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1、南航戴华矩阵论第七章矩阵函数与矩阵值函数7.1 7.1 矩阵函数矩阵函数7.1.1 7.1.1 矩阵函数的幂级数表示矩阵函数的幂级数表示7.1.2 7.1.2 矩阵函数的另一种定义矩阵函数的另一种定义7.1.1 矩阵函数的幂级数表示矩阵函数的幂级数表示7.1.2 矩阵函数的另一种定义矩阵函数的另一种定义设矩阵设矩阵A的最小多项式为的最小多项式为 则定义矩阵函数则定义矩阵函数 f(A)为为其中其中且且(7.1.25)给出的矩阵函数给出的矩阵函数f(A)与与 A的的Jordan标准形标准形 J中中Jordan块的排列次序及变换矩阵块的排列次序及变换矩阵P 的选取均无关的选取均无关。7.2 7.2
2、矩阵值函数矩阵值函数7.2.1 7.2.1 矩阵值函数矩阵值函数7.2.2 7.2.2 矩阵值函数的分析运算矩阵值函数的分析运算7.2.1 矩阵值函数矩阵值函数 称为定义在称为定义在(a,b)上的上的矩阵值函数矩阵值函数。特别地，当特别地，当n=1时，得到时，得到向量值函数向量值函数。通常用通常用 等形式表示等形式表示。区间区间(a,b)上上 mn 矩阵值函数矩阵值函数 A(x)不恒等于不恒等于零的子式的最高阶数称为零的子式的最高阶数称为A(x)的的秩秩，记为，记为rank(A(x)。特别地，如果特别地，如果A(x)是区间是区间(a,b)上上 n 阶矩阵值函数，并阶矩阵值函数，并且且rank(
3、A(x)=n，则称，则称A(x)为为满秩满秩的的。则称则称 A(x)在在(a,b)上上可逆可逆，并称，并称 B(x)为为 A(x)的逆矩阵，的逆矩阵，记为记为A-1(x)。n 阶矩阵值函数阶矩阵值函数 A(x)在区间在区间(a,b)上可逆的上可逆的充分必要条件是充分必要条件是|A(x)|在在(a,b)上处处不为零，并且上处处不为零，并且其中其中是是 A(x)的伴随矩阵值函数，的伴随矩阵值函数，Aij(x)是是A(x)中元素中元素aij(x)的的代数余子式。代数余子式。7.2.2 矩阵值函数的分析运算矩阵值函数的分析运算 矩阵值函数的导数运算具有下列性质矩阵值函数的导数运算具有下列性质：因为因为
4、矩阵乘法没有交换律矩阵乘法没有交换律，一般地，对正整数，一般地，对正整数 m1和可导的和可导的 n 阶矩阵值函数阶矩阵值函数 A(x)定理定理7.2.2 如果如果 n 阶矩阵值函数阶矩阵值函数 A(x)在在(a,b)上可逆且上可逆且 可导，则可导，则 为为 A(x)在在a,b上的上的积分积分。矩阵值函数的积分具有如下性质：矩阵值函数的积分具有如下性质：(3)对常数矩阵对常数矩阵 A和和C，有，有(4)如果矩阵值函数如果矩阵值函数 A(x)在在a,b上连续，则上连续，则(5)如果矩阵值函数如果矩阵值函数 A(x)在在a,b上连续，则上连续，则 矩阵值函数的导数具有如下性质：矩阵值函数的导数具有如
5、下性质：7.3 7.3 矩阵值函数在微分方程组中的应用矩阵值函数在微分方程组中的应用一阶线性微分方程组 其中方程组(7.3.1)的初始条件可以表示成 设 A是 n 阶常数矩阵，则微分方程组 设 A是 n 阶常数矩阵，如果对任意的 t0和 x0，初值问题 对任意的 t0和 x0，初值问题(7.3.8)的解 x(t)渐近稳定的充分必要条件是矩阵 A的特征值都有负实部。设 A是 n 阶矩阵，如果 A的特征值都有负实部，则称 A为稳定矩阵稳定矩阵。设 A是 n 阶常数矩阵，则微分方程组*特征对的灵敏度分析特征对的灵敏度分析则方程组则方程组证明证明是非奇异矩阵，并且令由(7.4.3)和(7.4.6)得令由定理7.4.1知，方程组令由(7.4.8)，(7.4.11)和(7.4.12),有由定理7.4.1知，方程组令由(7.4.8)，(7.4.17)和(7.4.18),有则谢谢大家！
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