《数列综合问题》PPT课件

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1、 长 沙 县 维 汉 实 验 中 学 赵 攀 峰 一 、 教 材 分 析 : 数 列 是 高 中 数 学 的 重 要 内 容 ， 是 学 习 高 等 数 学 的 基础 ， 在 高 考 中 占 有 重 要 的 地 位 . 考 纲 要 求 :“ 理 解 数 列 的概 念 , 了 解 通 项 公 式 的 意 义 , 了 解 递 推 公 式 , 掌 握 等 差 数列 , 等 比 数 列 的 通 项 公 式 与 前 n项 和 公 式 , 并 能 解 决 简 单的 问 题 .” 教 材 中 数 列 编 排 在 函 数 内 容 之 后 , 因 为 数 列 是以 正 整 数 为 自 变 量 的 一 种 特 殊

2、 函 数 , 这 样 安 排 既 有 利 于 认识 数 列 的 本 质 , 也 有 利 于 加 深 和 巩 固 对 函 数 概 念 的 理 解 . 数 列 综 合 以 数 列 为 引 线 和 依 托 , 结 合 函 数 、 方 程 、 不 等 式 、解 析 几 何 等 知 识 , 题 型 新 颖 , 解 法 灵 活 , 能 有 效 地 考 查 学生 的 思 维 能 力 、 创 新 意 识 和 实 践 能 力 . 、 地 位 与 作 用 、 重 点 、 难 点 与 关 键 根 据 高 考 考 试 说 明 的 要 求 ,结 合 对 历 届 高 考 试题 的 分 析 , 本 节 内 容 的 教 学

3、重 点 是 : 利 用 数 列 的 通 项公 式 与 前 项 和 等 有 关 知 识 为 主 要 工 具 求 解 数 列 综 合 问题 . 而 与 数 列 交 汇 的 、 呈 现 递 推 关 系 的 综 合 性 试 题 , 特 别 是 与 不 等 式 的 综 合 是 教 学 的 难 点 . 从 教 学 实 践 来看 , 学 生 对 数 列 综 合 题 存 在 畏 难 情 绪 , 总 觉 得 难 以 掌握 , 因 此 教 学 的 关 键 是 运 用 转 化 思 想 将 问 题 转 化 成 简单 的 、 熟 悉 的 问 题 来 求 解 , 同 时 注 意 培 养 学 生 的 良 好的 个 性 品

4、质 , 特 别 是 排 除 万 难 的 精 神 . 二 、 高 考 回 顾 “ 在 知 识 的 交 汇 点 设 置 能 力 型 问 题 ” 是 指 导 高 考 命题 的 思 想 之 一 . 数 列 是 高 中 数 学 知 识 结 构 的 一 个 重 要 的交 汇 点 . 数 列 综 合 题 在 每 年 高 考 中 都 会 重 点 考 查 .下 面 列表 对 近 两 年 高 考 试 题 作 分 类 统 计 , 统 计 如 下 表 : 从 上 表 可 以 看 出 , 2004年 的 15份 理 科 试 题 中 , 每 套 试题 均 有 一 道 解 答 题 . 其 中 处 在 压 卷 题 位 置 的

5、 有 8道 ; 2005年 的 16份 理 科 试 题 中 , 除 广 东 卷 外 每 套 试 题 均 有 一 道 解答 题 , 其 中 处 在 压 卷 题 位 置 的 有 5道 . 由 此 不 难 得 知 , 数列 解 答 题 是 高 考 命 题 必 考 的 难 度 大 的 内 容 , 其 命 题 热 点是 与 不 等 式 交 汇 的 、 呈 现 递 推 关 系 的 综 合 性 试 题 , 其 中 , 以 函 数 迭 代 、 解 析 几 何 中 曲 线 上 的 点 列 为 命 题 载 体 , 有着 高 等 数 学 背 景 的 数 列 解 答 题 是 未 来 高 考 命 题 的 一 个 新的

6、亮 点 . 2004年 2005年全 国 1 分 奇 、 偶 项 的 递 推 数 列 的 通 项 等 比 数 列 的 公 比 与 前 n项 和 全 国 2 通 项 与 前 n 项 和 、 等 比 数 列 的 判 定 等 比 数 列 、 等 差 数 列 的 综 合全 国 3 数 列 通 项 、 数 列 不 等 式 的 证 明 等 比 数 列 、 等 差 数 列 的 综 合全 国 4 导 数 、 数 列 求 和 与 数 列 极 限 北 京 抽 象 函 数 、 数 列 通 项 与 极 限 等 比 数 列 的 判 定 、 数 列 极 限 上 海 点 列 、 等 差 数 列 、 探 索 性 问 题 涉

7、及 两 个 数 列 的 应 用 性 问 题 天 津 函 数 迭 代 、 数 列 的 通 项 与 极 限 数 列 的 求 和 、 数 列 的 极 限 重 庆 数 列 不 等 式 、 数 列 项 大 小 比 较 数 学 归 纳 法 、 数 列 不 等 式 辽 宁 函 数 迭 代 中 的 数 列 不 等 式 函 数 迭 代 、 数 列 不 等 式 证 明 山 东 同 全 国 卷 1 导 数 、 等 比 数 列 的 判 定 江 苏 数 列 前 项 的 和 、 探 索 性 问 题 数 列 不 等 式 的 证 明 浙 江 点 列 问 题 、 等 比 数 列 的 判 定 点 列 问 题 、 等 差 数 列

8、的 判 定 福 建 涉 及 两 个 数 列 的 应 用 性 问 题 递 推 公 式 、 数 列 不 等 式 湖 北 递 推 数 列 的 极 限 、 数 列 不 等 式 数 列 不 等 式 的 证 明 、 数 列 极 限 湖 南 解 析 几 何 、 递 推 数 列 的 综 合 应 用 探 索 性 问 题 、 数 列 不 等 式 广 东 三 角 函 数 中 的 等 比 数 列 问 题 无 江 西 同 全 国 卷 1 数 列 通 项 、 数 列 不 等 式 的 证 明 三 、 数 列 综 合 问 题 类 型 及 求 解 策 略 由 于 数 列 综 合 问 题 形 式 多 变 、 思 考 性 强 、区

9、 分 度 高 , 因 此 大 多 数 同 学 解 此 类 问 题 时 思 维常 常 受 阻 , 甚 至 无 从 下 手 , 下 面 我 结 合 近 几 年的 高 考 题 , 就 数 列 综 合 问 题 类 型 及 解 题 策 略 作一 点 探 讨 . 1、 数 列 各 部 分 知 识 的 综 合 求 解 策 略 解 纯 数 列 综 合 题 ,要 充 分 利 用等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 有 关 性 质 求 解 .本 题 的关 键 是 注 意 到 akn的 双 重 身 份 既 是 等 比 数 列的 第 n项 , 又 是 等 差 数 列 的 第 k n项 ,先 求 出 通 项kn,再

10、求 出 其 前 n项 的 和 . 例 1. 已 知 an为 等 差 数 列 (公 差 d ), an中 的 部 分 项 组 成 的 数 列 ak1,ak2,， akn,为 等 比 数 列 ， 其 中 k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+k3+kn 的 值 . 例 2. 已 知 函 数 是 定 义 在 R上 的 不 恒 为 零 的 函 数 , 且对 于 任 意 的 , 都 满 足 若 , 求 证 :数 列 是 等 比 数 列 . )(xf Rba , ).()()( abfbafbaf )()2(,2)2( *Nnnfaf nn na2、 数 列 与 函 数 的 综 合 分 析 一 :

11、 由 于 已 知 条 件 只 有 函 数 关 系 式 和 的 表 达 式 , 要求 证 数 列 是 等 比 数 列 , 关 键 是 求 出 , 可 以 尝 试 数学 归 纳 法 .证 法 一 : 由 已 知 可 得 : 猜 想 : , 用 数 学 归 纳 法 证 明 (略 ).na na )2( nf ,),(3)(),(2)()()( 232 afaafaafaafaafaf )()( 1 afnaaf nn 分 析 三 : 设 法 将 转 化 为 熟 悉 的 数 列 .证 法 三 : 所 以 , 即 是 公 差 为 首 项 为 的 等 差 数 列 .)2( nf ,2)2(2)2(2)2(

12、2)22()2( 1111 nnnnnn fffff ,12 )2(2 )2( 1 1 n nn n ff n nf 2 )2( ,1 )21(2 f 分 析 二 : 将 所 给 函 数 关 系 式 适 当 变 形 , 根 据 其 形 式 特 点 构 造 另 一 个 函 数 , 设 法 用 此 函 数 求 出 . 证 法 二 : 当 时 , 由 可 得 : 令 则 )( naf0ba )()()( abfbafbaf bbfaafababf )()()( ,)()( xxfxg ).()()()()( nnn agaafbgagabg 求 解 策 略 解 数 列 与 函 数 的 综 合 题 ,

13、 一 般 要利 用 函 数 、 数 列 的 性 质 以 及 它 们 之 间 的 相 互联 系 . 本 题 是 一 道 已 知 抽 象 函 数 关 系 , 利 用 函数 迭 代 求 证 数 列 是 等 比 数 列 的 问 题 . 所 提 供 的三 种 证 法 中 , 证 法 一 思 路 自 然 , 但 较 为 繁 琐 ; 证法 二 技 巧 性 强 ; 证 法 三 思 维 跨 度 大 , 但 三 种 证法 都 体 现 了 一 个 不 变 的 事 实 : 充 分 应 用 已 知 条件 变 形 转 化 , 根 据 其 形 式 特 点 构 造 新 的 数 列 , 然 后 利 用 数 列 的 性 质 求

14、解 . 3、 数 列 与 不 等 式 的 综 合 法 一 : (数 学 归 纳 法 ) 当 n=1时 , 不 等 式 成 立 . 假 设 n=k时 , 成 立 . 当 n=k+1时 , 即 n=k+1时 , 成 立 .综 上 , 可 知 对 一 切 正 整 数 n成 立 . ,11221 a12 kak .1)1(213221 2222 1 kakaaa kkkk 1)1(21 kak 12 nan例 3. (2004年 重 庆 卷 )设 数 列 满 足 对 一 切 正 整 数 成 立 ； na ).3,2,1(,1,2 11 naaaa nnn12)1( nan证 明 n .,),2,1(,

15、)2( 1 并 说 明 理 由的 大 小与判 断令 nnnn bbnnab 法 二 : (数 学 归 纳 法 ) 当 n=1时 ,不 等 式 成 立 . 假 设 n=k时 , 成 立 . 当 n=k+1时 , 由 函 数 的 单 调 性 和 归 纳 假 设 有 . 只 需 证 : ,即 证只 需 , 显 然 成 立 .即 n=k+1时 ,结 论 成 立 .因 此 , 对 一 切 正 整 数 n成 立 .12 kak )1(1)( xxxxf 12 11211 kkaaa kkk 3212112 kkk32)12 112( 2 kkk012 1 k 12 nan法 三 : 由 递 推 公 式 得

16、 , , ,将 上 述 各 式 相 加 并 化 简 得 (n )又 n=1时 , 显 然 成 立 . 所 以 对 一 切 正 整 数 n成 立 .2 12 12 12 nnn aaa ,12 2 22 22 1 nnn aaa .12 212122 aaa 1222)1(2211)1(2 22 121212 nnnaanaa nn 212 na n 2)解 法 一 : 1)12( )1(21)1211(1)11(1 211 nn nnnnnnnana nabb nnnnn .,0.121 41)21(12 )1(2 12 nnn bbbnnnnn 故由解 法 二 : 又 .0)112 1(11

17、)1212 12(11 nnnnnnn ,22 1 nn bb ,0nb .1 nn bb )12(11 )21(111 22 22222 1221 naan naaannanabb nn nnnnnnn 求 解 策 略 证 明 数 列 不 等 式 问 题 , 一 般 可 采 用 数学 归 纳 法 、 分 析 法 、 综 合 、 比 较 法 、 放 缩 法 等 方 法 来 证明 . 有 时 要 综 合 使 用 几 种 方 法 .其 中 (1)中 证 法 一 、 证 法二 都 利 用 了 数 学 归 纳 法 , 证 法 一 、 证 法 三 都 将 目 标 锁 定为 证 明 去 掉 了 根 式 ,

18、 利 用 放 缩 法 得 证 ;证 法 二 , 看 到 递 推 关 系 与 函 数 的 关 系 , 利 用 函 数 单调 性 和 分 析 法 得 证 . 证 法 三 利 用 迭 加 , 变 更 了 递 推 关 系 , 这 是 对 递 推 公 式 常 用 的 变 形 方 式 之 一 . (2)中 利 用 比 较法 , 方 法 一 是 作 商 法 , 方 法 二 并 不 是 直 接 作 差 , 而 是 利用 平 方 差 , 消 除 了 根 式 , 简 化 了 运 算 , 在 不 等 式 的 证 明中 , 观 察 式 子 的 结 构 特 征 再 合 理 地 进 行 放 缩 , 是 成 功 的关 键

19、. 122 nan xxxf 1)( 求 解 策 略 数 列 与 解 析 几 何 的 综 合 题 以 坐 标 为 载 体 ,以数 列 为 主 体 内 容 将 解 析 几 何 、 平 面 几 何 与 数 列 的 相 关 知 识联 系 在 一 起 . 该 类 问 题 往 往 以 曲 线 上 的 点 的 无 限 运 动 为 背景 , 解 决 问 题 的 关 键 是 寻 求 点 的 坐 标 间 的 相 互 联 系 , 得 到递 推 关 系 ,再 运 用 数 列 知 识 进 行 求 解 .例 4.（ 2004浙 江 ) OBC的 三 个 顶 点 坐 标 分 别 为 (0,0)、(1,0)、 (0,2),

20、设 P1为 线 段 BC的 中 点 , 为 线 段 CO的 中 点 , 为 线 段 的 中 点 ,对 于 每 一 个 正 整 数 n, 为 线 段的 中 点 ,令 的 坐 标 为 , .(1)求 (2)证 明(3)若 记 证 明 是 等 比 数 列 .,444 Nnyyb nnn nb4、 数 列 与 解 析 几 何 的 综 合 2P3P 1OP 3nP 1nnPPnP ),( nn yx 121 nnn yya 2 ny;, 321 naaaa 及 ;,414 Nnyy nn 5、 数 列 应 用 问 题 例 5.(2001年 全 国 卷 )从 社 会 效 益 和 经 济 效 益 出 发 ,

21、 某 地 投 入 资 金 进 行 生 态 环 境 建 设 , 并 以 此 发 展 旅 游 产 业 . 根 据 规 划 , 本 年 度 投 入 800万 元 ,以 后 每 年 投 入 将 比 上 年 减 少 , 本 年 度 当 地 旅 游 业 收 入 估 计 为 400万 元 , 由 于 该 项 建 设 对 旅 游 业 的 促 进 作 用 , 预 计 今 后 的 旅 游 业 每 年 会 比 上 年 增 加 (1)设 年 n内 (本 年 度 为 第 一 年 )总 投 入 为 万 元 ,旅 游 总 收 入 为 万 元 , 写 出 的 通 项 公 式 ; (2)至 少 经 过 几 年 , 旅 游 业

22、的 总 收 入 才 能 超 过 总 投 入 ? 51 .41 nanb nn ba , 求 解 策 略 解 数 列 应 用 题 的 关 键 是 将 实 际 问 题 转 化 为 数列 问 题 (等 差 、 等 比 数 列 、 递 推 关 系 模 型 ), 然 后 利 用 相 关知 识 求 解 . 解 题 时 首 先 要 读 懂 题 目 , 理 解 题 意 , 对 陌 生 的背 景 、 文 字 叙 述 比 较 长 的 题 目 , 要 充 满 信 心 , 从 问 题 中 尽可 能 多 地 获 取 信 息 ,大 胆 联 想 ,合 理 转 化 为 我 们 熟 悉 的 问 题 . 总 之 , 数 列 综

23、合 题 常 常 是 数 列 与 函 数 、不 等 式 、 几 何 等 知 识 点 的 交 汇 , 因 此 要 加强 数 学 知 识 的 综 合 运 用 , 要 有 意 识 的 运 用函 数 方 程 思 想 、 转 化 思 想 和 分 类 讨 论 的 思想 来 探 求 解 题 思 路 . 同 时 要 鼓 励 合 理 的 猜想 、 要 重 视 数 学 归 纳 法 的 运 用 . 四 、 教 法 分 析 新 的 课 程 标 准 指 出 , 教 学 过 程 也 是 学 生 的 认 识 过 程 , 学生 在 教 学 活 动 中 始 终 处 于 主 体 地 位 , 教 师 则 应 成 为 学 习 活动 的

24、 促 进 者 , 而 非 单 纯 的 知 识 传 授 者 , 其 基 本 任 务 也 就 在于 促 进 和 增 强 学 生 的 数 学 学 习 过 程 . 根 据 本 节 内 容 的 特 点和 学 生 的 认 知 规 律 , 我 采 用 : 问 题 探 究 式 、 启 发 发 现 式 等方 法 进 行 教 学 , 同 时 采 用 讨 论 式 组 织 课 堂 教 学 . 在 教 学 中我 都 是 先 提 出 问 题 , 让 学 生 观 察 分 析 、 自 主 探 索 、 归 纳 总结 , 从 而 真 正 使 学 生 养 成 独 立 思 考 , 仔 细 观 察 , 认 真 分 析 , 严 谨 推

25、理 的 学 习 习 惯 , 并 提 高 他 们 的 自 学 能 力 与 探 索 意 识 .同 时 鼓 励 学 生 相 互 交 流 ， 从 而 促 使 学 生 真 正 成 为 自 觉 投 入且 积 极 建 构 的 学 习 活 动 中 的 主 体 . 五 、 评 价 分 析 本 节 内 容 的 设 计 从 教 学 内 容 的 引 入 、 展 开 、 揭 示 等 方 面出 发 , 教 给 学 生 探 求 知 识 的 方 法 , 教 会 学 生 应 用 所 学 知 识 解决 问 题 的 能 力 . 本 节 教 学 设 计 以 发 展 学 生 的 思 维 能 力 为 中 心 , 以 转 化 为 主 线

26、, 注 重 展 示 学 生 的 思 维 过 程 , 注 重 让 学 生 参 与知 识 的 形 成 过 程 , 由 特 殊 到 一 般 , 由 易 到 难 , 一 环 扣 一 环 , 从 而 增 强 他 们 学 好 数 学 的 信 心 . 同 时 以 问 题 为 载 体 , 让 学 生经 历 主 动 参 与 , 积 极 探 求 的 过 程 , 让 学 生 观 察 、 归 纳 、 总 结 、反 思 , 因 而 有 效 的 实 现 了 教 学 目 标 , 发 展 了 学 生 的 能 力 . 六 、 教 学 过 程 设 计 本 节 内 容 共 分 两 个 课 时 , 数 列 各 部 分 知 识 、 数

27、 列与 函 数 、 数 列 与 不 等 式 的 综 合 为 第 一 课 时 , 数 列 和解 析 几 何 的 综 合 与 数 列 的 应 用 题 为 第 二 课 时 . 第 一 课 时 共 分 五 个 环 节 , 具 体 安 排 如 下 ： 复 习 回 顾 教 师 开 门 见 山 点 出 主 题 , 并 引 导 学 生 回顾 数 列 的 有 关 性 质 . 课 前 热 身 教 师 给 出 三 个 小 题 , 让 学 生 先 练 习 , 教 师 进 行 行 间 巡 视 ,个 别 辅 导 ,然 后 请 学 生 回 答 ,教 师再 作 补 充 . 范 例 分 析 将 复 习 目 标 题 型 化 ,

28、通 过 三 个 典 型 例 题 , 让学 生 在 具 体 问 题 中 理 解 知 识 , 掌 握 方 法 , 这 样 能 使 学 生 理解 更 加 具 体 、 深 刻 . 该 环 节 先 让 学 生 独 立 思 考 、 自 主 练 习 , 然 后 教 师 采 用 “ 焦 点 访 谈 ” 式 的 教 学 , 在 焦 点 (难 点 、 疑 点 、迷 点 、 易 错 点 )启 发 学 生 寻 找 突 破 口 , 通 过 访 谈 (请 同 学 回答 ), 集 中 学 生 的 智 慧 ,让 学 生 的 思 维 在 关 键 处 闪 光 , 能 力在 要 害 处 增 长 , 缺 点 在 细 微 处 暴 露 ,意 志 在 艰 难 处 磨 砺 .通过 访 谈 ,实 现 师 生 之 间 、 学 生 之 间 智 慧 和 能 力 互 补 , 并 促 进心 灵 和 感 情 的 沟 通 . 归 纳 总 结 提 炼 本 节 课 的 要 点 , 归 纳 主 要 涉 及 的 数 学 思想 方 法 、 技 巧 、 规 律 . 这 一 环 节 先 让 学 生 回 答 , 然 后 教 师适 当 补 充 、 完 善 . 巩 固 练 习 本 节 课 共 布 置 练 习 六 个 , 其 中 最 后 两 题 为 选作 题 (为 第 二 节 课 作 铺 垫 ).