第二节函数的定义域和值域

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1、知识能否忆起知识能否忆起1常见基本初等函数的定义域常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母分式函数中分母 (2)偶次根式函数被开方式偶次根式函数被开方式 .(3)一次函数、二次函数的定义域均为一次函数、二次函数的定义域均为 .(4)yax,ysin x,ycos x,定义域均为,定义域均为 .不等于零不等于零大于或等于大于或等于0RR (5)ytan x的定义域为的定义域为.(6)函数函数f(x)x0的定义域为的定义域为 (7)实际问题中的函数定义域,除了使函数的解析式实际问题中的函数定义域,除了使函数的解析式有意义外,还要考虑实际问题对函数自变量的制约有意义外,还要考虑实际问题对函数自变

2、量的制约x|x02基本初等函数的值域基本初等函数的值域(1)ykxb(k0)的值域是的值域是 .(3)y (k0)的值域是的值域是 (2)yax2bxc(a0)的值域是:当的值域是:当a0时,值域为时,值域为 ;当;当a0且且a1)的值域是的值域是 (5)ylogax(a0且且a1)的值域是的值域是 .(6)ysin x,ycos x的值域是的值域是 (7)ytan x的值域是的值域是 .y|y01,1RR小题能否全取小题能否全取1(教材习题改编教材习题改编)若若f(x)x22x,x2,4,则,则f(x)的值域为的值域为()A1,8B1,16C2,8 D2,4答案:答案:A答案:答案:DA2,

3、0)(0,2 B(1,0)(0,2C2,2 D(1,2答案:答案:B答案:答案:x|x4,且,且x5答案:答案:5,)函数的最值与值域的关系函数的最值与值域的关系 函数的最值与函数的值域是关联的,求出了函数的函数的最值与函数的值域是关联的,求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况,但只确定了函数的最值域也就能确定函数的最值情况,但只确定了函数的最大大(小小)值,未必能求出函数的值域值,未必能求出函数的值域 注意注意求函数的值域,不但要重视对应关系的作用,求函数的值域,不但要重视对应关系的作用,而且还要特别注意函数定义域而且还要特别注意函数定义域(2)已知函数已知函数f(2x)的定义域是的定义域

4、是1,1,求,求f(x)的定义域的定义域 若本例若本例(2)条件变为:函数条件变为:函数f(x)的定义域是的定义域是1,1,求,求f(log2x)的定义域的定义域简单函数定义域的类型及求法简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式等式(组组)求解求解(2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式的不等式(组组)求解求解(3)对抽象函数:对抽象函数:若已知函数若已知函数f(x)的定义域为的定义域为a,b,则函数,则函数f(g(x)的定义域由不等式的定义域由不等式ag(

5、x)b求出;求出;若已知函数若已知函数f(g(x)的定义域为的定义域为a,b,则,则f(x)的定的定义域为义域为g(x)在在xa,b时的值域时的值域A2,3 B1,3C1,4 D3,5例例2求下列函数的值域求下列函数的值域(1)yx22x(x0,3);求函数值域常用的方法求函数值域常用的方法(1)配方法,多适用于二次型或可转化为二次型的配方法,多适用于二次型或可转化为二次型的函数函数(例例(1)(2)换元法换元法(例例(4)(3)基本不等式法基本不等式法(例例(3)(4)单调性法单调性法(例例(4)(5)分离常数法分离常数法(例例(2)注意注意求值域时一定要注意定义域的使用,同时求值域时一定要

6、注意定义域的使用,同时求值域的方法多种多样,要适当选择求值域的方法多种多样,要适当选择(2)(2012海口模拟海口模拟)在实数的原有运算中,我们定义在实数的原有运算中,我们定义新运算新运算“”如下:当如下:当ab时,时,a ba;当;当ab时,时,a bb2.设函数设函数f(x)(1 x)x(2 x),x2,2,则函,则函数数f(x)的值域为的值域为_答案:答案:(1)y|yR,y1(2)4,6自主解答自主解答函数函数f(x)的定义域为的定义域为R,所以,所以2x22axa10对对xR恒成立,即恒成立,即 ,x22axa0恒成立,恒成立,因此有因此有(2a)24a0,解得,解得1a0.答案答案

7、1,0求解定义域为求解定义域为R或值域为或值域为R的函数问题时,都的函数问题时,都是依据题意,对问题进行转化,转化为不等式恒是依据题意,对问题进行转化,转化为不等式恒成立问题进行解决,而解决不等式恒成立问题,成立问题进行解决,而解决不等式恒成立问题,一是利用一是利用判别式法判别式法,二是利用,二是利用分离参数法分离参数法,有时,有时还可利用还可利用数形结合法数形结合法答案:答案:5 函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定,但函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定,但因函数千变万化,形式各异,值域的求法也各式各样,因因函数千变万化,形式各异,值域的求法也各式各样,因此求函数的值域就存在一

8、定的困难,解题时,若方法适当,此求函数的值域就存在一定的困难,解题时,若方法适当,能起到事半功倍的作用求函数值域的常用方法有配方法、能起到事半功倍的作用求函数值域的常用方法有配方法、换元法、分离常数法、基本不等式法、单调性法换元法、分离常数法、基本不等式法、单调性法(以上例以上例2都已讲解都已讲解)、判别式法、数形结合法等、判别式法、数形结合法等1数形结合法数形结合法利用函数所表示的几何意义,借助于图象的直观利用函数所表示的几何意义,借助于图象的直观性来求函数的值域,是一种常见的方法,如何将给定性来求函数的值域,是一种常见的方法,如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键函数转化为

9、我们熟悉的模型是解答此类问题的关键答案:答案:10,)题后悟道题后悟道本题解法二利用了判别式法,利用本题解法二利用了判别式法,利用判别式法首先把函数转化为一个系数含有判别式法首先把函数转化为一个系数含有y的二次方程的二次方程a(y)x2b(y)xc(y)0,则在,则在a(y)0时,若时,若xR,则,则0,从而确定函数的最值;再检验,从而确定函数的最值;再检验a(y)0时对应的时对应的x的值是否在函数定义域内,以决定的值是否在函数定义域内,以决定a(y)0时时y的值的的值的取舍取舍答案:答案:C求解函数的值域要根据函数解析式的特点选择恰求解函数的值域要根据函数解析式的特点选择恰当的方法,准确记忆常见函数的值域,熟练掌握各种类当的方法,准确记忆常见函数的值域,熟练掌握各种类型函数值域的求法,除前面介绍的几种方法外,还有单型函数值域的求法,除前面介绍的几种方法外,还有单调性法、导数法调性法、导数法(以后还要讲解以后还要讲解)解题训练要高效解题训练要高效见见“课时跟踪检课时跟踪检测(五)测(五)”教师备选题(给有能力的学生加餐)(给有能力的学生加餐)答案:答案:D当当a210,即,即a1(a1舍去舍去)时,有时,有10,对,对xR恒成立,故恒成立,故a1符合题意;符合题意;

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