测量误差分析

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1、 第一节第一节 误差的来源与分类误差的来源与分类 第二节第二节 系统误差系统误差 第三节第三节 随机误差随机误差（偶然误差）（偶然误差）第四节第四节 随机误差的计算随机误差的计算 第五节第五节 粗大误差粗大误差（过失误差）（过失误差）第七节第七节 最小二乘法最小二乘法、误差的综合误差的综合 第八节第八节 有效数字与计算方法有效数字与计算方法 第二章思考题第二章思考题第二章第二章 测量测量误差分析及处理误差分析及处理第一节第一节 测量误差的来源与分类测量误差的来源与分类一、测量误差的概念一、测量误差的概念二、误差的二、误差的来源来源三、测量误差的分类三、测量误差的分类一、测量误差的概念一、测量误

2、差的概念u测测定定值值与与被被测测量量真真值值之之差差称称为为测测量量的的绝绝对对误误差差，或简称测量误差。或简称测量误差。=x X0 式中，式中，测量误差；测量误差；x 测定值（例如仪表指示值）；测定值（例如仪表指示值）；X0 被测量的真值。被测量的真值。u真值一般无法得到，所以用实际值真值一般无法得到，所以用实际值X代替代替X0。u对于绝对误差，应注意下面几个特点：对于绝对误差，应注意下面几个特点：u绝对误差是有单位的量，其单位与测定值和实际值相同。u绝对误差是有符号的量，其符号表示出测定值与实际值的大小关系。u测定值与被测量实际值之间的偏离程度和方向通过绝对误差来体现。u示值的绝对误差与

3、约定值之比值称为示值的绝对误差与约定值之比值称为相对误差相对误差，其为无量纲数，以百分数表示。其为无量纲数，以百分数表示。u一般约定值一般约定值m有如下几种取法：有如下几种取法：um取取测量仪表的指示值测量仪表的指示值x时，时，称为称为标称相对误差标称相对误差；um取取测量的实际值测量的实际值X时，时，称为称为实际相对误差实际相对误差；um取取仪表的满刻度值仪表的满刻度值时，时，称为称为引用相对误差引用相对误差。u对于相同的被测量，用绝对误差评定其对于相同的被测量，用绝对误差评定其测量精度的高低。但对于不同的被测量，测量精度的高低。但对于不同的被测量，则应采用相对误差来评定。则应采用相对误差来

4、评定。u测测量量过过程程中中存存在在测测量量误误差差是是不不可可避避免免的的，任何测量值只能近似反映被测量的真值。任何测量值只能近似反映被测量的真值。u测测量量过过程程中中无无数数随随机机因因素素的的影影响响，使使得得即即使使在在同同一一条条件件下下对对同同一一对对象象进进行行重重复复测测量量也也不不会得到完全相同的测量值。会得到完全相同的测量值。u被被测测量量总总是是要要对对敏敏感感元元件件施施加加能能量量才才能能使使测测量量系系统统给给出出测测量量值值，这这就就意意味味着着测测量量值值并并不不能完全准确的反映被测参数的真值。能完全准确的反映被测参数的真值。二、测量误差的来源1、仪器误差仪器

5、误差它是由于设计、制造、装配、检定等的它是由于设计、制造、装配、检定等的不完善以及仪器使用过程中元器件老化、不完善以及仪器使用过程中元器件老化、机械部件磨损、疲劳等因素而使测量仪机械部件磨损、疲劳等因素而使测量仪器设备带有的误差。器设备带有的误差。减少仪器误差的主要途径是根据具体测减少仪器误差的主要途径是根据具体测量任务，正确地选择测量方法和使用测量任务，正确地选择测量方法和使用测量仪器。量仪器。2、人身误差人身误差它指由于测量者感官的分辨能力、视觉它指由于测量者感官的分辨能力、视觉疲劳、固有习惯等而对测量实验中的现疲劳、固有习惯等而对测量实验中的现象与结果判断不准确而造成的误差。象与结果判断

6、不准确而造成的误差。减少人身误差的途径减少人身误差的途径3、影响误差影响误差它是指各种环境因素与要求条件不一致它是指各种环境因素与要求条件不一致而造成的误差。而造成的误差。主要的影响因素是环境温度、电源电压主要的影响因素是环境温度、电源电压和电磁干扰等。和电磁干扰等。4、方法误差方法误差它是所使用的测量方法不当，或对测量设它是所使用的测量方法不当，或对测量设备操作使用不当，或测量所依据的理论不备操作使用不当，或测量所依据的理论不严格，或对测量计算公式不适当简化等原严格，或对测量计算公式不适当简化等原因而造成的误差，也称理论误差。因而造成的误差，也称理论误差。原则上可通过理论分析和计算或改变测量

7、原则上可通过理论分析和计算或改变测量方法来加以消除或修正。方法来加以消除或修正。三、测量误差的分类三、测量误差的分类 1 1、按误差出现的规律分类、按误差出现的规律分类 1 1）系统误差）系统误差 在相同条件下对某一个量进行多次测量时，在相同条件下对某一个量进行多次测量时，误差的绝对值和符号均保持恒定，或者按照一定误差的绝对值和符号均保持恒定，或者按照一定的规律变化，这类误差称为系统误差。的规律变化，这类误差称为系统误差。前者称为恒值系统误差，后者称为变值系统前者称为恒值系统误差，后者称为变值系统误差。变值系统误差又分为累进系统误差、周期误差。变值系统误差又分为累进系统误差、周期性系统误差和按

8、复杂规律变化的系统误差。性系统误差和按复杂规律变化的系统误差。系统误差一般是由某些固定的因素造成的。系统误差一般是由某些固定的因素造成的。系统误差产生的原因通过仔细的检查、校验，可系统误差产生的原因通过仔细的检查、校验，可以被发现，采取相应的校正措施后，系统误差可以被发现，采取相应的校正措施后，系统误差可以减小或者消除。以减小或者消除。2 2）随机误差）随机误差 对同一个被测量进行多次测量时，由于受到对同一个被测量进行多次测量时，由于受到某些不可知随机因素的影响，测量误差时大时小某些不可知随机因素的影响，测量误差时大时小地变化没有一定规律，并且无法估计。这类误差地变化没有一定规律，并且无法估计

9、。这类误差称为随机误差。称为随机误差。随机误差的出现是无法控制的，所以在任何随机误差的出现是无法控制的，所以在任何测量过程中，随机误差的存在不可避免。测量过程中，随机误差的存在不可避免。从测量数据的个体来说，随机误差的大小是从测量数据的个体来说，随机误差的大小是无规律的，有其不可预测的随机性。无规律的，有其不可预测的随机性。但只要在等但只要在等精度条件下进行测量，而且测量次数足够多，则精度条件下进行测量，而且测量次数足够多，则从总体上来看，随机误差又有其一定的统计规律从总体上来看，随机误差又有其一定的统计规律性。性。因此可以通过数理统计的方法从理论上来估因此可以通过数理统计的方法从理论上来估计

10、随机误差对测量结果的影响。计随机误差对测量结果的影响。3 3）粗大误差）粗大误差 凡在测量过程中完全由于人为过失而明显造凡在测量过程中完全由于人为过失而明显造成了歪曲测量结果的误差称为粗大误差。成了歪曲测量结果的误差称为粗大误差。粗大误差的值大大超出同样条件下所测得的粗大误差的值大大超出同样条件下所测得的正确数值。正确数值。一旦发现粗大误差，这类数据必须予一旦发现粗大误差，这类数据必须予以剔除，并通过主观努力克服这种错误。以剔除，并通过主观努力克服这种错误。思考题：1.某测温仪表的准确度等级为某测温仪表的准确度等级为1.0级，绝对级，绝对误差为误差为1，测量下限为负值（下限的，测量下限为负值（

11、下限的绝对值为测量范围的绝对值为测量范围的10），试确定该），试确定该表的测量上限值、下限值和量程。表的测量上限值、下限值和量程。（90，10，100）2.用测量范围为用测量范围为50+150kPa的压力表测的压力表测量量140kPa压力时，仪表示值为压力时，仪表示值为+142kPa，求该示值的绝对误差、实际相对误差和引求该示值的绝对误差、实际相对误差和引用相对误差。用相对误差。（+2kPa，+1.43%，+1.0%）3.某某1.5级测量范围为级测量范围为0100kPa的压力表，在的压力表，在50kPa、80kPa、100kPa三点校验时，其示值三点校验时，其示值绝对误差分别为绝对误差分别为0

12、.8kPa、+1.2kPa、+1.0kPa，试问该表是否合格？，试问该表是否合格？因为因为1.21.5%，所以该表合格。，所以该表合格。仪器基仪器基本误差本误差小于允小于允许误差，许误差，仪器合仪器合格；反格；反之则不之则不合格。合格。4.现有现有2.5级、级、2.0级、级、1.5级三块测温仪表，对应的级三块测温仪表，对应的测量范围分别为测量范围分别为100+500、50550、01000，现要测量，现要测量500的温度，其测量值的的温度，其测量值的相对误差不超过相对误差不超过2.5%，问选用哪块表最合适？，问选用哪块表最合适？解：解：(500+100)2.5%=15，15500100%=3%

13、；(550+50)2.0%=12，12500100%=2.4%；(10000)1.5%=15，15500100%=3%；所以准确度所以准确度2.0级量程范围级量程范围50550的测温的测温仪表最合适。仪表最合适。第二节第二节 系统误差系统误差一一、系统误差的判断、系统误差的判断二、削弱系统误差的典型测量技术二、削弱系统误差的典型测量技术三、系统误差存在与否的检验三、系统误差存在与否的检验第二节第二节 系统误差系统误差 一、一、系统误差的来源一般可以归纳为以下几个方面：系统误差的来源一般可以归纳为以下几个方面：由于测量设备、试验装置不完善，或安装、由于测量设备、试验装置不完善，或安装、调整，使用

14、不得当而引起的误差。调整，使用不得当而引起的误差。由于外界环境因素的影响而引起的误差。由于外界环境因素的影响而引起的误差。由于测量方法不正确，或者测量方法所赖以由于测量方法不正确，或者测量方法所赖以存在的理论本身不完善而引起的误差。存在的理论本身不完善而引起的误差。在测量之前，应该尽可能预见到产生系统误在测量之前，应该尽可能预见到产生系统误差的来源，设法消除之。或者使其影响减少到差的来源，设法消除之。或者使其影响减少到可以接收的程度。可以接收的程度。第二节第二节 系统误差系统误差 二、系统误差的判断二、系统误差的判断 1 1、理论分析法、理论分析法 凡属于测量方法或测量原理引入的系统误差，凡属

15、于测量方法或测量原理引入的系统误差，不难通过对测量方法的定性定量分析发现系统误差，不难通过对测量方法的定性定量分析发现系统误差，甚至计算出系统误差的大小。甚至计算出系统误差的大小。2 2、校准和比对法、校准和比对法 当怀疑测量结果可能会有系统误差时，可用准当怀疑测量结果可能会有系统误差时，可用准确度更高的测量仪器进行重复测量以发现系统误差。确度更高的测量仪器进行重复测量以发现系统误差。测量仪器定期进行校准或检定并在检定证书中给出测量仪器定期进行校准或检定并在检定证书中给出修正值，目的就是发现和减小系统误差。修正值，目的就是发现和减小系统误差。3 3、改变测量条件法、改变测量条件法 系统误差常与

16、测量条件有关，如果能改变测量系统误差常与测量条件有关，如果能改变测量条件，根据对分组测量数据的比较，有可能发现系条件，根据对分组测量数据的比较，有可能发现系统误差。统误差。第第2 2、3 3种方法属于实验对比法，用于发现恒值种方法属于实验对比法，用于发现恒值系统误差。系统误差。4 4、剩余误差观察法、剩余误差观察法 根据测量数据观察各个剩余误差的大小、符号根据测量数据观察各个剩余误差的大小、符号的变化规律进行判断，主要用于发现变值系统误差。的变化规律进行判断，主要用于发现变值系统误差。三三、削弱系统误差的典型测量技术、削弱系统误差的典型测量技术 （一）恒值系统误差（一）恒值系统误差 1 1、零

17、示法、零示法 在测量中，将待测量与已知标准量相比较，当在测量中，将待测量与已知标准量相比较，当两者的效应互相抵消时，零示器示值为零，此时已两者的效应互相抵消时，零示器示值为零，此时已知标准量的数值就是被测量的数值。知标准量的数值就是被测量的数值。图中图中x x为被测量，为被测量，s s为同类可为同类可调节已知标准量，调节已知标准量，p p为零示为零示器。器。只要零示器的灵敏度足够高，测量的准确度基只要零示器的灵敏度足够高，测量的准确度基本上等于标准量的准确度，而与零示器的准确度无本上等于标准量的准确度，而与零示器的准确度无关，从而可消除由于零示器不准所带来的系统误差。关，从而可消除由于零示器不

18、准所带来的系统误差。电位差计是采用零示法的典型例子。电位差计是采用零示法的典型例子。图中图中E Es s为标准电压源，为标准电压源，R Rs s为标准电阻，阻值为为标准电阻，阻值为R R1 1，U Ux x为待测电压，为待测电压，P P为为零示器，一般用检流计。零示器，一般用检流计。调调R Rs s使使IpIp=0=0，则被测电压，则被测电压UxUx=Us=Us，即，即 被测量被测量UxUx的数值仅与标准电压源的数值仅与标准电压源EsEs及标准电阻及标准电阻R R1 1、R R2 2有关，只要标准量的准确度很高，被测量的有关，只要标准量的准确度很高，被测量的测量准确度就很高。测量准确度就很高。

19、2 2、替代法（置换法）、替代法（置换法）在测量条件不变的情况下，用一标准已知量替在测量条件不变的情况下，用一标准已知量替代待测量，通过调整标准量而使仪器的示值不变，代待测量，通过调整标准量而使仪器的示值不变，于是标准量的值即等于被测量。于是标准量的值即等于被测量。以精密电阻电桥测量为例。以精密电阻电桥测量为例。首先接入未知电阻首先接入未知电阻R Rx x调节电桥使之平衡，此时有调节电桥使之平衡，此时有R Rx x=R=R1 1R R3 3/R/R2 2，由于，由于R R1 1、R R2 2、R R3 3都有误差，若利用它们的标称值来计算都有误差，若利用它们的标称值来计算R Rx x，则，则R

20、 Rx x也带有误差，即也带有误差，即 进一步计算，得到进一步计算，得到 为了消除上述误差，现用可变电阻为了消除上述误差，现用可变电阻R Rs s代替代替R Rx x，并在保持并在保持R R1 1、R R2 2、R R3 3不变的情形下通过调节不变的情形下通过调节R Rs s使电使电桥重新平衡，因而得到桥重新平衡，因而得到 可见测量误差可见测量误差R Rx x仅决定于标准电阻的误差仅决定于标准电阻的误差 R Rs s，而与，而与R R1 1、R R2 2、R R3 3的误差无关。的误差无关。3 3、交换法、交换法 通过交换某些测量条件，使得引起恒值系统通过交换某些测量条件，使得引起恒值系统误差

21、的原因以相反方向影响测量结果，从而消除误差的原因以相反方向影响测量结果，从而消除其影响。其影响。以天平称重物为例，以天平称重物为例，若天平不等臂，可先将被若天平不等臂，可先将被测物（质量为测物（质量为m m）放在左边，标准砝码（质量为）放在左边，标准砝码（质量为m mn n）放在右边，平衡后有）放在右边，平衡后有 图图212 天平称重物天平称重物 交换交换m m与与m mn n的位置，由的位置，由于于l l1 1ll2 2，m mn n需调为需调为 方可平衡，此时有方可平衡，此时有 将两式相乘，则有将两式相乘，则有 消除了由于天平不等臂所造成的测量误差。消除了由于天平不等臂所造成的测量误差。（

22、二）变值系统误差（二）变值系统误差 1 1、累进变化系统误差、累进变化系统误差 采用采用对称补偿法对称补偿法消除线性变化系统误差。消除线性变化系统误差。即将即将测量工作以某时刻为中心对称地安排，取各对称点测量工作以某时刻为中心对称地安排，取各对称点两次测量值的算术平均值作为测量结果。两次测量值的算术平均值作为测量结果。Rx R0 Ux U0I I图图213 对称补偿法测电阻对称补偿法测电阻I II I1 1I I2 2I I3 3 t1 t2 t3 t 左图所示为电位差计测电阻左图所示为电位差计测电阻示意图。示意图。若电流随时间而线性若电流随时间而线性递减，用递减，用1 1台电位差计不能同时台

23、电位差计不能同时测定测定U Ux x和和U U0 0的值，则可设计测的值，则可设计测量步骤如下：量步骤如下：在时间在时间t t1 1，测，测RxRx上电压降，得上电压降，得 UxUx1 1=I=I1 1Rx Rx （1 1）在时间在时间t t2 2，测，测R R0 0上电压降，得上电压降，得 U U0202=I=I2 2R R0 0 （2 2）在时间在时间t t3 3，测，测RxRx上电压降，得上电压降，得 UxUx3 3=I=I3 3Rx Rx （3 3）将（将（1 1）式和（）式和（3 3）式相加除）式相加除2 2，得，得 与（与（2 2）式联立求解，得）式联立求解，得 消除了电流变化所引

24、起的系统误差。消除了电流变化所引起的系统误差。四、系统误差存在与否的检验四、系统误差存在与否的检验 根据系统误差处理的一般原则，在测量之前根据系统误差处理的一般原则，在测量之前及测量之中必须采取正确的方法和措施，尽量消及测量之中必须采取正确的方法和措施，尽量消除系统误差对测量结果的影响，提高测量精确度。除系统误差对测量结果的影响，提高测量精确度。尽管如此，在取得测量数据之后仍需设法检尽管如此，在取得测量数据之后仍需设法检查是否存在未被注意到的系统误差，以便进一步查是否存在未被注意到的系统误差，以便进一步采取措施消除之，或估计其影响。采取措施消除之，或估计其影响。1 1、根据测定值残差的变化进行

25、判定根据测定值残差的变化进行判定 准则准则1 1 将测量列中诸测定值按测量的先后顺将测量列中诸测定值按测量的先后顺序排定，若残差的大小（就代数值而言）有规则序排定，若残差的大小（就代数值而言）有规则地向一个方向变化，由正到负或者相反，则测量地向一个方向变化，由正到负或者相反，则测量列中有累进的系统误差（若中间有微小的波动，列中有累进的系统误差（若中间有微小的波动，则是随机误差的影响）。则是随机误差的影响）。准则准则2 2 将测量列中诸测定值按测量的先后顺将测量列中诸测定值按测量的先后顺序排定，若残差的符号呈有规律的交替变化，则序排定，若残差的符号呈有规律的交替变化，则测量列中含有周期性的系统误

26、差（若中间有微小测量列中含有周期性的系统误差（若中间有微小波动，则是随机误差的影响）。波动，则是随机误差的影响）。例：对某恒温箱内的温度进行了例：对某恒温箱内的温度进行了10次测量，依次获得如下测量次测量，依次获得如下测量值（单位：值（单位：）：）：20.06 20.07 20.06 20.08 20.10 20.12 20.14 20.18 20.18 20.21 试判断该测量列中是否存在变值系统误差。试判断该测量列中是否存在变值系统误差。解解:计算各测量值的残差，并按先后顺序排列如下：计算各测量值的残差，并按先后顺序排列如下：0.06 0.05 0.06 0.04 0.02 0 0.02

27、0.06 0.06 0.09 可见，残差由负到正，其数值逐渐增大，故测量列中含有累进可见，残差由负到正，其数值逐渐增大，故测量列中含有累进系统误差。系统误差。2 2、利用判据来判定变值系统误差的存在、利用判据来判定变值系统误差的存在 根据残差变化情况来判定变值系统误差的存根据残差变化情况来判定变值系统误差的存在，只有在测定值所含系统误差比随机误差大的在，只有在测定值所含系统误差比随机误差大的情况下才是有效的，否则，残差的变化情况并不情况下才是有效的，否则，残差的变化情况并不能作为变值系统误差存在与否的依据。能作为变值系统误差存在与否的依据。为此，还需要进一步依靠统计的方法来判别。为此，还需要进

28、一步依靠统计的方法来判别。下面给出几个变值系统误差存在与否的判据。下面给出几个变值系统误差存在与否的判据。这这些判据的实质乃是以检验分布是否偏离正态为基些判据的实质乃是以检验分布是否偏离正态为基础的。础的。判据判据1 1：对某一被测量进行多次等精度测量，对某一被测量进行多次等精度测量，获得一列测定值获得一列测定值x x1 1，x x2 2，x xn n（按测量先后顺序（按测量先后顺序排列），各测定值的残差依次为排列），各测定值的残差依次为v v1 1，v v2 2，v vn n，把前面把前面k k个残差和后面（个残差和后面（n-kn-k）个残差分别求和（当）个残差分别求和（当n n为偶数时，取

29、为偶数时，取k=n/2k=n/2；n n为奇数时，取为奇数时，取k=(n+1)/2k=(n+1)/2），），并取其差值并取其差值 若差值若差值D D 显著地异于零，则测量列中含有累显著地异于零，则测量列中含有累进的系统误差。进的系统误差。判据判据2 2：对某一被测量进行多次等精度测量，对某一被测量进行多次等精度测量，获得一列测定值获得一列测定值x x1 1，x x2 2，x xn n （按测量先后顺（按测量先后顺序排列），各测定值的真误差依次为序排列），各测定值的真误差依次为1 1，2 2 ，n n，设设 若若则可认为该测量列中含有周期性系统误差。其中则可认为该测量列中含有周期性系统误差。其中

30、 是该测量列的均方根误差。是该测量列的均方根误差。判据判据2 2 是以独立真误差的正态分布为基础的。是以独立真误差的正态分布为基础的。在实际计算中，可以用残差在实际计算中，可以用残差 来代替来代替，并以估，并以估计值计值 来代替来代替。例：仍以某恒温箱内的温度测量获得的数据为例，试用判据例：仍以某恒温箱内的温度测量获得的数据为例，试用判据1、2来判定测量列中是否含有系统误差。来判定测量列中是否含有系统误差。解解:上例已得各测量值残差，排列如下：上例已得各测量值残差，排列如下：0.06 0.05 0.06 0.04 0.02 0 0.02 0.06 0.06 0.09用判据用判据1检验检验 可见

31、，可见，D显著地异于零，故可认为测量列中含有累进的系统显著地异于零，故可认为测量列中含有累进的系统误差。与用准则误差。与用准则1判定的结论相同。判定的结论相同。应该注意，判据应该注意，判据1 1指出，当指出，当D D显著异于零时方显著异于零时方可认为测量列中含有累进系统误差。至于何谓可认为测量列中含有累进系统误差。至于何谓“显著显著”，则没有定量的概念。实际上，当测量次，则没有定量的概念。实际上，当测量次数无穷时，只要数无穷时，只要D0D0，一般即可认为测量列中含，一般即可认为测量列中含有累进系统误差。但当测量次数有限时，有累进系统误差。但当测量次数有限时，D0D0不不能说明累进系统误差的存在

32、，一般采用能说明累进系统误差的存在，一般采用 作为判定测量列中累进系统误差存在的依据。此作为判定测量列中累进系统误差存在的依据。此时，与观察残差变化的准则时，与观察残差变化的准则1 1联合使用是可取的。联合使用是可取的。故可判定测量列内含有周期性变化系统误差。故可判定测量列内含有周期性变化系统误差。这一结果在上例中未曾得到。说明在判定一个测这一结果在上例中未曾得到。说明在判定一个测量列中是否会有变值系统误差时，联合运用上述量列中是否会有变值系统误差时，联合运用上述判别准则和依据是有益的。判别准则和依据是有益的。用判据用判据2 2检验：检验：第三节第三节 随机误差随机误差 一、随机误差的正态分布

33、性质一、随机误差的正态分布性质 对同一静态物理量进行等精度重复测量，每对同一静态物理量进行等精度重复测量，每一次测量所获得的测定值都各不相同。例如测定一次测量所获得的测定值都各不相同。例如测定某转轴直径，假定其系统误差小到可以忽略不计，某转轴直径，假定其系统误差小到可以忽略不计，重复测量重复测量5050次（次（n n5050）。每次测得的直径为）。每次测得的直径为x xi i（cmcm），假定测量仪器的最小刻度为），假定测量仪器的最小刻度为1mm1mm，则测量，则测量时能读到的最小值为时能读到的最小值为0.1mm0.1mm，即，即0.01cm0.01cm。表表21 静态物理量等精度重复测量举例

34、（静态物理量等精度重复测量举例（n=50，x=0.01）图图22 频率及累积频率分布直方图频率及累积频率分布直方图 当改进测量技术（如量具的最小刻度更为精当改进测量技术（如量具的最小刻度更为精细，以使测量值的有效位数更多和组距更小），细，以使测量值的有效位数更多和组距更小），并在其同时增加测量次数，各组的频率将逐步以并在其同时增加测量次数，各组的频率将逐步以某确定的数值稳定下来，直方图也逐渐趋向于一某确定的数值稳定下来，直方图也逐渐趋向于一条曲线。条曲线。最终，当测量次数趋向于无穷大，测定值将最终，当测量次数趋向于无穷大，测定值将连续地充满数值的某一定值，此值即称为概率；连续地充满数值的某一定

35、值，此值即称为概率；而频率的直方图将演变为一光滑曲线，频率密度而频率的直方图将演变为一光滑曲线，频率密度趋于概率密度，频率趋于概率。趋于概率密度，频率趋于概率。图图23 子样容量无限大时频率直方图和子样容量无限大时频率直方图和累积频率分布图累积频率分布图的演变的演变（a）频率直方图频率直方图 （b）累积频率分布图）累积频率分布图 任何一次测量，随机误差的存在都是不可避任何一次测量，随机误差的存在都是不可避免的，对同一静态物理量进行等精度测量，每一免的，对同一静态物理量进行等精度测量，每一次测量所获得的测定值都各不相同，尤其是在各次测量所获得的测定值都各不相同，尤其是在各个测定值的尾数上。个测定

36、值的尾数上。测定值就其个体来说是无规律的，为一随机测定值就其个体来说是无规律的，为一随机变量，但作为总体来说，它又遵循一定的统计规变量，但作为总体来说，它又遵循一定的统计规律。测定值的随机性表明了测量误差的随机性质律。测定值的随机性表明了测量误差的随机性质。根据测量误差的定义，测定值的分布规律实际上根据测量误差的定义，测定值的分布规律实际上反映了随机误差的分布规律。反映了随机误差的分布规律。在随机误差分布上，等于零的随机误差出现在随机误差分布上，等于零的随机误差出现的概率最大，随着随机误差绝对值的增大，出现的概率最大，随着随机误差绝对值的增大，出现的概率急剧减小。测量值和随机误差的这种统计的概

37、率急剧减小。测量值和随机误差的这种统计分布规律，称为正态分布。分布规律，称为正态分布。随机误差分布具有以下几点性质：随机误差分布具有以下几点性质：（1 1）有限性）有限性 在一定的测量条件下，随机在一定的测量条件下，随机误差总是在一定的、相当窄的范围内变动，绝对误差总是在一定的、相当窄的范围内变动，绝对值很大的误差出现的概率趋近于零。值很大的误差出现的概率趋近于零。也就是说，也就是说，随机误差的绝对值实际上不会超过一定的界限。随机误差的绝对值实际上不会超过一定的界限。（2 2）单峰性）单峰性 绝对值小的误差出现的概率绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率接近于零。大，绝对值大的误

38、差出现的概率接近于零。测量测量值等于其算术平均值时出现的概率最大。值等于其算术平均值时出现的概率最大。（3 3）对称性）对称性 当测量次数足够大时，出现正当测量次数足够大时，出现正误差和负误差的次数大致相等，即误差和负误差的次数大致相等，即绝对值相等但符绝对值相等但符号相反的随机误差出现的概率相同。号相反的随机误差出现的概率相同。（4 4）抵偿性）抵偿性 在等精度条件下，全部随机误在等精度条件下，全部随机误差的算术平均值在测量次数不断增加而趋向于无穷差的算术平均值在测量次数不断增加而趋向于无穷时趋于零。时趋于零。二、正态分布密度函数二、正态分布密度函数 1 1、正态分布密度函数、正态分布密度函

39、数 服从正态分布的随机误差的分布密度函数为服从正态分布的随机误差的分布密度函数为 如果用测量值如果用测量值x x表示，则表示，则 （22）（21）式中式中x x0 0、是决定正是决定正态态分布的两个特征参数。分布的两个特征参数。在在误差理差理论中，中，x x0 0代表被代表被测参数的真参数的真值，它完全由，它完全由被被测参数本身所决定。当参数本身所决定。当测量次数量次数趋于无于无穷大大时，子子样平均平均值等于真等于真值。表示表示测定定值在真在真值周周围的散布程度，它由的散布程度，它由测量条件所决定。量条件所决定。称称为标准准误差（或均方根差（或均方根误差）。差）。（23）2 2、方差和标准误差

40、、方差和标准误差 随机误差反映了测量的精密度即测量值的分随机误差反映了测量的精密度即测量值的分散程度。由于随机误差的抵偿性，不能用它的算散程度。由于随机误差的抵偿性，不能用它的算术平均值来估计测量的精密度，应使用方差进行术平均值来估计测量的精密度，应使用方差进行描述。描述。方差定义为方差定义为nn时测量值与真值之差的平时测量值与真值之差的平方的统计平均值，即方的统计平均值，即 （24）由于随机误差由于随机误差 ，故，故 （25）式中式中 称为测量值的样本方差，简称方差。称为测量值的样本方差，简称方差。取平方的目的是保持其总为正值，避免正负误取平方的目的是保持其总为正值，避免正负误差求和过程中相

41、抵消。求和再平均后，使个别较差求和过程中相抵消。求和再平均后，使个别较大的误差在式中占的比例较大，使得方差对较大大的误差在式中占的比例较大，使得方差对较大的随机误差反映较灵敏。的随机误差反映较灵敏。由于实际测量中由于实际测量中 都带有单位，因而方差都带有单位，因而方差 是相应单位的平方，使用不方便。为了与随机误是相应单位的平方，使用不方便。为了与随机误差差 单位相一致，将上式两边开方，取正方根，单位相一致，将上式两边开方，取正方根，得得 （26）式中式中定义为测量值的标准误差或均方根误差。定义为测量值的标准误差或均方根误差。标准误差反映了测量的精密度，标准误差反映了测量的精密度，小表示精密度高

42、，小表示精密度高，测量值集中，测量值集中，大表示精密度低，测量值分散。大表示精密度低，测量值分散。图图24 正态分布密度函数随正态分布密度函数随x0和和变化的情况变化的情况 由正态分布曲线图可以看出，由正态分布曲线图可以看出，的大小表征着的大小表征着诸测诸测定定值值关于真关于真值值的弥散程度。的弥散程度。值愈小，正愈小，正态分分布密度曲布密度曲线愈陡，幅愈陡，幅值愈大；反之，愈大；反之，值愈大，曲值愈大，曲线愈平坦，幅值愈小。线愈平坦，幅值愈小。从随机误差的角度来说，从随机误差的角度来说，小表明测量列中数值较小的误差占优势；小表明测量列中数值较小的误差占优势；大则表大则表明测量列中数值较大的误

43、差相对来说较多。明测量列中数值较大的误差相对来说较多。并不是一次具体测量的误差值，并不是一次具体测量的误差值，的大小只的大小只不过说明了在一定条件下进行一系列等精度测量时，不过说明了在一定条件下进行一系列等精度测量时，随机误差出现的概率密度分布情况。因此可以用随机误差出现的概率密度分布情况。因此可以用来表征测量的精密度。来表征测量的精密度。三、概率的积分三、概率的积分 随机误差出现的性质决定了人们不可能准确随机误差出现的性质决定了人们不可能准确地获得单个测量值的真误差地获得单个测量值的真误差x x的数值。的数值。我们所能我们所能做的只是在一定的概率意义下估计测量随机误差做的只是在一定的概率意义

44、下估计测量随机误差数值的范围，或者求得误差（也可以是测量值本数值的范围，或者求得误差（也可以是测量值本身）出现于某个区间的概率。身）出现于某个区间的概率。一个没有标明误差一个没有标明误差的测量结果在工程上几乎会成为没有用的数据。的测量结果在工程上几乎会成为没有用的数据。服从正态分布的随机变量服从正态分布的随机变量x x，其分布密度函数，其分布密度函数为为 上式可以简写为上式可以简写为 。由于正态分布。由于正态分布曲线为一曲线族，其参变量为曲线为一曲线族，其参变量为x x0 0和和。如果考虑。如果考虑特殊情况，令特殊情况，令x x0 00 0及及1 1，命之为标准正态分布，命之为标准正态分布密度

45、函数：密度函数：（27）对标准正态分布密度函数积分，则得标准正对标准正态分布密度函数积分，则得标准正态分布函数态分布函数P(x;0,1)P(x;0,1)，即，即图图25 标准正态分布密度函数图标准正态分布密度函数图 （28）由于正态分布密度的对称性，则由于正态分布密度的对称性，则x x出现在出现在 （-z z，z z）区间内的概率为）区间内的概率为 这一性质是由于密度函数从这一性质是由于密度函数从到到的积的积分为分为1 1，加之它的对称性之故。，加之它的对称性之故。有了这些性质，就有了这些性质，就可以方便地利用标准正态分布表求得任何可以方便地利用标准正态分布表求得任何Z Z值下的值下的标准正态

46、分布函数。标准正态分布函数。对于非标准的正态分布对于非标准的正态分布P P（x;xx;x0,0,），可先将，可先将函数标准化，然后用标准正态分布表求取。即当函数标准化，然后用标准正态分布表求取。即当x x0 000，11时，可令时，可令z z(x-x(x-x0 0)，即，即例：设例：设x x的分布密度函数为的分布密度函数为P P（x;xx;x0,0,），求随机，求随机误差误差3 3x-xx-x0 033，22，11n 1。也称标准也称标准偏差，表示对标准误差的无偏估计。偏差，表示对标准误差的无偏估计。四、算术平均值的标准误差四、算术平均值的标准误差 如果在相同条件下将同一被测量分成如果在相同条

47、件下将同一被测量分成m m组，每组，每组重复组重复n n次，则每组测量值都有一个平均值次，则每组测量值都有一个平均值 。由于随机误差的存在，这些算术平均值也各不相由于随机误差的存在，这些算术平均值也各不相同，围绕真值有一定分散性，同，围绕真值有一定分散性，即算术平均值与真即算术平均值与真值之间也存在测量误差。值之间也存在测量误差。由概率论方差运算法则可以求出算术平均值由概率论方差运算法则可以求出算术平均值的标准误差的标准误差 在有限次测量中，以在有限次测量中，以 表示算术平均值标准表示算术平均值标准误差的估计值，即算术平均值的标准偏差为误差的估计值，即算术平均值的标准偏差为 可见，可见，在等精

48、度测量条件下，对某一被测量在等精度测量条件下，对某一被测量进行多次测量，用测量值的平均值估计被测量真进行多次测量，用测量值的平均值估计被测量真值比用单次测量测定值估计具有更高的精确度。值比用单次测量测定值估计具有更高的精确度。上式实际上也提出了一个减小实验结果随机误差上式实际上也提出了一个减小实验结果随机误差的一个途径的一个途径多次测量取平均。多次测量取平均。多次测量取平均虽可减小测量值的随机误差，多次测量取平均虽可减小测量值的随机误差，但是测定次数增多时要增加测量工作量，既提高但是测定次数增多时要增加测量工作量，既提高了成本，又推迟了时间。了成本，又推迟了时间。再者，算术平均值的标准差是按再

49、者，算术平均值的标准差是按 规律减小规律减小的，当的，当n10n102020时，减小得很慢，收敛不显著，时，减小得很慢，收敛不显著，即仅靠增加测量次数来减小标准差收益不大。实即仅靠增加测量次数来减小标准差收益不大。实际测量中际测量中n n的取值并不很大，一般在的取值并不很大，一般在1010到到2020之间。之间。与与 的区别与联系：的区别与联系：算术平均值的标准差算术平均值的标准差 一般用于表示测量结一般用于表示测量结果的精密度，而单一测量值标准差果的精密度，而单一测量值标准差 则用于表征用于表征测量量仪器的精密度。一个确定的器的精密度。一个确定的仪器器对应着一个着一个确定的确定的 值。适当增

50、加。适当增加测量次数可以提高量次数可以提高测量量结果的精密度参数果的精密度参数 ，然而，如能，然而，如能创新、改革新、改革测量量仪器及改善器及改善测量条件，量条件，会随之减小，相应的会随之减小，相应的 也得以减小。也得以减小。五、测量结果的表达五、测量结果的表达 任何估计总有一定偏差，如果不附以某种偏任何估计总有一定偏差，如果不附以某种偏差的说明，这种估计就失去了严格的科学意义。差的说明，这种估计就失去了严格的科学意义。为此通常为此通常将被测量的一组观测值的算术平均值作将被测量的一组观测值的算术平均值作为对被测量真值估计时，真值真正处于某个区间为对被测量真值估计时，真值真正处于某个区间（1 1

51、、2 2）内的概率有多大，这个概率称为置信）内的概率有多大，这个概率称为置信概率，（概率，（1 1、2 2）称为置信区间。）称为置信区间。有限次测量的算术平均值有限次测量的算术平均值 为随机变量，其为随机变量，其分布函数为分布函数为 因此，对于给定的置信概率因此，对于给定的置信概率100100（1 1），），为不确定度（危险率），有为不确定度（危险率），有 （222）（223）由不等式可以推导出由不等式可以推导出 因此，对于有限次测量，其测量结果可表达因此，对于有限次测量，其测量结果可表达为为 （225）（224）第五节第五节 随机误差的计算随机误差的计算一一、直接测量误差的计算直接测量误差的

52、计算 二、非等精度测量的数据处理（二、非等精度测量的数据处理（“权权”的概念）的概念）在非等精度测量中，由于所处条件不同，不在非等精度测量中，由于所处条件不同，不同的人、仪器、环境等得到的一系列测量值不具同的人、仪器、环境等得到的一系列测量值不具有同等的信任程度。在计算最后结果时，应给以有同等的信任程度。在计算最后结果时，应给以好的测量值较大的信任，差的次之。好的测量值较大的信任，差的次之。我们用一个数值我们用一个数值p pi i来表示对某一测量值来表示对某一测量值x xi i的信的信任程度，任程度，p pi i称之为权。称之为权。p pi i愈大，表示该测量值愈大，表示该测量值x xi i愈

53、愈值得重视。而某数乘以值得重视。而某数乘以p pi i，则称之为加权。，则称之为加权。在非等精度测量中，被测量真值的最佳估计在非等精度测量中，被测量真值的最佳估计值是测定值的加权平均值。值是测定值的加权平均值。若对某一被测量进行若对某一被测量进行n n次测量，得到一列测定次测量，得到一列测定值值x x1 1,x,x2 2,x xn n。假定各个测量值互相独立，服从。假定各个测量值互相独立，服从正态分布，且具有相对应的标准误差正态分布，且具有相对应的标准误差1 1,2 2,n n，可以用最大似然估计方法求取被测量真值，可以用最大似然估计方法求取被测量真值x x0 0的估计值。的估计值。（228）

54、令令 ，则权与测定值的方差，则权与测定值的方差 成反比。成反比。i i愈小，愈小，p pi i愈大，在计算愈大，在计算 时，相应的测量值所时，相应的测量值所得的比重也应该愈大。对于等精度测量，由于各得的比重也应该愈大。对于等精度测量，由于各测量值具有相同的精密度测量值具有相同的精密度i i，它们的权，它们的权p pi i也应相也应相同，故有同，故有 （229）同理可求得加权算术平均值的标准误差为同理可求得加权算术平均值的标准误差为 （230）5.2 5.2 间接测量误差分析处理间接测量误差分析处理 任何量的测量总是有误差的，任何量的测量总是有误差的，间接测量误差间接测量误差大小不仅与有关的各直

55、接测量量的误差有关，还大小不仅与有关的各直接测量量的误差有关，还与两者之间的函数关系有关。与两者之间的函数关系有关。那么，直接测量对那么，直接测量对象的误差如何影响间接测量对象的误差，这就是象的误差如何影响间接测量对象的误差，这就是间接测量误差分析的任务。间接测量误差分析的任务。三、间接测量的误差传递三、间接测量的误差传递 （一）只进行一次测量时误差的计算（一）只进行一次测量时误差的计算 由于条件限制，试验时对被测量只进行一次由于条件限制，试验时对被测量只进行一次测量的情况是经常遇到的。测量的情况是经常遇到的。在这种情况下，只能在这种情况下，只能根据所采用测量仪器的允许误差，估算测量结果根据所

56、采用测量仪器的允许误差，估算测量结果中所能包含的最大误差，看其是否超过所规定的中所能包含的最大误差，看其是否超过所规定的误差范围。误差范围。对其中系统误差通常不需作具体分析对其中系统误差通常不需作具体分析与修正，而偶然误差由于只进行一次测量，也就与修正，而偶然误差由于只进行一次测量，也就无从加以计算。无从加以计算。当对某一参数进行间接测量时，总是涉及到当对某一参数进行间接测量时，总是涉及到采用一些直读式仪器对某几个物理量同时进行测采用一些直读式仪器对某几个物理量同时进行测量（对各单个物理量的测量属直接测量），这些量（对各单个物理量的测量属直接测量），这些仪器本身的最大允许误差已从仪器的精度中给

57、出，仪器本身的最大允许误差已从仪器的精度中给出，因而可估算出测量值的误差，即因而可估算出测量值的误差，即 式中，式中，为仪器的精度等器的精度等级；为仪器量程；器量程；A A为实测时仪器所示器所示读数；数；为实测示示值可能出可能出现的最大相的最大相对误差。差。例：某一离心式转速表满刻度读数为例：某一离心式转速表满刻度读数为2000r/min2000r/min，精，精度等级为度等级为1 1，试求用此转速表测量转速，当指针值为，试求用此转速表测量转速，当指针值为200r/min200r/min与与1500r/min1500r/min时，可能出现的最大误差。时，可能出现的最大误差。解：当示值为解：当示

58、值为200r/min200r/min时时当示值为当示值为1500r/min1500r/min时时 （二）多参数间接测量函数误差的计算（二）多参数间接测量函数误差的计算 1 1、绝对误差和相对误差的传递公式、绝对误差和相对误差的传递公式 设函数设函数 y y是由是由x x，z z，w w，各直接测量量所决定，对各直接测量量所决定，对x x，z z，w w，进行一次测量。进行一次测量。令令x x，z z，w w，分别代表测量分别代表测量x x，z z，w w，时的误差，时的误差，y y代表由代表由x x，z z，w w，引起的被测参数引起的被测参数y y的误差，则的误差，则得得 将上式按泰勒级数展

59、开将上式按泰勒级数展开 略去上式右边高阶项，得略去上式右边高阶项，得 函数的相对误差为函数的相对误差为 故函数的绝对误差为故函数的绝对误差为 2 2、常用函数的误差传递、常用函数的误差传递 （1 1）和差函数的误差传递）和差函数的误差传递 设设 两式相减得绝对误差两式相减得绝对误差 当当 、误差符号不能确定时，有误差符号不能确定时，有 相对误差相对误差 或者写成或者写成 对于和函数，可得对于和函数，可得 对于差函数，可得对于差函数，可得 可见，对于差函数，当测量值可见，对于差函数，当测量值 较接近时，可能造成较大的误差。较接近时，可能造成较大的误差。例：已知电阻例：已知电阻R R1 1=1k=

60、1k，R R2 2=2k=2k，相对误差均，相对误差均为为5 5，求串联后总的相对误差。，求串联后总的相对误差。解：串联后电阻解：串联后电阻R=RR=R1 1+R+R2 2 串联后电阻的相对误差串联后电阻的相对误差 例：用温度表测量散热器进出口水温差。温度例：用温度表测量散热器进出口水温差。温度表满量程为表满量程为100100，准确度为，准确度为1 1，测得进口水温，测得进口水温T T1 1为为65 65，出口水温，出口水温T T2 2为为60 60，试计算温差，试计算温差T=TT=T1 1-T T2 2的相对误差。的相对误差。解：温度表的最大绝对误差为解：温度表的最大绝对误差为 1 1100

61、100 1 1 进口水温进口水温T T1 1的最大相对误差为的最大相对误差为 1 1/65/65 1.5%1.5%出口水温出口水温T T2 2的最大相对误差为的最大相对误差为 1 1/60/60 1.7%1.7%温差温差T=TT=T1 1-T-T2 2的相对误差为的相对误差为 虽然所用温度表的准确度为虽然所用温度表的准确度为1 1，但最终测，但最终测量结果的相对误差却很大，这是由于量结果的相对误差却很大，这是由于T T1 1、T T2 2比较接比较接近的缘故，应改变测量方法，选择合适的温差表近的缘故，应改变测量方法，选择合适的温差表直接测量温差。直接测量温差。（2 2）积函数的误差传递）积函数

62、的误差传递 设设 ，得绝对误差，得绝对误差 相对误差相对误差 若若 都有正负号，则都有正负号，则 （3 3）商函数的误差传递）商函数的误差传递 设设 ，绝对误差分别为，绝对误差分别为 则间接测量量则间接测量量y y的绝对误差的绝对误差 相对误差相对误差 若若 都带有正负号，则都带有正负号，则 （4 4）幂函数的误差传递）幂函数的误差传递 设设 为常数，将积函数为常数，将积函数的合成误差公式略加推广得的合成误差公式略加推广得 若若 都带有正负号，则都带有正负号，则 例：电流流过电阻产生的热量例：电流流过电阻产生的热量Q=0.24IQ=0.24I2 2RtRt，若已，若已知知i i=2%2%，R

63、R=1%1%，t t=0.5%0.5%，求，求 Q Q。解：解：（三）多参数多次测量时间接测量误差的计算（三）多参数多次测量时间接测量误差的计算 1 1、标准误差的传递公式、标准误差的传递公式 如果对各直接测量量如果对各直接测量量x x1 1，x x2 2，x xm m，各进行，各进行n n次等精度测量，可以推出间接测量量的最佳估计次等精度测量，可以推出间接测量量的最佳估计值为值为间接测量量的标准误差为间接测量量的标准误差为 2 2、常用函数的误差传递、常用函数的误差传递 （1 1）和差的标准差）和差的标准差 （2 2）积的标准差）积的标准差 （3 3）商的标准差）商的标准差 第六节第六节 粗

64、大误差粗大误差 一、拉伊特准则（一、拉伊特准则（3 3判据判据）大多数测量的随机误差服从正态分布。而误大多数测量的随机误差服从正态分布。而误差大于差大于 3 3的概率是极小的，因之反过来说，大的概率是极小的，因之反过来说，大于于3 3的误差已不属于随机误差的范围，显然，这的误差已不属于随机误差的范围，显然，这就是该剔除的粗大误差了。就是该剔除的粗大误差了。3 3判据如下：判据如下：如果测量列中某一测定值如果测量列中某一测定值x xi i其其残差残差i i的绝对值大于该测量列标准误差的的绝对值大于该测量列标准误差的3 3倍，那倍，那么可以认为么可以认为x xi i为坏值，应予以剔除。为坏值，应予

65、以剔除。在实际使用时，在实际使用时，取取 。按拉伊特准则剔除按拉伊特准则剔除含有粗大误差的某个坏值含有粗大误差的某个坏值x xi i后，应重新计算新测量后，应重新计算新测量列的算术平均值及标准误差，判定在余下的数据列的算术平均值及标准误差，判定在余下的数据中是否还含有含粗大误差的坏值。中是否还含有含粗大误差的坏值。根据拉伊特准则剔除粗大误差固然极为简单，根据拉伊特准则剔除粗大误差固然极为简单，不过大量的统计数据表明，由于一般工程实验的不过大量的统计数据表明，由于一般工程实验的测量数据比较少，按正态分布理论为基础的拉伊测量数据比较少，按正态分布理论为基础的拉伊特准则不太准确，而且由于所取界限太宽

66、，特准则不太准确，而且由于所取界限太宽，（231）容易混入该剔除的数据。容易混入该剔除的数据。特别是，当测量次数特别是，当测量次数n10n10时，拉伊特准则失效。时，拉伊特准则失效。二、格拉布斯准则二、格拉布斯准则 格拉布斯按照数理统计理论计算出危险率及格拉布斯按照数理统计理论计算出危险率及子样容量求得格拉布斯准则用表，子样容量求得格拉布斯准则用表，若子样某个体若子样某个体的的 函数超过标准表中的值，该数据即该剔除，函数超过标准表中的值，该数据即该剔除，否则就该保留。否则就该保留。判定异常数据的步骤简述如下：判定异常数据的步骤简述如下：（1 1）将实验数据按其大小重新排列，求得其）将实验数据按其大小重新排列，求得其子样平均值子样平均值 与子样标准误差与子样标准误差 ，并计算出，并计算出 （232）（2 2）选定危险率）选定危险率。危危险率一般不率一般不应太大，太大，可取可取5.05.0，2.52.5，1.01.0。危危险率率的含义是按的含义是按本准则判定为异常数据，而实际上并不是异常数本准则判定为异常数据，而实际上并不是异常数据，这是一种犯错误（即误剔除）的概率。据，这是一种犯错误（即