实二次型的合同标准形与正交标准形

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1、实二次型的合同标准形与实二次型的合同标准形与正交标准形正交标准形杨忠鹏陈智雄晏瑜敏林志兴杨忠鹏陈智雄晏瑜敏林志兴2007年年6月月30日日1福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会一、二次型的基本问题一、二次型的基本问题（1）（1）可被唯一表示为）可被唯一表示为（2）基本问题：基本问题：（3）其中其中 ,可逆可逆2福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会常用的实二次型化简常用的实二次型化简 2）（5）（5）中中 为实二次型的正交标准形为实二次型的正交标准形.1）（4）称称（4）为实二次型的合同标准形

2、为实二次型的合同标准形.其中其中 ,可逆可逆,为正、负惯性指为正、负惯性指数数.3福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会二、目前的教材处理情况二、目前的教材处理情况1.北大教材北大教材1第五章第五章 二次型二次型五节内容五节内容 基本问题：合同标准形基本问题：合同标准形第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间9.6 实对称矩阵的标准形实对称矩阵的标准形 基本问题：正交标准形基本问题：正交标准形第十章第十章 双线性函数与辛空间双线性函数与辛空间10.3 双线性函数双线性函数将基本知识分散处理于三部分将基本知识分散处理于三部分 距离远、联系差距离远、

3、联系差4福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会2.张禾瑞、郝鈵新：高等代数（第四版）张禾瑞、郝鈵新：高等代数（第四版）2第八章第八章 欧氏空间和酉空间欧氏空间和酉空间8.4 对称变换和对称矩阵对称变换和对称矩阵 基本问题：正交标准形基本问题：正交标准形第九章第九章 二次型二次型9.1-9.3 基本问题：合同标准形基本问题：合同标准形9.4 主轴问题、正交标准形主轴问题、正交标准形 福师大所编教材福师大所编教材3的处理与的处理与2相似（只讲相似（只讲 第六第六章章 二次型，第七章二次型，第七章 欧氏空间），欧氏空间），3另一个特点是二另一个特点是

4、二次型从简单的线性函数和双线性函数入门（也综合次型从简单的线性函数和双线性函数入门（也综合1的较高的起点）的较高的起点）.5福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会3.非数学专业教材非数学专业教材两种标准形是紧密出现的两种标准形是紧密出现的 居余马居余马4第五章第五章 特征值和特征向量、矩阵的对角化特征值和特征向量、矩阵的对角化 5.3 实对称矩阵的对角化（正交标准形）实对称矩阵的对角化（正交标准形）第六章第六章 二次型（主要是实二次型）二次型（主要是实二次型）同济线性代数同济线性代数5第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 5.4 对称

5、矩阵的对角化对称矩阵的对角化 5.5 二次型及其标准型二次型及其标准型 5.6 用配方法化二次型成标准型用配方法化二次型成标准型 5.7 正定二次型正定二次型 6福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会 中国人大中国人大 线性代数线性代数6第四章第四章 矩阵的特征值矩阵的特征值 4.4 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化 第五章第五章 二次型二次型7福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会4.新出版的一些高等代数教材新出版的一些高等代数教材 邱维声邱维声7第五章第五章 矩阵的相抵分类与相似分类矩阵

6、的相抵分类与相似分类第六章第六章 二次型、矩阵的合同分类二次型、矩阵的合同分类这样可将正交标准形同时纳入教学内容这样可将正交标准形同时纳入教学内容8福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会 姚慕生姚慕生8 实对称矩阵的正交相似标准型是比一般合实对称矩阵的正交相似标准型是比一般合同标准型更强有力的工具同标准型更强有力的工具.（见（见8,P246）第八章第八章 二次型二次型 8.1 正交相似标准形正交相似标准形 8.2 合同标准形合同标准形 第九章第九章 内积空间内积空间 第十章第十章 双线性型双线性型 9福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会

7、福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会 张贤科张贤科9结构有较大变化，分三部分：结构有较大变化，分三部分：基础内容基础内容 多项式多项式 线性代数线性代数 线性空间线性空间 线性变换线性变换 深入内容深入内容第七章第七章 方阵相似标准形与空间分解方阵相似标准形与空间分解第八章第八章 双线性型、二次型与方阵相合双线性型、二次型与方阵相合第九章第九章 欧几里德空间与酉空间欧几里德空间与酉空间 选学内选学内容容10福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会三、几点看法三、几点看法1.实二次型两种标准形的重要性实二次型两种标准形的重要性数学专业教材数

8、学专业教材 新编教材新编教材非数学专业教材非数学专业教材2007年国家教育部颁布的考研大纲，变化最大的部分年国家教育部颁布的考研大纲，变化最大的部分是是 二次型的两种标准形二次型的两种标准形 作为高数四的新增内容作为高数四的新增内容.现在高数一、二、三、四的线性代数考纲基本相同现在高数一、二、三、四的线性代数考纲基本相同.11福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会2.要注重讨论的几何背景要注重讨论的几何背景合同标准形可给出二次曲面的仿射分类合同标准形可给出二次曲面的仿射分类 9,8.8 二次曲面的仿射分类二次曲面的仿射分类,定理定理8.13定理

9、定理8.13 对对 中二次超曲面中二次超曲面记记 分别为分别为 的秩、正惯性指数、负惯性的秩、正惯性指数、负惯性指数、符号差；指数、符号差；分别为分别为 相应的值相应的值.则可经仿射则可经仿射变换化此二次超曲面的方程为变换化此二次超曲面的方程为当当当当当当1）2）3）12福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会 9,9.5 二次曲面的正交分解二次曲面的正交分解,定理定理9.12 定理定理9.12 设欧几里得空间设欧几里得空间 中二次超曲面在一标准中二次超曲面在一标准正交基下的方程为正交基下的方程为 实对称方阵实对称方阵 的非零特征值的非零特征值

10、，则可经过正交，则可经过正交变换化此曲面为下列情形之一：变换化此曲面为下列情形之一：1）（当（当 为为 的秩的秩）2）（当（当 ）（）3）（当（当 ）13福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会3.要加强对正交矩阵相关性质的教学要加强对正交矩阵相关性质的教学 运算性质运算性质 与正交标准形相关的矩阵分解与正交标准形相关的矩阵分解 结构性质结构性质i)行行(列列)向量标准基向量标准基ii)元素与代数余子式元素与代数余子式iii)特征值特征值14福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会应用应用:i)分解

11、分解设设 ,如果如果 ,则有唯一的正交矩阵则有唯一的正交矩阵 和正和正上三角矩阵上三角矩阵 使得使得 .（文献（文献1 第九章第九章 习题习题14）设设 为为 阶正定矩阵阶正定矩阵,则有正上三角矩阵则有正上三角矩阵 使使（文献（文献1 第九章第九章 习题习题20）设设 证明存在正交矩阵证明存在正交矩阵 ,使使 为三角阵的为三角阵的 充分必要条件是充分必要条件是 的特征多项式的根全部是实的的特征多项式的根全部是实的.15福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会)矩阵偶矩阵偶(文献文献1 第九章第九章 补充题补充题10)设设 都是实对称矩阵且都是实对

12、称矩阵且 是正定的是正定的,证明存在实可逆证明存在实可逆矩阵矩阵 ,使使 与与 同时为对角矩阵同时为对角矩阵.)正定矩阵的正定平方根正定矩阵的正定平方根设设 是一个正定矩阵是一个正定矩阵,证明存在一个正定矩阵证明存在一个正定矩阵 ,使使得得 .可以证明可以证明 是唯一的是唯一的,因此可记因此可记 你能否证明你能否证明:对任意正整数对任意正整数 ,正定矩阵正定矩阵 有唯一的有唯一的 次次 正定方根正定方根 使得使得?正定矩阵的乘积是否还是正定矩阵？正定矩阵的乘积是否还是正定矩阵？正定矩阵乘积的特征值都是正实数？正定矩阵乘积的特征值都是正实数？16福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会福建省

13、高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会)极分解极分解（北师大高等代数第四版（北师大高等代数第四版9.49.4习题）习题）设设 为可逆矩阵为可逆矩阵,证明存在正定矩阵证明存在正定矩阵 和正交和正交矩阵矩阵 ,使得使得 .这种分解是唯一的吗这种分解是唯一的吗?是否有分解形式是否有分解形式?17福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会)奇异值分解奇异值分解设设 为可逆矩阵为可逆矩阵,证明存在正交矩阵证明存在正交矩阵 和和 使使得得 当当 时时,上述分解形式有什么变化上述分解形式有什么变化?称称 为为 的奇异值的奇异值,与与 的特征值是什么关系的特征值是

14、什么关系?18福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会参考文献：参考文献：1 北京大学编北京大学编,高等代数（第三版）高等代数（第三版）,高等教育出版社高等教育出版社,2003年年.2 张禾瑞张禾瑞,郝鈵新编郝鈵新编,高等代数高等代数(第四版第四版),高等教育出版社高等教育出版社,1999年年.3 陈昭木陈昭木,陈清华陈清华,王华雄王华雄,林亚南编著林亚南编著,高等代数高等代数(下下),福建教育出版社福建教育出版社,1992年年.4 居余马居余马,线性代数线性代数(第二版第二版),清华大学出版社清华大学出版社,2002年年.5 同济大学应用数学系

15、编同济大学应用数学系编,线性代数线性代数(第四版第四版),高等教育出版社高等教育出版社,2003年年.6 吴赣昌吴赣昌 主编主编,线性代数线性代数(理工类理工类),中国人民大学出版社中国人民大学出版社,2006年年.7 邱维声邱维声,高等代数高等代数(上册上册),高等教育出版社高等教育出版社,北京北京,2002年年.8 姚慕生姚慕生,高等代数高等代数(大学数学学习方法指导丛书大学数学学习方法指导丛书),复旦大学出版社复旦大学出版社,2002年年.9 张贤科张贤科,许甫华许甫华,高等代数学高等代数学(第二版第二版),清华大学出版社清华大学出版社,2004年年.19福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会谢 谢!20