平面向量的坐标表示与运算

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1、 . 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 . 平 面 向 量 的 坐 标 运 算平 面 向 量 的 坐 标 表 示 在 平 面 内 有 点 A和 点 B， 怎 样 表 示 向 量 AB 平 面 向 量 基 本 定 理 的 内 容 ？ 什 么 叫 基 底 ？ 分 别 与 x 轴 、 y 轴 方 向 相 同 的 两 单 位 向 量 i 、 j 能 否 作为 基 底 ？ O xyij AB C Do xy ij思 考 ： 如 图 ， 在 直 角 坐 标 系 中 ，已 知 A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设 ， 填 空 ：,O A i O B j （ 1） | | _,| |

2、_,| | _;i jOC （ 2） 若 用 来 表 示 ， 则 ：,i j ,OC OD _, _.OC OD 3 4i j 5 7i j 1 15 3 547（ 3） 向 量 能 否 由 表 示 出 来 ？CD ,i j 2 3CD i j 探 索 1: 以 O为 起 点 ， P为 终 点 的 向 量 能否 用 坐 标 表 示 ？ 如 何 表 示 ？o P xya 4 3 2 1 -1 -2 -3 -2 2 4 6i j ），（ yxP (, )OP xi yj xy 向 量 的 坐 标 表 示O 向 量 P（ x ， y）一 一 对 应OP 1 、 把 a=x i+y j 称 为 向 量

3、 基 底 形 式 .2 、 把 (x , y)叫 做 向 量 a的 （ 直 角 ） 坐 标 , 记 为 ： a=(x , y) , 称 其 为 向 量 的 坐 标 形 式 .3、 a=x i+y j =( x , y)4、 其 中 x、 y 叫 做 a 在 X 、 Y轴 上 的 坐 标 .单 位 向 量 i =（ 1， 0） ， j =（ 0， 1） CO 例 1 如 图 ， 已 知A(-1,3),B(1,-3)， C(4,1)，D(3,4)， 求 向 量 OA,OB,AO,OD, 的 坐 标 。 x y B D C O A 练 习 已 知 o是 坐 标 原 点 ,点 A在 第 一象 限 ,

4、XOA=60 ,则 向 量 的 坐 标 为 .OA=4,OA 在 平 面 直 角 坐 标 系 内 ， 起 点 不 在 坐 标原 点 O的 向 量 如 何 用 坐 标 来 表 示 ?探 索 2: 解 决 方 案 :已 知 求),(),( 2211 yxByxA ， AB ),( 11 yxA ),( 22 yxB xyO),(),( 2211 yxyx ),( 1212 yyxx 解 ： OAOBAB 一 个 向 量 的 坐 标 等 于 表 示 此 向 量 的 有 向 线 段 的 终 点 的 坐标 减 去 始 点 的 坐 标 思 考 : O xyij a A(x, y)a2 用 坐 标 表 示

5、两 个 向 量 相 等1 点 A的 坐 标 与 向 量 a 的 坐 标 的 关 系 ？ 1 2 1 2,a b x x y y 向 量 a 坐 标 （ x ， y）一 一 对 应若 a以 原 点 为 起 点 ,两 者 相 同3. ( , )a OA x y 2 2a OA x y ， 则 有 ：2 1 2 1( , )AB x x y y 2 22 1 2 1| | ( ) ( )AB x x y y 4. 若 A ， B ， 则1 1( , )x y 2 2( , )x y . 平 面 向 量 的 坐 标 运 算平 面 向 量 的 坐 标 运 算 已 知 a ， b ， 求 a+b， a-b

6、),( 11 yx ),( 22 yx解 ： a+b=( i + j ) + ( i + j )1x 1y 2x 2y=（ + )i+（ + )j1x 2x 1y 2y即 ),( 2121 yyxx a + b同 理 可 得 a - b ),( 2121 yyxx 两 个 向 量 和 与 差 的 坐 标 分 别 等 于 这 两 向 量 相 对 应 坐 标 的 和 与 差),( yx a 实 数 与 向 量 的 积 的 坐 标 等 于 这 个 实 数 乘 原 来 的 向 量 的 相应 坐 标 . 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 例 2 已 知 a=（ 2， 1） ， b=（ -3， 4） ，

7、 求 ：(1) a+b， a-b的 坐 标 ;(2)与 3a+2b共 线 的 单 位 向 量 解 （ 1） a +b=（ 2， 1） +（ -3， 4） =（ -1， 5） ；a-b=（ 2， 1） -（ -3， 4） =（ 5， -3） ；3a-2b=3（ 2， 1） - 2（ -3， 4） =（ 6， 3） -（ -6， 8） =（ 12， -5）|3a-2b|=| （ 12， -5） |=13所 以 与 3a-2b共 线 的 单 位 向 量 是（ 2） 3 2 1 12 5(12, 5) ( , )13 13 13|3 2 |a ba b . 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 例 3

8、已 知 ABCD的 三 个 顶 点 A、 B、 C的 坐 标 分 别 为（ 2， 1） 、 （ 1， 3） 、 （ 3， 4） ， 求 顶 点 D的 坐 标 解 ： 设 顶 点 D的 坐 标 为 （ x， y） ），（） ，（ 211321( AB )4,3( yxDC ， 得由 DCAB )4,3()2,1( yx yx42 31 22yx），的 坐 标 为 （ 顶 点 22D 1 1 2 2( , ), ( , )( 1)x y x y P 1 21 2 1 2 例 3 已 知 P P ， P是 直 线PP上 的 一 点 ， 且 PP PP ， 求 点 的 坐 标 。4 OA=2,OA A

9、BAB+3BC=0OC练 习 1 1.已 知 o是 坐 标 原 点 ,点 A在 第 二 象 限 , XOA=150 ,则 向 量 的 坐 标 为 . 2.已 知 a=(-1,2),b=(1,-2),则 a + b= , a-b= . 3.已 知 a=(x-2,3),b=(1,y+2),且 a = b,则 x = ,y = .4. 已 知 A(1,2),B(3,2),向 量 a=(x+3,x-3y-4)与 相等 ,求 实 数 x的 值 . 5. 已 知 o是 坐 标 原 点 , A(2,-1),B(-4,8),求 的 坐 标 . 练 习 2 1、 下 列 向 量 中 不 是 单 位 向 量 的

10、有 个 c= a=(cos , sin ) ( lg2, lg5)(2 ,2 )x x b= d=(1-x,x)2、 已 知 单 位 正 方 形 ABCD， 求 的 模 。 , , ,AB a BC b AC c 2 3a b c 3. ( 3, 1), | | 5, 4. (sin cos ,sin cos ),p pmm 已 知 且则 已 知则 的 长 度 为 OA ABOP OP OA tAB OP OA tAB 3t+10 , 2 13 3t 思 考 ： 如 果 已 知 点 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及若 点 P在 第 二 象 限 内 ， 则 点 t的 取 值 范 围 是

11、 ？O(0,0),A(1,2),B(4,5)=（ 1， 2） ， =（ 3， 3） ,而=（ 1， 2） +t(3,3)=(3t+1,3t+2),P(3t+1,3t+2)， 而 点 P在 第 二 象 限 内解 得解 ： 探 究 3： 两 个 向 量 共 线 的 坐 标 表 示向 量 平 行 的 坐 标 表 示 ：即 ： 两 个 向 量 共 线 等 价 于交 叉 相 乘 ， 积 相 等1 1 2 2( , ), ( , ),a x y b x y 1 2 2 1/ 0a b x y x y 若 向 量 则 有 2 10, (3, 4) /. a b a ba 例 题 、 已 知 且 ，求 向 量

12、 bab yxayxa /),4,3( 10),( 22 又 则解 ： 设 8686 yxyx 或解 得 ： 034 10 22 yx yx )8,6()8,6( aa 或 5 练 习 12 1 20,2 ), (cos ,sin )(3 cos ,4 sin ), | |OPOP PP 已 知 则 的取 值 范 围 是1.2、 平 面 内 给 定 三 个 向 量 a=(3,2),b=(-1,2) c=(4,1),回 答 下 列 问 题 :(1)求 3a+b-2c;(2)求 满 足 a=mb+nc的 实 数 m,n;(3)若 (a+kc) (2b-a),求 实 数 k(4)设 d=(x,y)满

13、 足 (d-c) (a+b)且 |d-c|=1,求 d. 课 堂 小 结 :2 加 、 减 法 法 则 .a + b=( x2 , y2) + (x1 , y1)= (x2+x1 , y2+y1)3 实 数 与 向 量 积 的 运 算 法 则 ：a =(x ,y )=(x ,y ) 4 向 量 坐 标 .1 向 量 坐 标 定 义 .若 A(x 1 , y1) , B(x2 , y2) 则 =(x2 - x1 , y2 y1 ) ABa - b=( x2 , y2) - (x1 , y1)= (x2- x1 , y2-y1)5、 坐 标 形 式 下 向 量 的 模 ；6、 单 位 向 量7、 向 量 共 线