向量自回归和向量误差修正模型

《向量自回归和向量误差修正模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《向量自回归和向量误差修正模型（209页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、会计学1向量自回归和向量误差修正模型向量自回归和向量误差修正模型2 VAR(p)模型的数学表达式是模型的数学表达式是 (9.1.1)其中：其中：yt是是 k 维内生变量列向量，维内生变量列向量，xt 是是d 维外生变量列向量，维外生变量列向量，p是滞后阶数，是滞后阶数，T是样本个数。是样本个数。k k 维矩阵维矩阵 1，p和和k d维矩阵维矩阵H是待估计的系数矩阵。是待估计的系数矩阵。t 是是 k 维扰动列向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关且不与等式右边的变量相关，假设维扰动列向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关且不与等式右边的变量相关，假设 是是 t 的

2、协方差矩阵，是一个的协方差矩阵，是一个(k k)的正定矩阵。式的正定矩阵。式(9.1.1)可以展开表示为可以展开表示为 9.1.1 9.1.1 VARVAR模型的一般表示模型的一般表示模型的一般表示模型的一般表示 第1页/共209页3(9.1.2)即含有即含有k个时间序列变量的个时间序列变量的VAR(p)模型由模型由 k 个方程组成。个方程组成。第2页/共209页4其中其中，ci,aij,bij 是要被估计的参数。也可表示成：是要被估计的参数。也可表示成：例如：例如：例如：例如：作为作为VAR的一个例子，假设工业产量（的一个例子，假设工业产量（IP）和货币供应量（和货币供应量（M1）联合地由一

3、个双变量的联合地由一个双变量的VAR模型决定。内生变量滞后二阶的模型决定。内生变量滞后二阶的VAR(2)模型是：模型是：第3页/共209页5 一般称式一般称式(9.1.1)为为非限制性向量自回归模型非限制性向量自回归模型非限制性向量自回归模型非限制性向量自回归模型(unrestricted VAR)。冲击向量冲击向量 t 是白噪声向量，因为是白噪声向量，因为 t 没有结构性的含义，被称为简化形式的冲击向量。没有结构性的含义，被称为简化形式的冲击向量。为了叙述方便，下面考虑的为了叙述方便，下面考虑的VAR模型都是不含常数项的非限制向量自回归模型，用下式表示模型都是不含常数项的非限制向量自回归模型

4、，用下式表示 或或 (9.1.5)第4页/共209页6 如果行列式如果行列式det(L)的根都在单位圆外，则式的根都在单位圆外，则式(9.1.5)满足稳定性条件，可以将其表示为无穷阶的向量动平均满足稳定性条件，可以将其表示为无穷阶的向量动平均(VMA()形式形式 (9.1.6)其中其中 第5页/共209页7 对对VAR模模型型的的估估计计可可以以通通过过最最小小二二乘乘法法来来进进行行，假假如如对对 矩矩阵阵不不施施加加限限制制性性条条件件，由由最最小小二二乘乘法法可可得得 矩矩阵阵的估计量为的估计量为 (9.1.7)其中：其中：当当VAR的的参参数数估估计计出出来来之之后后，由由于于 (L)

5、A(L)=Ik，所所以以也可以得到相应的也可以得到相应的VMA()模型的参数估计。模型的参数估计。第6页/共209页8 由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边，所以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边，所以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法(OLS)能得到能得到VAR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰动向量简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰动向量 t 有同期相关，有同期相关，OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相同的回归量，其与广义最小二乘法仍然是有效的，因为所有的方程有相同的回归量，其与广义最小二乘法(GLS)是等价的。注意，由于任

6、何序列相关都可以通过增加更多的是等价的。注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt 的滞后而被消除的滞后而被消除，所以扰动项序列不相关的假设并不要求非常严格。所以扰动项序列不相关的假设并不要求非常严格。第7页/共209页9例例例例9.1 9.1 我国货币政策效应实证分析的我国货币政策效应实证分析的我国货币政策效应实证分析的我国货币政策效应实证分析的VARVAR模型模型模型模型 为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长期影响和短期影响及其贡献度，根据我国为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长期影响和短期影响及其贡献度，根据我国1995 年年1季度季度2007年年4季度的季度数据，设

7、居民消费价格指数为季度的季度数据，设居民消费价格指数为CPI_90(1990年年1季度季度=1)、居民消费价格指数增长率为、居民消费价格指数增长率为CPI、实际、实际GDP的对数的对数ln(GDP/CPI_90)为为ln(gdp)、实际实际M1的对数的对数ln(M1/CPI_90)为为ln(m1)和实际利率和实际利率rr(一年期存款利率一年期存款利率R-CPI）。）。第8页/共209页10利用利用VAR(p)模型对模型对 ln(gdp)，ln(m1)和和rr，3个变量个变量之间的关系进行实证研究，其中实际之间的关系进行实证研究，其中实际GDP和实际和实际M1以对数差以对数差分的形式出现在模型中

8、，而实际利率没有取对数。分的形式出现在模型中，而实际利率没有取对数。第9页/共209页11EViewsEViews软件中软件中软件中软件中VARVAR模型的建立和估计模型的建立和估计模型的建立和估计模型的建立和估计 1 1建立建立建立建立VARVAR模型模型模型模型 为了创建一个为了创建一个VAR对象，应选择对象，应选择Quick/Estimate VAR或者选择或者选择Objects/New object/VAR或者在命令窗口中键入或者在命令窗口中键入var。便会出现下图的对话框便会出现下图的对话框(以例以例9.1为例为例)：第10页/共209页12 可以在对话框内添入相应的信息：可以在对话

9、框内添入相应的信息：可以在对话框内添入相应的信息：可以在对话框内添入相应的信息：(1)(1)选择模型类型（选择模型类型（选择模型类型（选择模型类型（VAR TypeVAR Type）：）：）：）：无约束向量自回归（无约束向量自回归（Unrestricted VAR）或者向量误差修正（或者向量误差修正（Vector Error Correction）。）。无约束无约束VAR模型是指模型是指VAR模型的简化式。模型的简化式。(2)(2)在在在在Estimation SampleEstimation Sample编辑框中设置样本区间编辑框中设置样本区间编辑框中设置样本区间编辑框中设置样本区间 第11

10、页/共209页13 (3)(3)输入滞后信息输入滞后信息输入滞后信息输入滞后信息 在在Lag Intervals for Endogenous编辑框中输入滞后信息，表明哪些滞后变量应该被包括在每个等式的右端。编辑框中输入滞后信息，表明哪些滞后变量应该被包括在每个等式的右端。这一信息应该成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。这一信息应该成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。这一信息应该成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。这一信息应该成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。例如，滞后对例如，滞后对 1 4表示用系统中所有内生变量的表示用系统中所有内生变量的1阶到阶到4阶滞后变量作为等式右端的变量。

11、阶滞后变量作为等式右端的变量。也可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对输入。例如：也可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对输入。例如：2 4 6 9 12 12即为用即为用24阶，阶，69阶及第阶及第12阶滞后变量。阶滞后变量。第12页/共209页14 (4)(4)在在在在Endogenous VariablesEndogenous Variables编辑栏中输入相应的内生变量编辑栏中输入相应的内生变量编辑栏中输入相应的内生变量编辑栏中输入相应的内生变量 (5)5)在在在在Exogenous VariablesExogenous Variables编辑栏中输入相应的外生变量编辑栏中输入

12、相应的外生变量编辑栏中输入相应的外生变量编辑栏中输入相应的外生变量 EViews允许允许VAR模型中包含外生变量，模型中包含外生变量，其中其中 xt 是是 d 维外生变量向量维外生变量向量,k d 维矩阵维矩阵 H 是要被估计的系数矩阵。可以在是要被估计的系数矩阵。可以在Exogenous Variables编辑栏中输入相应的外生变量。系统通常会自动给出常数编辑栏中输入相应的外生变量。系统通常会自动给出常数 c 作为外生变量。作为外生变量。其余两个菜单（其余两个菜单（Cointegration 和和 Restrictions）仅与仅与VEC模型有关，将在下面介绍。模型有关，将在下面介绍。第13

13、页/共209页15 2 2VARVAR估计的输出估计的输出估计的输出估计的输出 VAR对象的设定框填写完毕，单击对象的设定框填写完毕，单击OK按纽，按纽，EViews 将会在将会在VAR对象窗口显示如下估计结果：对象窗口显示如下估计结果：第14页/共209页16 表中的每一列对应表中的每一列对应VAR模型中一个内生变量的方程。对方程右端每一个变量，模型中一个内生变量的方程。对方程右端每一个变量，EViews 会给出会给出系数估计值系数估计值系数估计值系数估计值、估计、估计系数的标准差系数的标准差系数的标准差系数的标准差(圆括号中圆括号中圆括号中圆括号中)及及t-t-统计量统计量统计量统计量(方

14、括号中方括号中方括号中方括号中)。例如，在例如，在D(log(M1_TC_P)的方程中的方程中RR_TC(-1)的系数是的系数是-0.001195。同时，有两类回归统计量出现在同时，有两类回归统计量出现在VAR对象估计输出的底部：对象估计输出的底部：第15页/共209页17 输出的第一部分显示的是每个方程的标准输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归统计量。根据各自的残差分别计算每个方程的结果，并显示在对应的列中。回归统计量。根据各自的残差分别计算每个方程的结果，并显示在对应的列中。输出的第二部分显示的是输出的第二部分显示的是VAR模型的回归统计量。模型的回归统计量。第16页/共209页

15、18 残差的协方差的行列式值残差的协方差的行列式值(自由度调整自由度调整)由下式得出：由下式得出：其中其中 m 是是VAR模型每一方程中待估参数的个数，不做自由度调整的残差协方差行列式计算中不减模型每一方程中待估参数的个数，不做自由度调整的残差协方差行列式计算中不减 m。是是 k 维残差列向量。通过假定服从多元正态（高斯）分布计算对数似然值：维残差列向量。通过假定服从多元正态（高斯）分布计算对数似然值：AIC和和SC两个信息准则的计算将在后文详细说明。两个信息准则的计算将在后文详细说明。第17页/共209页19 例例9.1结果如下：结果如下：尽管有几个系数不是很显著，我们仍然选择滞后阶数为尽管

16、有几个系数不是很显著，我们仍然选择滞后阶数为2。3个方程拟合优度分别为：个方程拟合优度分别为：可以利用这个模型进行预测及下一步的分析。可以利用这个模型进行预测及下一步的分析。第18页/共209页20 同时，为了检验扰动项之间是否存在同期相关关系，可用残差的同期相关矩阵来描述。用同时，为了检验扰动项之间是否存在同期相关关系，可用残差的同期相关矩阵来描述。用ei 表示第表示第 i 个方程的残差，个方程的残差，i=1，2，3。其结果如表其结果如表9.1所示。所示。表表表表9.1 9.1 残差的同期相关矩阵残差的同期相关矩阵残差的同期相关矩阵残差的同期相关矩阵 e1e2e3e110.007-0.42

17、e20.007 10.21 e3-0.42 0.21 1第19页/共209页21 从表中可以看到实际利率从表中可以看到实际利率rr、实际实际M1的的 ln(m1)方程和实际方程和实际GDP的的 ln(gdp)方程的残差项之间存在的同期相关系数比较高，进一步表明实际利率方程的残差项之间存在的同期相关系数比较高，进一步表明实际利率、实际货币供给量实际货币供给量(M1)和实际和实际GDP之间存在着同期的影响关系，尽管得到的估计量是一致估计量，但是在本例中却无法刻画它们之间的这种同期影响关系。之间存在着同期的影响关系，尽管得到的估计量是一致估计量，但是在本例中却无法刻画它们之间的这种同期影响关系。第2

18、0页/共209页229.1.2 9.1.2 结构结构结构结构VARVAR模型模型模型模型(SVAR)SVAR)在式在式(9.1.1)或式或式(9.1.3)中，可以看出，中，可以看出，VAR模型并没有给出变量之间当期相关关系的确切形式，即在模型的右端不含有当期的内生变量，而这些当期相关关系隐藏在误差项的相关结构之中，是无法解释的，所以将式模型并没有给出变量之间当期相关关系的确切形式，即在模型的右端不含有当期的内生变量，而这些当期相关关系隐藏在误差项的相关结构之中，是无法解释的，所以将式(9.1.1)和式和式(9.1.3)称为称为VAR模型的简化形式。本节要介绍的结构模型的简化形式。本节要介绍的结

19、构VAR模型模型(Structural VAR，SVAR)，实际是指实际是指VAR模型的结构式，即在模型中包含变量之间的当期关系。模型的结构式，即在模型中包含变量之间的当期关系。第21页/共209页23 1 1两变量的两变量的两变量的两变量的SVARSVAR模型模型模型模型 为了明确变量间的当期关系，首先来研究两变量的为了明确变量间的当期关系，首先来研究两变量的VAR模型结构式和简化式之间的转化关系。如含有两个变量模型结构式和简化式之间的转化关系。如含有两个变量(k=2)、滞后一阶滞后一阶(p=1)的的VAR模型结构式可以表示为下式模型结构式可以表示为下式(9.1.8)第22页/共209页24

20、 在模型在模型(9.1.8)中假设：中假设：（1）随机误差）随机误差 uxt 和和 uzt 是白噪声序列，不失一般性，假设方差是白噪声序列，不失一般性，假设方差 x2=z2=1；（2）随机误差）随机误差 uxt 和和 uzt 之间不相关，之间不相关，cov(uxt,uzt)=0。式式(9.1.8)一般称为一般称为一阶结构向量自回归模型一阶结构向量自回归模型一阶结构向量自回归模型一阶结构向量自回归模型(SVAR(1)SVAR(1)。第23页/共209页25 它是一种结构式经济模型，引入了变量之间的作用与反馈作用，其中系数它是一种结构式经济模型，引入了变量之间的作用与反馈作用，其中系数 c12 表

21、示变量表示变量 zt 的单位变化对变量的单位变化对变量 xt 的的即时作用即时作用即时作用即时作用，21表示表示 xt-1的单位变化对的单位变化对 zt 的的滞后影响滞后影响滞后影响滞后影响。虽然。虽然 uxt 和和 uzt 是单纯出现在是单纯出现在 xt 和和 zt 中的随机冲击，但如果中的随机冲击，但如果 c21 0，则作用在则作用在 xt 上的随机冲击上的随机冲击 uxt 通过对通过对 xt 的影响，能够即时传到变量的影响，能够即时传到变量 zt 上，这是一种上，这是一种间接的即时影响间接的即时影响间接的即时影响间接的即时影响；同样，如果；同样，如果 c12 0，则作用在则作用在 zt

22、上的随机冲击上的随机冲击 uzt 也可以对也可以对 xt 产生间接的即时影响。冲击的交互影响体现了变量作用的双向和反馈关系。产生间接的即时影响。冲击的交互影响体现了变量作用的双向和反馈关系。第24页/共209页26 为了导出为了导出VAR模型的简化式方程，将上述模型表示为矩阵形式模型的简化式方程，将上述模型表示为矩阵形式 该模型可以简单地表示为该模型可以简单地表示为 (9.1.9)第25页/共209页27 假设假设 C0可逆，可导出简化式方程为可逆，可导出简化式方程为 其中其中 (9.1.10)第26页/共209页28 从而可以看到，简化式扰动项从而可以看到，简化式扰动项 t 是结构式扰动项是

23、结构式扰动项 ut 的线性组合，因此代表一种复合冲击。因为的线性组合，因此代表一种复合冲击。因为 uxt 和和 uzt 是不相关的白噪声序列，则可以断定上述是不相关的白噪声序列，则可以断定上述 1t 和和 2t 也是白噪声序列，并且均值和方差为也是白噪声序列，并且均值和方差为 第27页/共209页29 同期的同期的 1t 和和 2t 之间的协方差为之间的协方差为 从式从式(9.1.11)可以看出当可以看出当 c12 0 或或 c21 0 时，时，VAR模型简化式中的扰动项不再像结构式中那样不相关，正如例模型简化式中的扰动项不再像结构式中那样不相关，正如例9.1中的表中的表9.1所显示的情况。所

24、显示的情况。当当当当 c c12 12=c c21 21=0=0 时，即变量之间没有即时影响，上述协方差为时，即变量之间没有即时影响，上述协方差为时，即变量之间没有即时影响，上述协方差为时，即变量之间没有即时影响，上述协方差为0 0，相当于对，相当于对，相当于对，相当于对CC00矩阵施加约束。矩阵施加约束。矩阵施加约束。矩阵施加约束。(9.1.11)第28页/共209页30 2 2多变量的多变量的多变量的多变量的SVARSVAR模型模型模型模型 下面考虑下面考虑k个变量的情形，个变量的情形，p阶结构向量自回归模型阶结构向量自回归模型SVAR(p)为为(9.1.13)其中其中：,第29页/共20

25、9页31 可以将式可以将式(9.1.13)写成滞后算子形式写成滞后算子形式(9.1.14)其中：其中：C(L)=C0 1L 2L2 pLp，C(L)是滞后算子是滞后算子L的的 k k 的参数矩阵，的参数矩阵，C0 Ik。需要注意的是，需要注意的是，本书讨论的本书讨论的SVAR模型，模型，C0 矩阵均是主对角线元素为矩阵均是主对角线元素为1的矩阵。的矩阵。如果如果 C0 是一个下三角矩阵，则是一个下三角矩阵，则SVAR模型称为递归的模型称为递归的SVAR模型。模型。第30页/共209页32 不失一般性，在式不失一般性，在式(9.1.14)假定结构式误差项假定结构式误差项(结构冲击结构冲击)ut

26、的方差的方差-协方差矩阵标准化为单位矩阵协方差矩阵标准化为单位矩阵Ik。同样，如果矩阵多项式同样，如果矩阵多项式C(L)可逆，可以表示出可逆，可以表示出SVAR的无穷阶的的无穷阶的VMA()形式形式 其中：其中：(9.1.15)第31页/共209页33 式式(9.1.15)通常称为经济模型的通常称为经济模型的最终表达式最终表达式最终表达式最终表达式，因为其中所有内生变量都表示为，因为其中所有内生变量都表示为ut的分布滞后形式。而且结构冲击的分布滞后形式。而且结构冲击 ut 是不可直接观测得到，需要通过是不可直接观测得到，需要通过 yt 各元素的响应才可观测到。可以通过估计式各元素的响应才可观测

27、到。可以通过估计式(9.1.5)，转变简化式的误差项得到结构冲击，转变简化式的误差项得到结构冲击 ut。从式从式(9.1.6)和式和式(9.1.15)，可以得到，可以得到(9.1.16)第32页/共209页34 上式对于任意的上式对于任意的 t 都是成立的，称为典型的都是成立的，称为典型的SVAR模型。由于模型。由于 A0=Ik，可得可得 式式(9.1.17)两端平方取期望，可得两端平方取期望，可得 所以我们可以通过对所以我们可以通过对 B0 施加约束来识别施加约束来识别SVAR模型。由式模型。由式(9.1.15)，有，有(9.1.17)(9.1.18)第33页/共209页359.2 9.2

28、结构结构结构结构VAR(SVAR)VAR(SVAR)模型的识别条件模型的识别条件模型的识别条件模型的识别条件 前面已经提到，在前面已经提到，在VAR简化式中变量间的当期关系没有直接给出，而是隐藏在误差项的相关关系的结构中。自简化式中变量间的当期关系没有直接给出，而是隐藏在误差项的相关关系的结构中。自Sims的研究开始，的研究开始，VAR模型在很多研究领域取得了成功，在一些研究课题中，模型在很多研究领域取得了成功，在一些研究课题中，VAR模型取代了传统的联立方程模型，被证实为实用且有效的统计方法。然而，模型取代了传统的联立方程模型，被证实为实用且有效的统计方法。然而，VAR模型存在参数过多的问题

29、，如式模型存在参数过多的问题，如式(9.1.1)中，一共有中，一共有k(kp+d)个参数，只有所含经济变量较少的个参数，只有所含经济变量较少的VAR模型才可以通过模型才可以通过OLS和极大似然估计得到满意的估计结果。和极大似然估计得到满意的估计结果。第34页/共209页36 为了解决这一参数过多的问题，计量经济学家们提出了许多方法。这些方法的出发点都是通过对参数空间施加约束条件从而减少所估计的参数。为了解决这一参数过多的问题，计量经济学家们提出了许多方法。这些方法的出发点都是通过对参数空间施加约束条件从而减少所估计的参数。SVAR模型就是这些方法中较为成功的一种。模型就是这些方法中较为成功的一

30、种。9.2.1 9.2.1 VARVAR模型的识别条件模型的识别条件模型的识别条件模型的识别条件 在在经经济济模模型型的的结结构构式式和和简简化化式式之之间间进进行行转转化化时时，经经常常遇遇到到模模型型的的识识别别性性问问题题，即即能能否否从从简简化化式式参参数数估计得到相应的结构式参数。估计得到相应的结构式参数。第35页/共209页37 对于对于 k 元元 p 阶简化阶简化VAR模型模型 利用极大似然方法，需要估计的参数个数为利用极大似然方法，需要估计的参数个数为(9.2.1)(9.2.2)而对于相应的而对于相应的 k 元元 p 阶的阶的SVAR模型模型 来说，需要估计的参数个数为来说，需

31、要估计的参数个数为 (9.2.4)(9.2.3)第36页/共209页38 要想得到结构式模型惟一的估计参数，要求识别的阶条件和秩条件，要想得到结构式模型惟一的估计参数，要求识别的阶条件和秩条件，即简化式的未知参数不比结构式的未知参数多即简化式的未知参数不比结构式的未知参数多即简化式的未知参数不比结构式的未知参数多即简化式的未知参数不比结构式的未知参数多(识别的阶条件和秩条件的详细介绍请参见第识别的阶条件和秩条件的详细介绍请参见第12章的章的“12.1.2 联立方程模型的识别联立方程模型的识别”)。因此，如果不对结构式参数加以限制，将出现模型不可识别的问题。因此，如果不对结构式参数加以限制，将出

32、现模型不可识别的问题。对于对于k元元p阶阶SVAR模型，需要对结构式施加的限制条件个数为式模型，需要对结构式施加的限制条件个数为式(9.2.4)和式和式(9.2.2)的差，即施加的差，即施加k(k-1)/2个限制条件才能估计出结构式模型的参数。这些约束条件可以是同期个限制条件才能估计出结构式模型的参数。这些约束条件可以是同期(短期短期)的，也可以是长期的。的，也可以是长期的。第37页/共209页399.2.2 9.2.2 SVARSVAR模型的约束形式模型的约束形式模型的约束形式模型的约束形式 为了详细说明为了详细说明SVAR模型的约束形成，从式模型的约束形成，从式(9.1.16)和式和式(9

33、.1.17)出发，可以得到出发，可以得到 其中其中A(L)、B(L)分别是分别是VAR模型和模型和SVAR模型相应的模型相应的VMA()模型的滞后算子式，模型的滞后算子式，B0=C0-1，这就隐含着这就隐含着 (9.2.5),i=0，1，2，(9.2.6)第38页/共209页40 因此，只需要对因此，只需要对 B0 进行约束，就可以识别整个结构系统。如果进行约束，就可以识别整个结构系统。如果 B0 是已知的，可以通过估计式是已知的，可以通过估计式(9.1.17)和式和式(9.2.6)非常容易的得到滞后多项式的结构系数和结构新息非常容易的得到滞后多项式的结构系数和结构新息 ut。在有关在有关SV

34、AR模型的文献中，这些约束通常来自于经济理论，表示经济变量和结构冲击之间有意义的长期和短期关系。模型的文献中，这些约束通常来自于经济理论，表示经济变量和结构冲击之间有意义的长期和短期关系。第39页/共209页41 1.1.短期约束短期约束短期约束短期约束 短期约束通常直接施加在矩阵短期约束通常直接施加在矩阵 B0 上，表示经济变量对结构冲击的同期响应，常见的可识别约束是简单的上，表示经济变量对结构冲击的同期响应，常见的可识别约束是简单的0约束排除方法。约束排除方法。（1 1）通过通过通过通过Cholesky-Cholesky-分解建立递归形式的短期约束分解建立递归形式的短期约束分解建立递归形式

35、的短期约束分解建立递归形式的短期约束 Sims提出使提出使 B0 矩阵的上三角为矩阵的上三角为 0 的约束方法，这是一个简单的对协方差矩阵的约束方法，这是一个简单的对协方差矩阵 的的Cholesky-分解。下面，首先介绍分解。下面，首先介绍Cholesky-分解的基本思想分解的基本思想 第40页/共209页42 Cholesky(Cholesky(乔利斯基乔利斯基乔利斯基乔利斯基)分解分解分解分解 对于任意实对称正定矩阵对于任意实对称正定矩阵 ，存在惟一一个主对角线元素为，存在惟一一个主对角线元素为1的下三角形矩阵的下三角形矩阵 G 和惟一一个主对角线元素为正的对角矩阵和惟一一个主对角线元素为

36、正的对角矩阵 Q 使得：使得：利用这一矩阵利用这一矩阵 G 可以构造一个可以构造一个 k 维向量维向量 ut，构造方法为构造方法为 ut=G-1 t，设设 (9.2.7)第41页/共209页43 则则 由由于于Q是是对对角角矩矩阵阵，可可得得 ut 的的元元素素互互不不相相关关，其其（j,j）元元素素是是 ujt 的的方方差差。令令 Q1/2 表表示示其其（j,j）元元素素为为ujt 标准差的对角矩阵。注意到式标准差的对角矩阵。注意到式(9.2.7)可写为可写为(9.2.8)其其中中P=GQ1/2是是一一个个下下三三角角矩矩阵阵。式式(9.2.8)被被称称为为Cholesky(Cholesky

37、(乔利斯基乔利斯基乔利斯基乔利斯基)分解。分解。分解。分解。第42页/共209页44 SimsSims施加约束的基本过程是：施加约束的基本过程是：施加约束的基本过程是：施加约束的基本过程是：由由于于 是是正正定定矩矩阵阵，所所以以可可得得到到Cholesky因因子子P，即即 PP =。而而且且，当当给给定定矩矩阵阵 时时，Cholesky因子因子P是惟一确定的。是惟一确定的。对于对于VAR模型模型 ，其其中中VWN(0k,)表表示示均均值值为为0k，协协方方差差矩矩阵阵为为 的的白白噪噪声声向向量量，这这里里0k表表示示 k 维零向量。维零向量。上式两边都乘以上式两边都乘以 P 1，得到得到第

38、43页/共209页45其中：其中：ut=P-1 t。由于由于 (9.2.9)(9.2.10)所以所以 ut 是协方差为单位矩阵的白噪声向量，即是协方差为单位矩阵的白噪声向量，即 ut VMN(0k,Ik)。第44页/共209页46 在向量在向量 t 中的各元素可能是当期相关的，而向量中的各元素可能是当期相关的，而向量 ut 中的各元素不存在当期相关关系，即这些随机扰动是相互独立的。中的各元素不存在当期相关关系，即这些随机扰动是相互独立的。这些相互独立的随机扰动可以被看作是导致内生变量向量这些相互独立的随机扰动可以被看作是导致内生变量向量这些相互独立的随机扰动可以被看作是导致内生变量向量这些相互

39、独立的随机扰动可以被看作是导致内生变量向量 y yt t 变动的最终因素。变动的最终因素。变动的最终因素。变动的最终因素。由式由式(9.2.9)还可以得出还可以得出 其中其中 ,(9.2.11)第45页/共209页47 很明显，很明显，C0 是下三角矩阵。是下三角矩阵。这意味着变量间的当期关系可以用递归的形式表示出来这意味着变量间的当期关系可以用递归的形式表示出来这意味着变量间的当期关系可以用递归的形式表示出来这意味着变量间的当期关系可以用递归的形式表示出来，得到的正交得到的正交VMA()表示表示(或或Wold表示表示)形式为形式为 其中：其中：Bi=Ai P，B0=P。注意到注意到 B0=P

40、，所以冲击，所以冲击 ut 对对 yt 中的元素的当期冲击效应是由中的元素的当期冲击效应是由Cholesky因子因子P 决定的。决定的。(9.2.12)第46页/共209页48 更需要注意的是，由于更需要注意的是，由于 P 是下三角矩阵，由式是下三角矩阵，由式(9.2.9)可知，这要求向量可知，这要求向量 yt 中的中的 y2t，ykt 的当期值对第一个分量的当期值对第一个分量 y1t 没有影响，因此没有影响，因此CholeskyCholesky分解因子分解因子分解因子分解因子 P P 的决定和的决定和的决定和的决定和VARVAR模型中变量的次序有关模型中变量的次序有关模型中变量的次序有关模型

41、中变量的次序有关，而且在给定变量次序的模型中，而且在给定变量次序的模型中，Cholesky分解因子矩阵分解因子矩阵 P 是惟一的。是惟一的。综上所述，可知只要式综上所述，可知只要式(9.1.13)中的中的 C0 是主对角线元素为是主对角线元素为 1 的下三角矩阵，则的下三角矩阵，则SVAR模型是一种递归模型，而且是恰好识别的。模型是一种递归模型，而且是恰好识别的。第47页/共209页49 （2 2）依据经济理论假设的短期约束）依据经济理论假设的短期约束）依据经济理论假设的短期约束）依据经济理论假设的短期约束 但是，一般短期约束的施加不必是下三角形式的。只要满足式但是，一般短期约束的施加不必是下

42、三角形式的。只要满足式(9.1.18)：约束可以施加给约束可以施加给 B0 的任何元素。同时，由式的任何元素。同时，由式(9.1.15)可知，可知，SVAR模型中的同期表示矩阵模型中的同期表示矩阵 C0 是是 B0 的逆，即的逆，即 B0=C0-1，因此也可以通过对因此也可以通过对 C0 施加限制条件实现短期约束。施加限制条件实现短期约束。第48页/共209页50 2.2.长期约束长期约束长期约束长期约束 关于长期约束的概念最早是由关于长期约束的概念最早是由Blanchard 和和 Quah在在1989 年提出的，是为了识别模型供给冲击对产出的长期影响。施加在结构年提出的，是为了识别模型供给冲

43、击对产出的长期影响。施加在结构VMA()模型的系数矩阵模型的系数矩阵 Bi(i=1，2，)上的约束通常称为长期约束。最常见的长期约束的形式是对上的约束通常称为长期约束。最常见的长期约束的形式是对 i=0 Bi 的第的第 i 行第行第 j 列元素施加约束，典型的是列元素施加约束，典型的是 0 约束形式，表示第约束形式，表示第 i 个变量对第个变量对第 j 个变量的累积乘数影响为个变量的累积乘数影响为 0。关于长期约束更详细的说明及其经济含义可参考关于长期约束更详细的说明及其经济含义可参考9.4节的脉冲响应函数。节的脉冲响应函数。第49页/共209页51 在在在在EViewsEViews中如何估计

44、中如何估计中如何估计中如何估计SVARSVAR模型模型模型模型 在在VAR估计窗口中选择：估计窗口中选择：Procs/Estimate Structural Factorization 即可。下面对这一操作进行详细说明：即可。下面对这一操作进行详细说明：假设假设在在EViews 中中SVAR模型为：模型为：(9.8.3)其中其中 et，ut 是是k维向量，维向量，et 是简化式的残差，相当于前文的是简化式的残差，相当于前文的 t，而而 ut 是结构新息是结构新息(结构式残差结构式残差)。A、B是待估计的是待估计的k k矩阵。简化式残差矩阵。简化式残差 et 的协方差矩阵为的协方差矩阵为 第50

45、页/共209页52例例例例9.2 9.2 基于基于基于基于SVARSVAR模型的货币政策效应的实证分析模型的货币政策效应的实证分析模型的货币政策效应的实证分析模型的货币政策效应的实证分析 货币政策主要指中央银行通过调整利率和货币供应量，影响投资、社会需求及总支出，进而对经济增长产生作用。凯恩斯学派和货币主义学派都承认货币供应量对经济有影响，虽然途径不一样，但都是诱发经济波动的主要原因。为了验证利率和货币供给的冲击对经济波动的影响，例货币政策主要指中央银行通过调整利率和货币供应量，影响投资、社会需求及总支出，进而对经济增长产生作用。凯恩斯学派和货币主义学派都承认货币供应量对经济有影响，虽然途径不

46、一样，但都是诱发经济波动的主要原因。为了验证利率和货币供给的冲击对经济波动的影响，例9.1使用了使用了VAR模型，但是其缺点是不能刻画变量之间的同期相关关系，而这种同期相关关系隐藏在扰动项变动中，因此可以通过本节介绍的模型，但是其缺点是不能刻画变量之间的同期相关关系，而这种同期相关关系隐藏在扰动项变动中，因此可以通过本节介绍的SVAR模型来识别，这就涉及对模型施加约束的问题。首先，根据式（模型来识别，这就涉及对模型施加约束的问题。首先，根据式（9.1.19）建立）建立3变量的变量的SVAR(2)模型，其形式如下：模型，其形式如下：t=1，2，T (9.2.13)第51页/共209页53其中其中

47、A、B参数矩阵及向量分别为参数矩阵及向量分别为，(9.2.14),其中其中 t 是是VAR模型的扰动项，模型的扰动项，u1t、u2t和和u3t分别表示作用在分别表示作用在实际利率实际利率rr、ln(m1)和和ln(gdp)上的结构式冲击，即结构式上的结构式冲击，即结构式扰动项，扰动项，utVMN(0k,Ik)。一般而言，简化式扰动项。一般而言，简化式扰动项 t 是结是结构式扰动项构式扰动项 ut 的线性组合，因此代表一种复合冲击。的线性组合，因此代表一种复合冲击。第52页/共209页54 模型中有模型中有3个内生变量，因此至少需要施加个内生变量，因此至少需要施加 2k2 k(k+1)/2=12

48、 个约束才能使得个约束才能使得SVAR模型满足可识别条件。本例中约束模型满足可识别条件。本例中约束B矩阵（即矩阵（即B0矩阵）是单位矩阵，矩阵）是单位矩阵，A矩阵（即矩阵（即A0矩阵）对角线元素为矩阵）对角线元素为1，相当于施加了，相当于施加了k2+k个约束条件。根据经济理论，本例再施加如下两个约束条件：个约束条件。根据经济理论，本例再施加如下两个约束条件：(1)实际利率对当期货币供给量的变化没有反应，即实际利率对当期货币供给量的变化没有反应，即a12=0；(2)实际利率对当期实际利率对当期GDP的变化没有反应，即的变化没有反应，即a13=0。第53页/共209页55 1.1.用矩阵模式表示的

49、短期约束用矩阵模式表示的短期约束用矩阵模式表示的短期约束用矩阵模式表示的短期约束 在许多问题中，对于在许多问题中，对于A、B矩阵的可识别约束是简单的排除矩阵的可识别约束是简单的排除0约束。在这种情况下，可以通过创建矩阵指定约束。在这种情况下，可以通过创建矩阵指定A、B的约束，矩阵中想估计的未知元素定义为缺省值的约束，矩阵中想估计的未知元素定义为缺省值NA，在矩阵中所有非缺省的值被固定为某一指定的值。在矩阵中所有非缺省的值被固定为某一指定的值。例如：例如：例如：例如：对于例对于例9.2，(9.2.14)的简化式扰动项和结构式扰动项的关系为的简化式扰动项和结构式扰动项的关系为A t=ut，对于，对

50、于k=3个变量的个变量的SVAR模型，其矩阵模式可定义为：模型，其矩阵模式可定义为：第54页/共209页56 一一旦旦创创建建了了矩矩阵阵，从从VAR对对象象窗窗口口的的菜菜单单中中选选择择Procs/Estimate Structural Factorization，在在下下图图所所示示的的SVAR Options的的对对话话框框中中，击击中中Matrix按按钮钮和和Short-Run Pattern按按钮钮，并并在在相相应应的的编编辑辑框框中中填填入入模版矩阵的名字。模版矩阵的名字。第55页/共209页57 2.2.用文本形式表示的短期约束用文本形式表示的短期约束用文本形式表示的短期约束用

51、文本形式表示的短期约束 对于更一般的约束，可用文本形式指定可识别的约束。在文本形式中，以一系列的方程表示关系：对于更一般的约束，可用文本形式指定可识别的约束。在文本形式中，以一系列的方程表示关系：Aet=But 并用特殊的记号识别并用特殊的记号识别 et 和和 ut 向量中的每一个元素。向量中的每一个元素。A、B矩阵中被估计的元素必须是系数向量中被指定的元素。矩阵中被估计的元素必须是系数向量中被指定的元素。例如：例如：例如：例如：像上例所假定的一样，对于有像上例所假定的一样，对于有3个变量的个变量的SVAR模型，约束模型，约束A矩阵为矩阵为C0矩阵矩阵，B矩阵是一对角矩阵。在这些约束条件下矩阵

52、是一对角矩阵。在这些约束条件下，Aet=ut 的关系式可以写为下面的形式。的关系式可以写为下面的形式。第56页/共209页58 为了以文本形式指定这些约束，从为了以文本形式指定这些约束，从VAR对象窗口选择对象窗口选择Procs/Estimate Structure Factorization，并单击并单击Text按钮，在编辑框中，应键入下面的方程：按钮，在编辑框中，应键入下面的方程：e1t=u1t e2t=c(1)e1t+u2t+c(4)e3t e3t=c(2)e1t+c(3)e2t+u3t 第57页/共209页59第58页/共209页60 特殊的关键符特殊的关键符“e1”，“e2”，“e3

53、”分别代表分别代表et(即即 t)向量中的第一、第二、第三个元素，而向量中的第一、第二、第三个元素，而“u1”，“u2”，“u3”分别代表分别代表 ut 向量中的第一、第二、第三个元素。在这个例子中，向量中的第一、第二、第三个元素。在这个例子中，A、B矩阵中的未知元素以系数向量矩阵中的未知元素以系数向量 c 中的元素来代替。并且对中的元素来代替。并且对A、B矩阵的约束不必是下三角形式，可以依据具体的经济理论来建立约束。矩阵的约束不必是下三角形式，可以依据具体的经济理论来建立约束。第59页/共209页61 4.4.AA、BB矩阵的估计矩阵的估计矩阵的估计矩阵的估计 一旦提供了上述所描述的任何一种

54、形式的可识别约束，单击一旦提供了上述所描述的任何一种形式的可识别约束，单击SVAR Options对话框的对话框的OK按钮，就可以估计按钮，就可以估计A、B矩阵。为了使用脉冲响应和方差分解的结构选项，必须先估计这两个矩阵。矩阵。为了使用脉冲响应和方差分解的结构选项，必须先估计这两个矩阵。假定扰动项是多元正态的，假定扰动项是多元正态的，EViews 使用极大似然估计法估计使用极大似然估计法估计A、B矩阵。使用不受限制的参数代替受限制的参数计算似然值。对数似然值通过得分方法最大化，在这儿梯度和期望信息矩阵使用解析法计算。矩阵。使用不受限制的参数代替受限制的参数计算似然值。对数似然值通过得分方法最大

55、化，在这儿梯度和期望信息矩阵使用解析法计算。第60页/共209页62 最优化控制最优化控制最优化控制最优化控制(Optimization Control)Optimization Control)最优化过程控制的选项在最优化过程控制的选项在SVAR Options对话框的对话框的Optimization Control栏下提供。可以指定初始值、迭代的最大数和收敛标准。栏下提供。可以指定初始值、迭代的最大数和收敛标准。第61页/共209页63 估计的输出估计的输出估计的输出估计的输出 一旦估计收敛，一旦估计收敛，EViews 会在会在VAR对象窗口中显示估计的结果，包括：估计值、标准误差和被估计

56、无约束参数的对象窗口中显示估计的结果，包括：估计值、标准误差和被估计无约束参数的Z统计量及对数似然的最大值。基于被估计的信息矩阵的逆（统计量及对数似然的最大值。基于被估计的信息矩阵的逆（Hessian 的负的期望值）所估计的标准误差在最后的估计中计算。的负的期望值）所估计的标准误差在最后的估计中计算。第62页/共209页64第63页/共209页65在模型在模型(9.2.13)满足可识别条件的情况下，我们可以使满足可识别条件的情况下，我们可以使用完全信息极大似然方法（用完全信息极大似然方法（FIML）估计得到）估计得到SVAR模型的模型的所有未知参数，从而可得矩阵所有未知参数，从而可得矩阵A及及

57、 t 和和ut的线性组合的估计的线性组合的估计结果如下（设结果如下（设VAR模型的估计残差模型的估计残差=et）：）：或者可以表示为或者可以表示为本章将在例本章将在例9.5中，利用脉冲响应函数讨论实际利率和中，利用脉冲响应函数讨论实际利率和货币供给量的变动对产出的影响。货币供给量的变动对产出的影响。第64页/共209页66 无论建立什么模型，都要对其进行识别和检验，以判别其是否符合模型最初的假定和经济意义。本节简单介绍关于无论建立什么模型，都要对其进行识别和检验，以判别其是否符合模型最初的假定和经济意义。本节简单介绍关于VAR模型的各种检验。这些检验对于后面将要介绍的向量误差修正模型（模型的各

58、种检验。这些检验对于后面将要介绍的向量误差修正模型（VEC）也适用。也适用。9.3.1 9.3.1 GrangerGranger因果检验因果检验因果检验因果检验 VAR模型的另一个重要的应用是分析经济时间序列变量之间的因果关系。本节讨论由模型的另一个重要的应用是分析经济时间序列变量之间的因果关系。本节讨论由Granger(1969)提出，提出，Sims(1972)推广的如何检验变量之间因果关系的方法。推广的如何检验变量之间因果关系的方法。9.3 9.3 VARVAR模型的检验和过程模型的检验和过程模型的检验和过程模型的检验和过程 第65页/共209页67 1.Granger1.Granger因

59、果关系的定义因果关系的定义因果关系的定义因果关系的定义 Granger解决了解决了 x 是否引起是否引起 y 的问题，主要看现在的的问题，主要看现在的 y能够在多大程度上被过去的能够在多大程度上被过去的 x 解释，加入解释，加入 x 的滞后值是否使解释程度提高。如果的滞后值是否使解释程度提高。如果 x 在在 y 的预测中有帮助，或者的预测中有帮助，或者 x 与与 y 的相关系数在统计上显著时，就可以说的相关系数在统计上显著时，就可以说“y 是由是由 x Granger引起的引起的”。考虑对考虑对 yt 进行进行 s 期预测的均方误差（期预测的均方误差（MSE）：）：(9.3.1)第66页/共2

60、09页68 这样可以更正式地用如下的数学语言来描述。这样可以更正式地用如下的数学语言来描述。Granger Granger因果定义：因果定义：因果定义：因果定义：如果关于所有的如果关于所有的s0，基于基于(yt，yt-1，)预测预测 yt+s 得到的均方误差，与基于得到的均方误差，与基于(yt，yt-1，)和和(xt，xt-1，)两者得到的两者得到的 yt+s 的均方误差相同，则的均方误差相同，则 y 不是由不是由 x Granger引起的。对于线性函数，若有引起的。对于线性函数，若有 可以得出结论：可以得出结论：x x 不能不能不能不能GrangerGranger引起引起引起引起 y y。等

61、价的，如果等价的，如果(9.3.2)式成立，则式成立，则称称称称 x x 对于对于对于对于 y y 是外生的是外生的是外生的是外生的。这个意思相同的。这个意思相同的第三种表达方式是第三种表达方式是第三种表达方式是第三种表达方式是 x x 关于未来的关于未来的关于未来的关于未来的 y y 无线性影响信息无线性影响信息无线性影响信息无线性影响信息。(9.3.2)第67页/共209页69 可以将上述结果推广到可以将上述结果推广到 k 个变量的个变量的VAR(p)模型中去，考虑对模型模型中去，考虑对模型(9.1.5)，利用从，利用从(t 1)至至(t p)期的所有信息，得到期的所有信息，得到 yt 的

62、最优预测如下：的最优预测如下：(9.3.3)VAR(p)模型中模型中Granger因果关系如同两变量的情形，可以判断是否存在过去的影响。作为两变量情形的推广，对多个变量的组合给出如下的系数约束条件：因果关系如同两变量的情形，可以判断是否存在过去的影响。作为两变量情形的推广，对多个变量的组合给出如下的系数约束条件：在多变量在多变量在多变量在多变量VAR(VAR(p p)模型中不存在模型中不存在模型中不存在模型中不存在 y yjt jt 到到到到 y yit it 的的的的GrangerGranger意义下的因果关系的必要条件是意义下的因果关系的必要条件是意义下的因果关系的必要条件是意义下的因果关

63、系的必要条件是 (9.3.4)其中其中 是是 的第的第 i 行第行第 j 列的元素。列的元素。第68页/共209页70 2.2.GrangerGranger因果关系检验因果关系检验因果关系检验因果关系检验 Granger因果关系检验实质上是检验一个变量的滞后变量是否可以引入到其他变量方程中。一个变量如果受到其他变量的滞后影响，则称它们具有因果关系检验实质上是检验一个变量的滞后变量是否可以引入到其他变量方程中。一个变量如果受到其他变量的滞后影响，则称它们具有Granger因果关系。因果关系。第69页/共209页71 在一个二元在一个二元p阶的阶的VAR模型中模型中(9.3.5)当且仅当系数矩阵中

64、的系数当且仅当系数矩阵中的系数 全部为全部为0时，变量时，变量 x 不能不能Granger引起引起 y，等价于变量等价于变量 x 外生于变量外生于变量 y。第70页/共209页72 这这时时，判判断断Granger原原因因的的直直接接方方法法是是利利用用F-检验来检验下述联合检验：检验来检验下述联合检验：H H0 0:H H1 1:至少存在一个至少存在一个至少存在一个至少存在一个 q q 使得使得使得使得 其统计量为其统计量为 (9.3.6)如果如果S1大于大于F的临界值，则拒绝原假设；否则接受的临界值，则拒绝原假设；否则接受原假设：原假设：原假设：原假设：x x 不能不能不能不能Grange

65、rGranger引起引起引起引起 y y。第71页/共209页73其中：其中：RSS1是式是式(9.3.5)中中 y 方程的残差平方和：方程的残差平方和：(9.3.7)RSS0是不含是不含 x 的滞后变量，的滞后变量，即如下方程的残差平方和：即如下方程的残差平方和：(9.3.8)则有则有(9.3.9)第72页/共209页74 在满足高斯分布的假定下，检验统计量式在满足高斯分布的假定下，检验统计量式(9.3.6)具有精确的具有精确的F分布。如果回归模型形式是如式分布。如果回归模型形式是如式(9.3.5)的的VAR模型，一个渐近等价检验可由下式给出：模型，一个渐近等价检验可由下式给出：(9.3.1

66、0)注意，注意，S2服从自由度为服从自由度为 p 的的 2分布。如果分布。如果S2大于大于 2 的临界值，则拒绝原假设；否则接受原假设：的临界值，则拒绝原假设；否则接受原假设：x不能不能Granger引起引起 y。而且而且GrangerGranger因果检验的任何一种检验结果都和滞后长度因果检验的任何一种检验结果都和滞后长度因果检验的任何一种检验结果都和滞后长度因果检验的任何一种检验结果都和滞后长度 p p 的选择有关。的选择有关。的选择有关。的选择有关。第73页/共209页75 在在在在EViewsEViews中中中中Granger Granger 因果检验的操作因果检验的操作因果检验的操作因果检验的操作 选择选择View/Lag Structure/Granger Causality Tests，即可进行即可进行Granger因果检验。因果检验。第74页/共209页76 输输出出结结果果对对于于VAR模模型型中中的的每每一一个个方方程程，将将输输出出每每一一个个其其他他内内生生变变量量的的滞滞后后项项(不不包包括括它它本本身身的的滞滞后后项项)联联合合显显著著的的 2(Wald)统