大学物理难题集

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1、1、 质 量 为 m的 小 球 可 沿 半 径 为 r的 圆 形 环 轨 道 运 动 ， 环 面 为水 平 面 。 小 球 带 有 固 定 的 正 电 荷 q。 设 在 以 环 形 轨 道 为 其 截面 的 柱 体 内 有 均 匀 的 随 时 间 t变 化 的 磁 场 ， 磁 感 应 强 度 B的 方向 垂 直 于 环 面 。 已 知 t=0B=0， 小 球 静 止 于 环 上 ； 0tTB随 时 间 t线 性 增 长 ； t=TB=B0。 设 重 力 和 摩 擦 力 可 忽 略 。 试求 ： 在 0tT时 间 内 小 球 运 动 状 态 及 小 球 对 轨 道 的 作 用 力 。r )(tB

2、 EqF NLF 解 、 在 0tT时 间 内tTBtB 0)( 在 环 上 产 生 的 感 生 电 场 为dt rBddtdrE )(2 2 TrBE 2 0感 生 电 场 力 产 生 的 切 向 加 速 度 为TmrqBmqEat 2 0 tTmrqBtaV t 2 0 r )(tB EqF NLF tTmrqBtaV t 2 0小 球 受 的 磁 场 力 指 向 圆 心22 2022 tmT rBqBqVFL 圆 环 对 小 球 的 法 向 支 持 力 为 N， 则rVmNF L 2 22 2024 tmT rBqN r )(tB EqF NLF 2、 半 径 为 1cm的 两 根 足

3、够 长 的 平 行 导 线 相 距 20cm,在 两 导 线中 有 20A的 方 向 相 反 的 电 流 。 （ 1） 若 将 两 导 线 分 开 到 40cm,试 求 磁 场 对 单 位 长 度 导 线 所 作 的 功 。 （ 2） 分 开 两 导 线 时 ，单 位 长 度 的 磁 能 改 变 了 多 少 ？ 增 加 还 是 减 少 ？ 说 明 能 量 的 来源 或 去 向 。解 、 （ 1） 当 两 导 线 分 开 到 相 距 40cm时 ， 磁 场 对 单 位导 线 作 的 功 为 drrIIlA 2 04.02.0 JlI 520 105.52 （ 2） 单 位 长 度 导 线 的 磁

4、 能 改 变 可 由 自 感 磁 能 的 改 变 求 得adlL 101 ln adlL 202 ln JILILW 52122 105.52121 能 量 的 来 源 电 源 做 功 3、 把 10F的 电 容 器 充 电 充 到 100V,再 通 过 100的 电 阻 和 0.4H的 电 感 串联 放 电 。 试 问 ： （ 1） 此 时 电 路 处 理 于 什 么 状 态 ？ （ 2） 为 使 电 路 处 理 于临 界 阻 尼 状 态 ， 应 再 串 联 或 并 联 一 个 多 大 的 电 阻 ？ 或 者 应 再 串 联 或 并 联一 个 多 大 的 电 容 ？解 、 （ 1） 这 是

5、一 个 RCL串 联 的 放 电 电 路 ， 电 路 的 微 分 方 程 为022 LCqdtdqLRdtqd上 述 微 分 方 程 的 特 征 方 程 为 01 2 LCPLRP C12 2 LLRLRP ;时 电 路 处 于 过 阻 尼 状 态0LC12LR当 2 ;时 电 路 处 于 临 阻 尼 状 态0LC12LR当 2 态 ;时 电 路 处 于 阻 尼 振 荡 状0LC12LR当 2 由 题 目 所 给 数 据 ， 有 状 态 ;所 以 电 路 处 于 阻 尼 振 荡,0LC12LR 2 （ 2） 设 电 路 处 于 临 界 阻 尼 状 态 时 的 总 电 阻 为 R ， 则0 C1

6、2 2 LLR 400R 应 再 串 联 的 电 阻 为 100 设 电 路 处 于 临 界 阻 尼 状 态 时 的 总 容 为 C ， 则0C12 2 LLR FC 160应 再 并 联 的 电 容 为 FC 15010160 4、 在 -dx0为 常 数 ， 其 它 区域 均 为 真 空 。 若 在 x=2d处 将 质 量 为 m,电 量 为 q（ 0） 的 带电 质 点 自 静 止 释 放 。 试 问 经 过 多 少 时 间 它 能 到 达 x=0的 位 置 。d d0 xx解 、 由 高 斯 定 理 可 得 电 场 分 布 0dE 0 xE dx dxd 带 电 质 点 由 x=2d运

7、 动 到 x=d过 程 中0m dqa 方 向 向 左qmadt 01 22 qmadt 01 22带 电 质 点 由 x=d运 动 到 x=0过 程 中kxxqqEF 0 0qk 带 电 质 点 在 线 性 恢 复 力 作 用 下 作 简 谐 振 动)cos( tAx简 谐 振 动 的 初 始 条 件 为 cos0 Adx mqAVV 010 sin mqmk 0 2tan 00 xV 0cos 初 相 位 在 第 一 象 限 带 电 质 点 由 x=d运 动 到 x=0过 程 中 ,所 需 的 时 间 为 满 足 方 程0)cos()( 22 tAtx 22 t 2arctan22 2 t

8、带 电 质 点 由 x=2d运 动 到 x=0过 程 中 所 需 的 时 间 为 2arctan212 ttt qm 02 qm 003.2 5、 两 块 长 为 a宽 为 b的 平 行 导 体 板 在 制 成 电 容 器 时 稍 有 偏 ?,使两 对 宽 度 一 过 相 距 d,另 一 宽 过 相 距 为 d+h,且 hd.若 此 电 容器 内 充 满 了 相 对 介 电 常 数 为 r 的 电 介 质 ,试 求 电 容 器 的 电 容 . xahdxaxl 0)()( 0 d hd aa x )(xlo解 :两 块 间 的 等 势 面 是 一 系 列 不 同 .对 应 的 平 面 ,而 电

9、 场 线 则 是 一 系 列 以 o点 为 中 心 的 圆 弧 线 ,每 条 线 上 的 电 场 强 度 大 小 近 似 相 同 .不 同 圆 弧 线 上 的 电场 强 度 不 同 . xahd UxlUxE )()( rr xahd UxExD 00 )()( rx xahd UDx 0)( 导 体 板 上 X到 x+dx窄 条 上 的 电 量 为bdxxahd UdSxdQ r 0)( bdxxahd UdSxQ ra 00)( d hdhabUr ln0 dhd hd ln若 d baC r 0 d hdhabUQC r ln0 221ln dhdhd hd若 dhd baC r 210

10、 电 容 的 一 级 近 似 6、 抛 物 线 形 状 的 无 穷 长 导 线 载 有 电 流 I.若 焦 点 到 顶 点 的 距 离为 a.试 求 焦 点 处 的 磁 感 应 强 度 B. lId P a y x解 :抛 物 线 方 程 pyx 22 2pa ayx 42 rldrIBd 304 jayixr )( jdyidxld jayixjdyidxrIBd )()(4 30 kxdykaydxrI )(4 30 kdxdxdyxyarI 304 kdxaxyarI 24 230ayx 42 kdxyarIBd 304 222 )( yaxr 22 )( yar ayx 42 2 22

11、23 21 1)( 1 axayar ya 204 aIBd kaxa dx 222 21 200 42 aIB kaxa dx 222 21 作 变 量 替 换 ax2tan kdaIB 2020 cos2 kaI 40 7、 如 图 所 示 ,ABCDA是 闭 合 导 体 回 路 ,总 电 阻 为 R,AB段 的 一部 分 绕 成 初 始 半 径 为 r0 的 小 圆 圈 .圆 圈 所 在 区 域 有 与 平 面 垂直 的 均 匀 磁 场 B.回 路 的 B端 固 定 ,C、 D为 自 由 端 。 A端 在 沿 BA方 向 的 恒 力 F的 作 用 下 向 右 移 动 。 从 而 使 圆

12、圈 缓 慢 缩 小 。 设在 缩 小 过 程 中 ， 线 圈 始 终 保 持 圆 的 形 状 。 并 设 导 体 回 路 是 软的 ， 阻 力 不 计 。 试 求 此 圆 圈 从 初 始 半 径 r0到 完 全 闭 合 所 需 的时 间 T。 F 0r B 解 ： 设 在 F的 作 用 下 ， A在 dt时 间 内 右 移 dx,相 应 的 圆 圈 半 径缩 小 -dr,则 drdx 2圆 圈 内 产 生 的 感 应 电 动 势 ， 产 生 的 热 能 为dti能 量 守 恒 得 ： Fdxdti dtdrrBdt rBddtd 2)( 2 Ri dtdtdrR BrFdr 222242 22

13、2 BrFRdtdr FRBrdrFRBrdtT r 322 2202200 8、 如 图 ， 在 一 半 径 为 r， 质 量 为 m， 可 以 无 摩 擦 地 自 由 转 动的 匀 质 绝 缘 圆 盘 中 部 装 有 一 纲 线 螺 线 管 ， 其 半 径 为 a,沿 轴 线方 向 单 位 长 度 上 绕 有 n匝 线 圈 。 线 圈 中 通 以 稳 恒 电 流 I。 在 圆盘 的 边 缘 上 均 匀 地 嵌 着 N个 等 量 正 电 荷 q的 小 球 。 设 开 始 时 ，螺 旋 管 中 的 电 流 为 I， 圆 盘 静 止 ， 然 后 将 电 流 切 断 。 试 求 圆 盘转 动 的

14、角 速 度 。 )(ti 解 、 设 切 断 电 流 后 ， 在 t时 间 内 从 I减 少 为 零 ， 在 此 过 程 中 电流 为 i(t),产 生 的 磁 场 为 ： )(ti)()( 0 tnitB 解 产 生 的 感 应 电 场 为 ：dtdrtE 2)( dtBSd )( dtdinadtdBS 02 dtdinratE 022)( 感 应 电 流 的 方 向 与 原 电 流 方 向 一 致 )(ti在 半 径 为 r的 圆 周 上 的 N个 小 球 所 受的 总 的 切 向 力 为 dtdinraNqtNqEtF 022)()( 它 对 转 轴 形 成 的 力 矩 为 dtdin

15、aNqrtFtM 022)()( 由 刚 体 的 角 动 量 定 理 可 得 dtdJdtJddtdLtM )()( dttMJd )( dt dtdinNqadttMJ I 020 21)( nNqIaJ 0221 nNqIadttM 0221)( nNqIadttM 0221)( 221 mrJ 202 mrnNqIa 9、 静 电 天 平 可 测 定 静 电 电 势 差 .如 图 ,一 空 气 平 板 电 容 器 ,两极 板 的 面 积 均 为 S,相 距 x,下 板 固 定 ,上 板 接 到 天 平 的 左 端 .当 电容 器 没 充 电 时 ,天 平 刚 好 平 衡 ;若 把 电 压

16、 V加 到 电 容 器 的 两 极 板上 ,则 需 在 天 平 的 右 端 加 上 质 量 为 m的 法 码 ,天 平 才 能 平 衡 ,设S=10cm2,x=1mm,m=0.01g,求 所 加 的 电 压 V.xV 解 、 电 容 器 内 部 的 电 场 强 度 为xVE 0每 个 极 板 产 生 的 电 场 强 度 为 和 电 场 力 分 别 为02E 020 22 SqF 20 22 xVS 天 平 平 衡 量 时 20 22 xVSmg VxSmgV 30 1049.12 10、 热 核 反 应 的 点 火 温 度 ： 轻 原 子 核 结 合 成 较 重 的 原 子 核 的过 程 叫

17、做 核 聚 变 。 核 聚 变 能 释 放 巨 大 能 量 。 实 现 核 聚 娈 的 困难 在 于 两 核 靠 近 时 互 相 排 斥 ， 只 有 在 极 高 温 度 下 ， 轻 核 所 获得 的 热 运 动 动 能 足 以 克 服 彼 此 之 间 的 库 仑 力 才 能 发 生 核 聚 变 ，故 称 为 热 核 反 应 。 （ 1） 一 个 质 子 要 有 多 大 的 动 能 （ 用 eV表示 ） 才 有 可 能 与 另 一 质 子 相 接 触 ？（ 2） 平 均 热 运 动 的 动 能 达 到 这 一 数 值 时 ， 温 度 需 要 多 高 ？（ 这 一 温 度 称 为 点 火 温 度

18、）MeVaqE P 44.14 02 ma 1510 MeVaqkT 44.1423 02 KT 10101.1 考 虑 到 粒 子 的 速 率 遵 从 Maxwell分 布 律 ， 因 而 在 较 低 温 度 下已 有 少 数 粒 子 能 具 有 所 需 的 动 能 ， 所 以 大 体 上 1亿 度 时 能 够实 现 点 火 。 11、 静 电 透 镜在 示 波 器 、 电 视 显 像 等 真 空 器 件 中 都 需 要 将 电 子 束 聚 焦 ， 使在 荧 光 屏 上 形 成 清 晰 的 光 点 。 这 时 常 采 用 静 电 透 镜 来 达 到 此目 的 。 静 电 透 镜 是 由 具

19、有 旋 转 对 称 形 状 的 金 属 电 极 系 统 制 成的 ， 其 中 每 个 电 极 都 有 一 定 的 电 势 ， 可 以 产 生 旋 转 对 称 的 静电 场 ， 这 种 电 场 对 带 电 粒 子 的 运 动 轨 迹 发 生 折 射 作 用 ， 与 光学 透 镜 对 光 线 的 作 用 相 似 。 故 这 样 的 电 极 系 统 称 为 静 电 透 镜 。 左板右板光栏E 0U1E 2E z 左 板 右 板光 栏E 0U1E 2E z光 栏 为 圆 金 属 片解 ： 单 光 栏 静 电 透 镜 的 小 孔 两 侧 轴 上 的 电 场 强 度 值 不 等 。 但在 离 开 小 孔

20、稍 远 处 场 强 值 可 看 作 常 数 ， 左 侧 为 E1， 右 侧 为 E2-d +dr f 设 离 轴 线 为 r的 电 子 ， 通 过 圆 孔 时 ， 沿 与 轴 线 垂 直 的 方 向 上 的径 向 电 场 为 Er， 则 在 径 向 电 场 作 用 范 围 内 ， 电 子 受 到 径 向 力 Fr 作 用 。 rr eEF 设 电 子 的 径 向 速 度 为 Vz,则 在 通 过 轴 向 距 离 dz期 间 ， 径 向 速 度的 增 量 为 zrrr vdzmeEdtmeEdv 设 电 子 的 径 向 初 速 度 为 0, 通 过 圆 孔 后 径 向 速 度 的 增 量 为 z

21、rddr vdzmeEv dzEmvev dd rzr 由 于 电 子 速 度 很 大 ， 轴 向 速 度 变 化 很 小 ， 故 当 作 常 数 。 （ -d，d ) 以 外 的 区 域 轴 向 场 强 可 视 为 0 .设 在 xd区 ， 电 场 强 度 分 别 为 E1和 E2为 了 求 上 式 积 分 ， 取 如 图 所 示 的 圆 柱 面 。 利 用 高 斯 定 理 有 ： 1E 2Edx dx 0)(2 122 EErdzEr dd r )(2 12 EErdzEdd r )(2 21 EEmverdzEmvev zdd rzr 电 子 通 过 圆 孔 后 的 偏 转 角 ， 则

22、)(2 212 EEmvervvtg zz r )( 4)(2 2121 2 EEe EEEe mvrctgf kz 电 子 到 达 轴 线 上 F点 ， F点 离 开 圆 孔 的 中 心距 离 为与 电 子 入 射 时 离 开 轴 线 的 距 离 r无 关 ， 因 此 平 行 于 入 射 到 圆 孔的 电 子 束 ， 全 都 会 聚 在 F点 ， 就 像 一 束 光 线 通 过 光 学 透 镜 时 聚焦 在 焦 点 上 一 样 ， F就 是 静 电 透 镜 的 焦 点 ， f就 是 焦 距 。 12、 静 电 泄 漏 与 防 止 静 电 灾 害当 静 电 荷 在 带 电 体 上 迅 速 聚

23、集 而 得 不 到 快 速 泄 漏 时 ,可能 因 为 产 生 静 电 放 电 而 造 成 危 害 .设 均 匀 介 质 的 介 电 常数 为 ,电 导 率 为 .试 求 它 所 带 电 量 因 泄 漏 而 衰 减 的 规律 ,并 讨 论 如 何 达 到 快 速 泄 漏 的 要 求 .解 ： 设 带 电 体 的 电 量 为 Q,包 围 此 带 电 体 是 曲 面 为 S,由高 斯 定 理 得 QSdD S 此 曲 面 泄 漏 的 电 流 强 度 为 s SdjdtdQI DQdtdQ teQQ 0 teQ 0电 导 率 越 大 ,放 电 越 快 .在 ,有的 规 程 强 调 规 定 弛 豫 时

24、 间 小 于 0.2秒 ,以 保 证 快 速 泄 漏 13、 平 行 板 电 极 真 空 二 极 管 电 流 分 布在 极 板 间 距 为 d的 平 行 板 间 加 上 电 压 V,两 极 板 间 抽 成真 空 .电 子 热 阴 极 (负 阴 极 )逸 出 ,在 电 场 力 作 用 下 向 阳极 (正 极 )运 动 而 形 成 电 流 .求 两 板 间 的 电 势 分 布 及 电流 密 度 .解 :两 板 间 有 电 子 所 形 成 的 空 间 电 荷 ,两 板 间 的 电 场 不 是 均 匀 电场 .设 距 阴 极 为 x处 的 电 子 数 密 度 为 n(x),电 势 为 (x),并 取

25、在 阴 极处 (0)=0,阳 极 处 (d)=U,在 任 一 点 处 的 电 子 的 速 度 v满 足 方程 emv 221 nevj nejv emj 2取 高 为 dx的 圆 柱 体 作 高 斯 面 ,由 高 斯 定 理 可 知 板 间 的场 强 E满 足 方 程 0d dxE )( dxxE )(xE 0)()( dsdxdSxEdxxE 0)( dxxdE利 用 关 系 式 dxxdE )(电 势 满 足 的 微 分 方 程 emdx xd 21)( 022 340)( Cxx 试 探 法 得 以 下 方 程 上 述 微 分 方 法利 用 边 界 条 件 x=0 可 得 (0)=0,0

26、)0( emjC 249 0 2023 249 xemjx ）（利 用 边 界 条 件 x=d 可 得 (0)=U 2320 294 Umedj 34 dxUx）（电 流 密 度 与 电 压 不 成 正 比 ,这 种 平 行 板 二 极 管 ,欧 ?定 律不 适 用 . 14、 平 行 磁 控 管 .如 图 电 子 由 静 止 出 发 ， 在 平 行 板 电 容 器 的 电 场 力 作 用 下 由 负极 向 正 板 板 加 速 前 进 ， 与 此 同 时 ， 加 一 匀 强 磁 场 B垂 直 于 电 场方 向 ， 结 束 使 电 子 沿 曲 线 轨 道 运 动 。 问 已 给 极 板 间 的

27、电 压 V与板 间 距 离 d， 磁 感 应 强 度 B多 大 时 ， 电 子 恰 好 不 能 到 达 正 极 板 ？（ 这 是 用 磁 场 控 制 以 使 极 板 间 电 流 被 截 止 的 平 行 磁 控 管 的 原理 ） VE xy 解 ： 取 如 图 所 示 坐 标 系 )( BvEedtvdm yx eBvdtdvm xy eBveEdtdvm xy eBveEdtdvm ）（1）（2由 （ 1） （ 2） 得 yy vmeBdtvdm 22 tmeBCvy sint=0,vy=0）（3代 入 (2)得 到（ 3） tmeBCBEvx cos00 xvt BEC )cos1( tme

28、BBEdtdx tmeBBEdtdy sin )4( )sin( tmeBeBmtBEx )cos1(2 tmeBeBmEy 当 磁 场 B增 大 到 电 子 恰 好 不 能 到 达 正 极 板 时 ， 应 有y=d时 ， Vy=0,由 （ 4） 、 （ 5） 得 )5(tmeB 22 eBmEd 20 22 edmVedmEB 当 磁 场 大 于 以 上 B0值 时 ， 电 子 将 回 到 负 极 板 上 ， 而 当 小 于 B0时 ， 电 子 到 达 正 板 板 而 在 两 板 间 形 成 电 流 。 15、 磁 带 录 音 与 放 音输 入 电 流 信 号 磁 带录 音 磁 头 m101

29、 磁 记 录 是 一 项 广 泛 使 用 的 信 息 技 术 。 它 利 用 了 铁 磁 材料 的 特 性 与 电 磁 感 应 定 律 。 以 磁 带 录 音 与 放 音 为 例 ，用 涂 敷 铁 磁 粉 的 磁 带 来 记 录 声 音 信 息 。 录 音 时 ， 录 音磁 头 的 线 圈 内 通 以 由 输 入 的 音 频 信 号 经 放 大 后 转 化 成的 电 流 信 号 ， 当 磁 带 以 恒 定 的 速 度 通 过 录 音 磁 头 的 气隙 下 时 ， 磁 粉 被 磁 化 ， 磁 化 强 度 与 该 时 刻 的 信 号 电 流成 正 比 ， 于 是 电 流 信 息 （ 从 而 声 音

30、 信 息 ） 就 存 贮 在 磁带 上 。 放 音 时 ， 磁 带 以 同 样 物 速 度 通 过 磁 头 的 气 隙 下时 ， 磁 粉 ？ 磁 的 强 强 弱 变 化 引 起 放 音 磁 头 内 磁 场 的 变化 ， 通 过 电 磁 感 应 ， 在 输 出 线 圈 中 产 生 同 步 变 化 的 电流 ， 经 放 大 再 转 化 为 声 频 信 号 。 试 分 析 磁 带 的 电 磁 学原 理 。 vzMM sin0录 音 与 放 音 磁 头 要 用 磁 导 率 比 较 大 的 而 待 ？ ？ 软 磁 材料 ， 以 使 磁 磁 头 的 磁 化 强 度 较 大 ， 且 与 输 入 、 输 出

31、电流 同 步 变 化 。 磁 带 上 的 磁 粉 则 要 用 ？ 磁 和 矫 顽 力 都 比较 大 的 硬 磁 材 料 ， 以 利 于 存 贮 信 号 。 为 保 证 磁 头 中 磁感 应 强 度 值 的 变 化 与 电 流 变 化 成 正 比 ， 以 避 免 失 真 ，可 在 输 入 录 音 信 号 的 同 时 ， 输 入 一 个 等 幅 振 荡 的 电 流 ，以 使 信 号 只 在 磁 化 曲 线 的 直 线 部 分 变 化 。录 音 时 ， 气 隙 中 磁 场 与 磁 带 上 的 磁 化 强 度 与 信 号 电 流成 正 比 ， 则 当 磁 带 移 动 时 ， 磁 化 强 度 M沿 磁

32、带 的 分 布为 f 2放 音 时 ， 磁 带 上 的 磁 化 强 度 与 信 号 电 流 成 正 比 ， 则 当 磁 带 移 动时 ， 磁 化 强 度 M沿 磁 带 的 分 布 为 tBB sin0若 放 音 磁 头 有 N匝 线 圈 ， 铁 芯 截 面 积 为 A， 则 全 磁 通tANB sin0线 圈 中 的 感 生 电 动 势 为 tANBdtd cos 0输 出 电 流 为 R tANBI cos0为 了 抹 去 磁 带 中 录 入 的 信 息 ， 只 要 在 磁 带 通 过 时 ， 在 磁 头 的线 圈 内 通 以 等 幅 振 荡 电 流 就 可 以 了 ， 这 就 是 消 音

33、。 16、 恒 定 磁 场 中 下 落 的 圆 环一 个 半 径 为 r,横 截 面 积 为 A的 圆 环 是 由 密 度 为 d,电 阻 率 为 的 金属 制 成 的 .把 金 属 圆 环 放 到 磁 感 应 强 度 值 为 B的 辐 射 状 磁 场 (B的方 向 垂 直 于 圆 环 的 轴 线 ),如 图 所 示 .分 析 圆 环 在 这 恒 定 磁 场 中下 落 的 运 动 情 况 . B圆 环解 、 圆 环 下 落 的 瞬 时 速 度 为 V时 ,由 电 磁 感 应 定 律 可 知 ,圆 环 中的 感 应 电 动 势 为 rvB 2 ArrvBR rvBRI 222 感 应 电 流 B

34、Av安 培 力 rvABrBIF 22 2其 中 圆 环 的 质 量 rAdm 2 dmB2由 第 二 定 律 得 dtdvmFmg dtdvmvdmBmg 2终 极 速 度 02 vdmBmg 2Bgdv m dtdvmvdmBmg 2积 分 得 )1( 2 tdBm evv 下 落 距 离 tdBm eBdtvs 21)( 2 33 /108.8 mkgd m.107.1 8 TB 5.0 22 /86.5 smmBgdv m 17、 磁 力 悬 浮如 图 ， 在 铁 芯 顶 端 ？ 上 一 个 小 铝 环 。 当 线 圈 中 通 以220v的 交 流 电 时 ， 铝 环 便 悬 浮 起

35、来 ， 试 用 电 磁 感 应 理论 说 明 。 铝 环 tII cos 0i 解 :设 稳 定 后 ,原 线 圈 中 的 电流 强 度 为 tII cos0铝 环 中 的 感 生 电 流 强 度 为 I则 通 过 铝 环 所 包 围 面 积 的磁 通 量 为 LiMI 铝 环 tII cos 0i式 中 M为 互 感 系 数 ,L为 自 感 系 数铝 环 电 阻 为 R,则 i满 足 微 分 方 程iRdt LiMIddtd )( L tMIiLRdtdi sin0 当 达 到 稳 定 状 态 时 电 流 i将 与 交 流 电 频 率 相 同 的 角 频 率 作周 期 性 的 变 化 .为

36、求 稳 定 状 态 下 的 电 流 I,可 求 微 分 方 程 的 特解 代 入 微 分 方 程 ,可 解 得 222 00 LRMIi 2 RLarctg铝 环 中 的 感 生 电 流 的 幅 值 与 I0 和 M均 成 正 比 ,但 它 的 相 位 与 原 线圈 中 电 流 的 相 位 相 差 ,讨 论 两 种 情 况 :(1)铝 环 的 电 阻 很 小 ,确 切 地 说 ,电 阻 R比 感 抗 L小 得 多 ,这 时 = .这 时 原 线 圈 与 铝 环 中 的 电 流 方 向 相 反 ,互 相 排 斥 ,当 斥 力 能够 平 衡 它 所 受 到 的 重 力 时 ,铝 环 就 能 悬 浮

37、 起 来 .若 斥 力 很 大 ,会 出 现 ” ?环 ” 现 象 . )cos(0 tii (2)铝 环 的 电 阻 R不 能 忽 略 ,则 在 /2和 之 间 .这 时 i的 方 向 与 I的 方向 ,时 而 相 同 ,时 而 相 反 .但 在 一 个 周 期 内 相 反 的 时 间 大 于 相 同 的时 间 .平 均 说 来 ,相 互 排 斥 力 胜 过 相 互 吸 引 力 ,铝 环 就 悬 浮 在 空 中 .只 要 铝 环 电 阻 比 较 小 ,而 交 流 电 的 频 率 又 较 大 ,总 能 出 现 悬 浮 现象 ,由 以 上 讨 论 可 知 ,悬 力 悬 浮 是 自 感 和 互 感

38、 共 同 作 用 的 结 果 ,不考 虑 自 感 ,是 不 能 解 释 磁 力 悬 浮 现 象 的 . 18、 电 磁 制 动 器如 图 所 示 的 电 磁 制 动 器 是 由 非 磁 性 的 金 属 圆 盘 和 放 生 垂 直 于圆 盘 的 磁 场 的 磁 铁 (没 画 出 )组 成 .当 圆 盘 转 动 时 ,因 电 磁 感 应 而 使 圆 盘 受 到 阻 力 矩 的 作 用 ,从 而使 其 转 速 减 慢 直 至 停 止 不 考 虑 摩 擦 等 其 它 阻 力 的 影 响 .(1)求 阻 力 矩 的 M的 近 似 表 达 式 ;(2)开 始 制 动 后 经 过 多 长 时 间 ,圆 盘

39、的 角 速 度 减 小 到 原 来 的 百 分 之 一 .r 1rd Bm rBaBavi 解 、 (1)在 圆 盘 上 沿 径 向 长 度 为 a的 线 段 内 因 切 割 磁 感 应 线 而 产 生的 感 应 电 动 势 为小 金 属 块 的 电 阻 为 dadaR 1沿 径 向 流 过 这 一 块 金 属 的 感 应 电 流 为drBaRi 安 培 力 BiaF draBrFM 222制 动 力 矩 (2)由 转 动 定 律 得 dtdJM draB 222dtdmr 221 draB 222 Cdtd 21222 mr daBC cte 0角 速 度 减 到 1/100 0时 所 需

40、要 的 时 间 )/(33.2100ln1 222211 draBmroCt 磁 场 子 越 强 ,磁 场 子 覆 盖 面 离 轴 越 远 ,制 动 就 越 快 . 19、 电 磁 异 步 驱 动如 果 使 磁 铁 所 放 生 的 磁 场 垂 直 地 通 过 金 属 圆 盘 ,则 当 磁 铁 转 动 时 ,将 因 电 磁 感 应 而 驱 使 金 属 圆 盘 作 同 方 向 转 动 .同 样 ,若 磁 场 相 对 于金 属 线 框 作 平 行 于 线 框 平 面 的 移 动 ,也 将 驱 使 金 属 线 框 沿 同 方 向的 移 动 .以 上 现 象 称 为 电 磁 驱 动 .以 金 属 线 框

41、 驱 动 为 例 说 明 异 步 驱动 的 原 理 .如 图 ,设 矩 形 线 框 abcd质 量 为 m,其 回 路 电 阻 为 R,在 t=0时 刻 ,线 框一 边 ad与 磁 场 边 界 重 合 ,ad边 长 度 为 L,磁 场 务 右 移 动 速 率 为 Vb,若线 框 移 动 速 度 为 V,试 证 明 :VVb. a bd c 解 :设 线 框 ad边 与 磁 场 边 界 重 合 时 为 计 时 零 点 ,经 时 间 t,磁 场 向 右移 动 距 离 Vbt,线 框 向 右 移 动 距 离 为 x,则 在 时 刻 t,通 过 线 框 的 磁 通量 为 lxtVB bm )( 则 电

42、 磁 感 应 定 律 ,感 应 电 动 势 的 数 值 为)( dtdxVBldtd bm )( vVBl b 感 应 电 流 为 逆时 针 方 向 )( R vVBli b 安 培 力 方 向 向 右 R vVlBBilF b )(22 线 圈 运 动 满 足 动 力 学 方 程 dtdvmR vVlB b )(22 mR vVlBdtdv b )(22 )1( Atb evv mRlBA 22bvv 考 虑 初 始 条 件 对 上 式 积 分 得 20、 高 频 感 应 加 热处 在 交 变 磁 场 中 的 金 属 块 ， 由 于 变 化 磁 场 放 生 的 感 应 电 动 势 在 金属

43、块 中 引 起 涡 旋 状 感 生 电 流 ， 利 用 涡 流 所 释 放 出 的 焦 耳 热 来 加 热金 属 块 ， 这 就 是 高 频 感 应 炉 的 工 作 原 理 。 如 图 ， 将 一 个 直 径 为 D，高 为 h的 圆 柱 形 金 属 块 放 在 高 频 感 应 炉 中 加 热 。 设 感 应 炉 线 圈 产生 的 磁 场 是 均 匀 的 ， 磁 感 应 强 度 的 方 均 根 为 B*， 频 率 为 f。 金 属柱 的 轴 平 行 于 磁 场 ， 其 电 导 率 为 。 设 金 属 是 非 磁 性 材 料 且 涡 电流 产 生 的 磁 场 可 以 忽 略 。 试 证 明 在

44、金 属 柱 内 产 生 的 平 均 热 功 率 为32 42*23 hDBfP hD B hD B tBr cos02解 ： 考 虑 半 径 为 r， 厚 度 为 dr的 一 个 薄 圆 筒 ， 如 图 所 示 ， 筒 中的 磁 通 量 为 tBrdtd sin 02该 薄 圆 筒 的 电 阻 （ 沿 圆 周 方 向 ） 为hdrrdR 2该 薄 圆 筒 内 涡 流 产 生 的 瞬 时 热 功 率 为 r tdrhBrdRdP 220322 sin21 drthBrP D 2203220 sin21 thBDf 220423 sin321平 均 热 功 率 为 tdthBDfTP T 2204

45、230 sin3211 dthBDfT T 24230 3211 2*423321 hBDf tdtBTB T 22002* sin1 式 中 21、 电 子 感 应 加 速 器电 子 感 应 加 速 器 在 科 学 研 究 、 工 业 生 产 以 及 医 疗 卫 生 事 业 等 方面 都 得 到 了 广 泛 的 应 用 。 其 结 构 如 图 a所 示 。 在 电 磁 铁 两 极 间 有一 个 环 形 真 空 室 ， 在 交 变 电 流 的 激 励 下 ， 两 极 间 出 现 交 变 的 磁场 ， 某 一 瞬 间 的 磁 感 应 线 如 图 b所 示 。 这 交 变 磁 场 又 激 发 一

46、感生 电 场 。 从 电 子 枪 射 入 真 空 室 的 电 子 受 到 两 个 力 的 作 用 ： 一 个是 沿 切 线 方 向 的 感 生 电 场 ， 它 使 得 电 子 不 断 加 速 ， 另 一 个 沿 径向 的 磁 场 力 ， 它 充 当 向 心 力 ， 因 此 电 子 能 保 持 在 环 形 真 空 室 内不 断 地 作 圆 周 运 动 。（ 1） 电 子 感 应 加 速 器 中 ， 电 子 被 加 速 的 时 间 有 多 久 ？ 电 子 能 获得 多 大 能 量 ？（ 2） 要 使 电 子 维 持 在 恒 定 的 圆 形 轨 道 上 加 速 ， 磁 场 的 分 布 应该 满 足

47、什 么 条 件 ？（ 3） 若 电 子 加 速 的 时 间 是 4.2ms， 电 子 轨 道 内 最 大 磁 通 量 为1.8Wb， 试 求 电 子 沿 轨 道 绕 行 一 周 平 均 获 得 的 能 量 。 如 果 电 子最 后 获 得 的 能 量 为 100MeV， 电 子 绕 行 了 多 少 周 ？ 如 果 电 子 轨 道 半 径 为 84cm， 电 子 运 行 的 路 程 是 多 少 ？ 电 子 轨 道 真 空 室 iEBve v dtBd )(a)(b )(c 解 (1)在 磁 场 变 化 一 个 周 期 中 ， 只 有 1/4的 周 期 内 才 能 满 足 磁 场力 为 电 子 提

48、 供 向 心 力 和 电 子 在 圆 轨 道 上 被 加 速 这 样 两 个 基 本 要求 。(2)要 维 持 电 子 在 环 形 真 空 室 的 恒 定 圆 形 轨 道 上 加 速 ， 应 该 使向 心 力 随 电 子 的 速 率 增 加 而 相 应 增 加 ， 由 此 可 以 推 导 出 磁 场 分布 情 况 所 满 足 的 条 件 。设 半 径 为 r的 圆 周 内 磁 感 应 强 度 平 均 值 为 B则 由 电 磁 感 应 定 律 可 知 感 应 电 动 势 为dtBdrrE ii 22 电 生 电 场 强 度 为 dtBdrE i 2另 一 方 面 ， 由 动 量 定 理 ， 在

49、dt时 间 内 ， 电 子 动 量 增 量 为 BedrdteEmvd i 2)( 积 分 得 2Bermv )2(对 于 在 半 径 为 r的 轨 道 上 运 动 的 电 子 有rvmevB 2 )3(由 （ 2） （ 3） 得 2BB 电 子 能 在 一 个 稳 定 的 轨 道 上 运 动 ， 磁 场 分 布 满 足 的 条 件 ：每 一 时 刻 轨 道 上 磁 感 应 强 度 的 值 必 须 等 于 轨 道 内 磁 感 应 强度 平 均 值 的 一 半 ， 这 在 设 计 电 磁 铁 时 所 要 求 的 。 （ 3） Vdtd 429102.4 8.1 3 电 子 ？ ？ 行 一 周 获

50、 得 的 动 能最 后 获 得 的 动 能 100Mev,它 线 行 的 圈 数 为56 1033.242910100 N期 间 电 子 行 的 路 程 为 kmrNL 12302 22、 感 应 电 动 机 中 的 旋 转 磁 场利 用 三 相 交 流 电 可 以 产 生 旋 转 磁 场 ,如 图 所 示 ,将 三 相 交 流 电分 别 通 以 彼 此 成 120度 的 线 圈 AA1,BB1和 CC1中 ,在 这 三 组 线圈 中 将 产 生 磁 场 B1,B2和 B3.证 明 :三 者 的 矢 量 叠 迭 给 出 一 个大 小 不 变 但 以 恒 定 角 速 度 放 置 的 磁 感 应

51、强 度 (称 为 旋 转 磁 场 ). 2B1B 3Bx y tBB m cos1 ）（ 32sin2 tBB m）（ 32sin3 tBB m tBBBBB mx sin233cos3cos 321 tBBBB my cos233sin3sin 23 总 磁 感 应 强 度 B的 大 小 为 myx BBBB 2322 ttgBBtg yx B矢 量 与 y轴 的 夹 角 为 t 因 此 合 磁 场 以 恒 定 的 角 速 度 旋 转 .如 果 在 这 样 的 旋 转 磁 场 中放 一 个 笼 子 ,其 转 轴 垂 直 于 旋 转 磁 场 平 面 ,则 当 磁 场 旋 转 时 ,转子 中 将

52、 产 生 感 应 电 流 ,转 子 将 跟 着 旋 转 ,这 就 是 感 应 电 动 机 的原 理 .但 转 子 的 转 速 必 小 于 旋 转 的 磁 场 ,与 电 磁 异 步 驱 动 . 23、 电 容 器 的 充 放 电 过 程 R c K qqCqdtdqR )1( RCteQq 充 电 RC 时 间 常 数 Qq 63.0RCt q t0Q Q63.0RC大 充 电 时 间 长 53 t CqdtdqR RCtQeq 放 电 RCteVV 0q t0Q Q37.0放 电 时 间 32 t 24 试 用 Maxwell速 度 分 布 律 计 算 每 秒 碰 到 单 位 面 积 器 壁

53、上 的气 体 分 子 数 。 已 知 速 度 分 布 律 如 下 ： kTmvxx xekTmNdvdNvf 221 22)( 解 ： 取 直 角 坐 标 xyz， 在 垂 直 于 x轴 的 器 壁 上 取 一 小 块 面 积dA.设 单 位 体 积 内 的 分 子 数 为 n， 则 单 位 体 积 内 速 度 分 量 在vx-vx+dvx区 间 内 的 分 子 数 为 xx dvvnf )(在 该 速 率 区 间 内 的 分 子 数 在 dt时 间 内 能 够 与 dA 相 碰 的 分 子数 为 xxx dvvdAdtnfv )( 因 此 每 秒 碰 到 单 位 面 积 器 壁 上 的 分

54、子 数 为xxx dvvnfvN )(0 xkTmvx dvekTmnv x2210 22 212 mkTn mkTv 8因 此 每 秒 碰 到 单 位 面 积 器 壁 上 的 分 子 数 为 vnN 41 dAdtvx 25 试 用 Maxwell速 率 分 布 律 证 明 平 动 动 能 在 -+d 内 分 子数 占 总 分 子 数 的 百 分 比 为 dekTdf kT 2123)(2)(并 根 据 上 式 求 分 子 平 动 动 能 的 最 概 然 值 和 平 均 值 。解 ： 221 mv mdv 2 dvvfdf )()( dvekTm kTmv223 224 dekT kT 21

55、23)(2 kTekTf 2123)(2)( 0)( f kTp 21分 子 平 均 平 动 动 能 为 kTdf 23)( 0 如 图 ， 瓶 内 盛 有 气 体 ， 一 横 截 面 为 A的 玻 璃 管 通 过 瓶 ？ ？插 入 瓶 内 。 玻 璃 管 内 放 有 一 质 量 为 m的 光 滑 小 球 。 设 小 球在 平 衡 位 置 时 ， 气 体 的 体 积 为 V， 压 强 为 P=P0+mg/A.其中 P0是 大 气 压 强 。 现 将 小 球 稍 向 下 移 运 ， 然 后 放 手 ， 则 小球 将 以 周 期 T在 平 衡 位 置 附 近 作 简 谐 振 动 。 假 定 在 小

56、 球 上下 振 动 的 过 程 中 ， 瓶 内 气 体 进 行 的 过 程 ， 瓶 内 气 体 进 行 的过 程 可 看 出 准 静 态 绝 热 过 程 ， 试 证 明 ： 小 球 的 振 动 周 期 为PAmVT 2 0y 解 ： 小 球 振 动 过 程 气 体 被 压 缩 或 膨 胀 ， 此 过 程 当 作 绝 热 过 程 。cV P 01 dPVdVV P AyVPdVVPdP yAVPdPAF 2小 球 受 恢 复 力 的 作 用 ， F为 准 弹 性 力 。 222 dt ydmyAVPF 02 ymVPAy 02 yy mVPA 2 mVPAT 2/22 22 PAmV 22 24

57、 PTA mV 27： 宽 L的 河 流 ， 流 速 与 离 岸 距 离 成 正 比 ， 已 知 两 岸 处 的 流 速为 零 ， 河 中 心 的 速 度 为 v0， 一 小 船 以 恒 定 的 相 对 速 度 Vr垂 直于 水 流 从 一 岸 驶 向 另 一 岸 。 在 离 岸 L/4处 因 故 突 然 掉 头 ， 以 相对 速 度 vr/2垂 直 于 水 流 驶 回 本 岸 。（ 1） 试 求 小 船 的 运 动 轨 道 ；（ 2） 小 船 返 回 本 岸 时 离 原 出 发 点 的 距 离 是 多 少 ？4L xy 解 ： 设 如 图 坐 标 系 iyLvu 02 水 流 速 度jvv

58、rr 船 的 相 对 速 度 jviyLvvuv rr 02 船 的 绝 对 速 度yLvdtdx 02 rvdtdy yLvvdydx r02 CyLvvx r 20 CyLvvx r 20X=0, y=0 c=020 yLvvx r这 是 一 条 抛 物 线 ， 在 离 离 岸 L/4处 ， 船 的 坐 标 rvLvx 1601 41 Ly 返 航 时 船 的 绝 对 速 度 jviyLvv r 22 0 yLvdtdx 02 2 rvdtdy yLvvdydx r04 CyLvvx r 202 X1和 y1代 入 上 式 得rvLvC 163 0 202 yLvvx r rvLv163

59、0这 也 是 一 条 抛 物 线 ， 回 到 本 岸 时 ， y=0,故 离 原 出 发 点 距离 为 2x rvLv163 0 28、 如 图 （ a)所 示 ， 在 固 定 不 动 的 圆 柱 体 上 绕 有 绳 索 ， 绳的 两 端 挂 大 小 两 桶 ， 其 质 量 分 别 M=1000kg和 m=10kg.绳与 圆 柱 体 之 间 的 摩 擦 系 数 为 =0.05,绳 子 的 质 量 不 计 。 试 问为 使 两 桶 静 止 不 动 ， 绳 至 少 需 绕 多 少 圈 ？m M TdTT dNd 2d2d TdTT dNd 2d2d1解 、 当 绳 与 柱 体 之 间 的 摩 擦

60、力 为 最 大 静 摩 擦 力 时 ， 圈 数 最少 。 取 一 小 段 绳 子 进 行 受 力 分 析 得 下 列 方 程 dNdTddT dNdTddT 2cos2cos) 2sin2sin)TT（ dNddT dNddTT 2cos 2sin2）（22sin dd 12cos ddNdT dNddTT 22）（因 为 NdTd 忽 略 高 级 小 量dTdT CT ln mgT 0 mgC ln mgeT 设 绳 绕 n圈 nmgeMg 2 157.14ln2 1 mgMgn 29 设 空 气 对 抛 体 的 阻 力 与 抛 体 的 速 度 成 正 比 ，即 ， K为 比 例 系 数 .

61、 抛 体 的 质 量 为 m,初速 为 ， 抛 射 角 为 . 求 抛 体 运 动 的 轨 迹 方 程 . v kF r0v 解 取 如 图 所 示 的 平 面 坐 标 系Oxy xxx ktmma vv dd yyy kmgtmma vv dd tmkxx dd vv tmkkmgk yy dd vv PrF0v A v xy cos00 vv x sin00 vv y 0t mktx /0 ecos vv kmgkmg mkty /0 e)sin( vv tmkxx dd vv tmkkmgk yy dd vv PrF0v A v xy 0k)e1)(cos /0 mktkmx (v tk

62、mgkmgkmy mkt )e1)(sin( /0 v )cos1ln()cos(tan 0220 xm kk gmxk mgy vv 当 阻 力 很 小 时 ， 上 式 可 近 似 为 220 cos2tan xgxy 2v 飞船登月 30、 一 质 量 的 登 月 飞 船 , 在 离 月 球表 面 高 度 处 绕 月 球 作 圆 周 运 动 .飞 船 采 用如 下 登 月 方 式 : 当 飞 船 位 于 点 A 时 ,它 向 外 侧 短 时 间喷 气 , 使 飞 船 与 月 球 相 切 地 到 达 点 B , 且 OA 与 OB 垂 直 . 飞 船 所 喷 气 体 相 对 飞 船 的 速

63、度 为 . 已 知月 球 半 径 ; 在 飞 船 登 月 过 程 中 ,月 球 的重 力 加 速 度 视 为 常 量 .试 问 登 月 飞 船 在 登 月 过 程中 所 需 消 耗 燃 料 的 质 量 是 多 少 ? m 0vAvBBv uvhOR A kg1020.1 4m km100h 14 sm1000.1 u km1700R 2sm62.1 g 解 设 飞 船 在 点 A 的 速 度 , 月 球 质 量 mM ,由万 有 引 力 和 牛 顿 定 律 0v hRmhR mmG 202M )( v2MRmGg 得 12120 sm1612)( hR gRv 21)( 220 vvv A R

64、mhRm Bvv )(0 1sm1709)( RhR 0B vv得 当 飞 船 在 A点 以 相 对 速 度 向 外 喷 气 的 短 时 间 里 , 飞 船 的质 量 减 少 了 m 而 为 , 并 获得 速 度 的 增 量 , 使 飞 船 的 速度 变 为 , 其 值 为vAv m u质 量 在 A 点 和 B 点 只 受 有 心 力 作 用 , 角 动 量 守 恒m 0vAvBBv uvhOR A 飞 船 在 A点 喷 出 气 体 后 , 在 到 达 月球 的 过 程 中 , 机 械 能 守 恒 21)( 220 vvv A 1sm1709 Bv RmmG hR mmG MM 2B2Avm

65、vm2121 RmGhRmG MM 22 2B2A vv即 1sm1615 Av于 是 121 sm100)( 202A vvv而 v mum)( kg120 umm v 0vAvBBv uvhOR A 31、 如 图 ， 飞 船 绕 地 球 作 圆 周 运 动 ， 离 地 面 的 高 度h=800Km(轨 道 半 径 r0=R+h),速 度 v0=3104km/h. 经 过 短 暂的 沿 矢 径 向 外 侧 喷 气 ， 飞 机 获 得 了 指 向 地 心 的 的 附 加 速 度vr=800km/h， 其 轨 道 变 为 椭 圆 。 设 喷 气 后 飞 船 的 质 量 可 看作 不 变 。 试

66、 求 ： 飞 船 椭 圆 轨 道 的 近 地 点 和 远 地 点 ？ 0v rv 2r1r 解 、 飞 船 作 圆 周 运 动 00 rrG 022 mvmM 设 喷 气 后 飞 船 在 椭 圆 轨 道 上 的 近 （ 远 ） 地 点 的 速 度 为 v， 离地 心 的 距 离 为 r， 角 动 量 守 恒 ， 有 ：mvrrmv 00设 喷 气 后 飞 船 在 椭 圆 轨 道 上 机 械 能 守 恒 ， 有 ： rGmMmvrGmMvm 20220 21)21 rv（有 以 上 三 式 得 0)(1)(1 000000 rr vvrrvvvrrvr的 两 个 根 为 rvv rvr 0 001 rvv rvr 0 002 kmrrh 613011 kmrrh 997022 32、 静 电 除 尘不 少 部 门 在 生 产 过 程 中 会 产 生 大 量 的 烟 尘 ,处 理 不 当 命 运 产生 严 重 污 染 .因 此 除 尘 就 成 为 现 代 工 业 生 产 中 迫 切 需 要 解 决的 一 个 问 题 .在 多 种 除 尘 方 法 中 ,电 除 尘 技 术 自 20年 代 问