江苏省苏州市2024年九年级期中数学试题暨中考模拟试卷

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1、20232024 学年初三数学中考模拟卷考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效.一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置 上）1 下面几个数中最大的是( )A . B 3 C 1 - D . - 22 若 a = 1，则 a = ( )A 1 B 1 C . 1 D 03 近日从国家统计局获悉，2022 年，苏州全体居民人均可支配收入首次突破7 万元大 关，达到70819 元，则数据70819 用科学记数法表示为( )A 7.0819 103 B 0.70819 105

2、 C 7.0819 104 D 70.819 1034 下列运算正确的是( )A a3 . a4 = a12 B a5 a = a5 C (a3 )4 = a7 D (a3b)3 = a9b35 如图是某圆锥的主视图和左视图，该圆锥的侧面积是( )A 15 B 16 C 20 D 256 我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株 椽每株脚钱三文足，无钱准与一株椽“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价 钱为 6210 文如果每件椽的运费是 3 文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等 于一株椽的价钱，试问 6210 文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符

3、合题意的 方程是( )A B C 3x 1 = D . 7 如图，在 ABC 中，AB = 4 ，AC = 3 ，点 D 在AB 的延长线上，上A = 上BCD = 45O ，则BCD 的面积为( )试卷第 1 页，共 6 页A 7.5 B 4 2 C 7 D 8.58 如图，在RtABC 中，上A = 90O，AC = AB = 4 动点 D 从点A 出发，沿线段AB 以 1 单位长度/秒的速度运动，当点 D 与点 B 重合时，整个运动停止以AD 为一边向 上作正方形ADEF ，若设运动时间为 x 秒(0x 4)，正方形 ADEF 与 ABC 重合部分 的面积为y，则下列能大致反映 y 与

4、x 的函数关系的图象是( )试卷第 2 页，共 6 页A .B .C .D .二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9 计算：cos 30O = .102023 年春节假日期间，苏州市共接待游客 7083000 人次，7083000 用科学记数法表 示为 .11如图，在 44 的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方 形的顶点称为格点假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏 板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是 .12 如果关于 x 的方程x2 - 8x

5、+ m = 0有两个相等的实数根，那么关于 x 的多项式 x2 - 8x + m 因式分解的结果是 .13如图，在 ABC 中，7B = 45O ，AC = 2 分别以点B 和点C 为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N ，作直线MN 交边AB 于点E 若BE = 4 ，则AE 的长为 .14 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点， 则称该点为这个函数图象的“等值点” 已知二次函数y = x2 一 4x 十 m 的图象上有两个“等值点”，则 m 的取值范围 为 .15 甲、乙两人在一条直线跑道上同起点同终点同方向匀速跑步，先到终点的人原地休 息，已知甲先出发 3 秒，从乙

6、出发开始计时，所计时间设为t 秒，在跑步过程中，图 1 是乙跑步路程y （米）与时间t （秒）的函数图像，图 2 是甲、乙两人之间的距离s （米） 与时间t 的函数图像，则b 一 a = .16 如图，在矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 6 ，点 E 是边BC 的中点，将 ABE 沿AE翻折得 AFE ，点 F 落在四边形AECD 内，点 P 是线段AE 上的动点，过点 P 作 PQ T AF ，垂足为 Q，连接PF ，则PQ十 PF 的最小值为 .三、解答题（本大题共 11 小题，共 82 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）试卷第 3 页，共 6

7、页17 计算：2 sin 60o + 3x 2 xl3(x 1) 5x + 218 解不等式组： .19 先化简，再求值 其中 .20 如图，已知 AB=CD，AB CD ，E、F 是 AC 上两点，且 AF=CE .(1)说明：ABECDF；(2)连接 BC，若CFD=100 , BCE=30,求CBE 的度数.21 2023 年苏州文博会于 4 月 17 日至 4 月 28 日在苏州国际博览中心举行，我校气象 兴趣小组的同学们想估计一下苏州今年 4 月份日平均气温情况他们收集了苏州市近五 年来 4 月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60 天的日平均气温，并绘制成如下统 计图：根据以上信息

8、，回答下列问题：(1)这 60 天的日平均气温的中位数为 ；众数为 ；(2)若日平均气温在18至21的范围内（包括18和21)为“舒适温度”，请估计苏 州今年 4 月份日平均气温为“舒适温度”的天数.22 如图，点 A 、B 、C、D 在一条直线上，EA FB, EC FD, AB = CD ，求证：EF AD .试卷第 4 页，共 6 页23 如图，从灯塔 C 处观测轮船 A 、B 的位置，测得轮船 A 在灯塔 C 北偏西 的方向，轮船 B 在灯塔 C 北偏东 的方向，且AC = 2海里，BC = 海里，已知 cos = , sin = ，求 A 、B 两艘轮船之间的距离（结果保留根号）24

9、 如图，以 x 轴上长为 1 的线段AB 为宽作矩形ABCD ，矩形长 AD 、BC 交直线y = x + 3 于点 F、E，反比例函数 的图像正好经过点 F、E .(1)线段EF 长为 .(2)求 k 值.25 已知：BD 为O 的直径，O 为圆心，点A 为圆上一点，过点 B 作O 的切线交DA 的延长线于点 F，点 C 为O 上一点，且AB = AC ，连接BC 交AD 于点 E .(1)如图 1，求证：上ABF = 上ABC ；(2)如图 2，点 H 为O 内部一点，连接OH ，CH 若上OHC = 上HCA = 90O ， O 的半 径为 10 ，OH = 6 ，求 DA 的长.试卷第

10、 5 页，共 6 页26 如图 1，抛物线 y = ax2 2ax + a + 4（a 0）经过A(1，0) ， 且与 x 轴正半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点，连接AC ，直线 l 过点 B 、C.(1)填空：a = ； 直线 l 的函数表达式为： .(2)已知直线x = t 平行于y 轴，交抛物线及 x 轴于点 P、G 当1 t 3 1 2 ，所以最大的数是 ; 故选：A.【点睛】本题考查了实数的大小比较，属于基础题目，熟知比较实数大小的方法是关键. 2 B【分析】根据算术平方根的定义进行求解即可.【详解】解： = 1，: a = 12 = 1 ， 故选 B .

11、【点睛】本题主要考查了算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键.3 C【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a 10 n ，其中1 | a | 10 ，n 为整数. 【详解】解：70819 = 7 .0819 10 4 .故选：C .【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a 10 n 的形式，其中1 | a | 10 ， n 为整数确定n 的值时，要看把原来的数，变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值 与小数点移动的位数相同当原数绝对值 10 时，n 是正数；当原数的绝对值 1 时，n 是 负数，确定a 与n 的值是解题的关键.4 D【分析】由同底数幂的乘法可判

12、断 A，由同底数幂的除法可判断 B，由幂的乘方运算可判断 C，由积的乘方运算可判断 D，从而可得答案.【详解】解：a3 . a4 = a7 ，故 A 不符合题意； a5 a = a4 ，故 B 不符合题意；4( )a3 = a12 ，故 C 不符合题意；3( )a3b = a9b3 ，运算正确，故 D 符合题意；故选 D .【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方运算，积的乘方运算， 答案第 1 页，共 19 页掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键.5 A【分析】求得圆锥的底面周长以及母线长，即可得到圆锥的侧面积. 【详解】解：由题可得，圆锥的底面直径为 6，高为 4，

13、: 圆锥的底面周长为6 ,圆锥的母线长为 : 圆锥的侧面积 6 5 = 15 ,故选：A .【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体以及圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形， 这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.6 A【分析】根据“这批椽的价钱为 6210 文” 、“每件椽的运费为 3 文，剩下的椽的运费恰好等于 一株椽的价钱”列出方程解答.【详解】解：由题意得 故选 A.【点睛】本题考查了分式方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件， 找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的 关键.7 A【分析】作 CE 丄A

14、B 交AB 于点 E，作 BFCD 交CD于点 F，根据等腰直角三角形的性质 求出AE = CE = 3 ，根据勾股定理求出 ，设DF = x ，证明出DBFDCE ，然后利用相似三角形的性质列方程求出CD = 3 最后利用三角形面积公 式求解即可.【详解】如图所示，作 CE 丄AB 交AB 于点 E，作 BFCD 交CD于点 F，答案第 2 页，共 19 页 上A = 45O ，AC = 3 , : AE = CE = 3 ， AB = 4 ，: BE = AB AE = 1， CE 丄AB ， 上BCD = 45O ，BFCD ，: BF = CF = 5 ，设DF = x ，: CD =

15、 CF + DF = x + 5 ， BDF = CDE, 上BFD = 上CED ， : DBFDCE ， 即 :解得x = 2 5 ，: CD = 35 ，:BCD 的面积 CD BF = = 7.5 .故选：A .【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识， 解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活添加辅助线.8 B【分析】分 0 x 2 、2 x 4 两种情况，通过画图确定正方形形ADFE 的位置，进而求 解.【详解】解：当0 x 2 时，正方形ADEF 与 ABC 重合部分的面积为正方形ADEF 的面积， : y = x2 ，:此时函数图象为顶点在原点

16、，开口向上的抛物线；答案第 3 页，共 19 页当2 x 4 时，DE 与BC 相交于 M，EF 与BC 相交于N，如图所示：此时正方形ADEF 与 ABC 重合部分的面积为正方形ADEF 的面积减去三角形EMN 的面 积， ABC 是等腰直角三角形，AB = AC = 4 ， : DM = DB = FN = FC = 4 一 x ，: EM = EN = x 一 (4 一 x) = 2x 一 4 ， 一1 0 ，:二次函数的图象为开口向下的抛物线， 故选：B .【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象， 正方形的性质，确定二次函数表达式是本题解 题的关键.9 . 【分析】可利用 30特殊直角

17、三角形三边关系并结合余弦三角函数定义求解本题.【详解】30直角三角形三边比例关系为1: 2 : ，cos 30。= . 故本题答案为 .【点睛】本题考查余弦三角函数， 熟练记忆其定义即可，对于特殊角度的三角形函数值，可 背诵下来提升解题速度.10 7.083 106【分析】根据科学记数法的概念，即可解答.【详解】解：7083000 = 7.083 106 . 故答案为：7.083 106 .【点睛】本题考查了科学记数法的概念，即把一个数表示成 a 与 10 的 n 次幂相乘的形式答案第 4 页，共 19 页（1 a 10 ，a 不为分数形式，n 为整数），这种记数法叫做科学记数法，熟知概念是解

18、 题的关键.11 #0.25【分析】只需要用阴影部分面积除以整个正方形的面积即可得到答案. 【详解】解：由题意得：一个阴影小三角形的面积为 1 1 = ， 则阴影部分面积为 8 = 4 ，正方形网格的面积为：4 4 = 16 ，所以飞镖击中阴影部分的概率为 故填： .【点睛】本题考查了概率公式和用几何方法求概率，考查的核心是推理能力与模型思想 .12 (x 4)2 # (4 x)2【分析】先根据判别式的意义得到 = (8)2 4m = 0 ，然后解得 m，最后进行因式分解即 可.【详解】: 方程x2 8x + m = 0有两个相等的实数根，: = (8)2 4m = 0 ，:m = 16 ，:

19、 x2 8x +16 = (x 4)2 ， 故答案为：(x 4)2 .【点睛】本题考查一元二次方程判别式的意义以及因式分解，熟练掌握根的判别式是解题的 关键.13 2【分析】设MN 交BC 于D ，连接 EC ，由作图可知：MN 是线段BC 的垂直平分线，即得BE = CE = 4 ，有 上ECB = 上B = 45。，从而 上AEC = 上ECB + 上B = 90。，由勾股定理得 AE = 2 .【详解】解：设MN 交BC 于D ，连接 EC ，如图：答案第 5 页，共 19 页由作图可知：MN 是线段BC 的垂直平分线，:BE = CE = 4 ，: 上ECB = 上B = 45O ，:

20、 上AEC = 上ECB + 上B = 90O，在RtACE 中，故答案为：2 .【点睛】本题考查尺规作图中的计算问题，解题的关键是掌握用尺规作线段垂直平分线的方 法，得到MN 是线段BC 的垂直平分线.14 m 0 ，解得， ，故答案为：m .【点睛】本题考查了二次函数图象， 一元二次方程的根与系数的关系解题的关键在于根据 题意构造一元二次方程.15 24【分析】根据题意和函数图象， 可以得到甲和乙的速度，再根据函数图象中的数据，即可得答案第 6 页，共 19 页到a 和b 的值，然后即可得到b a 的值.【详解】解：由图像可得，乙的速度为10 2 = 5 （米/秒）， 甲的速度为12 3

21、= 4 （米/秒），由题意可得，5a (4a +12) = 96 ，解得 a = 108 ，b = (108 5 12) 4 = 132 ， 故b a = 132 108 = 24 ， 故答案为：24 .【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解并得到乙先到达终点，然后求出 甲、乙两人的速度是解题的关键.9616 . 25【分析】过点 B 作BQ, 丄 AF 于点Q, ，交AE 于P, ，过 F 作MN 丄BC 于 N，交AD 于 M，连 接BP ，利用矩形的性质和折叠性质，结合相似三角形的判定证明 AFM FEN ，得到 , 设FN = 3m ，EN = 3n ，可得 求解可得AM

22、 = 4m = ，由PQ + PF = PQ+ PB 可知，当 B，P，Q 共线时，PQ+ PB 最小，即PQ+ PF 最小，此时 Q 与Q, 重合，P 与P, 重合，PQ+ PF 最小值为BQ, 的长度，证明 BAQ, AFM (AAS) 得到BQ, = AM = 即可求解.【详解】解：过点 B 作BQ, 丄 AF 于点Q, ，交 AE 于P, ，过 F 作MN 丄BC 于 N，交 AD 于 M，连接 BP，如图： BC = 6 ，点 E 是边BC 的中点，四边形ABCD 是矩形，答案第 7 页，共 19 页 上ABE = 90。， ABE 沿AE 翻折得 AFE ， 上AFE = 上ABE

23、 = 90。，EF = BE = 3 ，PB = PF ，AF = AB = 4 ， 上FAM = 90。一 上AFM = 上EFN ，7AMF = 7FNE = 90O， AFM FEN ， AM = FN ， ，设FN = 3m ，EN = 3n ，则 AM = 4m ，MF = 4n ， MN = AB = 4 ，AM = BN ， ，3m + 4n = 4l3 + 3n = 4m解得 ， PQ + PF = PQ + PB ，当 B ，P ，Q 共线时，PQ+ PB 最小，即PQ+ PF 最小，此时 Q 与Q重合，P 与P重合， PQ+ PF 最小值为BQ的长度， 上BAQ= 90。一

24、 上MAF = 上AFM ，上BQA = 上FMA = 90。，AB = AF = 4 ， BAQAFM (AAS) ， PQ+ PF 最小值为BQ的长度 ， 故答案为： .【点睛】本题考查矩形中的翻折问题， 涉及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与 性质，解二元一次方程组、最短路径等知识，解题的关键是掌握翻折的性质，作出辅助线， 构造相似三角形.17 4答案第 8 页，共 19 页【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案.【详解】解：原式2 +3+1= +3 +1 = 4 .【点睛】此题主要考查了特殊三角函数值， 零指数幂，绝对值，二次根式的加减，正确化简 各

25、数是解题关键.18 -2.5x1【分析】分别求出每一个不等式的解集，从而确定不等式组的解集.3x - 2 0) 的图象正好经过点F 、E ，:k = m(m + 3) = (m + 1)(m + 2) ， 解得m = 1，:k = m(m + 3) = 1 2 = 2 .【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征， 待定系数法求反比例函数的解析式，勾股定理，正确表示出点的坐标是解题的关键.25 (1)见解析(2)16【分析】（1）由圆周角定理可得 上BAD = 90 ，即 上D + 上ABD = 90 ，再根据切线的性质可 得上FBA + 上ABD = 90

26、 ，再由等腰三角形的性质得到 上C = 上ABC ，再利用等量代换即可得 出结论；（2）连接OC ，根据平行线的判定与性质得到 上ACO = 上COH ，再根据等腰三角形的性质 得到上OBC = 上OCB ，上ABC + 上CBO = 上ACB + 上OCB ，再由相似三角形的性质得到 = = 2 ，再利用勾股定理进行计算即可.【详解】（1）证明： BD 为O 的直径， : 上BAD = 90 ，: 上D + 上ABD = 90 ， FB 是O 的切线， : 上FBD = 90 ，: 上FBA + 上ABD = 90 ，: 上FBA = 上D ， AB = AC ，: 上C = 上ABC ，

27、上C = 上D ，: 上ABF = 上ABC ；（2）解：如图 2，连接OC ， 上OHC = 上HCA = 90 ，答案第 13 页，共 19 页 AC OH ， 上ACO = 上COH ， OB = OC ， 上OBC = 上OCB ， 上ABC + 上CBO = 上ACB + 上OCB ，即上ABD = 上ACO ， 上ABD = 上COH ， 上H = 上BAD = 90 ， ABD HOC ， OH = 6 ， O 的半径为 10， AB = 2OH = 12 ，BD = 20 ， 【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、 平行线的判定与性质

28、及勾股定理，正确识别图形是解题的关键.26 (1) 1 ，y = x + 3(2)见解析【分析】（1）先将点 A(1，0) 代入y = ax2 2ax + a + 4（a 0）求得 a 的值，进而求得点 C 的 坐标以及对称轴，再确定点 B 的坐标，然后运用待定系数法即可求得直线 l 的解析式；答案第 14 页，共 19 页（2）先用待定系数法求得直线 BD 的解析式为y = 2x + 6 ，则点P(t, t2 + 2t + 3)、点E (t, 2t + 6)、点F(t, t + 3)，进而得到 EF = FG = t + 3 、EG = PG = t2 + 4t 3 ，然后再 根据三角形三边

29、关系列不等式即可证明；（3）由 A(1，0) 、C (0，3) 可得OA = 1, OC = 3 、AC = ；如图线段PE，EF，FG 组成等腰 三角形EFG , EG 与（2）中的 PG 相等，H 为EG 边上的高，再结合（2）可得上EFG = 2上FEH, EH = ；由等腰三角形的顶角是 上ACO 的 2 倍，即上EFH = 上ACO 可得sin 上EFH = sin 上ACO ，然后再根据正弦的定义方程求解即可. 【详解】（1）解：抛物线y = ax2 2ax + a + 4（a 0）经过点A(1，0) ，: a + 2a + a + 4 = 0 ，解得：a = 1 ； :抛物线解析

30、式为：y = x2 + 2x + 3 ，令x = 0 ，得：y = 3 ，即点 C 的坐标为(0，3) ； 点A(1，0) ，对称轴为直线 x = 1，: 1 2 (1) = 3，:点 B 的坐标为(3，0) ，设直线BC 的解析式为：y = kx + b ,: ，解得： 1 ，3k + b0 k 1lb3 lb13:直线BC 的解析式为：y = x + 3 ，即直线 l 的解析式为y = x + 3 . 故答案为 1 ，y = x + 3 .（2）解：设直线 BD 的解析式为y = k1x + b1 ,3k1 + b10 k 2: lk1 + b14 ，解得：lb6 ，:直线BD 的解析式为

31、：y = 2x + 6 ；:点P(t, t2 + 2t + 3)，点E(t, 2t + 6)，点F (t, t + 3)，: PE = (t2 + 2t + 3) (2t + 6) = t2 + 4t 3，EF = (2t + 6) (t + 3) = t + 3，FG = t + 3 ， : EF = FG .答案第 15 页，共 19 页:EF + FG PE = 2 (t + 3) (t2 + 4t 3) = (t 3)2 0 ， EF + FGPE ，当1 t 3 时，线段PE，EF，FG 总能组成等腰三角形.（3）解： A (1，0) ，C (0，3) OA = 1, OC = 3如

32、图：线段PE，EF，FG 组成等腰三角形EFG , EG 与（2）中的 PG 相等，H 为EG 边上的 高由（2）可得：EF = FG = t + 3 ，EG = PG = t2 + 4t 3 上EFG = 2上FEH, EH = 等腰三角形的顶角是上ACO 的 2 倍 上EFH = 上ACO sin 上EFH = sin 上ACO ， , 即 解得： .【点睛】本题主要考查了正弦函数、求二次函数解析式、二次函数的性质、用待定系数法求 一次函数解析、等腰三角形的性质、勾股定理、坐标与图形等知识点， 正确求得各函数的解 析式是解答本题的关键.27 (1)证明见解析(2) 上EAG = 20(3)

33、 4 3 4【分析】（1）根据等边三角形的性质和旋转的性质得出GF = CF = CG ，进而利用全等三角形 的判定和性质解答即可；答案第 16 页，共 19 页（2）过点 E 作EHBC ，交 AB 于 H，连接HF ，根据等边三角形的性质和三角形内角和 定理解答即可；（3）由点 E 是AC 的中点及勾股定理，可求得BE = 4 3 ，由折叠的性质知，B ,E = BE = 4 ，可得点 B, 是以点 E 为圆心，BE 为半径的E 上，再由旋转可知， EG = EF ，可得要使 B,G 的值最小，则EG 最大，据此即可解答.【详解】（1）证明： ABC 是等边三角形，:BC = AC ，上A

34、CB = 60O ， 即上BCF + 上ACF = 60O ，由旋转可得：CF = CG ，上ACF + 上ACG = 上FCG = 60O ， :CGF 是等边三角形，: GF = CF = CG ，: 上BCF = 上ACG ，在BCF 与 ACG 中， CF = CG 上BCF = 上ACG ，l BC = AC:BCF ACG(SAS) ，:BF = AG ，上CBF = 上CAG ， 上CBN+ 上BCN+ 上BNC = 上CAG + 上AGN+ 上ANG = 180O ，上BNC = 上ANG ，: 上AGN = 上BCN = 60O ， D 为BC 的中点， ABC 是等边三角形

35、，:BD = CD ，AD 丄BC ，:BF = CF = FG ，:FG = AG ，:AGF 是等边三角形，: AF = AG ，: AF = AG = CG = CF ， 四边形AFEG 是菱形；（2）解：过点 E 作EHBC ，交 AB 于 H，连接HF ，答案第 17 页，共 19 页:ABC 是等边三角形，:上B = 上C = 上BAC = 60O ， : EH BC ，: 上AHE = 上B = 60O ，上AEH = 上C = 60O ， :AEH 是等边三角形，: AH = AE ，由（1）可知，上EAG = 上EHF ，:D 为BC 的中点，等边三角形ABC ，: AD 丄

36、 BC ， : EH BC ，:AD 垂直平分EH ， :HF = EF ，:上EHF = 上HEF ，设上EHF = 上HEF = x ，则 上AEM = 60O x ，上MFH = 上EHF + 上HEF = 2x ，: 上HMF = 上MAE + 上AEM = 60O + 60O x = 120O x ， : AM + MF = AE，AE = AM + MH = AH ，:MH = MF ，: 上MHF = 上MFH = 2x ，: 上HME + 上MHE + 上HEM = 180O ， :120O x + 3x + x = 180O ，:x = 20O ，: 上EAG = 20O ；（3）解：点 E 是AC 的中点，答案第 18 页，共 19 页: AE = AC = 4 ，由折叠知， BE = BE = 4点B是以点 E 为圆心，BE 为半径的E 上， 由旋转可知，EG = EF ，:BG 的最小值为BE EG ，要使 BG 的值最小，则EG 最大， 点 F 为AD 上的点，点 F 在点 D 或点A 时，EF 最大，即EG 最大，EG 的最大值为AC = 4 ，线段BG 长度的最小值为43 4 .【点睛】此题是四边形综合题， 考查菱形的判定和全等三角形的判定和性质，以及等边三角 形的判定和性质，关键是利用等边三角形的性质和旋转的性质解答.答案第 19 页，共 19 页