复数的三种表示形式

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1、2.3 复数的三种表示形式 在电工学中，正弦交流电的电压为 ，而复数 的虚部恰好是电压的表达式，因此可考虑利用复数的运算法则进行正弦交流电的有关计算。 um tUu sin m mcos i sinU t U t U t 通过前面的学习，我们知道在电工学关于交流电的研究中，电流、电压等物理量都可用正弦型函数来描述，但是解题时的计算过程却相当复杂。当复数用三角形式表示后，处理这类问题就变得十分简捷，从而确立了复数在交流电研究中的地位。 复数的三角形式复数的三种表示形式复数的极坐标形式复数的指数形式 )0(tan aab ,cos,22 rabar 其中， ,sin rbZr biaZ a cos

2、rbi sinrb xy复数的三角形式任何一个复数zabi 都可以表示成 对应于复数的三角形式，把zabi 叫做复数的代数形式。我们把r(cosisin)叫做复数的三角形式。 z=r(cosisin)的形式。 解： 例1 将复数 表示成三角形式。 3 i因为 ，b1，所以3a2( 3) 1 2r ， arg 3 i 6 )6sin6(cos23 ii 即 例2 将复数 表示成代数形式。 2 22 cos isin3 3（）解：2 22 cos isin3 3（）)3sin3cos(2 i )3sin()3cos(2 i i31 )2321(2 i 例3 复数 是不是复数的三角形式，如果不是，把

3、它表示成三角形式。 2(cos isin )4 4z 解：不是复数的三角形式。)4sin4(cos2 iz )4sin4cos(2 i )4sin(4cos(2 i )45sin45(cos2 i 复数的极坐标形式 如图所示，设复数zabi 的模为r，辐角为，则复数zabi 还可以用 来表示，此时 a = r cos，brsin。 rz rz我们把 称为复数的极坐标形式。 例1 将复数 用极坐标形式表示出来。 3 iz 解：3 iz 2)1()3( 22 r 112 6z 因为的模辐角61162 所以 例2 将复数 化为三角形式和代数形式。 3 2z 解：3 2z )2sin()2cos(3

4、i )2sin2(cos3 i )0(3 i i3分析：因为的模是3，辐角是 3 2z 2 复数的指数形式 根据欧拉公式 ，任何一个复数z=r(cosisin) 都可以表示成的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式。 其中r为复数的模，底数e2.71828为无理数，幂指数中的i为虚数单位，为复数的辐角，单位为弧度。例如： ie cos isin iez r )65sin65(cos2 i 652 ie 7sin7cos i 7ie 例1 把复数 表示为指数形式和极坐标形式。 解： 例2 把复数 表示为三角形式和极坐标形式。 解：3(cos150 isin150 )2 5i 63 3 5 5(cos150 isin150 ) (cos isin )2 2 6 63e23 52 6 23i0.78e23i 2 20.78e 0.78 cos( ) isin( )3 320.78 3