测量不确定度的表示

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1、第三节第三节 直接测量结果的表示直接测量结果的表示一、测量结果的表示一、测量结果的表示 若用不确定度表征测量结果的可靠程度，若用不确定度表征测量结果的可靠程度，则测量结果写成下列标准形式则测量结果写成下列标准形式 式中式中 为多次测量的平均值，为合成不确定为多次测量的平均值，为合成不确定度度 为相对不确定度为相对不确定度 。它实际上就是相对它实际上就是相对误差范围的估计值。误差范围的估计值。二、直接单次测量结果的表示二、直接单次测量结果的表示单次测量单次测量时，大体有三种情况：时，大体有三种情况：1、仪器精度较低，偶然误差很小，多次测量读数相同，、仪器精度较低，偶然误差很小，多次测量读数相同，

2、不必进行多次测量；不必进行多次测量；2、对测量的准确程度要求不高，只测一次就够了；、对测量的准确程度要求不高，只测一次就够了；3、因测量条件的限制，不可能多次重复测量。、因测量条件的限制，不可能多次重复测量。u用单次测量值作为被测量的最佳估计值。用单次测量值作为被测量的最佳估计值。u用仪器误差作为的总不确定度，测量结果表示为：用仪器误差作为的总不确定度，测量结果表示为：单次测量单次测量:三、多次测量时，不确定度以下面的过程进行直接多次测量结果的表示直接多次测量结果的表示计算：计算：1、求测量数据的、求测量数据的算术平均值算术平均值：2、用贝塞尔公式计算、用贝塞尔公式计算标准偏差标准偏差：3、若

3、测量次数、若测量次数n=6，取置信概率，取置信概率 ，则，则4、确定、确定仪器误差仪器误差；6、计算算相相对不确定度不确定度：7、给出最出最终测量量结果果：5、由由 合成不确定度合成不确定度：四、测量结果中，测量值与不确定度的四、测量结果中，测量值与不确定度的取位与舍入规则取位与舍入规则1、不确定度一般保留、不确定度一般保留12位数字，位数字，当首位数字等于当首位数字等于当首位数字等于当首位数字等于或大于或大于或大于或大于3 3时，取一位；小于时，取一位；小于时，取一位；小于时，取一位；小于3 3时，则取两位时，则取两位时，则取两位时，则取两位，其后面，其后面的数字采用进位法舍去。相对不确定度

4、的取位也采的数字采用进位法舍去。相对不确定度的取位也采用相同规则。用相同规则。2、对于、对于不确定度的不确定度的不确定度的不确定度的尾数尾数尾数尾数一律一律一律一律只进不舍，只进不舍，只进不舍，只进不舍，主要考虑的主要考虑的是要是要估计不足估计不足例如，例如，算得不确定度为算得不确定度为0.32mm，可以化为可以化为0.4mm0.4mm。3、测得值取几位，由不确定度位数来决定，、测得值取几位，由不确定度位数来决定，即即测量测量测量测量值的保留位数要与不确定度的保留位数相对应值的保留位数要与不确定度的保留位数相对应值的保留位数要与不确定度的保留位数相对应值的保留位数要与不确定度的保留位数相对应，

5、后，后面的尾数则采用面的尾数则采用“小于小于小于小于5 5舍，大于舍，大于舍，大于舍，大于5 5进，等于进，等于进，等于进，等于5 5将保将保将保将保留的数字凑成偶数留的数字凑成偶数留的数字凑成偶数留的数字凑成偶数”的原则取舍。如测量结果为：的原则取舍。如测量结果为：P25例例2 在室温在室温23C0下，用共振干涉法下，用共振干涉法测量超声波在空气中传播时的波长，数据测量超声波在空气中传播时的波长，数据表表(cm)试用不确定度表示测量结果。试用不确定度表示测量结果。1234560.6872 0.6854 0.6840 0.6880 0.6820 0.6880解：波长解：波长 的平均值为：的平均

6、值为：任意一次波长测量值的标准差为：任意一次波长测量值的标准差为：1.波长波长平均值平均值:2.A类分量类分量(标准偏差标准偏差):3.B类分量类分量(仪器误差仪器误差)：4.合成不确定度合成不确定度为：为：5.相对不确定度相对不确定度为：为：6.最终最终测量结果测量结果表达为：表达为：第四节第四节 间接测量结果的表示和间接测量结果的表示和不确定度的合成不确定度的合成一、间接测量量的不确定度计算一、间接测量量的不确定度计算间接测量量是由直接测量量根据一定的函间接测量量是由直接测量量根据一定的函数公式计算出来的。数公式计算出来的。直接测量量的不确定度就必然影响到间接直接测量量的不确定度就必然影响

7、到间接测量量，这种影响的大小也可以由相应的测量量，这种影响的大小也可以由相应的数学公式计算出来。数学公式计算出来。间接测量量的最佳估计值为间接测量量的最佳估计值为 ，将各直，将各直接测量量的最佳估计值代入函数关系式可得到间接测量量的最佳估计值代入函数关系式可得到间接测量量的最佳估计值。接测量量的最佳估计值。在普通物理实验中用以下两式来简化地计算不确在普通物理实验中用以下两式来简化地计算不确定度：定度：下式适用于下式适用于N是积商形式的函数，是积商形式的函数，上式适用于上式适用于N是和差形式的函数及一般函数运算是和差形式的函数及一般函数运算 二、常用函数的不确定度传递公式二、常用函数的不确定度传

8、递公式（P27）测量关系量关系不确定度传递公式不确定度传递公式 1对对加减法加减法加减法加减法运算，总是运算，总是先算先算不确定度不确定度不确定度不确定度,和差和差的不确定度的平方的不确定度的平方等于等于各量的不确定度的各量的不确定度的平方和平方和；2对对乘除法乘除法乘除法乘除法运算，总是运算，总是先算先算相对不确定度相对不确定度相对不确定度相对不确定度；积商的相对不确定度的平方积商的相对不确定度的平方等于等于各量的相各量的相对不确定度的平方和对不确定度的平方和.三、三、间接测量量不确定度的计算步骤：间接测量量不确定度的计算步骤：1 1、按照直接测量量的数据处理程序求出各直接测量量的结果：、按

9、照直接测量量的数据处理程序求出各直接测量量的结果：2 2、将各直接测量量的最佳估计值代入函数式关系中，求得间接、将各直接测量量的最佳估计值代入函数式关系中，求得间接测量量的最佳估计值：测量量的最佳估计值：3 3、不确定度：、不确定度：（1 1）对常用函数关系式其间接量的不确定度直接用各直接）对常用函数关系式其间接量的不确定度直接用各直接测量量的不确定度传递公式进行计算。（见表测量量的不确定度传递公式进行计算。（见表3 3）(2)(2)对和差形式间接测量量的总不确定度用：对和差形式间接测量量的总不确定度用：(3)(3)对积商形式间接测量量的相对不确定度用：对积商形式间接测量量的相对不确定度用：4

10、 4、对（、对（1 1）（）（2 2）再求相对不确定度）再求相对不确定度 ；对（对（3 3）再求）再求 。5 5、给出实验结果：给出实验结果：P28P28例例44已知金属环的内径已知金属环的内径 ，外外径径 ，高度，高度 ，求：金属环的体积，并用不确定度表示实验结果。求：金属环的体积，并用不确定度表示实验结果。解解：1.金属的体积最佳值：金属的体积最佳值：2.2.求偏导：求偏导：3.3.先求相对不确定度先求相对不确定度:4.再求总的不确定度：再求总的不确定度：5.5.最终实验结果：最终实验结果：P29例例5 已知一圆柱体的质量已知一圆柱体的质量M=14.06g0.01g，高高H=6.715cm

11、0.005cm，用螺旋测微计测得直，用螺旋测微计测得直径径D=的数据，如下表：的数据，如下表：次数次数6：0.5642，0.5648，0.5643，0.5640，0.5649，0.5646，求其密度的测量结果。，求其密度的测量结果。解解：1.1.先求直径的不确定度表达先求直径的不确定度表达先求直径的不确定度表达先求直径的不确定度表达:2)2)直径不确定度直径不确定度A A类分量类分量(6(6次测量的标准偏差次测量的标准偏差)，即：，即：1)1)直径的平均值：直径的平均值：3)将仪器误差作为不确定度将仪器误差作为不确定度B类分量类分量，即，即 4)直径的不确定度表达直径的不确定度表达:2.根据圆

12、柱体的密度公式求密度最佳值：根据圆柱体的密度公式求密度最佳值：3.根据函数传递公式，求密度的相对不确定度为：根据函数传递公式，求密度的相对不确定度为：4.密度的总不确定度为：密度的总不确定度为：5.故测量结果应表示为：故测量结果应表示为：(注意注意:不确定度尾数小于不确定度尾数小于3,取两位有效数字取两位有效数字.)第五节第五节 数据处理的基本方法数据处理的基本方法 实验研究不总是单纯的对某一物理量进行实验研究不总是单纯的对某一物理量进行测量，大量的实际问题还是要研究物理量测量，大量的实际问题还是要研究物理量之间的相依关系、变化规律，以便从中找之间的相依关系、变化规律，以便从中找出它们内在联系

13、和确定关系。因此，在函出它们内在联系和确定关系。因此，在函数关系测量中，至少应包括两个物理量，数关系测量中，至少应包括两个物理量，一个是一个是“自变量自变量”，另一个是，另一个是“因变量因变量”，它是，它是“自变量自变量”对应的函数值。数据处对应的函数值。数据处理的方法有：理的方法有：列表法、图解法和解析法列表法、图解法和解析法三三种。其中尤以列表法和图解法最为简单明种。其中尤以列表法和图解法最为简单明了，了，一、列表法一、列表法数据在列表处理时，应该遵循下列原则：数据在列表处理时，应该遵循下列原则：各项目（纵或横）均应标明名称及单位，若名称各项目（纵或横）均应标明名称及单位，若名称用自定的符

14、号，则需加以说明。用自定的符号，则需加以说明。列入表中的数据主要应是原始测量数据，处理过列入表中的数据主要应是原始测量数据，处理过程中的一些重要中间结果也应列入表中。程中的一些重要中间结果也应列入表中。项目的顺序应充分注意数据间的联系和计算的程项目的顺序应充分注意数据间的联系和计算的程序，力求简明、齐全、有条理。序，力求简明、齐全、有条理。若是函数测量关系的数据表，则应按自变量由小若是函数测量关系的数据表，则应按自变量由小到大或由大到小的顺序排列。到大或由大到小的顺序排列。下面以使用螺旋测微计测量钢球直径下面以使用螺旋测微计测量钢球直径D为例，列为例，列表记录和处理数据。表记录和处理数据。二、

15、图解法二、图解法（如：模拟静电场、太阳能伏安特性、非线性（如：模拟静电场、太阳能伏安特性、非线性实验）实验）在自然科学和工程技术问题中，将具有函数在自然科学和工程技术问题中，将具有函数关系的测量结果绘制成图线，优点是关系的测量结果绘制成图线，优点是直观简直观简明，应用方便明，应用方便，能以最醒目的方式显示出测，能以最醒目的方式显示出测量量之间的变化规律。特别适合那些尚未找量量之间的变化规律。特别适合那些尚未找到适当解析表达式的实验结果。到适当解析表达式的实验结果。原则：原则：图纸的选择、坐标的分度和标记、标图纸的选择、坐标的分度和标记、标点与连线、注解和说明点与连线、注解和说明等。等。1 图纸

16、的选择图纸通常有线性直角坐标纸（毫米方格纸）图纸通常有线性直角坐标纸（毫米方格纸）、对数坐标纸、半对数坐标纸、极坐标纸、对数坐标纸、半对数坐标纸、极坐标纸等，应根据具体实验情况选取合适的坐标等，应根据具体实验情况选取合适的坐标纸。纸。2 坐标的分度和标记绘制图线时，总是以绘制图线时，总是以自变量自变量作作横坐标横坐标，以，以因变量因变量作作纵坐标纵坐标，并应标明各坐标轴所代，并应标明各坐标轴所代表的物理量，即表的物理量，即轴名轴名（可用符号表示）及（可用符号表示）及其其单位单位。坐标的分度要根据实验数据的有效数字和坐标的分度要根据实验数据的有效数字和对结果的要求来定。对结果的要求来定。3、标点

17、和连线根据测量数据，用根据测量数据，用“”记号标出各测点在记号标出各测点在坐标纸上的位置，记号的交点应是测量点坐标纸上的位置，记号的交点应是测量点的坐标位置，横、竖线段可以表示测量点的坐标位置，横、竖线段可以表示测量点的误差范围的误差范围。4 4、注释和说明、注释和说明在图线的明显位置处应写清在图线的明显位置处应写清图的名称图的名称，在，在图名下方可写上必不可少的实验条件和图图名下方可写上必不可少的实验条件和图注。当需要从图线上读取点值时，应在图注。当需要从图线上读取点值时，应在图线上用线上用特殊的记号特殊的记号标明该点的位置，并在标明该点的位置，并在其旁标明它的其旁标明它的坐标值坐标值。三、

18、逐差法三、逐差法（如：牛顿环、杨氏模量实验）（如：牛顿环、杨氏模量实验）逐差法逐差法是物理实验中常用的数据处理方法是物理实验中常用的数据处理方法之一。特别是在被测变量之间存在之一。特别是在被测变量之间存在多项式多项式函数关系，自变量等间距变化的实验函数关系，自变量等间距变化的实验中，中，更有其独特的优点。更有其独特的优点。例如：对于一次函数形式，可用逐差例如：对于一次函数形式，可用逐差法求因变量变化的平均值，具体做法是将测法求因变量变化的平均值，具体做法是将测量值分成前后两组，将对应项分别相减，然量值分成前后两组，将对应项分别相减，然后取平均值求得结果。后取平均值求得结果。举例说明如下，如用受

19、力拉伸法测定弹簧举例说明如下，如用受力拉伸法测定弹簧劲度系数劲度系数K，在弹性限度内，伸长量与受拉，在弹性限度内，伸长量与受拉力力F间满足关系，等间距地改变拉力（负荷）间满足关系，等间距地改变拉力（负荷），测得数据如表，测得数据如表6所示。所示。若改用多项间隔逐差，将上述数据分成高若改用多项间隔逐差，将上述数据分成高组组 和低组和低组 ，然后对应，然后对应项相减求平均值，得：项相减求平均值，得：=于是各于是各个数据全部都用上了。相当于重复测量了个数据全部都用上了。相当于重复测量了4次，每次负荷次，每次负荷 。这样处理可以。这样处理可以充分利用数据，体现出多次测量的优点，充分利用数据，体现出多次测量的优点，减小了测量误差。减小了测量误差。作业作业(P37练习题练习题):1（a)23（2）,（4）,（6）4（1/2）,（2/2）,（3/2）,（4/2）8 (2),(4),(6)9 (2)，(4)，(6)10