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1、第七章第七章弯曲变形弯曲变形 BENDING DEFLECTIONS 概概 述述研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：对梁作刚度校核；解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。与 f 同向为正，反之为负。2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，逆时针转动为正，反之为负。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：其方程为：v=f(x)三、转角与挠曲线的关系：三、转角与挠曲线的关系：一、度量梁变形的两个基本位移量一、度量梁变形的两个基本位移量小变
2、形小变形PxvCq qC1f 2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分一、挠曲线近似微分方程一、挠曲线近似微分方程式（2）就是挠曲线近似微分方程。小变形小变形xfxM0fM0EIxMxf)()(=（2）对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：二、求挠曲线方程（弹性曲线）二、求挠曲线方程（弹性曲线）1.微分方程的积分2.位移边界条件PABCPD讨论：适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。
3、支点位移条件：连续条件：光滑条件：例例1 1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程的积分并积分应用位移边界条件求积分常数解：PLxf写出弹性曲线方程并画出曲线最大挠度及最大转角xfPL解：建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程的积分并积分xfPLa应用位移边界条件求积分常数PLaxf写出弹性曲线方程并画出曲线最大挠度及最大转角PLaxf3 3 按叠加原理求梁的按叠加原理求梁的挠度与转角挠度与转角一、载荷叠加：一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。二、结构形式叠加（逐段刚化法）：二、结构形
4、式叠加（逐段刚化法）：例例4 4 按叠加原理求A点转角和C点 挠度。解、载荷分解如图由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。qqPP=+AAABBB CaaqqPP=+AAABBB Caa叠加例例5 按叠加原理求C点挠度。解：载荷无限分解如图由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。叠加q00.5L0.5LxdxbxfC例例6 结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明。=+PL1L2ABC等价等价xfBCPL2f1xffPL1L2ABC刚化刚化AC段段PL1L2ABC刚化刚化BC段段xPL1L2ABCMf2f4 4 梁的刚度校核梁的刚度校核一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件其中称为许用转角；f/
5、L称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：、校核刚度：、设计截面寸；、设计载荷。PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例例7 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的f/L=0.00001,B点的=0.001弧度,试核此杆的刚度。=+=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3解：结构变换，查表求简单 载荷变形。P1=1kNABDCP2BCDAMPL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBxfP
6、2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3P1=1kNABDCP2BCDAMPL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBxf叠加求复杂载荷下的变形校核刚度5 简单超静定简单超静定梁的求解方法梁的求解方法1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。解：建立静定基 确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构静定基。=Lq0MABAq0LRBABxq0LABf几何方程变形协调方程+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程变形与力的关系补充方程求解其它问题（反力、应力、变形等）几何方程 变形协调方程：解：建立静定基=例例10 结构如图，求B点反力。
7、LBCxfq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0AB=xLBCfq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程变形与力的关系补充方程求解其它问题（反力、应力、变形等）6 6 如何提高梁的承载能力如何提高梁的承载能力强度：正应力：剪应力：刚度：稳定性：都与内力和截面性质有关。一、选择梁的合理截面一、选择梁的合理截面矩形木梁的合理高宽比矩形木梁的合理高宽比北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b =)1.5英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为Rbh一般的合理截面1 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的
8、截面、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面zDzaazD0.8Da12a1z工字形截面与框形截面类似。0.8a2a21.6a22a2z2 2、根据材料特性选择截面形状、根据材料特性选择截面形状 Gz如铸铁类材料，常用T字形类的截面，如下图：二、采用变截面梁二、采用变截面梁最好是等强度梁，即若为等强度矩形截面，则高为同时Px三、合理布置外力（包括支座），使三、合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。尽可能小。PL/2L/2Mx+PL/4PL/43L/4Mx3PL/16P=qLL/54L/5对称MxqL2/10MxqLL/5qL/5402qL502qL-MxqL/2L/2322qL-Mx五、选用高强度材料，提高许用应力值五、选用高强度材料，提高许用应力值 同类同类材料材料，“E”值相差不多值相差不多，“jx”相差较大相差较大，故故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。不同类材料，不同类材料，E和和G都相差很多（钢都相差很多（钢E=200GPa,铜铜E=100GPa），），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的定性的目的。但是，改换材料，其但是，改换材料，其原料费用原料费用也会随之发生也会随之发生很大的改变！很大的改变！
材料力学：第七章——弯曲变形
