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1、第三章测度论复习提问复习提问:1、勒贝格测度公理是：R1的点集E的测度m，m(E)满足那三条性质？（1）非负：m(E)0，（2）可列可加：如果E1，E2En两两不相交，那么m(E1E2En)=m(E1)+m(E2)+m(En)+（3）正则性：m(a,b)=ba1n设E为Rn中任一点集，对于每一列覆盖E的开区间IiE,作出它的体积总和=|Ii|,(可以是+.)所有一切的组成下方有界的数集，它的下确界称为E的L外测度,并记为m*E,有nm*E=2、勒贝格外测度的定义23、外测度的基本性质n定理1（P55）集E，有n（1）非负性：m*E0,m*()=0;n（2）单调性：n若E1E2,则m*E1m*E
2、2;n（3）次可加性：34、几个例子n例例1 设E为0，1中的全体有理数，则m*E=0.4例例2 可数点集的外测度为0。n证明证明 （1）已知单点集的外测度为0。n(2)设A是可数点集，n且A=a1,a2an=ann由外测度性质，得n0m*A=m*(an)nm*an=0n所以，m*A=0.证毕。5例例3Cantor集合外测度为0。n证证明明设C是Cantor集，P是0，1上C的余集，即是构造C时每次去掉的开区间，有nP=0，1C6第二节第二节 可测集可测集（P57）n一、可测集定义的说明可测集定义的说明nLebesgue当初首先引入外测度m*与内测度m*,然后通过条件m*A=m*A定义可测集，
3、这沿循了面积计算的外切多边形与内接多边形的思想，是直观上最容易被接受的方法，但循此方法建立的理论并不是最简洁的，而且缺少推广的价值。因而被Caratheodory(卡拉泰奥多里)的导入法所取代。Caratheodory给出的可测条件为：nm*T=m*(T E)+m*(T CT)（P59（3）n称E可测，把m*E称为E的测度，记为mE。7n这一定义初看起来是不自然的，但事实证明它是迄今为止最简捷的可测集的导入法，在学习讨论可测集相关性质等问题时，常用此进行定理的证明。n在L积分理论问题中，很少需要去准确算出某个集合的测度，更重要的问题往往是判定某个集合是否为零测度集合。81、关于、关于“卡拉泰奥
4、多里卡拉泰奥多里”定义定义n 外测度外测度 m*:n(1)Rn中任意集合E都有外测度m*E；n（2）m*E仅成立次可加性，不成立测度公理要求的可数可加性。nP57，有互不相交的Ei,使nm*（Ei）（m*Ei）n即：Rn上集合E的外测度m*E不能代替测度mE.9n 研研究究的的问问题题：Rn中哪些类集合外测度m*满足测度m的可数可加性？即成立nm*（Ei）=（m*Ei）（P58（1）a.先设想满足测度公理要求可数可加性的集合类,中的集合作可数并运算、交运算、差运算及补运算是封闭的,包含了Rn中所有有限开区间，由测度公理也包含了Rn。10n若E,由Rn、任意开区间I,及运算的封闭性有：(IE),
5、(ICE)n又(IE)(ICE)=,nI=(IE)(ICE)n由（1）式，成立：nm*I=m*(IE)+m*(ICT)（P58（2）nb、反之，由上述推证过程知，如果存在某个开区间I，使（2）式不成立，则E不应该属于.n由上面a.、b论述，对于Rn中点集E是否满足测度m的可数可加性，我们可以用（2）式是否成立来判断。11nC、更一般地，可以证明，（2）式中的区间I换成任意点集T，结论成立，P59引理，即Rn中点集E是否满足测度m的可数可加性，可以用（3）式(卡拉泰奥多里条件)是否成立来判断。nm*T=m*(TE)+m*(TCT)(任意T)（P59（3）12一、可测集的定义可测集的定义（P60）
6、n 定定义义1设E是Rn给定点集，如果对任一点集T，有nm*T=m*(TE)+m*(TCE)n则称E是L可测集，这时E的L外测度又称为E的L测度，记为mE。13n注注1定义1给出的可测集定义，不区分E的有界、无界，也不讨论E的内、外测度，只要对任意点集T等式成立，则E是L可测集。有的实变函数教材取此定义作为E可测的充要条件。在对可测集性质与结构的论证中，更多地使用该定义。n注注2定义1给出的可测集定义，与Lebesgue首先引入外测度m*与内测度m*,然后通过条件m*A=m*A定义可测集是等价的。（P60注，P321附录一）n14n 三、可则集合的性质三、可则集合的性质15n定理定理2E可测的充分必要条件是cE可测。n证明证明：任意T，nm*T=m*(TE)+m*(TcE)n=m*(Tc(cE)+m*(TcE)n定理证毕。16
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