同济质点运动学

《同济质点运动学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济质点运动学（64页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、会计学1同济质点运动学同济质点运动学第1页/共64页1-2 1-2 描述质点运动的物理量描述质点运动的物理量1-2-1 位置矢量与运动方程热带风暴南京南京第2页/共64页位置矢量位置矢量（位矢）（位矢）从坐标原点从坐标原点o o出发，指向质点出发，指向质点所在位置所在位置P P的一有向线段的一有向线段位矢用坐标值表示为位矢用坐标值表示为：位矢的大小为：位矢的大小为：位矢的方向：位矢的方向：P(x,y,z)zyxo从运动学的角度来看，上式实质上是把一个三维的运动分解为从运动学的角度来看，上式实质上是把一个三维的运动分解为三个正交的分运动。三个正交的分运动。第3页/共64页运动方程：运动方程：矢量

2、形式矢量形式参数形式参数形式轨道方程轨道方程x xo oz zy y轨迹轨迹质点在运动时所描绘出的空间径迹质点在运动时所描绘出的空间径迹 例例第4页/共64页1-2-2 1-2-2 1-2-2 1-2-2 位移与路程位移与路程位移与路程位移与路程设质点作曲线运动设质点作曲线运动t时刻位于时刻位于A点，位矢点，位矢t+t时刻位于时刻位于B点，位矢点，位矢 位移矢量：位移矢量：在在 t 时间内，位矢的变化量（即时间内，位矢的变化量（即A到到B的有向的有向线段），简称线段），简称位移位移。zyxoBA第5页/共64页在直角坐标系中在直角坐标系中zyxoBA路程：路程：质点在轨道上所经过的曲线长度质点

3、在轨道上所经过的曲线长度SS第6页/共64页注意：注意：1.位移与曲线距离：位移与曲线距离：（1）路程是标量，位移是矢量；（2）位移的大小一般不等于，而是小于曲线距位移的大小一般不等于，而是小于曲线距 离；微小的曲线距离等于相应的微小位移的大小离；微小的曲线距离等于相应的微小位移的大小。2.0第7页/共64页1-2-3 1-2-3 速度速度速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量速度：速度：单位时间内质点所发生的位移。单位时间内质点所发生的位移。平均速度tB时刻位于时刻位于B点点在在 t 时间内发生位移：时间内发生位移：BAozyx设质点作一般曲线运动设质点

4、作一般曲线运动tA时刻位于时刻位于A点点第8页/共64页平均速度：平均速度的方向与平均速度的方向与 t 时间内位移的方向一致时间内位移的方向一致 瞬时速度瞬时速度AB质点在某一时刻所具有的速度质点在某一时刻所具有的速度ozyx方向为轨道上质点所在处的切线方向。方向为轨道上质点所在处的切线方向。第9页/共64页速度的矢量式：速度的矢量式：速度的三个坐标分量：速度的三个坐标分量：速度的大小：速度的大小：第10页/共64页 速率速率速率速率在在 t时间内，质点所经过路程时间内，质点所经过路程 s 对时间的变化率对时间的变化率平均速率：平均速率：平均速率：平均速率：瞬时速率：瞬时速率：瞬时速率：瞬时速

5、率：一般情况：一般情况：当当 t0时：时：sBA第11页/共64页1-2-4 1-2-4 加速度加速度加速度是反映速度变化的物理量加速度是反映速度变化的物理量 t 时间内，速度增量为：时间内，速度增量为：平均加速度平均加速度平均加速度平均加速度结论：结论：结论：结论：平均加速度的方向与速度增量的方向一致。平均加速度的方向与速度增量的方向一致。t1时刻，质点速度为时刻，质点速度为t2时刻，质点速度为时刻，质点速度为xozy第12页/共64页当当 t0时，平均加速度的极限即为瞬时加速度。时，平均加速度的极限即为瞬时加速度。瞬时加速度：瞬时加速度：瞬时加速度：瞬时加速度：加速度的矢量式：加速度的矢量

6、式：加速度的矢量式：加速度的矢量式：加速度的大小：加速度的大小：加速度的大小：加速度的大小：当当 t趋向零时，速度增量趋向零时，速度增量 的极限方向的极限方向加速度的方向：加速度的方向：加速度的方向：加速度的方向：第13页/共64页运动方程是运动学问题的核心1、已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度、已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及加速度以及加速度2、已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以、已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及初始条件求质点的运动方程及初始条件求质点的运动方程运动学的两类问题微分微分积分需初始积分需初始条件条件第14页/共64页解：解：分离变量分离变量等式

7、两边积分等式两边积分第二类运动学问题的变式：第二类运动学问题的变式：第15页/共64页例例1 1 已知质点的运动方程为已知质点的运动方程为求：求：（1）轨道方程；（）轨道方程；（2）t=2秒时质点的位置、速度秒时质点的位置、速度以及加速度；（以及加速度；（3）什么时候位矢恰好与速度矢垂直？）什么时候位矢恰好与速度矢垂直？解：解：解：解：(1)消去时间参数消去时间参数（2）第16页/共64页方向沿方向沿 y 轴的负方向轴的负方向（3）（4）两矢量垂直两矢量垂直第17页/共64页例例2.质质点点沿沿x 轴轴运运动动，坐坐标标与与时时间间的的关关系系为为：x=4t-2t3，式中式中x、t分别以分别以

8、m、s为单位。试计算：为单位。试计算：（1）在最初）在最初2s内的平均速度，内的平均速度，2s末的瞬时速度；末的瞬时速度；（2）1s末到末到3s末的位移、平均速度；末的位移、平均速度；（3）1s末到末到3s末的平均加速度；此平均加速度是否可用末的平均加速度；此平均加速度是否可用 计算？计算？（4）3s末的末的瞬时加瞬时加速度。速度。第18页/共64页 解：解：x=4t-2t3（1）0 x=x4t-2t3=48m=22 23=tv=xs=824=m62tv=dx=d4t226=4s20=m4=32 334 12 13()()44 m=x=x3x1（2）1s末到末到3s末的位移、平均速度；末的位移

9、、平均速度；tv=xs=44322=m1在最初在最初2s内的平均速度，内的平均速度，2s末的瞬时速度；末的瞬时速度；第19页/共64页362v=4t=6432s50=m2s24=m=1232s36=m162v=4t=6412s2=m12ta=dv=dt()1v3v1t3ta=50213(3)1s末到末到3s末的平均加速度；此平均加速度是否可用末的平均加速度；此平均加速度是否可用计算计算?？(4)3s末的末的瞬时加瞬时加速度。速度。第20页/共64页例例3：如图，有人用绞车以恒定的：如图，有人用绞车以恒定的 速率速率V0收拖缆绳。求当船头与收拖缆绳。求当船头与岸的水平距离为岸的水平距离为x时时,

10、船的速度与加速度。并讨论以下几个问题：船的速度与加速度。并讨论以下几个问题：1）缆绳上各点的速度相同吗？）缆绳上各点的速度相同吗？2）有人认为船的速度为）有人认为船的速度为VV0cos (为缆为缆 绳与水平面之间绳与水平面之间 的的夹角？对不对？为什么？夹角？对不对？为什么？3）还有人认为，若设船为运动的质点，以岸上）还有人认为，若设船为运动的质点，以岸上 滑轮处为原点滑轮处为原点hlx则则对不对？对不对？x第21页/共64页hx解：解：1、求船靠岸的速率与加速度、求船靠岸的速率与加速度lx第22页/共64页如图，缆绳上各点在相同的时间内位移不同，因此如图，缆绳上各点在相同的时间内位移不同，因

11、此绳上各点的速度不相同。绳上各点的速度不相同。ltl+dlt+dtAB 1）缆绳上各点的速度相同吗？）缆绳上各点的速度相同吗？2、讨论、讨论第23页/共64页如如 图图：l+dl-dl-dxllor1r2dr2）有人认为船的速度为）有人认为船的速度为VV0cos (为缆为缆 绳与水平面之绳与水平面之间间 的夹角？对不对？为什么？）的夹角？对不对？为什么？）而而所以所以如图如图：3）还有人认为，若设船为运动的质点，以岸）还有人认为，若设船为运动的质点，以岸上上 滑轮处为原点。则滑轮处为原点。则第24页/共64页例例4 4.设某一质点以初速度设某一质点以初速度 作作直线运动，其加速度为直线运动，其

12、加速度为 。问：质。问：质点在停止前运动的路程有多长？点在停止前运动的路程有多长？解：法解：法解：法解：法1 1两边积分：两边积分：两边积分：两边积分：第25页/共64页两边积分：两边积分：第26页/共64页法2时时第27页/共64页例例5.路灯距地面高度为路灯距地面高度为h，身高为，身高为l的人以速度的人以速度v0在在路上匀速行走。求：（路上匀速行走。求：（1）人影头部的移动速度。）人影头部的移动速度。（2）影长增长的速率。）影长增长的速率。ox2xx1hl 解：解：解：解：（1）两边求导：两边求导：第28页/共64页（2）令令 为影长为影长以以 代入代入得：得：第29页/共64页1-2-5

13、 1-2-5 自然坐标系下的速度和加速度自然坐标系下的速度和加速度 自然坐标系：自然坐标系：把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统。把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统。规定：规定：soP 切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为 法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为Q s第30页/共64页路程：路程：路程：路程：质点位置：质点位置：质点位置：质点位置：速度：速度：速度：速度：soPQ s方向：方向：切切向向第31页/共64页 加速度ABvv+vvvv+v切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度=+大小的

14、改变大小的改变 切向切向加速度加速度矢量速度的变化矢量速度的变化 方向的改变方向的改变 法向法向加速加速度度V第32页/共64页 加速度加速度a a切向加速度：切向加速度：切向加速度：切向加速度：法向加速度：法向加速度：法向加速度：法向加速度：大小大小：方向：方向：反映速度大小的变反映速度大小的变化化反映速度方向的变反映速度方向的变化化第33页/共64页例：抛体运动例：抛体运动 y yx xv v0 00 0g g g gO O在出发在出发点点第34页/共64页1-2-6 平动形式简介：平动形式简介：1.匀变速运动匀变速运动为常矢量为常矢量若若两边积分两边积分第35页/共64页在直角坐标系中，

15、质点速度和位置可用分量形式表示出来在直角坐标系中，质点速度和位置可用分量形式表示出来第36页/共64页 （1）直线运动）直线运动运动方程：运动方程：位移：位移：速度：速度：加速度：加速度：=t（）xxx=ddddtta22vdt=dxv（2）x t 图图2.直线运动直线运动：标量处理：标量处理 xtt1t201x2x割线斜率（平均速度）割线斜率（平均速度）切线斜率（瞬时速度）切线斜率（瞬时速度）第37页/共64页v t 图线下的面积（位移）图线下的面积（位移）tt1t201v2vvv t 图图割线斜率割线斜率：切线斜率：切线斜率：（3）v t 图及图及 a t 图图tat1t20a t 图图a

16、 t 图线下的面积（速度增量）图线下的面积（速度增量）第38页/共64页3.3.抛体运动抛体运动 yxv00实际子弹和炮弹受空气阻力很大，弹道导弹则在加速实际子弹和炮弹受空气阻力很大，弹道导弹则在加速度变化的范围运动，但基础是以上的运动学。度变化的范围运动，但基础是以上的运动学。第39页/共64页1-2-6 1-2-6 圆周运动及其角量描述圆周运动及其角量描述 质点所在的矢径与质点所在的矢径与x 轴的夹角。轴的夹角。角位移角位移 ：角位置角位置 ：质点从质点从A到到B矢经转过的角度矢经转过的角度。规定：规定：规定：规定：逆时针转向逆时针转向 为正为正顺时针转向顺时针转向 为负为负角速度角速度：

17、角加速度：角加速度：第40页/共64页角量和线量的关系：角量和线量的关系：匀变速圆周运动的基本公式匀变速圆周运动的基本公式 匀变速直线运动：匀变速直线运动：第41页/共64页例例：一物体从静止出发沿半径为：一物体从静止出发沿半径为.0m的圆周运动。已知的圆周运动。已知切向加速度的大小切向加速度的大小at=3.0 m/s,试求：试求：1、经过多少时间物体的总加速度、经过多少时间物体的总加速度 a 正好与半径成正好与半径成45度角？度角？、在上述时间内物体通过的路程、在上述时间内物体通过的路程 是多少？是多少？如图，如图，an=at 时，法向加速度与加速度之间的夹时，法向加速度与加速度之间的夹角为

18、度角为度又又t=0a解解（1）第42页/共64页由此可得物体运动的速率为：由此可得物体运动的速率为：在点：在点：VA=3.0=3t、求路程、求路程 st=0a所以，所以，t=1秒秒第43页/共64页例：一质点作抛体运动，如图所示，请回答下列问题。例：一质点作抛体运动，如图所示，请回答下列问题。质点在运动过程中：质点在运动过程中：（）（）dv/dt 是否变化？是否变化？（）（）dv/dt 是否变化？是否变化？（）法向加速度是否变化？（）法向加速度是否变化？（）轨道何处曲率半径最大？（）轨道何处曲率半径最大？xyvv0所以所以at是随时间变化是随时间变化 的。的。（）（）是常矢量是常矢量（）（）与

19、切向加速度一样随时与切向加速度一样随时间变化的间变化的解：（）解：（）at=dv/dt=g sin第44页/共64页=4、因为水平方向动量守恒因为水平方向动量守恒代入上式可得：代入上式可得：xyvv0第45页/共64页例例3.半径为半径为r=0.2 m的飞轮，可绕的飞轮，可绕 o 轴转动。已轴转动。已知轮缘上一点知轮缘上一点M的运动方程为的运动方程为=-t2+4t，求在，求在1秒秒时刻时刻M点的速度和加速度。点的速度和加速度。解：解：解：解：ox第46页/共64页例例4：一质点沿半径为：一质点沿半径为 R的圆轨道运动，初速为的圆轨道运动，初速为v0其加速度方向与其加速度方向与速度方向成速度方向

20、成 角恒定，试求速度大小与时间的关系角恒定，试求速度大小与时间的关系。解：解：R0第47页/共64页例例5、一张致密光盘（、一张致密光盘（CD）音轨区域的内半径音轨区域的内半径R1=2.2cm,外半径外半径为为R2=5.6cm,径向音轨密度径向音轨密度N=650条条/mm。在在CD唱机内，光盘每唱机内，光盘每转一圈，激光头沿径向向外移动一条音轨，激光束相对光盘是以转一圈，激光头沿径向向外移动一条音轨，激光束相对光盘是以v=1.3m/s的恒定线速度运动的。的恒定线速度运动的。试求（试求（1）这张光盘的全部放映时间是多少？）这张光盘的全部放映时间是多少？（2）激光束到达离盘心）激光束到达离盘心r=

21、5.0cm处时，光盘转动的角速度和处时，光盘转动的角速度和角加速度各是多少？角加速度各是多少？解：（解：（1）如图如图dr内的音轨长度为内的音轨长度为激光束划过这样长的音轨所用的时间为激光束划过这样长的音轨所用的时间为放完光盘所需的时间为放完光盘所需的时间为第48页/共64页（2）第49页/共64页例例6.如图所示，杆如图所示，杆AB以匀角速度绕以匀角速度绕A点转动，并带动水平杆点转动，并带动水平杆OC上的质点上的质点M运动。运动。设起始时刻杆在竖直位置，设起始时刻杆在竖直位置，OA=h 。（1）列出质点列出质点M沿水平杆沿水平杆OC的运动方程；的运动方程；（2）求质点）求质点M沿杆沿杆OC运

22、动的速度和加速运动的速度和加速度的大小。度的大小。ABCMOxhw第50页/共64页xtg=h=tghtwxvd=tdxad=td22=2sechtw2tgtww2=2sechtwwtw=0=+tw解：解：00=OA h=已知：已知：ABCMOxhw第51页/共64页1-3 1-3 相对运动相对运动(b)车作匀速直线运动时，车作匀速直线运动时，地面上的人观察到石子作地面上的人观察到石子作抛物线运动。抛物线运动。(a)车作匀速直线运动车作匀速直线运动时车上的人观察到石子时车上的人观察到石子作直线运动。作直线运动。第52页/共64页 相对运动相对运动在实际问题中常以一个参考系变在实际问题中常以一个

23、参考系变换到另一个参考系。因此，需研换到另一个参考系。因此，需研究参考系之间的变化关系究参考系之间的变化关系。（两。（两个参考系具有共同的时间变量个参考系具有共同的时间变量t)相对相对 v v0 0、a a0 0O PS系系r ORS系系r若若S S和和S S 坐标系中坐标轴始终保持平行，则：坐标系中坐标轴始终保持平行，则：第53页/共64页绝对速度绝对速度绝对速度绝对速度物体相对于物体相对于 S 系的速度系的速度相对速度相对速度物体相对于物体相对于S 系的速度系的速度_伽利略速度变换式伽利略速度变换式伽利略速度变换式伽利略速度变换式 牵连速度牵连速度牵连速度牵连速度 S系相对于系相对于S系的

24、速度系的速度第54页/共64页绝对加速度绝对加速度绝对加速度绝对加速度牵连加速度牵连加速度牵连加速度牵连加速度相对加速度相对加速度加速度对伽利略变换为不变量加速度对伽利略变换为不变量加速度对伽利略变换为不变量加速度对伽利略变换为不变量 第55页/共64页例例1.一人以每小时一人以每小时4Km/h的速率向东方前进时，感到风从北边的速率向东方前进时，感到风从北边吹吹来。如将速率增加一倍，则感到风从东北方向吹来，试求风速的大来。如将速率增加一倍，则感到风从东北方向吹来，试求风速的大小与方向小与方向。则：则：当人以当人以4km/h前进时，由图前进时，由图a可得可得（1）即：yX图a，解：分析：本题是以

25、地球为参照系求风速。选地面为解：分析：本题是以地球为参照系求风速。选地面为S参照系，参照系，选在人身上。则感到的风速为风对人的相对速度选在人身上。则感到的风速为风对人的相对速度 ，而人对地的，而人对地的相对速度为牵连速度为相对速度为牵连速度为 ，风对地的速度为绝对速度，风对地的速度为绝对速度 。第56页/共64页（1）当人以当人以8km/h前进时，前进时，由图由图b可得下式可得下式：而而（2）由（由（1）、（）、（2）得）得方向为西北方向方向为西北方向X 图图by第57页/共64页例例2.某人骑自行车以速率某人骑自行车以速率v向东行驶。今有风以同向东行驶。今有风以同样的速率由北偏西样的速率由北

26、偏西30方向吹来。问：人感到风是方向吹来。问：人感到风是从那个方向吹来？从那个方向吹来？解：解：解：解：北偏西北偏西北偏西北偏西30303030第58页/共64页练习题：练习题：、一小球沿斜面运动，其运动方程为、一小球沿斜面运动，其运动方程为 s=5+4t-ts=5+4t-t2 2 (SI),(SI),则小球运动到最高点的时刻是则小球运动到最高点的时刻是t=?t=?秒。秒。（答案：秒）（答案：秒）、灯距地面高度为、灯距地面高度为h h1 1，一个人高为一个人高为h h2 2,在灯下以匀速率在灯下以匀速率沿水平直线行走，则他的头在地面上的影子点地面沿水平直线行走，则他的头在地面上的影子点地面移动

27、的速率移动的速率?答案：答案：h h1 1V/(hV/(h1 1-h-h2 2)x xM MO Ox1x1x2x2灯灯h1h1h 2h 23 3、一质点沿轴作直线运动，其、一质点沿轴作直线运动，其t t曲线如图所示，曲线如图所示，如如t=0 t=0 时，时，质点位于原点，则质点位于原点，则t t.5.5秒时，秒时，质点的位置质点的位置x x？(答案：米答案：米)t t（s s）V(m/s)V(m/s)o o1 12 22.52.53 34 44.54.5-1-11 12 2第59页/共64页4 4、一物体作如图所示的抛体运动，已知点处的速、一物体作如图所示的抛体运动，已知点处的速度的大小为，其

28、方向与水平方向成度角，则度的大小为，其方向与水平方向成度角，则点处的切向加速度点处的切向加速度at=at=？轨道的曲率半径轨道的曲率半径答案：答案：at=g/2,at=g/2,方向与速度方向相反方向与速度方向相反5 5、一飞机相对空气的速度为、一飞机相对空气的速度为200200km/h,km/h,风速风速5656km/hkm/h，方向为从西向东，地面雷达测得飞机速度大小为方向为从西向东，地面雷达测得飞机速度大小为192192km/hkm/h，方向是方向是 。5656km/hkm/h200200km/hkm/h192192km/hkm/h答案：方向为正南或正北答案：方向为正南或正北第60页/共6

29、4页6、在一个转动的飞轮上，轮边上一点沿半径为的、在一个转动的飞轮上，轮边上一点沿半径为的圆周运动，其路程随时间的变化规律为圆周运动，其路程随时间的变化规律为 答案：答案：其中其中和和b都是常数，则都是常数，则t时刻点的速率为多少？加时刻点的速率为多少？加速度大小为多大？速度大小为多大？第61页/共64页 7、当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投、当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后影后2m的船板上，篷高的船板上，篷高4m,但当轮船停航时，船板上干但当轮船停航时，船板上干湿两部分的分界线在篷前湿两部分的分界线在篷前3m处。如雨点的速率是处。如雨点的速率是8m/s,求轮船航行的速率。求轮船航行的速率。已知已知3m2m4m求解上述方程可得：求解上述方程可得：V08m/s解：解：第62页/共64页解：解：8、飞轮作加速转动时，轮边上一、飞轮作加速转动时，轮边上一 点的运动方程为点的运动方程为:飞轮半径为飞轮半径为2m,此点的速率此点的速率=30m/s时，时，其切向加速度为多少其切向加速度为多少?法向加速度为多少法向加速度为多少?由由 m/s可得对应的时刻为可得对应的时刻为 t=10秒秒所以：所以：at=dv/dt=0.6t=6第63页/共64页