现代光学

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1、现 代 光 学西安电子科技大学刘继芳引 言是站在一个全新的角度观察和讨论古老的光学现象和是站在一个全新的角度观察和讨论古老的光学现象和光学系统光学系统没有物理学新概念没有物理学新概念课程特点和知识可概括为：课程特点和知识可概括为：时间时间(t)频率频率()推广到空间推广到空间(x,y)频率频率(,)采用线性系统理论研究光学现象采用线性系统理论研究光学现象所用到物理学知识：物理光学所用到物理学知识：物理光学所用到数学知识：傅里叶级数和傅里叶分析方法所用到数学知识：傅里叶级数和傅里叶分析方法光光是是电电磁磁波波，可可由由电电矢矢量量 和和磁磁矢矢量量 来来描描述述，服服从从电电磁场的基本理论和规律

2、，通过麦克斯韦方程组相互联系。磁场的基本理论和规律，通过麦克斯韦方程组相互联系。第一章 现代光学的数学物理基础引引起起生生理理视视觉觉效效应应、光光化化学学效效应应以以及及探探测测器器对对光光频频段段电电磁磁波波的的响响应应主主要要是是电电矢矢量量 ，所所以以通通常常把把电电矢矢量量 称称为为光矢量，把电矢量光矢量，把电矢量 随时间的变化称为光振动。随时间的变化称为光振动。一一般般来来说说，光光波波需需要要用用时时间间、空空间间矢矢量量的的函函数数来来描描述述。但但是是在在很很多多实实际际应应用用场场合合，光光波波在在各各向向同同性性介介质质中中传传播播，不不同同偏偏振振的的光光波波具具有有相

3、相同的传播特性。因此，可采用标量波近似处理。同的传播特性。因此，可采用标量波近似处理。第一章 现代光学的数学物理基础如如果果所所讨讨论论的的光光波波为为平平面面偏偏振振光光波波，则则光光波波的的电电矢矢量量可可用用同同一一直直角角坐坐标标分分量量来来表表示示，光光波波电电矢矢量量任任何何时时刻刻都都相相互互平平行行或或反反向向平平行行，这这无无疑可用标量波处理；疑可用标量波处理；如如所所讨讨论论的的光光波波场场是是非非偏偏振振光光波波，则则光光波波场场中中任任一一点点的的电电矢矢量量都都无无规规则则地地迅迅速速变变化化，在在有有限限的的探探测测时时间间内内，不不表表现现特特定定方方向向的的振振

4、动动优优势势，这这种种情情况况用用标标量量波波近近似似处处理理也也有有效效。更更多多的的情情况况是是接接近近满满足足上上述述条条件件，可近似用标量波处理。可近似用标量波处理。1.1 光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述定态光波场。满足如下性质的光波场为定态光波场定态光波场。满足如下性质的光波场为定态光波场(1)(1)光波场中各点的光振动为相同光波场中各点的光振动为相同时间频率时间频率的简谐振动；的简谐振动；(2)(2)光波场中各点振动的振幅不随时间变化，在空间形成光波场中各点振动的振幅不随时间变化，在空间形成稳定分布。稳定分布。定态光波场可用实值标量函数表示为：定态光波场可用实值标量函数表示为

5、：为了数学运算方便，把光波场用复指数函数表示为为了数学运算方便，把光波场用复指数函数表示为略去取其实部的符号略去取其实部的符号Re 引入光波复振幅的概念，定义光波的复振幅为引入光波复振幅的概念，定义光波的复振幅为 1.1 光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述可分离变量可分离变量显显然然，复复振振幅幅是是以以振振幅幅为为模模，初初相相为为辐辐角角的的复复指指数数函函数数，用用来来描描述述光波的振幅和相位随空间位置坐标的变化关系。光波的振幅和相位随空间位置坐标的变化关系。光强随空间位置坐标的变化关系可用复振幅表示为光强随空间位置坐标的变化关系可用复振幅表示为 光光波波的的最最基基本本形形式式是是平

6、平面面波波、球球面面波波和和柱柱面面波波。由由于于任任何何复复杂杂光光波波都都能能用用这这些些基基本本光光波波的的组组合合表表示示，有有必必要要讨讨论这些基本光波的复振幅表示。论这些基本光波的复振幅表示。1.1 光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述1.1.平面波平面波平平面面波波的的特特征征：在在各各向向同同性性介介质质中中，光光波波场场相相位位间间隔隔为为2的的等等相相面面是是垂垂直直于于传传播播方方向向的的一一组组等等间间距距平平面面，场场中中各各点点的的振振幅幅为为一一常量。常量。图示为沿图示为沿z轴方向传播平面光波轴方向传播平面光波 1.1 光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述xyzo

7、P(x,y,z)：光波长光波长k：光波矢大小光波矢大小o：原点初相原点初相由于坐标原点选择的任意性，总可使由于坐标原点选择的任意性，总可使o=0，因此，沿，因此，沿z轴方向传播轴方向传播的平面波的复振幅可表示为：的平面波的复振幅可表示为：相位函数相位函数(z)=kz只随只随z变化，与变量变化，与变量x、y无关无关!当当平平面面波波的的传传播播方方向向不不在在z轴轴方方向向时时，用用波波矢矢表表示示波波的的传传播播方方向向，其其方方向向余余弦弦为为cos、cos、cos，仍仍设设观观察察点点P 的的坐坐标标为为(x,y,z)，于是平面波的复振幅一般可表示为于是平面波的复振幅一般可表示为 1.1

8、光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述P点的相位点的相位(x,y,z)=k(xcos+ycos+zcos)为坐标变量的线性函数为坐标变量的线性函数!2.2.球面波球面波点光源发出的光波为球面波。点光源发出的光波为球面波。球球面面波波的的特特征征：在在各各向向同同性性介介质质中中，相相位位间间隔隔为为2的的等等相相面面是是一一组组等间距同心球面，场中各点的振幅与该点到球心的距离成反比。等间距同心球面，场中各点的振幅与该点到球心的距离成反比。图示为坐标原点与球面波中心重合时，图示为坐标原点与球面波中心重合时，xOy面内的波面线面内的波面线 1.1 光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述任何形状的光源都

9、可看作点光源的集合，讨论球面波有实际意义。任何形状的光源都可看作点光源的集合，讨论球面波有实际意义。(x,y,z)xyoP(x,y,z)xyoPrv所以球面波的复振幅为所以球面波的复振幅为 1.1 光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述原点初相原点初相：o=0 r=1处振幅处振幅：a0发散球面波：发散球面波：与与 同向，同向，会聚球面波：会聚球面波：与与 同向，同向，3.3.柱面波柱面波均匀无限长同步辐射的线光源发出的光波为柱面波。均匀无限长同步辐射的线光源发出的光波为柱面波。柱柱面面波波的的特特征征：在在各各向向同同性性介介质质中中，相相位位间间隔隔为为2的的等等相相面面是是一组等间距同轴柱面

10、，各点振幅与该点到轴线距离平方根成反比。一组等间距同轴柱面，各点振幅与该点到轴线距离平方根成反比。1.1 光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述如图，取线光源在一直角坐标轴上，若如图，取线光源在一直角坐标轴上，若 在在 方向上的投影的大小方向上的投影的大小为为，则柱面波的复振幅为：，则柱面波的复振幅为：(x,y,z)xyzPo4.4.光波场中任意平面上的复振幅光波场中任意平面上的复振幅 在在光光学学问问题题中中，一一般般选选取取光光学学系系统统的的光光轴轴与与z轴轴重重合合，人人们们关关心心的的是是z取取一一系系列列常常数数的的二二维维平平面面上上的的光光波波场场分分布布，比比如如物物面面、像像

11、面和焦面上的光波场分布。面和焦面上的光波场分布。1.1 光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述平面光波场平面光波场：设观察面为设观察面为(x,y,z1)平面，得到该平面上的复振幅为平面，得到该平面上的复振幅为 令令 对对于于给给定定的的观观察察面面，z1为为常常量量，则则U0也也是是与与x、y无无关关的的常常量量。显显然然U0不不影影响响该该面面上上复复振振幅幅的的相相对对分分布布。于于是是该该观观察察面面上上复复振振幅幅可可简写为简写为1.1 光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述考虑到参变量考虑到参变量z1的取值的任意性，因此，上式就是与的取值的任意性，因此，上式就是与z轴垂直的任轴垂直的任一

12、平面上的光波场复振幅分布的一般形式。一平面上的光波场复振幅分布的一般形式。1.1 光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述球面光波场球面光波场：x0 xy0ydz0z1zPQ这这里里以以发发散散球球面面波波为为例例讨讨论论。如如图图，点点光光源源Q(x0,y0)在在(x0,y0,z0)面内，观察点面内，观察点P(x,y)在在(x,y,z1)面内。面内。两平面间距：两平面间距：d=z1z0Q到到P的矢径：的矢径：z0到到P的矢径：的矢径：Q到到z1的矢径为：的矢径为：当当该该光光波波传传播播过过程程满满足足旁旁轴轴条条件件：点点源源Q到到z轴轴的的距距离离和和观观察察点点P到到z轴的距离都远小于光波

13、传播距离轴的距离都远小于光波传播距离d，亦即满足，亦即满足 1.1 光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述旁轴条件旁轴条件：相位因子中：可将相位因子中：可将r0、r1和和r的表达式作泰勒展开，取旁轴近似的表达式作泰勒展开，取旁轴近似 振幅因子中：振幅随振幅因子中：振幅随r变化缓慢，可取变化缓慢，可取 rd 在在旁旁轴轴条条件件下下，球球面面波波在在任任一一平平面面上上的的复复振振幅幅分分布布函函数数的的特特征征是是相相位位因因子子中中含含有有直直角角坐坐标标变变量量的的二二次次项项，因因此此将将其其相相位位因因子子称称为为二次型相位因子。二次型相位因子。1.1 光波场的复振幅描述光波场的复振幅描

14、述得到旁轴近似条件下轴外点源发出的球面波在得到旁轴近似条件下轴外点源发出的球面波在(x,y,z1)面上的面上的复振幅分布复振幅分布 如果点源在如果点源在z轴上，上式简化为轴上，上式简化为如果点源如果点源Q满足远场条件，即满足远场条件，即1.1 光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述远场条件远场条件：这就是在不同近似条件下球面波在任一平面上的复振幅表达式这就是在不同近似条件下球面波在任一平面上的复振幅表达式。相位因子中相位因子中 可忽略，得可忽略，得到到 若观察点若观察点P的分布范围也都满足远场条件时，即的分布范围也都满足远场条件时，即 相位因子中相位因子中 可忽略，得可忽略，得到到 5.5.复振

15、幅的空间频率描述复振幅的空间频率描述说说到到频频率率，人人们们首首先先想想到到的的是是时时间间频频率率，它它表表示示特特定定波波形形在在单单位位时间内重复的次数，表明波在时间上的周期性。时间内重复的次数，表明波在时间上的周期性。1.1 光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述实际上波也具有空间周期性，因此也可以定义空间频率，用来表示实际上波也具有空间周期性，因此也可以定义空间频率，用来表示特定波形在空间单位距离内重复的次数。特定波形在空间单位距离内重复的次数。与时间频率不同的是，当我们引入空间频率的概念时，为了同时表与时间频率不同的是，当我们引入空间频率的概念时，为了同时表征波的传播方向，一般把空

16、间频率定义为矢量形式，它在坐标轴上征波的传播方向，一般把空间频率定义为矢量形式，它在坐标轴上有相应的空间频率分量，而且其分量可正可负，相应的周期也可正有相应的空间频率分量，而且其分量可正可负，相应的周期也可正可负。可负。平面波复振幅的空间频率表示：平面波复振幅的空间频率表示：引引入入新新物物理理量量：空空间间频频率率f和和空空间间周周期期，它它们们在在直直角角坐坐标标系系中中的的对对应应的的分分量量分分别别为为(，)和和(x，y，z)，并并把把平平面面波波在在任一平面的复振幅分布改写为任一平面的复振幅分布改写为1.1 光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述空间频率为空间频率为与光波复指数表示式中

17、随时间变化的因子比较可见，其空间频率的与光波复指数表示式中随时间变化的因子比较可见，其空间频率的直角分量分别为直角分量分别为空间周期分量为空间周期分量为单位：单位：线每毫米线每毫米(l/mm)观察平面观察平面(x,y,z1)上平面波的复振幅可用空间频率表示为上平面波的复振幅可用空间频率表示为 1.1 光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述空间频率示意图空间频率示意图由于由于cos和和cos 是波矢是波矢 相对于相对于x轴和轴和y轴的方向余弦，可见沿波轴的方向余弦，可见沿波矢量方向的空间周期最小，且等于矢量方向的空间周期最小，且等于。空间频率分量空间频率分量0 xyz1xy为任意方向为任意方向xx

18、z1zo球面波复振幅的空间频率表示：球面波复振幅的空间频率表示：对对于于球球面面波波的的复复振振幅幅，虽虽然然其其振振幅幅a0/r随随空空间间位位置置坐坐标标变变化化，但但是是它它是是单单调调变变化化的的，无无周周期期性性可可言言，在在一一定定的的近近似似条条件件下下，振振幅幅成为一常量，故谈不上空间频率。成为一常量，故谈不上空间频率。1.1 光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述对对于于相相位位，虽虽然然在在三三维维空空间间具具有有周周期期性性，但但在在上上述述观观察察面面上上，即即使使在在旁旁轴轴条条件件下下，也也含含有有空空间间坐坐标标x,y的的二二次次因因子子，如如果果要要定定义义空空间

19、频率的话，空间频率也是随空间坐标变化的函数。间频率的话，空间频率也是随空间坐标变化的函数。当当点点源源与与观观察察点点的的分分布布范范围围都都满满足足远远场场条条件件时时，令令 与与x(x0)、y(y0)轴的方向角分别为轴的方向角分别为和和，并注意到是，并注意到是Q点到点到z1点的矢径，则有点的矢径，则有 得到球面波复振幅的空间频率表示式得到球面波复振幅的空间频率表示式 如如图图所所示示，这这是是来来自自远远处处点点光光源源的的光光波波，在在一一个个小小的的观观察察范范围可近似看作为平面波。围可近似看作为平面波。1.1 光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述式中式中 可可见见，当当容容许许作作上

20、上述述一一系系列列近近似似后后，任任一一平平面面上上的的 复复振振幅幅从从球球面面波波变变成成为为观观察察面面上上限限定定范范围围内内的的、具具有有空空间间频频率率(，)的的一一列列平平面波。面波。1.1.傅里叶级数与频谱傅里叶级数与频谱 人人们们把把傅傅里里叶叶分分析析的的方方法法引引入入光光学学，来来研研究究光光的的传传播播、干干涉涉衍衍射射等现象，使古老的光学焕发了新的青春，诞生了光学的新分支。等现象，使古老的光学焕发了新的青春，诞生了光学的新分支。1.2 1.2 二维傅里叶变换与频谱函数的概念二维傅里叶变换与频谱函数的概念傅里叶级数：傅里叶级数：一个函数系：一个函数系：其中每一个函数都

21、是定义在区间其中每一个函数都是定义在区间a,b上的实函数或实变量的复值上的实函数或实变量的复值函数，如果它们满足函数，如果它们满足则称函数系则称函数系n(x)在区间在区间a,b上正交上正交 1.2 1.2 二维傅里叶变换与频谱函数的概念二维傅里叶变换与频谱函数的概念则此函数系称为完备的正交函数系。则此函数系称为完备的正交函数系。在数学上把任意函数按上述正交函数系在数学上把任意函数按上述正交函数系“正交函数展开正交函数展开”的方法，的方法，可以方便地解决光学中的许多问题。可以方便地解决光学中的许多问题。如果如果m=1，函数系，函数系n(x)称为标准称为标准(归一化归一化)正交函数系正交函数系 在

22、正交函数系之外，不存在函数在正交函数系之外，不存在函数(x)(x)0,且且 使以下等式成立使以下等式成立现代光学中正交完备函数系：现代光学中正交完备函数系：傅里叶光学：三角函数系、复指数函数系；傅里叶光学：三角函数系、复指数函数系；成像理论中：勒让德多项式、泽尼克多项式；成像理论中：勒让德多项式、泽尼克多项式；光学数字计算：沃尔什函数系。光学数字计算：沃尔什函数系。1.2 1.2 二维傅里叶变换与频谱函数的概念二维傅里叶变换与频谱函数的概念或或在三角函数系和复指数函数系展开得到的函数项级数，就是大家在三角函数系和复指数函数系展开得到的函数项级数，就是大家熟知的傅里叶级数。它是傅里叶和欧拉分别在

23、熟知的傅里叶级数。它是傅里叶和欧拉分别在1818世纪末和世纪末和1919世纪世纪初提出的。初提出的。周周期期l的的函函数数f(x)满满足足狄狄里里赫赫利利条条件件，在在区区间间l/2,l/2或或 l/2+a,l/2+a(a为任意实常数为任意实常数)上可展开为如下形式的傅里叶级数上可展开为如下形式的傅里叶级数 1.2 1.2 二维傅里叶变换与频谱函数的概念二维傅里叶变换与频谱函数的概念所以有：所以有：n和和n为复系数为复系数cn和和cn的幅角，且的幅角，且 复系数复系数cn与与an、bn之间的关系为之间的关系为其中其中cn和和cn为复系数为复系数cn和和cn的模，且的模，且其中其中 1.2 1.

24、2 二维傅里叶变换与频谱函数的概念二维傅里叶变换与频谱函数的概念频谱的概念：频谱的概念：复杂周期波函数复杂周期波函数f(x)，则其傅里叶级数展开式可改写为，则其傅里叶级数展开式可改写为频频率率为为的的谐谐波波称称为为基基频频分分量量，频频率率2、3、n分分别别称称为为二二次次、三三次次、n次次谐谐波波分分量量(统统称称为为高高次次谐谐波波分分量量)，a0/2则则称称为为零频分量或直流分量。零频分量或直流分量。频率为n 的谐波振幅 频率为n 的谐波相位 同同样样把把cn和和cn、n和和n随随频频率率的的变变化化也也称称为为振振幅幅频频谱谱和和相相位位频频谱，而把复系数谱，而把复系数cn和和cn随

25、频率的变化也称为复系数频谱。随频率的变化也称为复系数频谱。1.2 1.2 二维傅里叶变换与频谱函数的概念二维傅里叶变换与频谱函数的概念频谱的概念，广义上讲就是求一个函数的傅里叶级数或一个函数的频谱的概念，广义上讲就是求一个函数的傅里叶级数或一个函数的傅里叶变换，因此傅里叶分析也称为频谱分析。傅里叶变换，因此傅里叶分析也称为频谱分析。实实际际应应用用中中的的频频谱谱是是指指各各谐谐波波分分量量振振幅幅An的的大大小小和和相相位位n随随频频率率的的分布，分别称为振幅频谱和相位频谱。分布，分别称为振幅频谱和相位频谱。需需要要指指出出的的是是，由由cn和和cn、复复系系数数cn和和cn表表示示的的频频

26、谱谱一一是是出出现现了了负负频频率率，把把频频率率扩扩展展到到了了；二二是是各各谐谐波波分分量量的的振振幅幅减减小小了了一一半半，即即n次次谐谐波波振振幅幅一一分分为为二二，一一半半放放在在了了正正频频率率n处处，另另一一半半放放在在了负频率了负频率n处。与实际相矛盾的负频率的出现。处。与实际相矛盾的负频率的出现。因因此此，正正负负频频率率可可同同等等看看待待。我我们们同同样样可可以以从从负负频频率率处处得得到到某某次次谐波的振幅和相位信息。谐波的振幅和相位信息。1.2 1.2 二维傅里叶变换与频谱函数的概念二维傅里叶变换与频谱函数的概念从数学上来讲，出现负频率是很自然的。在物理上，可以理解为

27、在从数学上来讲，出现负频率是很自然的。在物理上，可以理解为在数学运算过程中把实际频率范围扩展了；数学运算过程中把实际频率范围扩展了；可可以以给给负负频频率率赋赋予予新新的的解解释释，如如在在复复振振幅幅的的空空间间频频率率表表示示中中，正正、负频率分别表示不同方向传播的平面波。负频率分别表示不同方向传播的平面波。频谱实例频谱实例如果函数如果函数f(x)在整个在整个x轴上绝对可积，即轴上绝对可积，即 1.2 1.2 二维傅里叶变换与频谱函数的概念二维傅里叶变换与频谱函数的概念傅里叶变换的定义与性质：傅里叶变换的定义与性质：该函数可展开为频率连续的无限谐波分量之和该函数可展开为频率连续的无限谐波分

28、量之和 傅傅里里叶叶级级数数对对分分析析周周期期性性信信号号非非常常有有效效，现现代代光光学学中中，遇遇到到的的信信号号多多是是非非周周期期性性的的，需需要要用用傅傅里里叶叶变变换换将将其其展展开开为为频频率率连连续续的的无无限谐波之和，傅里叶变换在实际应用中更加重要、更为普遍。限谐波之和，傅里叶变换在实际应用中更加重要、更为普遍。2.2.傅里叶变换与频谱函数傅里叶变换与频谱函数 频谱函数频谱函数c1和和c2为任意复常数，则为任意复常数，则1.2 1.2 二维傅里叶变换与频谱函数的概念二维傅里叶变换与频谱函数的概念(1)(1)线性性质：线性性质：函函数数线线性性组组合合的的傅傅里里叶叶变变换换

29、等等于于各各函函数数傅傅里里叶叶变变换换的的线线性性组组合合，这表明傅里叶变换是线性变换，是分析线性系统的有力工具。这表明傅里叶变换是线性变换，是分析线性系统的有力工具。若若 0为任意复常数，则为任意复常数，则1.2 1.2 二维傅里叶变换与频谱函数的概念二维傅里叶变换与频谱函数的概念若若 (2)(2)平移性质：平移性质：，x0为任意实数，则为任意实数，则 若若 函函数数f(x)在在空空域域或或时时域域平平移移，只只引引起起其其频频谱谱的的相相位位线线性性平平移移，而而不不改变其振幅频谱。改变其振幅频谱。频频谱谱函函数数F()在在频频率率轴轴上上平平移移0，相相当当于于原原函函数数f(x)乘乘

30、以以因因子子 ，相相当当于于和和频频率率为为 0的的余余弦弦函函数数相相乘乘，这这正正是是信信号号的的调调制制过过程程，所所以以频频移移特性也称为调制特性。特性也称为调制特性。则则1.2 1.2 二维傅里叶变换与频谱函数的概念二维傅里叶变换与频谱函数的概念若若 (3)(3)相似性相似性(尺度尺度)定理：定理：a和和b为任意实数，则为任意实数，则 若若 表表明明函函数数在在空空域域或或时时域域上上的的压压缩缩，则则在在频频域域上上必必然然展展宽宽，而而且且压压缩和展宽的因子相同。缩和展宽的因子相同。表表明明函函数数f(x)按按垂垂直直轴轴翻翻转转时时，它它的的频频谱谱将将作作相相应应的的翻翻转转

31、。就就是是说说，在解决实际问题时，坐标轴方向的选取，并不改变函数的频谱。在解决实际问题时，坐标轴方向的选取，并不改变函数的频谱。(4)(4)反转性质：反转性质：f*(x)和和F*()分分别别为为f(x)和和F()的的复复共共轭轭，则则1.2 1.2 二维傅里叶变换与频谱函数的概念二维傅里叶变换与频谱函数的概念若若 (5)(5)对称性质：对称性质：则则 若若 频频谱谱函函数数F()的的逆逆变变换换是是f(x)，由由翻翻转转性性质质可可知知，它它的的正正变变换换则则是是f(x)。这这说说明明傅傅里里叶叶变变换换和和逆逆变变换换在在数数学学上上并并没没有有本本质质区区别别，通通过改变某个域内坐标轴的

32、方向，正变换就变成逆变换。过改变某个域内坐标轴的方向，正变换就变成逆变换。对对于于实实函函数数的的频频谱谱F()，只只要要知知道道0的的函函数数值值，就就知知道道了了整整个个频频谱分布，这因为在谱分布，这因为在0时时，函函数数图图形形h()右右移移；当当x0时时，h()左移；当左移；当x=0时，时，h(x)=h()。位移位移1.3 卷积与相关卷积与相关求求出出乘乘积积f()h(x)曲曲线线下下的的面面积积，即即两两函函数数重重叠叠部部分分的的面面积积，该该面面积积值值就就是是x处处的的卷卷积积值值。选选择择不不同同的的位位移移量量x=x0，即即可得到相应的卷积值可得到相应的卷积值g(x0)。相

33、乘相乘将将f()与与h(x)按按变变量量逐逐点点相相乘乘得得到到f()h(x)，从从图图形上来看就是这两个函数重叠部分的积。形上来看就是这两个函数重叠部分的积。积分积分1.3 卷积与相关卷积与相关x=3x=51.3 卷积与相关卷积与相关可可以以求求出出其其他他卷卷积积值值并并画画出出g(x)x曲曲线线，该该曲曲线线就就是是f(x)和和 h(x)的卷积，如图所示，它表明两个方波的卷积是一个三角波。的卷积，如图所示，它表明两个方波的卷积是一个三角波。1.3 卷积与相关卷积与相关(2)(2)解析法：解析法：解析法就是直接积分解析法就是直接积分 求出求出g(x)的值。的值。由由图图解解法法可可见见，一

34、一般般卷卷积积的的结结果果是是分分段段函函数数，所所以以积积分分一一般般也也要要分分段段积积分分。由由于于积积分分式式中中含含有有参参变变量量x，求求积积分分的的关关键键是是确确定定积分上下限，一般要与图解法结合起来进行。积分上下限，一般要与图解法结合起来进行。根据图解法的结果，卷积可分四段来积分：根据图解法的结果，卷积可分四段来积分：a：x1这这时时不不论论x为为何何值值，f()与与h(x)均均无无重重叠叠部部分分，乘乘积积f()h(x)=0，其积分也等于零。，其积分也等于零。1.3 卷积与相关卷积与相关f()的非零值区间的非零值区间0，3，h()的非零值区间的非零值区间1，2 h()的非零

35、值区间的非零值区间2，1，h(x)的非零值区间的非零值区间2+x，1+x。b：1x2当当(2+x,0)时，时，f()=0，f()h(x)=0；当当(x+1,3)时，时，h(x)=0，f()h(x)=0。f()h(x)的非零区间的非零区间0，x+1，卷积结果为，卷积结果为1.3 卷积与相关卷积与相关从上面的分析中，可以得到确定积分上下限的规律从上面的分析中，可以得到确定积分上下限的规律:若若两两个个函函数数f()和和h(x)非非零零值值区区间间的的上上限限分分别别为为U1和和U2，下限分别为下限分别为L1和和L2 则则计计算算卷卷积积积积分分的的上上限限为为min(U1,U2)，即即两两个个函函

36、数数非非零零值值区区间间上限中较小的一个。上限中较小的一个。而而计计算算卷卷积积积积分分的的下下限限为为max(L1,L2)，即即两两个个函函数数非非零零值值区区间间下限中较大的一个。下限中较大的一个。1.3 卷积与相关卷积与相关由由f()的的非非零零值值区区间间0，3和和h(x)的的非非零零值值区区间间2+x，1+x，根据上述选择卷积积分上下限的原则，卷积结果为：，根据上述选择卷积积分上下限的原则，卷积结果为：c：251.3 卷积与相关卷积与相关综合以上过程，用解析法计算卷积的结果为综合以上过程，用解析法计算卷积的结果为:可见用解析法计算卷积，与用图解法一样繁琐。可见用解析法计算卷积，与用图

37、解法一样繁琐。在在计计算算复复杂杂函函数数的的卷卷积积时时，一一般般要要把把解解析析法法和和图图解解法法结结合合起起来来进进行行：图图解解法法用用于于积积分分区区间间的的分分段段，解解析析法法用用于于计计算算f()h(x)复杂曲线下的面积。复杂曲线下的面积。2.2.相关的定义、性质和计算相关的定义、性质和计算 1.3 卷积与相关卷积与相关 相关的定义和性质：相关的定义和性质：若若f(x)和和h(x)是两个实变量的复值函数，其互相关定义为：是两个实变量的复值函数，其互相关定义为：若令若令x=，又有，又有 若若f(x)和和h(x)是实值函数，其互相关为：是实值函数，其互相关为：1.3 卷积与相关卷

38、积与相关 相关的定义和性质相关的定义和性质(续续)：若若f(x)是实变量的复值函数，其自相关定义为：是实变量的复值函数，其自相关定义为：当当f(x)是实值函数时，其自相关为：是实值函数时，其自相关为：在实际应用中，通常用在实际应用中，通常用rf(0)把自相关函数归一化，记作：把自相关函数归一化，记作：显然显然1.3 卷积与相关卷积与相关 自相关有下述性质：自相关有下述性质：(1)(1)复函数复函数f(x)的自相关函数是厄米函数的自相关函数是厄米函数(4)(4)x 时，时，(2)(2)当当x=0时，自相关函数的模达到最大值，即时，自相关函数的模达到最大值，即 (3)(3)复函数的自相关函数复函数

39、的自相关函数rf(x)可以是实函数，也可以是复函数，可以是实函数，也可以是复函数，但不可能是虚函数。但不可能是虚函数。1.3 卷积与相关卷积与相关 互相关有下述性质：互相关有下述性质：(1)(1)互相关不满足交换率，即互相关不满足交换率，即 (3)(3)x 时，时，(2)(2)互相关函数满足不等式互相关函数满足不等式 1.3 卷积与相关卷积与相关 相关定理（维纳相关定理（维纳-辛钦定理）：辛钦定理）：(1)(1)自相关定理自相关定理 若若 ，则，则 由卷积定理和傅里叶变换的共轭特性，求由卷积定理和傅里叶变换的共轭特性，求 的傅里叶逆变换的傅里叶逆变换 在信息处理中在信息处理中 表示能量谱密度表

40、示能量谱密度s()，因此自相关定理表明，因此自相关定理表明自相关函数和能量谱密度自相关函数和能量谱密度s()构成傅里叶变换对。构成傅里叶变换对。1.3 卷积与相关卷积与相关(2)(2)互相关定理互相关定理 由互相关定义和傅里叶变换的共轭特性，有由互相关定义和傅里叶变换的共轭特性，有 若若 ，则，则 定义定义 为互能量谱密度，互相关定理表明互相为互能量谱密度，互相关定理表明互相关函数和互能量谱密度构成傅里叶变换对。关函数和互能量谱密度构成傅里叶变换对。1.3 卷积与相关卷积与相关 相关的计算：相关的计算：相关的计算方法和计算卷积一样，有图解法和解析法两种，计相关的计算方法和计算卷积一样，有图解法

41、和解析法两种，计算步骤也大致相同。算步骤也大致相同。由相关的定义可知，图解法中位移的函数不需要折叠，因此只由相关的定义可知，图解法中位移的函数不需要折叠，因此只有位移、相乘和积分三个步骤。有位移、相乘和积分三个步骤。解析法直接按定义积分时，同样有积分域的分段和确定上下限的解析法直接按定义积分时，同样有积分域的分段和确定上下限的问题，其方法和规则与计算卷积相同，这里不再重复叙述。问题，其方法和规则与计算卷积相同，这里不再重复叙述。1.1.函数函数1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数 函数的定义及表示方法：函数的定义及表示方法：现代光学中引入了一些函数，描述光学现象非常有用，数学表达现

42、代光学中引入了一些函数，描述光学现象非常有用，数学表达也十分简单，但是所涉及的数学理论已超出了经典函数的范围。也十分简单，但是所涉及的数学理论已超出了经典函数的范围。(x)的的定定义义只只是是表表明明，在在一一个个很很小小的的范范围围内内它它的的值值不不为为零零，而而它它在在这这个个范范围围内内的的形形状状却却没没有有规规定定。也也就就是是说说，允允许许 函函数数有有各各种种形状，甚至可以有轻微振荡。形状，甚至可以有轻微振荡。1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数根根据据积积分分性性质质，(x)定定义义式式中中的的积积分分上上下下限限不不一一定定从从到到+，只要把，只要把(x)不为零

43、不为零的那一部分包括在积分区间即可。的那一部分包括在积分区间即可。(x)是是奇奇异异函函数数，本本身身没没有有确确定定值值，但但它它作作为为被被积积函函数数中中的的一一个个乘积因子，其积分结果却有确定值。乘积因子，其积分结果却有确定值。(x)是是一一广广义义函函数数，它它可可以以看看成成是是函函数数序序列列的的极极限限，常常用用的的函函数列有数列有 1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数在在现现代代光光学学中中，函函数数一一般般表表示示为为高高度度为为1的的箭箭头头，如如图图。数数值值1不是表示不是表示 函数的数值，而是表示函数的数值，而是表示 函数与整个函数与整个x轴围成的面积。轴

44、围成的面积。1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数 函数有如下性质：函数有如下性质：筛选特性筛选特性对任一个连续函数对任一个连续函数(x)，有，有尺度变换特性尺度变换特性如果如果a=1，则，则 可见可见 函数能从函数函数能从函数(x)的所有值中筛选出函数值的所有值中筛选出函数值(x0)。若若a为任意实数，则为任意实数，则这表明这表明 函数是偶函数。函数是偶函数。1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数 乘积特性乘积特性设设(x)是在是在x0点连续的基本函数，有点连续的基本函数，有若若x0=0，则，则这这种种特特性性也也称称为为 函函数数抽抽样样特特性性。可可把把一一个个连连续

45、续函函数数与与离离散散点点联系了起来，对离散点进行分析。联系了起来，对离散点进行分析。当当(x)=x时，有时，有表表明明x(x)作作为为被被积积函函数数中中的的一一个个因因子子与与0的的作作用用相相同同。引引入入 函函数数以以后后，可可以以把把奇奇异异函函数数（例例如如分分母母可可以以为为0的的函函数数）当当成成普普通通函数来运算而不会出现错误结果。函数来运算而不会出现错误结果。1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数卷积特性卷积特性设设(x)是任意连续函数，有是任意连续函数，有 函函数数的的卷卷积积特特性性又又称称为为复复制制特特性性，任任何何函函数数与与 函函数数的的卷卷积积，其结

46、果都是该函数的再现。在卷积运算中是一个单位元。其结果都是该函数的再现。在卷积运算中是一个单位元。这是因为这是因为1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数积分特性积分特性由由 函数的定义，函数的定义，有有若若A是任意实常数，则是任意实常数，则 函数的傅里叶变换函数的傅里叶变换1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数二维二维 函数函数在直角坐标系中，二维在直角坐标系中，二维 函数定义为函数定义为2.2.偶脉冲对与奇脉冲对偶脉冲对与奇脉冲对 奇脉冲对奇脉冲对即二维即二维 函数可以表示为两个一维函数可以表示为两个一维 函数的乘积函数的乘积 偶脉冲对偶脉冲对1.4 现代光学中常用的函数现

47、代光学中常用的函数偶、奇脉冲对可以沿偶、奇脉冲对可以沿x轴位移，也可以改变比例轴位移，也可以改变比例偶、奇脉冲分别与余弦、正弦函数构成傅里叶变换对，即偶、奇脉冲分别与余弦、正弦函数构成傅里叶变换对，即 3.阶跃函数（刀口函数）阶跃函数（刀口函数）1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数 阶跃函数用阶跃函数用step(x)表示，且定义为表示，且定义为:在在x=0处为不连续点，其跃度为处为不连续点，其跃度为1 1，所以称为单位阶跃函数，所以称为单位阶跃函数阶阶跃跃函函数数可可以以位位移移和和改改变变方方向向，不不连连续续点点移移至至x0处处，而而b(=1)常常数数的正负决定阶跃函数的射向的

48、正负决定阶跃函数的射向 1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数移位和改变设射向后的单位阶跃函数：移位和改变设射向后的单位阶跃函数：阶阶跃跃函函数数可可以以用用来来表表示示快快门门的的开开启启，在在研研究究直直边边衍衍射射和和像像质质评评定定时，用来描述衍射屏和成像物体。时，用来描述衍射屏和成像物体。阶阶跃跃函函数数表表示示光光强强时时，很很像像刀刀口口检检查查仪仪的的刀刀口口，所所以以也也称称为为刀刀口口函数。它的作用也像开关。函数。它的作用也像开关。1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数阶跃函数的导数为阶跃函数的导数为 函数，即：函数，即：因此，因此，函数的积分为阶跃函数

49、函数的积分为阶跃函数阶跃函数与任一函数阶跃函数与任一函数f(x)的卷积为的卷积为阶跃函数的积分为斜坡函数阶跃函数的积分为斜坡函数阶跃函数的傅里叶变换阶跃函数的傅里叶变换4.符号函数符号函数1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数 符号函数用符号函数用sgn(x)表示，且定义为表示，且定义为:在在x=0处为不连续点，其跃度为处为不连续点，其跃度为2 2符符号号函函数数可可以以位位移移和和改改变变方方向向，不不连连续续点点移移至至x0处处，而而b(=1)常常数数的正负决定符号函数的射向的正负决定符号函数的射向 1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数移位和改变设射向后的符号函数：移

50、位和改变设射向后的符号函数：可可以以来来改改变变一一个个变变量量或或函函数数在在某某些些点点的的正正负负，在在一一个个函函数数中中引引入入符符号号函函数数，根根据据给给定定条条件件的的不不同同相相当当于于引引进进正正号号或或负负号号。但但符符号号函数与函数与“+”、“”号不同，它可以参加运算。号不同，它可以参加运算。符号函数的傅里叶变换符号函数的傅里叶变换 5.矩形函数矩形函数1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数高度和长度均为高度和长度均为1 1，面积也为，面积也为1 1的矩形函数定义为的矩形函数定义为:矩形函数可以移位和改变比例，如矩形函数可以移位和改变比例，如表示高表示高h，宽

51、为，宽为b，面积等于，面积等于hb，中心位于，中心位于x0处的矩形函数处的矩形函数。1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数移位和改变比例后的矩形函数：移位和改变比例后的矩形函数：矩矩形形函函数数可可以以用用来来以以任任意意幅幅度度h和和任任意意宽宽度度b截截取取某某个个函函数数的的任任一一段段，因因此也称为门函数或矩形窗函数。此也称为门函数或矩形窗函数。矩矩形形函函数数在在时时域域内内表表示示电电路路中中的的门门脉脉冲冲，照照相相机机的的快快门门；在在空空域域内内常常常常用用来来表表示示狭狭缝缝的的透透过过率率，其其组组合合形形式式则则可可表表示示矩矩形形光光栅栅；在频域内则可表示理

52、想的低通、带通滤波器。在频域内则可表示理想的低通、带通滤波器。f(x)=rect(x)cosx 傅里叶变换可按定义直接求出：傅里叶变换可按定义直接求出：6.三角形函数三角形函数1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数三角形函数用符号三角形函数用符号(x)表示表示，定义为：，定义为：三角形函数可以移位和改变比例，如三角形函数可以移位和改变比例，如表示高度为表示高度为1，底边长为，底边长为2，而面积为，而面积为1的三角形。的三角形。表示高度为表示高度为1，底边长为，底边长为2b，而面积为，而面积为b的三角形。的三角形。1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数移位和改变比例后的三角形

53、函数：移位和改变比例后的三角形函数：三角函数可以用矩形函数的自卷积求得，即三角函数可以用矩形函数的自卷积求得，即 根据傅里叶变换的定义直接积分可得根据傅里叶变换的定义直接积分可得7.sinc函数和函数和sinc2函数函数1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数sinc函数定义为函数定义为 ：sincsinc函数同样可以平移和扩展，如函数同样可以平移和扩展，如表表示示中中心心移移至至x=x0处处，最最大大值值仍仍为为1，但但第第一一级级两两个个零零点点之之间间宽宽度等于度等于2b,曲线总面积为曲线总面积为b。1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数在一定条下，在一定条下，sinc

54、函数有类似于函数有类似于函数的性质，如函数的性质，如一一个个频频谱谱仅仅在在有有限限区区域域内内不不为为零零的的带带限限函函数数f(x)，若若它它的的全全带带宽宽为为w（即，当（即，当w/2时，时，F()0），若），若w1/b，则有，则有 sinc函数函数的傅里叶变换为的傅里叶变换为 1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数sinc2函数定义为函数定义为 sinc2函数也可以平移和扩展。函数也可以平移和扩展。sinc2函数的傅里叶变换为函数的傅里叶变换为 sinc函函数数可可用用来来表表示示单单缝缝夫夫琅琅和和费费衍衍射射的的振振幅幅分分布布，sinc2函函数数可可用来表示单缝夫琅和费

55、衍射的光强分布。用来表示单缝夫琅和费衍射的光强分布。8.高斯函数高斯函数 1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数高斯高斯函数定义为：函数定义为：函数的最大值为函数的最大值为1，面积也为，面积也为1。平移和扩展后的高斯函数形式为平移和扩展后的高斯函数形式为高斯函数的傅里叶变换仍为高斯函数高斯函数的傅里叶变换仍为高斯函数 高高斯斯函函数数也也称称为为正正态态分分布布函函。高高斯斯函函数数非非常常“光光滑滑”，可可以以无无穷次求导，属于穷次求导，属于“性质特别好性质特别好”的一类函数。的一类函数。9.圆域函数圆域函数1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数圆域函数在直角坐标系中的定

56、义为，用来表示圆形光瞳的透过率圆域函数在直角坐标系中的定义为，用来表示圆形光瞳的透过率圆域函数的傅里叶圆域函数的傅里叶-贝塞尔变换为贝塞尔变换为 在极坐标系中圆域函数有简单的形式在极坐标系中圆域函数有简单的形式10.抽样函数抽样函数（comb函数函数）1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数抽样函数用符号抽样函数用符号comb(x)表示，定义为表示，定义为 comb函数可以位移和改变比例，如函数可以位移和改变比例，如 是是一一间间隔隔为为1的的函函数数列列，像像一一把把梳梳子子，因因此也称为梳状函数。此也称为梳状函数。表示间隔为表示间隔为b，面积也为，面积也为b，位置移到，位置移到x0

57、nb(n=0,1,2,)处的处的 函数列函数列 comb函数有下列性质：函数有下列性质：1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数(1)(1)比例变换特性比例变换特性:(3)(3)周期性周期性:comb(x+n)=comb(x)，n为整数为整数，即即comb(x)是周期为是周期为1的周期函数的周期函数(2)(2)奇偶性奇偶性:comb(x)是偶函数，即是偶函数，即 comb(x)=comb(x)(4)(4)抽样特性（乘积特性）抽样特性（乘积特性）comb函函数数与与任任一一函函数数f(x)相相乘乘可可以以对对该该函函数数进进行行周周期期抽抽样样，而而抽样值只存在抽样值只存在函数所在函数所

58、在的整数点处。的整数点处。1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数若抽样点为非整数点，且抽样周期不等于若抽样点为非整数点，且抽样周期不等于1，则有，则有1.4 现代光学中常用的函数现代光学中常用的函数(5)(5)复制特性（卷积特性）复制特性（卷积特性）:与任一函数与任一函数f(x)的卷积的结果使的卷积的结果使f(x)在在x的整数点上重复出现的整数点上重复出现 comb函数的傅里叶变换是不同间隔的另一个函数的傅里叶变换是不同间隔的另一个comb函数函数1.1.离散信号的表示离散信号的表示1.5 连续函数信号的离散与抽样定理连续函数信号的离散与抽样定理 给定一个连续函数给定一个连续函数y=

59、f(x)，对其进行等间隔抽样使之离散化，对其进行等间隔抽样使之离散化，目前，可以用计算机来完成原来认为是纯光学的问题，如图像处目前，可以用计算机来完成原来认为是纯光学的问题，如图像处理、制作全息图等；可以利用光学系统完成数值计算、数据传输理、制作全息图等；可以利用光学系统完成数值计算、数据传输等原来认为是计算机的工作。等原来认为是计算机的工作。计算机处理的数据不能是连续量，因此必须将连续信号离散化。计算机处理的数据不能是连续量，因此必须将连续信号离散化。取取抽抽样样间间隔隔为为，则则在在各各抽抽样样点点x=n(n=0,1,2,)所所得得到到的的离散函数记为离散函数记为 yn=f(n)2.2.正

60、弦函数的抽样定理正弦函数的抽样定理1.5 连续函数信号的离散与抽样定理连续函数信号的离散与抽样定理 一正弦信号一正弦信号以间隔以间隔抽样，抽样，得到离散的正弦信号得到离散的正弦信号 A：振幅：振幅：频率频率：初相初相 由由离离散散函函数数s(n)能能否否恢恢复复出出正正弦弦信信号号s(x)，要要看看由由s(n)能能否否惟惟一地确定出一地确定出A、和和 三个特征量。三个特征量。要对正弦信号正确抽样，只要要对正弦信号正确抽样，只要抽样间隔：抽样间隔：2。三个独立方程可唯一确定三个量。三个独立方程可唯一确定三个量。3.3.任意连续函数的抽样定理任意连续函数的抽样定理1.5 连续函数信号的离散与抽样定

61、理连续函数信号的离散与抽样定理 对连续函数对连续函数f(x)以抽样间隔以抽样间隔抽样得到离散函数抽样得到离散函数f(n)，能否惟一，能否惟一恢复恢复f(x)？一一个个连连续续函函数数可可以以表表示示为为频频率率连连续续的的无无穷穷多多个个谐谐波波分分量量的的叠叠加加，如如果果f(x)的的每每一一个个谐谐波波分分量量都都能能惟惟一一恢恢复复出出来来，那那么么这这些些谐谐波波分分量的线性组合必然是原函数量的线性组合必然是原函数f(x)。对对于于频频率率为为的的谐谐波波，只只要要F()0，根根据据正正弦弦信信号号的的抽抽样样定定理理，抽样间隔必须满足抽样间隔必须满足c，F()=0；这就意味着这就意味

62、着f(x)是一个带限函数；是一个带限函数；抽样间隔抽样间隔1/2c。1.5 连续函数信号的离散与抽样定理连续函数信号的离散与抽样定理 由由1/2c取取等等号号得得到到抽抽样样间间隔隔所所决决定定的的抽抽样样频频率率1/称称为为奈奈奎奎斯特频率，斯特频率，用用N表示。表示。因为因为1/2c，所以，所以 N=2c。如果实际抽样频率如果实际抽样频率N，得到的，得到的周期离散频谱会出现图周期离散频谱会出现图示的重叠现示的重叠现象，在恢复过程中必然会带来失真。象，在恢复过程中必然会带来失真。4.4.奈奎斯特奈奎斯特（Nyguist）频率频率所所以以奈奈奎奎斯斯特特频频率率就就是是最最小小抽抽样样频频率率

63、，由由奈奈奎奎斯斯特特频频率率所所确确定定的的抽样间隔是最大抽样间隔。抽样间隔是最大抽样间隔。1.5 连续函数信号的离散与抽样定理连续函数信号的离散与抽样定理 根根据据抽抽样样定定理理，应应用用抽抽样样函函数数以以及及傅傅里里叶叶分分析析的的方方法法，可可实实现对任意连续函数的抽样和恢复。具体步骤如下：现对任意连续函数的抽样和恢复。具体步骤如下：4.4.函数的抽样与恢复函数的抽样与恢复(1)(1)抽样抽样一个连续函数一个连续函数f(x)，以满足抽样定理的抽样间隔，以满足抽样定理的抽样间隔对其进行抽样对其进行抽样 f(x)比比f(n)扩大了扩大了，但这对原函数的恢复并但这对原函数的恢复并不产生影

64、响不产生影响 1.5 连续函数信号的离散与抽样定理连续函数信号的离散与抽样定理(2)(2)求离散谱求离散谱对离散函数对离散函数f(x)进行傅里叶变换得到离散频谱进行傅里叶变换得到离散频谱F()离散频谱离散频谱F()是频谱函是频谱函数数F()的周期延拓，包含的周期延拓，包含了频谱函数了频谱函数F()1.5 连续函数信号的离散与抽样定理连续函数信号的离散与抽样定理(3)(3)原函数的恢复原函数的恢复使离散频谱使离散频谱F()无失真地通过一理想低通滤波器，通过该滤无失真地通过一理想低通滤波器，通过该滤波器后得到原函数波器后得到原函数f(x)的频谱的频谱F()，显然该滤波器的传递函数是，显然该滤波器的

65、传递函数是一个矩形函数。一个矩形函数。通过滤波器后的输出频谱为通过滤波器后的输出频谱为这就是原函数这就是原函数f(x)的频谱的频谱F()，求，求F()的傅里叶逆变换必然的傅里叶逆变换必然得到函数得到函数f(x)。1.5 连续函数信号的离散与抽样定理连续函数信号的离散与抽样定理(4)(4)空间空间(时间时间)域恢复原函数域恢复原函数 在空间域可以由离散函数在空间域可以由离散函数f(x)直接恢复原函数直接恢复原函数f(x)h(x)为低通滤波器的脉冲响应函数为低通滤波器的脉冲响应函数:在在空空域域原原函函数数可可以以表表示示为为适适当当位位移移的的sinc函函数数的的线线性性组组合合，它它在在抽抽样

66、样点点的的幅幅度度正好等于该点的抽样值。正好等于该点的抽样值。1.6 光波场的部分相干理论简介光波场的部分相干理论简介 光信号用空间平面上的复振幅分布或光强分布描述，对这些现光信号用空间平面上的复振幅分布或光强分布描述，对这些现象的研究及探测最终度归结为对空间光强分布的研究和探测。象的研究及探测最终度归结为对空间光强分布的研究和探测。这是由于光振动太快，无论是人眼还是现有的最先进的光探测这是由于光振动太快，无论是人眼还是现有的最先进的光探测器，都无法探测其振幅的变化，响应的都是光强。器，都无法探测其振幅的变化，响应的都是光强。光的相干性不同，同一光学现象的光强分布差异很大。因此有光的相干性不同，同一光学现象的光强分布差异很大。因此有必要了解光的相干理论。必要了解光的相干理论。1.互相干函数和互相干度互相干函数和互相干度 对单色光场可以用复函数对单色光场可以用复函数 的实部描述。的实部描述。对对于于非非单单色色光光波波场场仍仍可可用用复复函函数数 描描述述，不不过过这这时时要要理理解解为为t时刻光源中各原子辐射的光波列之和。时刻光源中各原子辐射的光波列之和。1.6 光波场的部分相干理论简