高一数学函数单调性

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1、第一课时:单调性观察下列函数图象,体会它们的特点:二次函数f(x)=x2 列出x,y的对应值表:x-4-3-2-101234f(x)=x2 16 9410149 16 对比左图和上表,可以发现当自变量变化时对应的函数值有什么规律?图象在y轴左侧“下降”,也就是,在区间(-,0上随着x的增大增大,相应的f(x)反而随着减小减小;图象在y轴右侧“上升”,也就是,在区间(0,+)上随着x的增大增大,相应的f(x)也随着增大增大.练习:利用刚才的方法描述一下左侧四个函数图象的“上升”“下降”的情况.思考如何利用函数解析式f(x)=x2描述“随着x的增大,相应的f(x)反而随着减小.”“随着x的增大,相

2、应的f(x)也随着增大.”?有同学认为可以这样描述:在区间(0,+)上,x1x2时,有f(x1)f(x2).他并且画出了如下示意图,你认为他的说法对吗?对于二次函数f(x)=x2,我们可以这样来描述“在区间(0,+)上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.”:试一试:你能仿照这样的描述,说明函数f(x)=x2在区间(-,0上是减函数吗?定义:如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数增函数如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那

3、么就说函数f(x)在区间D上是减函数减函数注意比较这两句话的不同之处和共同之处.想一想为了说明一个函数在某个区间上是增函数还是减函数,我们应该重点说明哪些要素?(2 2)函数单调性是针对某个)函数单调性是针对某个区间区间而言的,是一个局部性质而言的,是一个局部性质;(1 1)如果函数)如果函数 y=f(x)在区间在区间I I是单调增函数或单调减函数,那么是单调增函数或单调减函数,那么就说函数就说函数 y=f(x)在区间在区间I I上具有单调性。上具有单调性。在单调区间上,在单调区间上,增函数的图象是增函数的图象是上升上升的,减函数的图象是的,减函数的图象是下降下降的。的。判断判断1 1:函数函

4、数 f(x)=x2 在在 是单调增函是单调增函数数;xyo(2 2)函数单调性是针对某个)函数单调性是针对某个区间区间而言的,是一个局部性质而言的,是一个局部性质;(1 1)如果函数)如果函数 y=f(x)在区间在区间I I是单调增函数或单调减函数,那么是单调增函数或单调减函数,那么就说函数就说函数 y=f(x)在区间在区间I I上具有单调性。上具有单调性。在单调区间上,在单调区间上,增函数的图象是增函数的图象是上升上升的,减函数的图象是的,减函数的图象是下降下降的。的。判断判断2 2:定义在定义在R上的函数上的函数 f(x)满足满足 f(2)(2)f(1)(1),则函数则函数 f(x)在在R

5、上上是增函数;是增函数;(3 3)x 1,x 2 取值的取值的任意任意性性yxO12f(1)f(2)练习:例1 下图是定义在区间-5,5的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?解解:函数y=f(x)的单调区间有-5,-2),-2,1),1,3),3,5.其中y=f(x)在区间-5,-2),1,3)上是减函数,在区间-2,1),3,5上是增函数.说明1.函数的单调性是对定义域内某个区间而言。2.函数的单调区间可以是开的,也可以是闭的.3.函数的增减性即单调性是函数的一个局部性质。例2:物理学中的波意耳定律p=k/V(k为正常数)告述我们,对于一

6、定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之.证明:12341.取值2.作差3.定号4.判断例例3.3.判断函数判断函数 在定义域在定义域 上的单调性上的单调性.1.任取任取x1,x2D,且,且x1x2;2.作差作差f(x1)f(x2);3.定号(即判断差定号(即判断差f(x1)f(x2)的正负);的正负);4.判断判断主要步骤主要步骤证明:在区间证明:在区间 上任取两个上任取两个值 且且 则则,且,且所以函数所以函数 在区间上在区间上 是增函数是增函数.小结:1.函数的单调性概念;2.增(减)函数的定义;3.增(减)函数的图象特征;4.增(减)函数的判定;5.增(减)函数的证明.作业:课本39页第1(1),2(1)题

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