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1、第 三 节 一 般 常 数 项 级 数 的 审 敛 法一 、 交 错 级 数 收 敛 性 判 别 法二 、 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛三 、 小 结 思 考 题 一 、 交 错 级 数 收 敛 性 判 别 法定 义 : 正 、 负 项 相 间 的 级 数 称 为 交 错 级 数 .nn nnn n uu 11 1 )1()1(或 莱 布 尼 茨 定 理 如 果 交 错 级 数 满 足 条 件 :( ) ),3,2,1(1 nuu nn ;( ) 0lim nn u , 则 级 数 收 敛 ,且 其 和 1us ,其 余 项 nr 的 绝 对 值1 nn ur . )0( nu其中 证
2、明 nnnn uuuuuus 212223212 )()( 又 )()()( 21243212 nnn uuuuuus 1u ,01 nn uu .lim 12 uss nn ,0lim 12 nn u ,2是单调增加的数列ns ,2是有界的数列ns )(limlim 12212 nnnnn uss ,s., 1uss 且级数收敛于和),( 21 nnn uur余项,21 nnn uur满足收敛的两个条件, .1 nn ur定理证毕. 解 2)1(2 )1()1( xx xx x )2(0 x,1单调递减故函数x x ,1 nn uu1limlim n nu nnn又.0原级数收敛. 二 、
3、绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛定 义 : 正 项 和 负 项 任 意 出 现 的 级 数 称 为 任 意 项 级 数 . 定 理 若 1n nu 收 敛 ,则 1n nu 收 敛 .证 明 ),2,1()(21 nuuv nnn令,0nv显然,nn uv 且,1收敛n nv),2(11 n nnn n uvu又 1n nu 收敛. 上 定 理 的 作 用 ：任 意 项 级 数 正 项 级 数 定 义 :若 1n nu 收 敛 , 则 称 1n nu 为 绝 对 收 敛 ; 若 1n nu 发 散 ,而 1n nu 收 敛 , 则 称 1n nu 为 条 件 收 敛 . 解 ,1sin 22 nn n ,11 2收敛而n n,sin1 2 n n n收敛故由定理知原级数绝对收敛. 三 、 小 结正 项 级 数 任 意 项 级 数审敛法 1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质; ;,则级数收敛若SSn ;,0,则级数发散当 nun 练 习 题 练 习 题 答 案
高数第十一章三节一般常数项级数的审敛法
