风险收益投资者效用

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1、第 二 部 分 资 产 组 合 理 论 将 不 同 证 券 构 成 “ 一 蓝 子 ” 资 产 进 行 投 资 ， 即形 成 一 个 资 产 组 合 。 投 资 者 在 构 建 一 个 投 资 组 合时 ， 其 所 面 临 的 主 要 问 题 : 第 一 ， 构 建 组 合 的 原 则 是 什 么 ？ 第 二 ， 选 择 哪 些 资 产 或 证 券 构 成 这 一 组 合 ？ 第 三 ， 总 投 资 额 如 何 在 这 些 资 产 或 证 券 中 分 配 ？资 产 组 合 理 论 即 要 解 决 或 部 分 解 决 这 些 问 题 。 第 四 章 风 险 、 收 益 与 投 资 者效 用 投

2、资 学 的 一 个 基 本 指 导 理 念 即 是 风 险 与 收益 的 最 优 匹 配 。 对 一 个 理 性 的 投 资 者 而 言 ，所 谓 风 险 与 收 益 的 最 优 匹 配 ， 即 是 在 一 定风 险 下 追 求 更 高 的 收 益 ； 或 是 在 一 定 收 益下 追 求 更 低 的 风 险 。 对 风 险 与 收 益 的 量 化以 及 对 投 资 者 风 险 偏 好 的 分 类 ， 是 构 建 资产 组 合 时 首 先 要 解 决 的 一 个 基 础 问 题 。 第 一 节 风 险 和 收 益 的 衡 量一 、 单 一 资 产 风 险 风 险 与 收 益 的 衡 量（ 一

3、） 单 一 资 产 风 险 的 衡 量 一 般 将 投 资 风 险 定 义 为 实 际 收 益 对 预 期 收 益 的偏 离 ， 数 学 上 可 以 用 预 期 收 益 的 方 差 来 衡 量 。 公 式为 ： 2 ri-E(ri)2 （ 4.1） 方 差 的 平 方 根 为 标 准 差 ， 公 式 为 ： （ 4.2） ni ih1 ni ii rErh1 2)( 方 差 或 标 准 差 越 大 ， 随 机 变 量 与 数 学 期 望 的 偏 离越 大 ， 风 险 就 越 大 。（ 二 ） 单 一 资 产 收 益 的 衡 量 对 资 产 收 益 的 估 计 可 用 数 学 期 望 方 法 进

4、 行 ， 即对 每 一 收 益 率 的 估 计 都 给 出 其 实 现 的 概 率 ， 再 对 各收 益 率 及 其 概 率 加 权 平 均 。 公 式 为 ： E(ri)= ri （ 4.3） 式 中 ， E(ri)为 预 期 收 益 率 ； ri为 第 I个 资 产 的 收益 预 期 ； hi为 第 I个 资 产 的 预 期 收 益 可 能 发 生 的 概 率 。 ni ih1 风 险 溢 价 （ Risk Premium） ， 是 指 超 过 无 风 险 资产 收 益 的 预 期 收 益 ， 这 一 溢 价 为 投 资 的 风 险 提 供了 补 偿 。 其 中 的 无 风 险 （ ris

5、k-free） 资 产 ， 是 指其 收 益 确 定 ， 从 而 方 差 为 零 的 资 产 。 一 般 以 货 币市 场 基 金 或 者 短 期 国 债 作 为 无 风 险 资 产 的 代 表 品 。（ 三 ） 实 际 应 用 以 上 所 研 究 的 资 产 的 风 险 与 收 益 概 念 ， 在 实 际 应用 中 涉 及 到 两 方 面 的 问 题 ， 其 一 是 如 何 应 用 上 述概 念 计 量 投 资 的 风 险 和 收 益 ； 其 二 是 以 计 量 结 果指 导 资 产 选 择 。 首 先 我 们 来 看 在 实 际 投 资 中 对 收 益 和 风 险 的 计 量 。如 果 我

6、 们 是 对 某 一 股 票 进 行 投 资 ， 那 么 股 票 的 未来 收 益 和 风 险 是 不 可 知 的 ， 就 需 要 用 样 本 进 行 估计 ， 即 通 过 计 算 样 本 平 均 值 和 样 本 方 差 来 估 算 其收 益 和 风 险 。 在 计 算 过 程 中 一 般 用 该 股 票 以 前 已 实 现 的 收 益 为样 本 ， 并 假 设 其 收 益 的 概 率 分 布 不 变 。 该 资 产（ 股 票 ） 的 样 本 平 均 值 公 式 是 ： （ 4.4） 式 中 ， N为 收 益 观 察 值 的 数 量 ， 通 常 是 一 个 时 间变 量 ， 如 几 周 、 几

7、 个 月 。 r NrNt i1 样 本 平 均 值 与 预 期 收 益 是 有 差 别 的 ， 这 一 差 别 也即 风 险 因 素 ， 它 可 以 通 过 样 本 方 差 计 算 ， 公 式 为 ： 2 （ 4.5） 通 过 上 述 计 算 过 程 ， 我 们 即 可 在 实 际 投 资 中 计 量单 一 资 产 的 收 益 和 风 险 。 例 题 4.1： 假 定 投 资 于 某 股 票 ， 初 始 价 格 10元 ， 持 有 期 1年 ，现 金 红 利 为 0.4元 ， 预 期 股 票 价 格 在 表 3-1所 示 的 不同 经 济 运 行 状 态 下 有 如 下 三 种 可 能 ，

8、求 各 种 可 能下 的 收 益 率 ， 并 求 该 股 票 的 期 望 收 益 和 方 差 。1 )(1 2 N rrNt t 表 4-1 一 个 假 设 的 股 票 投 资 经 济 状 态 繁 荣 正 常 运 行 萧 条 概 率 0.25 0.50 0.25 期 末 价 （ 元 ） 14 11 8 解 ： 设 r1、 r2、 r3分 别 为 繁 荣 、 正 常 运 行 和 萧 条 状态 下 的 收 益 率 。 则 r1 （ 14-10+0.4） /10 44 r2 （ 11-10+0.4） /10 14 r3 （ 8-10+0.4） /10 16 根 据 预 期 收 益 率 计 算 公 式

9、 ：E(r)=(0.25 44%)+(0.5 14%)+0.25 ( 16 ） =14% 再 根 据 方 差 的 计 算 公 式 ： 2=0.25(44-14)2+0.5(14-14)2+0.25(-16-14)2 =450 其 次 我 们 再 来 看 资 产 选 择 问 题 。 一 个 风 险 厌 恶的 投 资 者 ， 其 行 为 方 式 将 服 从 均 值 方 差 标 准 （ mean-variance criterion)， 即 如 果 投 资 者 是 风 险 厌 恶的 ， 则 其 对 于 证 券 A和 证 券 B的 选 择 ， 当 且 仅 当E(rA) E(rB)， 且 A2 B2成

10、立 时 ， 投 资 者 应 选 择证 券 A而 放 弃 证 券 B。 这 即 是 根 据 风 险 与 收 益 的 关 系进 行 资 产 选 择 的 原 则 之 一 。 我 们 还 可 以 采 用 夏 普 比 率 进 行 资 产 选 择 。 所 谓夏 普 比 率 （ Shape rate） ， 是 指 承 担 单 位 风 险 下 所获 得 的 收 益 。 即 ： CV=E(r)/ （ 4.6） 夏 普 比 率 的 值 越 大 ， 表 明 承 担 单 位 风 险 的 情 况下 所 获 得 的 收 益 越 大 ， 即 该 资 产 （ 或 证 券 ） 越 具 有投 资 价 值 。 夏 普 比 率 是

11、我 们 进 行 资 产 选 择 的 又 一 重要 原 则 或 指 标 。 二 、 资 产 组 合 的 收 益 和 风 险 衡 量 （ 一 ） 资 产 组 合 的 收 益 1， 对 组 合 资 产 的 投 资 决 策 ， 不 仅 要 考 虑 单 个 资产 的 收 益 和 风 险 ， 而 且 要 考 虑 资 产 组 合 作 为 一 个 整体 的 收 益 和 风 险 ； 还 需 要 决 定 对 组 合 中 的 某 一 单 独资 产 的 投 资 比 例 。 2， 资 产 组 合 的 预 期 收 益 E(rp)是 资 产 组 合 中 所有 资 产 预 期 收 益 的 加 权 平 均 ， 其 中 的 权

12、数 x为 各 资 产投 资 占 总 投 资 的 比 率 。 公 式 为 ： E(r p)= 其 中 ， i=1， 2， n； x1+x2+ xn=1。 ni ii rEx1 )( 例 题 4.2 其 中 组 合 期 望 收 益 率 0.316 5 0.454 7 0.23 3证 券 名 称 中 国 国 贸 钢 联 股 份 华 夏 银 行 组 合证 券 代 码 600007 600010 600015组 合 中 股 份 100 200 100 400初 始 买 入 价 5.98元 4.29元 4.36元总 投 资 598元 858元 436元 1892元占 组 合 比 例 0.316 0.454

13、 0.23 1期 望 收 益 率 5 7 3 3.9 （ 二 ） 资 产 组 合 的 方 差 1， 资 产 组 合 的 方 差 不 是 各 资 产 方 差 的 简 单 加 权平 均 ， 而 是 资 产 组 合 的 收 益 与 其 预 期 收 益 偏 离 数 的平 方 ， 即 ： 2p=Erpi-E(rp)2 式 中 ， I为 假 设 状 态 ， rip为 资 产 组 合 p在 I状 态下 的 收 益 率 。 2， 对 n个 资 产 的 组 合 ， 计 算 方 差 的 一 般 公 式为 ： 2 p= （ 其 中 ， i j） 公 式 表 明 ， 资 产 组 合 的 方 差 是 资 产 各 自 方

14、 差 与它 们 之 间 协 方 差 的 加 权 平 均 。 ni iix1 22 ni nj jiji xxxx1 1 ),cov( 例 题 4.3 假 设 由 两 项 资 产 构 成 投 资 组 合 ， x1 0.25， 10.20， x2 0.75， 2 0.18， 且 12 0.01， 计 算该 组 合 的 方 差 。 根 据 公 式 有 ： 2=0.252(0.20)2+0.25(0.75)(0.01)+0.752 (0.18)2+0.75(0.25)(0.01) =0.0245 可 见 组 合 投 资 有 利 于 降 低 投 资 风 险 。 但 这 一 结 果的 取 得 还 有 赖

15、于 资 产 之 间 的 相 关 系 数 。 （ 三 ） 相 关 系 数 与 方 差 1， 相 关 系 数 相 关 系 数 反 映 两 个 随 机 变 量 的 联 系 程 度 ， 计 算公 式 为 ： ij= ij为 资 产 A与 B的 相 关 系 数 ， 其 取 值 为 1， 1。 正 号 表 示 正 相 关 ， 负 号 表 示 负 相 关 ； 1时为 完 全 正 相 关 ， 1时 为 完 全 负 相 关 ， 0时 不 相关 。 ji ij 例 题 4.4 根 据 例 题 3的 数 据 ， 其 组 合 中 两 资 产 的 相 关 系数为 ： 12=0.01/(0.2 0.18)=0.278 可

16、 见 ， 虽 然 两 资 产 的 相 关 系 数 为 正 ， 但 趋 近 于0， 从 而 才 导 致 例 题 2的 组 合 风 险 低 于 单 个 的 资 产 风险 。 相 关 系 数 越 大 ， 组 合 的 风 险 越 大 。 阅 读 材 料 ： p80 2， 相 关 系 数 与 方 差 两 资 产 组 合 的 方 差 可 由 相 关 系 数 表 示 为 ： 2p=x21 21+x22 22+2x1x2 12 1 2 由 该 式 可 见 ， 12越 大 ， 2p越 大 ； 反 之 则 反是 。 这 说 明 ， 资 产 的 相 关 度 越 高 ， 资 产 组 合 的 风 险越 大 ； 或 者

17、说 ， 选 择 相 关 度 小 的 资 产 组 合 ， 可 降 低投 资 风 险 。 N个 资 产 组 合 的 收 益 与 方 差 的 公 式 ？ 三 、 系 统 性 风 险 的 衡 量 （ 一 ） 非 系 统 性 风 险 1， 非 系 统 性 风 险 可 以 通 过 证 券 组 合 消 除 。 如 果市 场 是 有 效 的 ， 则 整 个 证 券 市 场 可 以 看 作 是 “ 市 场组 合 ” 。 2， 由 于 证 券 组 合 可 消 除 非 系 统 性 风 险 ， 因 此 市场 组 合 或 整 个 市 场 的 非 系 统 性 风 险 为 0。 （ 二 ） 系 统 性 风 险 的 衡 量

18、1， 可 以 用 某 证 券 的 收 益 率 与 市 场 收 益 率 之 间 的 系 数 代 表 该 证 券 的 系 统 性 风 险 。 2， 某 证 券 的 系 数 i是 指 该 证 券 的 收 益 率 和市 场 收 益 率 的 协 方 差 im， 再 除 以 市 场 收 益 率 的 方差 2m， 即 i= im/ 2m 3， 对 一 个 证 券 组 合 的 系 数 p， 它 等 于 该 组合 中 各 证 券 的 系 数 的 加 权 平 均 ， 权 数 为 各 种 证 券的 市 值 占 该 组 合 总 市 值 的 比 重 Xi， 即 ： p （ 三 ） 系 统 性 风 险 的 判 断 1，

19、如 果 某 证 券 或 证 券 组 合 的 1， 其 系 统 性 风 险 与 市 场 风 险 一 致 ； 1， 大 于 市 场 风 险 ； 1， 小 于 市 场 风 险 ； 0， 无 系 统 性 风险 。 ni iiX1 2， 等 于 、 大 于 还 是 小 于 市 场 风 险 ， 本 身 无 好坏 之 分 ， 要 依 据 投 资 策 略 而 看 。 因 为 一 方 面 存 在 高风 险 高 收 益 ， 另 一 方 面 不 同 投 资 者 （ 或 机 构 ） 对 风险 的 偏 好 （ 目 标 ） 不 一 样 。 若 投 资 策 略 是 追 求 风 险价 值 ， 则 1或 1是 无 效 组 合

20、。 第 二 节 投 资 者 的 风 险 偏 好 在 对 值 的 研 究 中 我 们 提 到 ， 不 同 投 资 者 有 不 同的 风 险 偏 好 。 原 则 上 ， 我 们 可 以 依 据 投 资 者 对 风 险的 态 度 ， 将 投 资 者 分 为 风 险 厌 恶 型 、 风 险 中 性 和 风险 偏 好 三 种 类 型 。 一 、 效 用 价 值 与 确 定 性 等 价 利 率 衡 量 一 项 投 资 或 投 资 组 合 的 效 用 ， 即 是 观 察 其 风险 与 收 益 的 匹 配 状 态 ： 在 风 险 一 定 的 情 况 下 ， 预 期的 收 益 越 高 ， 该 投 资 或 资 产

21、 组 合 的 效 用 价 值 越 大 ；而 其 收 益 波 动 性 越 强 的 投 资 或 资 产 组 合 ， 效 用 值 就越 低 。 给 定 预 期 收 益 为 E(r)， 收 益 波 动 性 （ 方 差 ） 为 2， 则 资 产 组 合 的 效 用 价 值 为 ： U=E(r)-0.005A 2 (4.7) 式 中 U为 效 用 价 值 ； A为 投 资 者 的 风 险 厌 恶 指数 ； 系 数 0.005是 一 个 按 比 例 计 算 的 方 法 ， 这 使 得 我们 可 以 将 预 期 收 益 和 标 准 差 表 述 为 百 分 比 而 不 是 表示 为 小 数 。 公 式 表 明

22、， 高 预 期 收 益 会 提 高 效 用 ， 而高 波 动 性 （ 风 险 ） 将 较 低 效 用 。 我 们 可 以 将 效 用 价 值 与 无 风 险 投 资 的 报 酬 率 进行 比 较 ， 以 确 定 风 险 投 资 与 安 全 投 资 之 间 的 选 择 。即 我 们 可 以 将 无 风 险 投 资 的 效 用 看 作 是 投 资 者 的 确定 性 等 价 的 收 益 率 。 一 个 资 产 组 合 的 确 定 性 等 价 的利 率 （ certainty equivalent rate） 是 为 使 无 风 险投 资 与 风 险 投 资 具 有 相 同 吸 引 力 而 确 定 的

23、 无 风 险 投资 的 报 酬 率 。 例 题 4.5： 如 果 某 股 票 的 期 望 收 益 率 为 10%， 方 差 2为42.42%， 假 定 无 风 险 利 率 为 4%。 如 果 某 投 资 者 A的风 险 厌 恶 指 数 为 3， 而 另 一 投 资 者 B的 风 险 厌 恶 指 数为 2。 请 问 这 两 个 投 资 者 该 如 何 进 行 投 资 （ 资 产 ） 选择 ？ 解 ： 根 据 公 式 （ 4.7） 给 出 的 投 资 者 效 用 价 值 公式 ， 对 投 资 者 A来 说 ， 如 果 他 投 资 者 于 例 题 中 所 给 的股 票 ， 则 其 效 用 值 为 ：

24、 UA=10-(0.005 3 42.42) =3.25% 可 见 ， 对 该 股 票 的 投 资 收 益 低 于 无 风 险 报 酬率 ， 即 投 资 者 A应 放 弃 股 票 投 资 而 选 择 对 无 风 险 资 产的 投 资 。 对 投 资 者 B来 说 ， 其 投 资 于 股 票 的 效 用 值为 ： UB=10-(0.005 2 42.42) =5.5% 即 收 益 高 于 无 风 险 报 酬 率 ， 投 资 者 B就 会选 择 投资 于 股 票 。 二 、 投 资 者 的 风 险 偏 好 类 型 U=E(r)-0.005A 2 (4.7) 由 公 式 （ 4.7） 可 见 ， 方

25、 差 （ 即 风 险 ） 与效 用 价 值 负 相 关 ， 即 风 险 越 大 ， 投 资 组 合给 投 资 者 的 效 用 越 低 ； 公 式 （ 4.7） 还 表 明 ， 风 险 减 少 效 用 的程 度 取 决 于 投 资 者 的 风 险 厌 恶 指 数 A。 一 个 风 险 厌 恶 （ risk averse） 型 的 投 资 者 ， 其为 补 偿 所 承 担 的 风 险 ， 会 按 一 定 比 例 降 低 投 资 组 合的 预 期 收 益 ， 从 而 将 降 低 组 合 的 效 用 价 值 。 换 言之 ， 对 风 险 厌 恶 的 投 资 者 来 说 ， 为 了 保 持 其 效 用

26、不变 ， 要 使 其 承 担 一 定 的 风 险 ， 必 须 给 予 其 更 高 的 预期 收 益 。 也 就 是 说 ， 风 险 厌 恶 型 的 投 资 者 ， 其 风 险与 收 益 是 正 相 关 的 。 一 个 风 险 中 性 （ risk-neutral） 的 投 资 者 只 按预 期 收 益 率 来 衡 量 组 合 的 效 用 ， 即 风 险 （ 方 差 ） 因素 与 其 投 资 组 合 所 带 来 的 效 用 无 关 。 风 险 爱 好 者 （ risk lover） 在 其 效 用 中 加 入 了风 险 的 “ 乐 趣 ” ， 即 风 险 的 增 加 提 高 了 投 资 组 合 的效 用 。 换 言 之 ， 风 险 爱 好 者 的 预 期 收 益 与 风 险 之 间是 负 相 关 的 ： 既 便 预 期 收 益 有 所 下 降 ， 他 也 愿 意 承担 更 大 的 风 险 。案 例 4.2： 贝 塔 值 的 应 用 研 究 案 例 4.4 ： 我 国 证 券 投 资 基 金 的 风 险 偏 好