状态反馈和状态观测器

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1、原受控系统 ：状态观测器 ：原系统和状态观测器之间状态的误差：有：，即：原系统初始状态 状态观测器的初始状态如果 ，必有 ，即两者完全等价，实际很难满足。也就是说原状态和状态观测器的估计状态之间必存在误差，从而导致原系统和状态观测器的输出也必存在误差。渐近状态观测器。2024/4/92024/4/91 1全维渐近状态观测器结构图：维数2n。2024/4/92024/4/92 2状态观测器的特征方程为：状态观测器 方程：由此可以得到全维渐近状态观测器的等价结构图：维数2n。2024/4/92024/4/93 3状态观测器能否起作用的关键状态观测器能否起作用的关键：观测器在任何初始条件下，都能够无

2、误差地重构原状态。二、状态观测器的存在条件：二、状态观测器的存在条件：二、状态观测器的存在条件：二、状态观测器的存在条件：存在性定理存在性定理：线性定常系统不能观测的部分是渐近稳定的。存在条件设状态观测器方程：证证：将原系统 按照能观测性分解：2024/4/92024/4/94 4令：则：得：2024/4/92024/4/95 51、能观测部分：齐次状态方程的解：2、不能观测部分：非齐次状态方程的解2024/4/92024/4/96 6要求A22的特征值均具有负实部，即不能观部分是渐近稳定的此时：2024/4/92024/4/97 7前提：设计全维状态观测器，是状态观测器期望的特征值。则目的是

3、确定观测器增益矩阵，使得A-KeC具有期望的特征值。等同于状态反馈系统的设计。三、状态观测器设计和状态反馈设计的对偶问题：三、状态观测器设计和状态反馈设计的对偶问题：三、状态观测器设计和状态反馈设计的对偶问题：三、状态观测器设计和状态反馈设计的对偶问题：原系统为：则其对偶系统为：1、针对对偶系统来设计状态反馈阵K：线性反馈规律仍然为：则希望 取得一组期望的特征值，将特征值选择为原系统的观测器的期望特征值。2024/4/92024/4/98 8观察上式可以发现：与原系统状态观测器的特征方程相比：则有：其中，K是其对偶系统的状态反馈阵。结论：原系统的状态观测器增益矩阵Ke的设计，等同于其对偶系统状

4、态反馈中反馈阵K的设计，两者互为转置。其中原系统的观测器特征值等于其对偶系统状态反馈的特征值。2024/4/92024/4/99 9由状态观测器存在性定理，可以得到以下定理：定理定理：线性定常系统的状态观测器极点任意配置，即具有任意逼近速度的充要条件是原系统为状态完全能观测。四、状态观测器极点配置条件和算法：四、状态观测器极点配置条件和算法：四、状态观测器极点配置条件和算法：四、状态观测器极点配置条件和算法：证明证明：根据以上的对偶关系，要使原系统的观测器极点能任意配置，则要求其对偶系统的状态反馈系统极点能任意配置。所以，其对偶系统状态能控。原系统为：则其对偶系统为：则要求：即：原系统状态能观

5、2024/4/92024/4/91010第二能观测标准型下，状态观测器的特征多项式：第二能观测标准型：能观测标准型下状态观测器的系统矩阵：2024/4/92024/4/91111状态观测器的设计步骤状态观测器的设计步骤：(3)写出状态观测器的期望特征多项式：1 1、直接法、直接法（维数较小时，维数较小时，n 3n 3）(2)求观测器的特征多项式：(4)由 确定状态观测器的反馈矩阵：(1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。2024/4/92024/4/912122 2、第二能观标准型法（维数较大时，、第二能观标准型法（维数较大时，n3n3，适合计算机求解），适合计算机求解）(

6、2)确定将原系统化为第二能观测标准型 的变换阵 。若给定的状态方程已是能观测标准型，那么 ，无需转换(1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。2024/4/92024/4/91313(4)直接写出在第二能观测标准型下观测器的反馈矩阵：(5)求未变换前系统状态观测器的反馈矩阵：(3)指定的状态观测器的特征值，写出期望的特征多项式：下面证明原系统和线性变换后系统间观测器的状态反馈增益矩阵的关系：2024/4/92024/4/91414证明：原系统：第二能观标准型：其中：式（1）和式（2）比较，得：2024/4/92024/4/91515为系统期望的特征多项式系数，由下式确定：其中

7、 是A满足其自身的特征方程，为：推导过程：用前面讲述的对偶关系来推导。转化为对偶系统的状态反馈阵K的设计。此方法也非常适合于计算机matlab求解3 3、爱克曼公式、爱克曼公式(Ackermann(Ackermann公式法公式法)（维数较大时，（维数较大时，n3n3）2024/4/92024/4/91616 解解：(1)传递函数 无零极点对消，系统能观测 可以写为第二能观测标准型：例例 系统的传递函数如下，试设计状态观测器，使观测器的极点为10，10。(2)设观测器的反馈增益阵为：1 1、直接法求解：、直接法求解：2024/4/92024/4/91717(5)由系数相等，得到观测器的反馈矩阵为

8、：(4)状态观测器期望的特征多项式为：(3)求观测器的特征多项式：则观测器的系统矩阵为：2024/4/92024/4/91818原系统的对偶系统，其A、B阵如下：设对偶系统的状态反馈阵为2 2、用状态反馈和状态观测器的对偶关系求解：、用状态反馈和状态观测器的对偶关系求解：将系统的特征值选择为原系统观测器的期望特征值。则期望的特征多项式为：则对偶系统的加入状态反馈后的特征多项式为：由系数相等，得到对偶系统状态反馈矩阵K为：所以，原系统观测器的反馈矩阵为：2024/4/92024/4/919193 3、用爱克曼公式求解：、用爱克曼公式求解：（1）确定系统期望的特征多项式系数：所以：（2）确定202

9、4/4/92024/4/92020（3）所以观测器增益Ke为：2024/4/92024/4/92121例已知线性定常连续系统的状态空间表达式为 设计状态观测器，使观测器极点为10和10，并画出系统的结构图。解：先判断系统的能观测性。系统状态完全能观测，观测器存在，且其极点可以任意配置。令2024/4/92024/4/92222则观测器的特征多项式为观测器期望的特征多项式为由，求得 观测器方程为：或：2024/4/92024/4/92323观测器的系统结构图如下：2024/4/92024/4/92424五、构成状态观测器的原则：五、构成状态观测器的原则：五、构成状态观测器的原则：五、构成状态观测

10、器的原则：1）观测器 以原系统 的输入和输出作为其输入。2）的输出状态 应有足够快的速度逼近x，这就要求 有足够宽的频带，将导致观测器的作用接近于一个微分器，从而使频带加宽，不能容忍地将高频噪声分量放大。3）有较高的抗干扰性，这就要求 有较窄的频带，因而快速性和抗干扰性是互相矛盾的，应综合考虑。4）在结构上应尽可能地简单，即具有尽可能低的维数。5）观测器的逼近速度选择：只需使观测器的期望极点比由此组成的闭环反馈系统的特征值稍大一些即可。一般地，选择的期望特征值，应使状态观测器的响应速度至少比所考虑的闭环系统快25倍。2024/4/92024/4/92525 本节小结本节小结本节小结本节小结 ：

11、一、全维状态观测器的原理、构成与极点配置一、全维状态观测器的原理、构成与极点配置状态观测器 方程：存在性定理存在性定理：线性定常系统不能观测的部分是渐近稳定的。状态观测器极点配置条件状态观测器极点配置条件：状态完全能观测状态观测器极点配置算法状态观测器极点配置算法：反馈阵：反馈阵KeKe的设计（或用对偶原理，的设计（或用对偶原理，设计其对偶系统的状态反馈阵设计其对偶系统的状态反馈阵K K）2024/4/92024/4/92626(3)写出状态观测器的期望特征多项式：1 1、直接法、直接法（维数较小时，维数较小时，n 3n 3）(2)求观测器的特征多项式：(4)由 确定状态观测器的反馈矩阵：(1

12、)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。2 2、第二能观测标准型法（维数较大时，、第二能观测标准型法（维数较大时，n3n3）(1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。(2)确定将原系统化为第二能观测标准型 的变换阵 。2024/4/92024/4/92727(4)写出在第二能观测标准型下，观测器的反馈矩阵：(5)求未变换前系统状态观测器的反馈矩阵：(3)指定的状态观测器的特征值，写出期望的特征多项式：2024/4/92024/4/92828为系统期望的特征多项式系数，由下式确定：其中 是A满足其自身的特征方程，为：3 3、爱克曼公式、爱克曼公式(Ackerma

13、nn(Ackermann公式法公式法)（维数较大时，（维数较大时，n3n3）2024/4/92024/4/92929第四节第四节 带有观测器的带有观测器的状态反馈系统状态反馈系统1.带有观测器的状态反馈系统的构成2.带有观测器的状态反馈系统的输入输出特性2024/4/92024/4/93030状态观测器的建立，为不能直接量测的状态反馈提供了条件构成构成：带有状态观测器的状态反馈系统由观测器和状态反馈两个子系统构成。用观测器的估计状态实现反馈。是x重构状态，阶数小于等于x阶数。系统阶数为 与x阶数和一、带有观测器的状态反馈系统的构成一、带有观测器的状态反馈系统的构成一、带有观测器的状态反馈系统的

14、构成一、带有观测器的状态反馈系统的构成全维状态观测器加入状态反馈2024/4/92024/4/93131带有全维状态观测器的状态反馈系统等价结构图：讨论讨论：1、用观测器的估计状态来设计状态反馈阵，会不会对原来的状态反馈系统产生影响？2、在状态反馈中加入观测器，会不会影响原系统输入输出特性？2024/4/92024/4/93232二、带有观测器的状态反馈系统的输入输出特性二、带有观测器的状态反馈系统的输入输出特性二、带有观测器的状态反馈系统的输入输出特性二、带有观测器的状态反馈系统的输入输出特性加入反馈控制规律：状态反馈部分的状态方程：观测器部分的状态方程：原系统状态空间描述为：带有观测器的状

15、态反馈组合系统的状态空间描述为：维数2n为方便求式（1）特征多项式，特作如下线性非奇异变换：2024/4/92024/4/93333则经过非奇异变换后的状态空间描述为：非奇异变换不改变系统的传递函数阵、特征值和特征多项式上式是能控性分解的标准形式。B对应的状态x能控。2024/4/92024/4/93434得组合系统的传递函数为得组合系统的传递函数为：结论结论1：组合系统的传递函数和状态反馈部分的传递函数完全相同，与观测器部分无关，用观测器的估计状态进行反馈，不影响系统的输入输出特性。结论结论2：特征值由状态反馈和观测器两部分组成，相互独立，不受影响。所以，只要系统能控和能观测，则状态反馈矩阵

16、K和状态观测器的反馈矩阵Ke可以单独设计。分离特性得组合系统的特征多项式为得组合系统的特征多项式为：2024/4/92024/4/93535 例例：已知系统的状态空间描述为：请采用状态观测器实现状态反馈控制，使闭环系统的特征值配置在 解解：所以该系统状态完全能控，通过状态反馈，极点可任意配置。先判断系统的能控性和能观测性：所以该系统状态完全能观，观测器存在且其极点可任意配置。2024/4/92024/4/936361 1）根据分离特性，先设计状态反馈阵）根据分离特性，先设计状态反馈阵K K。设状态反馈增益矩阵为：写出直接反馈下，闭环系统的特征多项式：由 可以求得：计算期望的特征多项式：2 2）

17、设计观测器，求反馈增益矩阵）设计观测器，求反馈增益矩阵K Ke e：2024/4/92024/4/93737全维状态观测器的特征多项式：为了使观测器的响应速度稍快于系统响应速度，选择观测器特征值为：设反馈增益矩阵Ke为：所以状态观测器的反馈矩阵为：则状态观测器期望的特征多项式为：由 可以求得：2024/4/92024/4/93838 本节小结本节小结：1 1、带有观测器的状态反馈系统的构成、带有观测器的状态反馈系统的构成（掌握）（掌握）2 2、带有观测器的状态反馈系统的输入输出特性、带有观测器的状态反馈系统的输入输出特性（掌握（掌握）分离特性分离特性：状态反馈部分和状态观测器单独设计。设计步骤设计步骤：2024/4/92024/4/93939