IIR数字滤波器的原理及设计

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1、 第第6章章 IIR数字滤波器的原理及设计数字滤波器的原理及设计6.1 6.1 概述概述 6.1.1 6.1.1 IIR IIR 数字滤波器的差分方程和系统函数数字滤波器的差分方程和系统函数n我我们们已已经经知知道道IIR数数字字滤滤波波器器是是一一类类递递归归型型的的线线性性时时不不变变因果系统，其差分方程可以写为：因果系统，其差分方程可以写为：（6.16.1）2021/7/11n进行进行z变换，可得：变换，可得：n于是得到于是得到IIRIIR数字滤波器的系统函数：数字滤波器的系统函数：(6.2)(6.2)2021/7/12 6.1.2 6.1.2 IIR IIR 数字滤波器的设计方法数字滤

2、波器的设计方法n 对对(6.2)(6.2)式式的的有有理理函函数数的的分分子子、分分母母多多项项式式进进行行因因式式分分解解，可以得到：可以得到：(6.3)(6.3)n其其中中c ci i 为为零零点点而而d di i为为极极点点。H(z)H(z)的的设设计计就就是是要要确确定定系系数数、或或者者零零极极点点、，以以使使滤滤波波器器满满足足给给定定的的性性能能指指标标。一一般般有有三种方法。三种方法。2021/7/13 1.1.零极点位置累试法零极点位置累试法n IIRIIR系统函数在单位圆内的极点处出现峰值、在零点系统函数在单位圆内的极点处出现峰值、在零点处出现谷值处出现谷值,因此可以根据此

3、特点来设置因此可以根据此特点来设置H(z)H(z)的零极点以的零极点以达到简单的性能要求。所谓累试，就是当特性尚未达到要达到简单的性能要求。所谓累试，就是当特性尚未达到要求时，通过多次改变零极点的位置来达到要求。当然这种求时，通过多次改变零极点的位置来达到要求。当然这种方法只适用于简单的、对性能要求不高的滤波器的设计。方法只适用于简单的、对性能要求不高的滤波器的设计。2021/7/14 2.2.借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设计数字滤波器借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设计数字滤波器n 模拟滤波器的逼近和综合理论已经发展得相当成熟，模拟滤波器的逼近和综合理论已经发展得相当成熟，产生了许多

4、效率很高的设计方法，很多常用滤波器不仅有产生了许多效率很高的设计方法，很多常用滤波器不仅有简单而严格的设计公式，而且设计参数已图表化，设计起简单而严格的设计公式，而且设计参数已图表化，设计起来方便准确。来方便准确。2021/7/15n而数字滤波器就其滤波功能而言与模拟滤波器是相同的而数字滤波器就其滤波功能而言与模拟滤波器是相同的,因此，完全可以借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设因此，完全可以借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设计数字滤波器。在计数字滤波器。在IIRIIR数字滤波器的设计中，较多地采用数字滤波器的设计中，较多地采用了这种方法。了这种方法。2021/7/16 3.3.用优化技术设

5、计用优化技术设计n 系统函数系统函数H(z)H(z)的系数、或者零极点、等参数，可以采的系数、或者零极点、等参数，可以采用最优化设计方法来确定。最优化设计法的第一步是要选用最优化设计方法来确定。最优化设计法的第一步是要选择一种误差判别准则，用来计算误差和误差梯度等。择一种误差判别准则，用来计算误差和误差梯度等。2021/7/17n第第二二步步是是最最优优化化过过程程，这这个个过过程程的的开开始始是是赋赋予予所所设设计计的的参参数数一一组组初初值值，以以后后就就是是一一次次次次地地改改变变这这组组参参数数，并并一一次次次次计计算算H(z)H(z)的的特特性性与与所所要要求求的的滤滤波波器器的的特

6、特性性之之间间的的误误差差，当当此此误误差差达达到到最最小小值值时时，所所得得到到的的这这组组参参数数即即为为最最优优参参数数，设计过程也就到此完成。设计过程也就到此完成。2021/7/18n这这种种方方法法能能够够精精确确地地设设计计许许多多复复杂杂的的滤滤波波器器，但但是是往往往往计计算算很很复复杂杂，需需要要进进行行大大量量的的迭迭代代运运算算，故故必必须须借借助助于于计计算算机机，因因而而优优化化设设计计又又叫叫做做IIRIIR滤滤波波器器的的计计算算机机辅辅助助设设计计(CAD)CAD)。n第一种方法的算法简单、设计粗糙，在这里不具体讨论了；第一种方法的算法简单、设计粗糙，在这里不具

7、体讨论了；第三种方法所涉及的内容很多，并且需要最优化理论作为第三种方法所涉及的内容很多，并且需要最优化理论作为基础，因此在本章中只能作简要介绍；本章将着重讨论用基础，因此在本章中只能作简要介绍；本章将着重讨论用得最多的第二种方法。得最多的第二种方法。2021/7/19 6.1.3 6.1.3 借助于模拟滤波器的理论和方法的设计原理借助于模拟滤波器的理论和方法的设计原理n利用模拟滤波器来设计数字滤波器，要先根据滤波器的性利用模拟滤波器来设计数字滤波器，要先根据滤波器的性能指标设计出相应的模拟滤波器的系统函数能指标设计出相应的模拟滤波器的系统函数H Ha a(s)(s)，然后然后由由H Ha a(

8、s)(s)经变换而得到所需要的数字滤波器的系统函数经变换而得到所需要的数字滤波器的系统函数H(z)H(z)。常用的变换方法有冲激响应不变法和双线性变换法。常用的变换方法有冲激响应不变法和双线性变换法。2021/7/1106.2 6.2 模拟低通滤波特性的逼近模拟低通滤波特性的逼近n 模拟滤波器的设计包括逼近和综合两大部分，其中逼近模拟滤波器的设计包括逼近和综合两大部分，其中逼近部分是与数字滤波器的设计有关的。本节要讨论的是，在部分是与数字滤波器的设计有关的。本节要讨论的是，在已知模拟低通滤波器技术指标的情况下，如何设计其系统已知模拟低通滤波器技术指标的情况下，如何设计其系统函数函数Ha(s)，

9、使其逼近所要求的技术指标。使其逼近所要求的技术指标。2021/7/111n模模拟拟系系统统的的频频率率响响应应H Ha a(j)(j)是是冲冲激激响响应应h ha a(t)(t)的的傅傅里里叶叶变变换换，H Ha a(j)(j)的的模模表表征征系系统统的的幅幅频频特特性性，下下面面要要讨讨论论如如何何根据幅频特性指标来设计系统函数。根据幅频特性指标来设计系统函数。n图图6.16.1中中用用虚虚线线画画出出的的矩矩形形表表示示一一个个理理想想的的模模拟拟低低通通滤滤波波器的指标，是以平方幅度特性器的指标，是以平方幅度特性|H Ha a(j)|(j)|2 2来给出的。来给出的。2021/7/112

10、nc c 是截止频率，当是截止频率，当00c c时，时，|H Ha a(j)|(j)|2 2=0=0，是阻带。图是阻带。图6.1中的实的曲线中的实的曲线表示一个实际的模拟低通滤波器的平方幅度特性，我们的表示一个实际的模拟低通滤波器的平方幅度特性，我们的设计工作就是要用近似特性来尽可能地逼近理想特性。设计工作就是要用近似特性来尽可能地逼近理想特性。通通常采用的典型逼近有常采用的典型逼近有Butterworth逼近、逼近、Chebyshev逼近和逼近和Cauer逼近（也叫椭圆逼近。逼近（也叫椭圆逼近。2021/7/113 6.2.1 6.2.1 ButterworthButterworth低通滤波

11、特性的逼近低通滤波特性的逼近n 对于对于ButterworthButterworth滤波器有：滤波器有：（6.4）n满满足足此此平平方方幅幅度度特特性性的的滤滤波波器器又又叫叫做做B型型滤滤波波器器。这这里里N为正整数，为为正整数，为B 型滤波器的阶次，为截止频率。型滤波器的阶次，为截止频率。2021/7/114 6.2.1.1 6.2.1.1 B B型滤波特性型滤波特性 1.最平坦函数最平坦函数n B型滤波器的幅频特性是随型滤波器的幅频特性是随 增大而单调下降的。在增大而单调下降的。在 =0附近以及附近以及 很大时幅频特性都接近理想情况，而且在很大时幅频特性都接近理想情况，而且在这两处曲线趋

12、于平坦，因此这两处曲线趋于平坦，因此B型特性又叫做最平坦特性。型特性又叫做最平坦特性。2021/7/115n2.3db带宽带宽n 由由(6.4)式可知，当式可知，当=c c 时，时，=，而，而 n因此截止频率又叫做因此截止频率又叫做3db带宽或者半功率点。带宽或者半功率点。2021/7/116 图图6.1 6.1 ButterworthButterworth低通滤波器的平方幅度特性低通滤波器的平方幅度特性 2021/7/1173.N的影响的影响 n在在通通带带内内，0(/c)1，故故N越越大大，随随 增增大大而而下下降越快。降越快。2021/7/118n因因此此，N越越大大，B型型滤滤波波器器

13、的的幅幅频频特特性性越越接接近近理理想想的的矩矩形形形形状状；而而不不同同的的N所所对对应应的的特特性性曲曲线线都都经经过过c c 处处的的半半功功率点。离率点。离c c越近，幅频特性与理想特性相差越大。越近，幅频特性与理想特性相差越大。2021/7/119 6.2.1.2 6.2.1.2 由得到由得到Ha(s),BHa(s),B型滤波器的极点型滤波器的极点n由由于于H Ha a(s)(s)是是s s的的实实系系数数有有理理函函数数，故故有有：，令令s=j,s=j,则有：则有：，而而 (6.5)(6.5)n由由(6.4)(6.4)式和式和(6.5)(6.5)式有：式有：n用用s s代替上式中的

14、代替上式中的j j:(6.6):(6.6)2021/7/120 图图 6.2 6.2 阶次阶次N N对对B B型特性的影响型特性的影响2021/7/121n(6.6)(6.6)式的极点为：式的极点为：p=0,1,2N-1 p=0,1,2N-1 n 作作为为 1 1的的2 2N N次次方方根根，p p 均均匀匀地地分分布布在在单单位位圆圆上上，幅幅角角间间隔隔为为/N/N；它它们们关关于于实实轴轴对对称称，却却没没有有一一个个在在实实轴轴上上。显显然然，将将 的的模模乘乘上上，再再将将其其按按逆逆时时针针方方向向旋旋转转，就就得得到到s sp p。因因此此，s sp p均均匀匀地地分分布布在在半

15、半径径为为的的圆圆周周上上，其其位位置置关关于于虚虚轴轴对对称称，却却没没有有一一个个在在虚虚轴轴上上，这这就就是是说说，2 2N N个个极极点点s sp p在在s s平面的左、右两半平面各有平面的左、右两半平面各有N N个。个。2021/7/122n 这这2 2N N个个极极点点是是H Ha a(s)H(s)Ha a(-s)(-s)的的极极点点，考考虑虑到到系系统统函函数数H Ha a(s)(s)的的极极点点必必须须在在左左半半平平面面系系统统才才是是稳稳定定的的，因因而而将将左左半半s s平平面面的的N N个个极极点点s sk k（k=0,1,N-1)k=0,1,N-1)分分给给H Ha

16、a(s)(s)，这这样样，右右半半平平面的面的N N 个极点个极点-s sk k就正好是就正好是H Ha a(s)(s)的极点。因此有：的极点。因此有：(6.8)(6.8)2021/7/123n这这个个式式子子中中的的常常数数 是是为为了了使使(6.5)(6.5)式式满满足足而而加加入入的的。这这N N个个极极点点s s0 0、s s1 1、s sN-1在在s s 平平面面的的左左半半平平面面而而且且以以共共轭轭形形式式成成对对出出现现，当当N N为为奇奇数数时时,有有一一个个在在实实轴轴上上 (为为-)-)。2021/7/1246.2.1.3 6.2.1.3 一般情况下的一般情况下的B B型

17、低通滤波器型低通滤波器 图图 6.3 6.3 一般情况下低通滤波器的设计指标一般情况下低通滤波器的设计指标2021/7/125n此此时时，应应该该将将角角频频率率 标标称称化化，通通常常以以1 1为为基基准准频频率率，则则标标称称化化角角频频率率为为：=/=/1 1 。于于是是通通带带边边界界的的标标称称化化角角频频率率为为 1 1=1=1，并并且且在在通通带带有有0011，在在过过渡渡带和阻带则有带和阻带则有 11。n以以下下为为了了方方便便起起见见，仍仍用用不不带带撇撇的的 表表示示标标称称化化的的角角频频率率。频频率率标标称称化化后后，B B型型滤滤波波器器的的平平方方幅幅度度特特性性仍

18、仍如如(6.2)(6.2)式式所所示，只是式中的参数和示，只是式中的参数和N N都需要由图都需要由图6.36.3给出的指标来确定。给出的指标来确定。2021/7/126n（6.46.4）式可以写成：）式可以写成：(6.10)(6.10)n当当=1 1=1=1时，上式为：时，上式为：(6.11)(6.11)n令令 (6.12)(6.12)n则由则由(6.11)(6.11)式可得：式可得：2021/7/127n当当 时有：时有：(6.13)(6.13)n故故 (6.14)(6.14)n由由(6.14)(6.14)式式可可求求出出N N，再再将将其其代代入入(6.12)(6.12)式式，即即可可求求

19、 得得 。2021/7/1286.4 6.4 冲激响应不变法冲激响应不变法n 本节和下一节所讨论的问题是，在已知模拟滤波器的本节和下一节所讨论的问题是，在已知模拟滤波器的系统函数系统函数H Ha a(s)(s)的情况下，如何求相应的数字滤波器的系的情况下，如何求相应的数字滤波器的系统函数统函数H(z)H(z)。s s是模拟复频率，是模拟复频率，H Ha a(s)(s)也是模拟滤波器的冲也是模拟滤波器的冲激响应激响应h ha a(t)(t)的拉氏变换。的拉氏变换。2021/7/129 6.4.1 6.4.1 冲激响应不变法的变换方法冲激响应不变法的变换方法n 模拟滤波器的系统函数通常可以表示为：

20、模拟滤波器的系统函数通常可以表示为：(6.62)(6.62)2021/7/130n而而且且一一般般都都满满足足MNM0,0,r r 1 1；当；当 0,0,r1r1。2021/7/143n (6.75)(6.75)式式既既表表示示了了数数字字角角频频率率与与模模拟拟角角频频率率之之间间的的关关系系，也也表表示示了了z z平平面面的的幅幅角角与与s s平平面面的的虚虚部部之之间间的的关关系系。由由(6.75)(6.75)式式还还可可以以知知道道，s s平平面面上上 由由-/T/Ts s到到/T/Ts s这这一一条条状状区区域域映映射射到到z z平平面面上上 由由-到到的的区区域域，即即整整个个z

21、 z平平面面；s s平平面面上上的的水水平平线线=-/T=-/Ts s映映射射到到z z平平面面上上的的射射线线=-=-，而而当当这这条条射射线线按按逆逆时时针针方方向向旋旋转转时时，对对应应的的s s平平面面上上的的水水平平线就向上平移。线就向上平移。2021/7/144n 上上面面所所阐阐述述的的不不仅仅是是模模拟拟域域s s平平面面与与数数字字域域z z平平面面之之间间的的映映射射关关系系，而而且且也也是是模模拟拟滤滤波波器器的的频频率率与与用用冲冲激激响响应应不不变变法法所所得得到到的的数数字字滤滤波波器器的的频频率率之之间间的的关关系系。s s平平面面与与z z平平面面的的映映射射关

22、关系系保保证证了了将将稳稳定定的的模模拟拟滤滤波波器器变变换换为为稳稳定定的的数数字字滤波器。滤波器。2021/7/145 图图 6.14 6.14 模拟复频率模拟复频率 s s 与数字复频率与数字复频率 z z 之间的映射关系之间的映射关系 2021/7/146n 例例6.6 6.6 用用冲冲激激响响应应不不变变法法设设计计一一个个三三阶阶 ButteworthButteworth数数字字低低通通滤滤波波器器，抽抽样样频频率率为为f fs s=1.2=1.2 kHz,kHz,截截止止频频率率为为 =400=400 HzHz。n解解：此此 数数 字字 滤滤 波波 器器 的的 截截 止止 频频

23、率率：c c=2f=2fc c=2400=800=2400=800 弧度弧度/s sn这这也也是是模模拟拟滤滤波波器器的的截截止止频频率率，于于是是可可以以写写出出模模拟拟滤滤波波器器的系统函数的系统函数:2021/7/147n其中其中 ，n现在进行部分分式分解，令现在进行部分分式分解，令 (*2)(*2)2021/7/148n可以得到：可以得到：n根据根据(*1)(*1)式和式和(*2)(*2)式，再将式，再将A A、B B、C C代入，便得到：代入，便得到：2021/7/149n上式中上式中T Ts s=1/f=1/fs s=1/1200=1/1200（秒）。秒）。2021/7/1506.

24、5 6.5 双线性变换法双线性变换法 6.5.1 6.5.1 双线性变换关系的导出双线性变换关系的导出n模拟滤波器的系统函数模拟滤波器的系统函数 可以变换可以变换 为：为：n这里为了方便说明，已令这里为了方便说明，已令M=NM=N。2021/7/151n由由此此式式可可以以看看出出，模模拟拟滤滤波波器器的的基基本本单单元元是是积积分分器器 ，因因此此，只只要要设设法法用用某某种种数数字字网网络络来来代代替替此此基基本本单单元元，就就能能够将模拟滤波器转变成相应的数字滤波器。够将模拟滤波器转变成相应的数字滤波器。n模拟滤波器基本单元的系统函数为：模拟滤波器基本单元的系统函数为：n则其冲激响应为：

25、则其冲激响应为：2021/7/152n设设有有一一信信号号(t0t0）输输入入到到该该积积分分器器系系统统，则则其其输输出出也也即即对的响应为：对的响应为：n设设00t t1 1t00，即右半平面，即右半平面 r1,r1,即单位圆外即单位圆外 =0=0，即虚轴，即虚轴 r=1,r=1,即单位圆即单位圆 00，即左半平面，即左半平面 r1,r1,即单位圆内即单位圆内2021/7/160n因因此此，用用双双线线性性变变换换法法，稳稳定定的的模模拟拟滤滤波波器器导导出出的的数数字字滤滤波波器器也也必必定定是是稳稳定定的的。但但是是，与与冲冲激激响响应应不不变变法法不不同同的的是是，在在双双线线性性变

26、变换换下下，模模拟拟滤滤波波器器的的复复频频率率s s与与相相应应的的数数字字滤滤波器的复频率波器的复频率z z之间的映射是一一对应的关系。之间的映射是一一对应的关系。2021/7/161 图图 6.16 6.16 双线性变换法双线性变换法s s平面与平面与z z平面之间的映射关系平面之间的映射关系2021/7/162 6.5.3 6.5.3 频率预畸变频率预畸变 n 下下面面讨讨论论s s平平面面的的虚虚轴轴与与z z平平面面的的单单位位圆圆的的映映射射关关系系，也也即即模模拟拟滤滤波波器器的的角角频频率率 与与相相应应的的数数字字滤滤波波器器的的角角频频率率 之间的关系。在之间的关系。在(

27、6.84)(6.84)式中令式中令 =0 =0，便可得到：，便可得到：或或 （6.856.85）2021/7/163 图图 6.17 6.17 与与之间的非线性关系之间的非线性关系2021/7/164n 与与 的的关关系系是是非非线线性性的的，但但是是，s s平平面面上上的的虚虚轴轴一一一一对对应应地地映映射射到到了了z z平平面面单单位位圆圆的的一一周周之之上上，因因此此，采采用用双双线线性性变换法，不存在频域混叠失真的问题。变换法，不存在频域混叠失真的问题。n由双线性变换所引起的模拟滤波器频率由双线性变换所引起的模拟滤波器频率 与数字频率与数字频率 之之间的非线性关系，使得所得到的数字滤波

28、器的相位频率特间的非线性关系，使得所得到的数字滤波器的相位频率特性产生失真；性产生失真；2021/7/165n但对于幅度频率特性，可以通过频率预畸变来校正。实际但对于幅度频率特性，可以通过频率预畸变来校正。实际上，只要首先根据所要求的数字滤波器的各关键频率，按上，只要首先根据所要求的数字滤波器的各关键频率，按照照(6.85)(6.85)式转变成相应的模拟频率，再根据这些频率指标式转变成相应的模拟频率，再根据这些频率指标来设计模拟滤波器，则最后转换成的数字滤波器的各关键来设计模拟滤波器，则最后转换成的数字滤波器的各关键频率就会正好映射到所要求的位置上。频率就会正好映射到所要求的位置上。2021/

29、7/1666.5.4 6.5.4 双线性变换法的特点双线性变换法的特点 1 1模拟滤波器经过双线性变换后，不存在频率特性的模拟滤波器经过双线性变换后，不存在频率特性的混叠失真，因而对模拟滤波器的频率响应函数混叠失真，因而对模拟滤波器的频率响应函数H Ha a()无限无限带要求，而且能够直接用于设计低通、高通、带通、带阻带要求，而且能够直接用于设计低通、高通、带通、带阻等各种类型的数字滤波器。等各种类型的数字滤波器。2021/7/1672 2与与冲冲激激响响应应不不变变法法中中模模拟拟频频率率与与数数字字频频率率之之间间的的线线性性关关系系=T=Ts s不不同同的的是是，双双线线性性变变换换法法

30、中中模模拟拟滤滤波波器器的的频频率率与与所所转转换换成成的的数数字字滤滤波波器器的的频频率率之之间间是是非非线线性性关关系系，但但是是，如如果果事事先先进进行行频频率率预预畸畸变变，这这种种非非线线性性关关系系不不会会使使所所设设计计的数字滤波器的幅频特性受到影响。的数字滤波器的幅频特性受到影响。3 3双双线线性性变变换换方方法法比比较较容容易易，不不需需要要将将模模拟拟系系统统函函数数进进行行部分分式分解。部分分式分解。2021/7/168n因此，双线性变换法是用得很普遍、并且很有效的一种方因此，双线性变换法是用得很普遍、并且很有效的一种方法；只是，由于频率的非线性关系会产生相频特性失真，法

31、；只是，由于频率的非线性关系会产生相频特性失真，所以若对数字滤波器的相位特性要求较严，则不宜采用这所以若对数字滤波器的相位特性要求较严，则不宜采用这种变换方法。种变换方法。2021/7/169n 最后必须强调说明一下用双线性变换法来设计数字滤波最后必须强调说明一下用双线性变换法来设计数字滤波器时各种频率之间的关系。我们在考虑一个数字滤波器的器时各种频率之间的关系。我们在考虑一个数字滤波器的频域特性时，所采用的频率变量可以是数字频率频域特性时，所采用的频率变量可以是数字频率，也可，也可以是模拟频率。模拟角频率以是模拟频率。模拟角频率=2=2 f f，f f是以赫兹是以赫兹(Hz)Hz)为单为单位

32、的真正具有物理意义的频率变量。位的真正具有物理意义的频率变量。与与 的关系为的关系为=T Ts s，T Ts s为抽样周期。为抽样周期。2021/7/170n数字滤波器的频率响应数字滤波器的频率响应 =，是是 的的周期函数，以周期函数，以2 2 为周期；为周期；是是 的周期函数，周期的周期函数，周期为为s s=2/T=2/Ts s。上述这些关系与数字滤波器的设计方法上述这些关系与数字滤波器的设计方法无关。如果数字滤波器是用冲激响应不变法设计的，则模无关。如果数字滤波器是用冲激响应不变法设计的，则模拟滤波器的频率变量也就是数字滤波器的模拟频率变量；拟滤波器的频率变量也就是数字滤波器的模拟频率变量

33、；如果数字滤波器是用双线性变换法来设计的，那末模拟滤如果数字滤波器是用双线性变换法来设计的，那末模拟滤波器的频率变量并不是数字滤波器的模拟频率变量。波器的频率变量并不是数字滤波器的模拟频率变量。2021/7/171n我我们们在在6.5.2 6.5.2 节节中中所所述述的的双双线线性性变变换换法法s s平平面面与与z z平平面面的的映映射射关关系系实实际际上上是是被被变变换换的的模模拟拟滤滤波波器器的的复复频频率率s s 与与所所得得到到的的数数字字滤滤波波器器的的复复频频率率z z之之间间的的关关系系，(6.85)(6.85)式式中中的的 也也是是此此模模拟拟滤滤波波器器的的角角频频率率，并并不不是是数数字字滤滤波波器器的的模模拟拟角角频频率率。为为了了便便于于区区分分，应应该该将将(6.85)(6.85)式式中中的的模模拟拟滤滤波波器器角角频频率率用用 来来表表示示，即即为为：；而而数数字字滤滤波波器器的的数数字字角角频频率率 与与其其本本身身的的模模拟拟角角频频率率之之间间仍仍然然是是上上面面所所述述的的那种线性关系，即有：那种线性关系，即有：=T Ts s。2021/7/172 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！