向量的内积和距离表示

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1、会计学1向量的内积和距离表示向量的内积和距离表示创设情境创设情境兴趣导入兴趣导入Fs图721O如图721所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，角的方向拉小车，使小车前进了100 m朝着与水平线成那么，这个人做了多少功？做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积力F是水平方向的力WFcos30 s10010500与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即第1页/共25页动脑思考动脑思考探索新知探索新知WFcos30 s10010500这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量

2、s的内积内积,它是一个数量，又叫做数量积数量积 第2页/共25页1 1两个非零向量夹角的概念两个非零向量夹角的概念已知非零向量 与 ，作 ，则 AOB 叫记作做 与 的夹角规定规定（4）在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的OAB（1）当 时，与 同向；说明：说明：（2）当 时，与 反向；（3）当 时，与 垂直；记作第3页/共25页BAOab如图，设有两个非零向量a，b，作由射线OA与OB所形成的的角叫做向量a与与向量b的夹角夹角，记作两个向量a，b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积内积，记作ab，即 ab|a|b|cos (7.10)由内积的定义可知 a00,0a0.动脑

3、思考动脑思考探索新知探索新知第4页/共25页2 2向量的内积向量的内积记作 已知非零向量 与 ，为两向量的夹角，则数量（1）两个向量的内积是一个实数，不是向量，符号由 的符号所决定说明：说明：（2）两个向量的内积，写成 ；符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替叫做 与 的内积规定规定 与任何向量的内积为0第5页/共25页向量向量.向量向量或或=数数时时时时第6页/共25页时时,或或(规定零向量与任一向量垂直规定零向量与任一向量垂直)或或或或或或命题命题3.1 3.1 (规定零向量与任一向量垂直规定零向量与任一向量垂直)第7页/共25页满足以下运算规律满足以下运算规律:1)1

4、)交换律交换律2)2)关于数因子的结合律关于数因子的结合律3)3)分配律分配律向量的内积向量的内积a(bc)(ab)c.一般地，向量的内积不满足结合律，即 动脑思考动脑思考探索新知探索新知第8页/共25页例例1 1 已知已知求求 解：由已知条件得解：由已知条件得第9页/共25页例例2 2 求证求证证明：证明：因为因为所以所以第10页/共25页3/10/20247.4.2 向量内积的坐标运算与距离公式 江西省女子中专江西省女子中专 许丽娟许丽娟第11页/共25页3/10/2024 _ _ _ _ 练习一练习一:单位向量单位向量i、j 分别与分别与x 轴轴、y 轴方向相同，求轴方向相同，求解：解：

5、1001第12页/共25页3/10/2024复习导入：复习导入：1.如何用向量的长度、夹角表示内积？如何用向量的长度、夹角表示内积？2.如何用内积、长度来表示夹角？如何用内积、长度来表示夹角？3.的充要条件的充要条件?4.如何用向量的内积表示向量的长度如何用向量的内积表示向量的长度?第13页/共25页3/10/2024向量的内积：向量的内积：向量的夹角：向量的夹角：(判断两向量垂直的依据判断两向量垂直的依据)(计算向量的长度计算向量的长度)第14页/共25页动脑思考动脑思考探索新知探索新知设平面向量a(x1,y1),b(x2,y2)，由于ij，故ij 0,又|i|j|1,所以 ab(x1 iy

6、1j)(x2 iy2j)x1 x2 i i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j j x1 x2|j|2 y1 y2|j|2 x1 x2 y1 y2.这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即 ab x1 x2 y1 y2 (7.11)第15页/共25页3/10/2024在直角坐标平面在直角坐标平面 内，内，为为 轴，轴，轴的基向量，轴的基向量，则，则定理定理问题问题（2）若）若 ，你能求出，你能求出 吗？吗？解：因为解：因为所所以以向量的长度公式向量的长度公式第16页/共25页在直角坐标平面在直角坐标平面 内，内，为为 轴，轴，轴的基向量，轴的基向量，则，则定理定

7、理推论推论 两向量垂直的充要条件两向量垂直的充要条件向量内积的坐向量内积的坐标运算公式标运算公式两个向量的内积两个向量的内积等于它们对应坐等于它们对应坐标的乘积的和标的乘积的和第17页/共25页例例1 1 已知已知求求 解：由已知条件得解：由已知条件得因为因为所以所以又因为又因为第18页/共25页在直角坐标平面在直角坐标平面 内，内，为为 轴，轴，轴的基向量，轴的基向量，则，则定理定理问题问题解：因为解：因为由向量的长度公式得：由向量的长度公式得：则则两点间距离公式两点间距离公式 如果如果 ，你能求出，你能求出 的长度吗？的长度吗？第19页/共25页例例2 2已知已知求求 解：由已知条件得解：

8、由已知条件得所以所以第20页/共25页3/10/2024例例3 3已知已知求证：求证：ABC是等腰三角形是等腰三角形 证明：因为证明：因为所以所以即即ABC是等腰三角形是等腰三角形第21页/共25页拓展已知拓展已知求证：求证：证明：因为证明：因为所以所以可得可得第22页/共25页3/10/2024 本节课我们主要学习了平面向量内积的坐标运算与距本节课我们主要学习了平面向量内积的坐标运算与距离公式，常见的题型主要有：离公式，常见的题型主要有：1 1直接用两向量的坐标计算内积；直接用两向量的坐标计算内积；2 2根据向量的坐标求模；根据向量的坐标求模；4 4运用内积的性质判定两向量是否垂直运用内积的性质判定两向量是否垂直3 3根据两点的坐标求两点间的距离；根据两点的坐标求两点间的距离；第23页/共25页3/10/2024第24页/共25页