2024/4/238例例例例3.12 3.12 设设设设

7、 是一个离散白噪声的滑动和。例是一个离散白噪声的滑动和。例是一个离散白噪声的滑动和。例是一个离散白噪声的滑动和。例3.63.6中已经证明了中已经证明了中已经证明了中已经证明了 是一个平稳序列。为了方便，我们记是一个平稳序列。为了方便，我们记是一个平稳序列。为了方便，我们记是一个平稳序列。为了方便，我们记求求求求 的谱密度。的谱密度。的谱密度。的谱密度。2024/4/239定理定理3.5（谱密度的性质）（谱密度的性质）设设 是平稳是平稳过程过程 的谱密度，的谱密度，（i）是取非负实数值的偶函数，即是取非负实数值的偶函数，即 （ii）（iii）巴塞伐等式巴塞伐等式2024/4/2310 谱密度的引

8、入使得对平稳过程相关理谱密度的引入使得对平稳过程相关理论的研究不再局限于论的研究不再局限于时间域时间域内，它内，它可以同时也在可以同时也在频率域频率域内进行，傅立内进行，傅立叶变换提供了两者之间转换的数学叶变换提供了两者之间转换的数学工具。下面通过例题来说明两者之工具。下面通过例题来说明两者之间的相互换算。间的相互换算。2024/4/2311例例例例3.13 3.13 设平稳过程设平稳过程设平稳过程设平稳过程 的相关函数的相关函数的相关函数的相关函数其中，常数其中，常数其中，常数其中，常数a0.a0.由定理由定理由定理由定理3.53.5（ii ii）得到）得到）得到）得到 的谱的谱的谱的谱密度

9、密度密度密度2024/4/2312例例例例3.14 3.14 设平稳过程设平稳过程设平稳过程设平稳过程 的相关函数的相关函数的相关函数的相关函数其中，常数其中，常数其中，常数其中，常数a0.a0.易见当常数易见当常数易见当常数易见当常数 时，时，时，时，即是例即是例即是例即是例3.133.13。由定理。由定理。由定理。由定理3.53.5（ii ii）得到）得到）得到）得到 的谱密度的谱密度的谱密度的谱密度2024/4/2313在电子技术中，常常遇到脉冲现象。这类现象不在电子技术中，常常遇到脉冲现象。这类现象不能用普通函数来描述，需要引进能用普通函数来描述，需要引进广义函数广义函数广义函数广义函

10、数。定义定义3.6 如果函数如果函数 满足满足那么称函数那么称函数 为为狄拉克函数狄拉克函数，简称为，简称为函数函数。2024/4/231415引入引入 函数函数借助借助 函数，将任意直流分量和周期分量在频率点上无函数，将任意直流分量和周期分量在频率点上无限值用限值用 函数表示。函数表示。其傅立叶变换其傅立叶变换2024/4/2315函数不是通常意义下的函数，但可以把它看成是函数不是通常意义下的函数，但可以把它看成是函数不是通常意义下的函数，但可以把它看成是函数不是通常意义下的函数，但可以把它看成是下列矩形波的极限，记下列矩形波的极限，记下列矩形波的极限，记下列矩形波的极限，记 其中其中其中其

11、中a0a0。不妨认为。不妨认为。不妨认为。不妨认为通常把通常把通常把通常把 用长度为用长度为用长度为用长度为1 1的有向线段来表示（见表的有向线段来表示（见表的有向线段来表示（见表的有向线段来表示（见表3.13.1）。）。）。）。函数的一般形式是函数的一般形式是函数的一般形式是函数的一般形式是，它是，它是，它是，它是 的复合函数。对任意一个连续函数的复合函数。对任意一个连续函数的复合函数。对任意一个连续函数的复合函数。对任意一个连续函数 ，必定满足必定满足必定满足必定满足2024/4/2316下面对这个公式作一个直观解释：设下面对这个公式作一个直观解释：设下面对这个公式作一个直观解释：设下面对

12、这个公式作一个直观解释：设 由积分中值定理推得：由积分中值定理推得：由积分中值定理推得：由积分中值定理推得：2024/4/2317 今后，我们允许平稳过程的相关函数与谱今后，我们允许平稳过程的相关函数与谱密度（包括傅立叶变换及其逆变换）可以密度（包括傅立叶变换及其逆变换）可以取作取作 函数。必要时，还可以有形如函数。必要时，还可以有形如 的相关函数与谱密度，容易看出，它是的相关函数与谱密度，容易看出，它是m个个 函数的线性组合。函数的线性组合。2024/4/2318例例例例3.15 3.15 设平稳过程设平稳过程设平稳过程设平稳过程 的相关的相关的相关的相关函数函数函数函数 ，其中常数，其中常

13、数，其中常数，其中常数 的谱密度的谱密度的谱密度的谱密度 这个谱密度为常数。谱密度为常数且具有零这个谱密度为常数。谱密度为常数且具有零均值的平稳过程称为均值的平稳过程称为白噪声过程白噪声过程。这是一个。这是一个连续白噪声连续白噪声，不同于，不同于3.5中给出的离散白噪声。中给出的离散白噪声。白噪声过程是一种理想化的数学模型。白噪声过程是一种理想化的数学模型。2024/4/2319例例例例3.16 3.16 设平稳过程设平稳过程设平稳过程设平稳过程 的谱密度的谱密度的谱密度的谱密度 的相关函数的相关函数的相关函数的相关函数2024/4/23202024/4/2321引理引理3.1 傅立叶变换及其

14、逆变换具有下列傅立叶变换及其逆变换具有下列性质：性质：（i i）线性性质）线性性质）线性性质）线性性质 当当当当 是常数时，是常数时，是常数时，是常数时，（ii ii）位移性质）位移性质）位移性质）位移性质 当当当当 是常数时，是常数时，是常数时，是常数时，2024/4/2322例例3.17 设平稳过程设平稳过程 的相关函数的相关函数求求 的谱密度的谱密度例例3.18 设平稳过程设平稳过程 的谱密度的谱密度求求 的相关函数的相关函数2024/4/2323有理谱密度有理谱密度的一般形式：的一般形式：分子分母无实根，无公共根。对于有理谱密度，求相关系数可用待定系数法把谱密度分解成若干部分分式之和。

15、2024/4/2324例例例例3.19 3.19 设平稳过程设平稳过程设平稳过程设平稳过程 的谱密度的谱密度的谱密度的谱密度求其相关函数求其相关函数求其相关函数求其相关函数2024/4/2325由于实际频率不取负值，因此给出由于实际频率不取负值，因此给出单边谱密度单边谱密度的定义：的定义：利用只有正频率部分的单边功率谱，定理利用只有正频率部分的单边功率谱，定理3.5（ii）可）可以写成：以写成：2024/4/23262024/4/2327定义定义3.7 设设 是两个平稳相关的平是两个平稳相关的平稳过程，互相关函数为稳过程，互相关函数为 称称为平稳过程为平稳过程为平稳过程为平稳过程 的的的的互谱

16、密度互谱密度互谱密度互谱密度。与（自）谱密度相似，与（自）谱密度相似，与（自）谱密度相似，与（自）谱密度相似，2024/4/2328用傅立叶变换及其逆变换来表示：由于互相关函数与自相关函数的性质不同，因此，互谱密度与自谱密度也有很大差异。一般情况下，互谱密度取复数值，也不再是偶函数。这里 都可以取 函数2024/4/2329定义定义3.6（互谱密度的性质）（互谱密度的性质）设设设设 是两个平稳相关的平稳过程是两个平稳相关的平稳过程是两个平稳相关的平稳过程是两个平稳相关的平稳过程的互谱密度，的互谱密度，的互谱密度，的互谱密度，（i）（ii）（iii）2024/4/2330l从定义从定义l和施瓦茨不等式和施瓦茨不等式2024/4/2331例3.20 设 是两个平稳过程，记求：（1）的谱密度（2）的互谱密度2024/4/2332引进互谱密度是为了在频域上描述两个平稳过程的相关性。从上述例题可以得到：当 时，不相关等价于它们的互谱密度对于一切2024/4/2333小结：自谱密度，互谱密度的定义，性质及其证明，相关例题谱密度与相关函数的关系傅立叶变换的性质狄拉克函数2024/4/2334谢谢！谢谢！2024/4/2335