《西北工业大学矩阵论课件第二章例题 范数理论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《西北工业大学矩阵论课件第二章例题 范数理论（38页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、例例1 规定规定则它是一种向量范数，则它是一种向量范数，对对称为称为向量向量2-范数范数。注注 直接证明第三条公理时要用到直接证明第三条公理时要用到Cauchy-Schwarz不等式不等式第二章第二章 范数理论范数理论 1 向量的范数向量的范数 则有则有 或或例例2 规定规定则它是一种向量范数，则它是一种向量范数，对对称为称为向量向量1-范数范数。证证 (1)(1)当当时，时，(2)(2)(3)(3)例例3 规定规定则它是一种向量范数，则它是一种向量范数，对对称为称为向量向量-范数范数。证证 (1)(1)(2)(2)(3)(3)当当于是于是时，时，必有分量不为必有分量不为0，例例4 规定规定则
2、它是一种向量范数，则它是一种向量范数，对对称为称为向量向量 p-范数范数。注注 证明第三条公理时要用到证明第三条公理时要用到Hlder不等式不等式则当则当时，时，整理得整理得 即即例例5 设设A是是n阶可逆矩阵，阶可逆矩阵，是是上的向量范数上的向量范数规定规定证明证明是是证证 (1)(1)则则 若若则则于是于是(不一定是不一定是 p-范数范数)。上的向量范数。上的向量范数。若若(否则，否则，若若两边左乘两边左乘A-1得得即即矛盾矛盾)(3)(3)例如，例如，上的向量上的向量1-范数，范数，又取又取n阶可逆阶可逆矩阵矩阵则则这是一种新的向量范数。是一种新的向量范数。取取为为(2)(2)例例6 设
3、设A是是n阶阶Hermite正定矩阵，正定矩阵，规定规定则则是是称之为称之为椭球范数椭球范数。所以存在酉矩阵所以存在酉矩阵U使得使得上的向量范数，上的向量范数，证证 由于由于A是是Hermite正定矩阵，正定矩阵，于是于是由例由例5知，知，是是上的向量范数。上的向量范数。从而从而其中其中是可逆矩阵。是可逆矩阵。例例 所以向量的所以向量的1-范数与范数与2-范数等价；范数等价；又有又有 于是向量的于是向量的2-范数与范数与-范数等价。范数等价。结合诸不等式得结合诸不等式得即有即有 于是向量的于是向量的2-范数与范数与1-范数等价。范数等价。证明向量的证明向量的1-、2-、-范数等价。范数等价。证
4、证 因为因为例例 当当收敛于向量收敛于向量而向量序列而向量序列是发散的，是发散的，不存在。不存在。向量序列向量序列时，时，因为因为 例例规定规定则是是上的矩上的矩阵范数，范数，m1-范数范数。对于对于称之为称之为证证则则前三条公理必成立，前三条公理必成立，只证公理只证公理(4)。设设2 方阵范数方阵范数 例例规定规定对于对于则是是上的矩上的矩阵范数，范数，Frobenius范数范数。称之为称之为简称简称 F-范数范数。证证 例例规定规定则是是上的矩上的矩阵范数，范数，m-范数范数。对于对于称之为称之为证证例例证证则则矩阵矩阵-范数与向量范数与向量1-范数相容。范数相容。设设例例矩阵矩阵F-范数
5、与向量范数与向量2-范数相容。范数相容。证证则则 设设(利用利用C-S不等式不等式)例例-范数与向量范数与向量1-1-，2-2-，-范数均范数均矩阵矩阵证证相容。相容。则则 设设(利用利用C-S不等式不等式)例例解解对于任意对于任意有有求与矩阵求与矩阵-范数相容的向量范数。范数相容的向量范数。取取例例求求F-，1-，解解 已知矩阵已知矩阵-范数。范数。例例解解 判断矩阵判断矩阵1-范数与向量的范数与向量的-范数是否相容范数是否相容?取取则则但是但是从而从而故矩阵故矩阵1-范数与向量的范数与向量的-范数不相容。范数不相容。已知已知则则例例分析分析3A为为Hermite矩阵，矩阵，可求得可求得A的
6、特征值为的特征值为故故又又故故4例例试推导由向量范数试推导由向量范数导出的矩阵范数导出的矩阵范数解解 已知矩阵已知矩阵S可逆，可逆，例例是由向量范数是由向量范数矩阵范数。矩阵范数。证证所以所以设设A可逆，可逆，导出的导出的证明证明因为因为例例-范数与范数与F-范数等价；范数等价；2)2)方阵的方阵的-范数与范数与3)3)方阵的方阵的证明：证明：1)1)方阵的方阵的-范数等价；范数等价；-范数与范数与F-范数等价。范数等价。证证 1)1)即即或或故方阵的故方阵的-范数与范数与F-范数等价；范数等价；2)2)即即或或3)3)即即 故方阵的故方阵的-范数与范数与-范数等价；范数等价；故方阵的故方阵的
7、-范数与范数与F-范数等价。范数等价。例例规定规定证明：证明：是是2)2)证证则则对于对于1)1)上的矩阵范数；上的矩阵范数；与向量与向量2-2-范数相容。范数相容。1)1)只证相容性公理。只证相容性公理。设设3 长方阵的范数长方阵的范数 2)2)则则 设设例例1行列式为行列式为 逆矩阵为逆矩阵为 矩阵矩阵是实对称的，是实对称的，4 范数的应用范数的应用 当对当对A的第一行第一列元素稍加改变时，的第一行第一列元素稍加改变时，试看试看则则 可以求得可以求得 由此可知，由此可知，时，时，即矩阵变成奇异的了。即矩阵变成奇异的了。可求得可求得它的行列式与逆阵如何变化。它的行列式与逆阵如何变化。设设当取当取如果取如果取即矩阵即矩阵非奇异，非奇异，且且则很大。很大。例例2(R.S.Wilson)其精确解为其精确解为 考虑系数阵为考虑系数阵为4 4阶实对称阵的阶实对称阵的线性方程组线性方程组如果把右端项作微小摄动如果把右端项作微小摄动即即它的解变为它的解变为 与原解的差异较大。与原解的差异较大。如果把系数矩阵微加摄动如果把系数矩阵微加摄动 而右端向量不变，而右端向量不变，即即其解为其解为 与原解的差异更大。与原解的差异更大。例例 已知已知 解解于是于是A的任一特征值的任一特征值 满足满足实际计算可知实际计算可知A的特征值是的特征值是试估计试估计A的特征值的范围。的特征值的范围。可求得可求得
西北工业大学矩阵论课件第二章例题 范数理论
