网络的状态方程

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1、第 三 章 网 络 的 状 态 方 程 本 章 主 要 内 容 ： 状 态 、 状 态 变 量 、 常 态 网 络 、 非 常 态 网 络 等 概 念 ； 状 态变 量 的 选 取 ， 状 态 方 程 、 输 出 方 程 的 建 立 和 求 解 。 本 章 重 点 （ 状 态 变 量 分 析 法 ） ： 状 态 变 量 的 选 取 状 态 方 程 的 建 立 和 求 解用 途 ： 求 解 高 阶 动 态 电 路 的 响 应 。 3-1 网 络 的 状 态 和 状 态 变 量状 态 (state)： 一 个 网 络 在 任 意 瞬 时 (t=t0)的 状 态 ， 是 指 能 和 输 入 激励 一

2、 道 唯 一 地 确 定 该 网 络 现 时 (t=t0)的 行 为 和 未 来 (tt0)的 行 为 而 为 数 最 少 (即 线 性 独 立 )的 信 息 量 的 集 合 。 状 态 变 量 (state variable)： 能 描 述 网 络 任 一 瞬 时 状 态 而 为 数 最 少 (即 线 性 独立 )的 网 络 变 量 集 合 中 的 各 个 变 量 。 通 常 选 择 网 络 中 各 独 立 电 容 电 压 (或 电 荷 量 )和 电 感电 流 (或 磁 通 链 )作 为 网 络 的 状 态 变 量 。 纯 电 容 回 路 (capacitor-only loop)： 仅 由

3、 电 容 元 件 或 仅 由 电 容 元 件 和 独 立 电 压 源 构 成的 回 路 称 为 纯 电 容 回 路 。 非 独 立 的 电 容 电 压 （ 或 电 容 电 荷 ） 不 能 作 为 网 络 的 状态 变 量 。 纯 电 感 割 集 (inductor-only cut set)： 仅 由 电 感 元 件 或 仅 由 电 感 元 件 和 独 立 电 流 源 构 成的 割 集 称 为 纯 电 感 割 集 。 非 独 立 的 电 感 电 流 （ 或 电 感 的 磁 通 链 ） 不 能 作 为 网 络的 状 态 变 量 。 常 态 网 络 (proper network)： 既 无 纯

4、电 容 回 路 又 无 纯 电 感 割 集 的 网 络 称 为 常 态 网 络 。 非 常 态 网 络 (improper network)： 具 有 纯 电 容 回 路 或 纯 电 感 割 集 (或 二 者 兼 而 有 之 )的 网 络 ， 称 为 非 常 态 网 络 。 在 常 态 网 络 中 ， 各 电 感 电 流 和 电 容 电 压 都 是 独 立的 ， 都 可 作 为 网 络 的 状 态 变 量 。 这 时 ， 状 态 变 量 数 即等 于 网 络 中 电 容 元 件 和 电 感 元 件 的 总 数 。 在 非 常 态 网 络 中 ， 网 络 的 状 态 变 量 数 小 于 网 络

5、中电 容 元 件 和 电 感 元 件 的 总 数 。 3-2 状 态 方 程 和 输 出 方 程 状 态 方 程 (state equation) 一 组 表 示 状 态 变 量 与 激 励 函 数 之 间 关系 的 一 阶 微 分 方 程 。 x Ax Bf 范 式 状 态 方 程 网 络 的 状 态 方 程 数 等 于 网 络 的 状 态 变 量 数 。 状 态 方 程 的 说 明 ： sLC LC CCL iiidtduC iidtduC uudtdiL 222 111 21因 iL、 uc1、 uc2都 是 独 立 的 ， 故 可 选 作 状 态 变 量 。 1 1111 RuuRui

6、 CsR 222 Rui C sCLCC sCLCC CCLL iCuCRiCudtdu CRuuCRiCudtdu uLuLidtdi 2222222 11111111 21 111 11 11 x Ax Bf 矩 阵 形 式 为 ssCCLCCL iuCCRuuiCRC CRC LLuui 21121222 11121 10 01 00101 011 110 sCLCC sCLCC CCLL iCuCRiCudtdu CRuuCRiCudtdu uLuLidtdi 2222222 11111111 21 111 11 11 sCR uuu 11 21 CCL uuu 1111 11 Cs

7、uRuRi 222 1 CuRi LCsLC iuRuRiii 11111 11 输 出 方 程 (outpt equation) 表 示 输 出 变 量 、 状 态 变 量 与 激 励 函 数 之 间 关 系 的一 组 代 数 方 程 。 以 uR1、 uL、 i1、 i2 、 iC2作 为 输 出 r Cx Df ssCCLCLR iuRRuuiR RRiiiuu 01 00 01 00 01011 100 010 110 010 11211 21121 1 矩 阵 形 式 输 出 方 程 的 向 量 形 式 输 出 方 程 的 数 目 等 于 输 出 变 量 数 。 3-3 线 性 常

8、态 网 络 状 态 方 程 的 建 立 常 态 树 (proper tree)： 对 于 一 个 常 态 网 络 ， 可 以 选 择 一 种 树 ， 使 其包 含 网 络 中 的 所 有 电 压 源 、 所 有 电 容 和 一 些 必 要的 电 阻 ， 但 不 包 含 任 何 电 感 和 电 流 源 ， 这 样 的 树称 为 常 态 树 。 建 立 线 性 常 态 网 络 状 态 方 程 的 步 骤 ： 第 一 步 ： 选 择 状 态 变 量 。 对 常 态 网 络 一 般 选 择 各 电 容 电 压 和电 感 电 流 作 为 网 络 的 状 态 变 量 。 第 二 步 ： 选 择 一 种 常

9、 态 树 。 第 三 步 ： 列 出 网 络 中 各 电 容 支 路 所 属 基 本 割 集 的 电 流 方 程和 各 电 感 支 路 所 属 基 本 回 路 的 电 压 方 程 。 第 四 步 ： 消 去 基 本 割 集 电 流 方 程 和 基 本 回 路 电 压 方 程 中 的 非状 态 变 量 。 例 1 列 写 图 示 网 络 的状 态 方 程 。解 ：1、 以 u1、 u2和 i4、 i5作 为 状 态 变 量 。 2、 选 择 一 种 常 态 树 ， 标 出各 电 容 支 路 所 属 基 本 割 集和 各 电 感 支 路 所 属 基 本 回路 。 采 用 简 单 支 路 85611

10、 siiidtduC 5422 iidtduC 733244 suiRudtdiL 1733255 uuiRudtdiL s 3、 对 各 电 容 支 路 所 属 基 本 割 集 和 各 电 感 支 路 所 属基 本 回 路 列 方 程 。 4、 消 去 非 状 态 变 量 。 63 6548173 )( RR Riiiuui ss 63 5483176 )(RR iiiRuui ss 7 3 3 1 6 6 0 su i R u i R6 3 4 5 8 si i i i i 5421635 63635 635635 6 634 63634 634634 3 22 631 6631 3631

11、5421 )()(1)( )()(1)( 1100 )()(0)( 1 iiuuRRL RRRRL RRLRRL R RRL RRRRL RRLRRL R CC RRC RRRC RRRCiiuu 78 635 6635 63 634 6634 63 631631 6 )()( )()( 00 )( 1)( ssuiRRL RRRL RR RRL RRRL RR RRCRRC R 矩 阵 形 式 的 状 态 方 程 为 常 态 网 络 的 范 式 状 态方 程 。难 点 ： 消 除 非 状 态 变量 。 线 性 网 络 也 可 以 电 容 电 荷 q和 电 感 磁 通 链 作 为 状 态 变

12、量 例 2 以 电 容 电 荷 和 电 感 磁通 链 为 状 态 变 量 ， 写出 状 态 方 程 。解 ： 选 一 常 态 树 221121 LLiidtdq ssC uLRCquuudtd 11111 22222 LRCquudtd C 对 电 容 树 支 列 基 本 割 集 方 程 有对 电 感 连 支 列 基 本 回 路 方 程 有 suqLRC LRC LLq 01001 01 110 212211 2121 矩 阵 形 式 的 状 态 方 程 为以 q和 作 为 状 态 变 量 的 范 式 状 态 方 程 。 例 3 列 写 图 示 网 络 的 状 态 方 程 以 及 以 is和

13、uL1为 输 出 的 输 出 方 程 。b1 b2 b3b4b5 b6 b7 b 81 1 11 1C s C Ldu u u idt 2 1 22 C L Ldu i idt 3 3 21 1C C Ldu u idt 1 2 1 21 0.5L L C Cdi di u udt dt 以 电 容 C1、 C2、 C3和 电 压 源 us为 常 态 树 的 树 支 1 2 3 20.5 1L L C Cdi di u udt dt 3211 323234 CCCL uuudtdi 3212 343232 CCCL uuudtdi is uL1+- 0.5M H 状 态 方 程 的 矩 阵 形

14、 式 为 s LLCCCLLCCC uiiuuuiiuuu 00001003/43/23/2 003/23/23/4 10100 2121000 01001 2132121321 11C ss u ui is uL1+-1 1 2L C Cu u u 121 31 0 0 11 1 0 0Cs C sL Cui u uu u 例 4 列 写 图 示 网 络 的 状 态 方 程 。受 控 电 压 源 支 路 纳 入 常 态 树 ，受 控 电 流 源 支 路 纳 入 树 余以 电 容 C1、 C2和 两 个 受 控 电 压源 支 路 为 常 态 树 的 树 支b1 b2b3 b4b5b6b7 1

15、32 C sdu i idt 2 44 Cdu idt 1433 323 Cuiii 2434 326 Cuiii 213 CC uui 21 31324 CC uui sCCC iuudtdu 212121 211 212 12161 CCC uudtdu 1 12 21 1 12 2 21 1 06 12C C sC Cu u iu u 3-4 状 态 方 程 的 复 频 域 解 法 用 拉 普 拉 斯 变 换 解 状 态 方 程 x Ax Bf 2211332211 fbfbxaxaxax kkkkkk 进 行 拉 普 拉 斯 变 换 得 )()()()0()( 332211 sXasX

16、asXaxssX kkkkk )()( 2211 sFbsFb kk )( )( )()( )( )( )()0( )0( )0( )0()( )( )( 213231 2221 1211321333231 232221 131211321321 sFBXAxX sF sFbb bb bbssX sX sXaaa aaa aaaxxxssX sX sXs )()()()( ssss BFAXxX 0向 量 形 式矩 阵 形 式 )()()()( ssss BFxAXX 0 范 式 状 态 方程 的 拉 普 拉斯 变 换 式原 始 状 态 变量 )()()()( ssss BFxAXX 0 )(

17、)()()( sss BFxAIX 01 1)()( AI ss def 预 解 矩 阵令 )()0()()( sss BFxX 单 位 对 角 阵 当 网 络 中 无 激 励 源 时 ， F(s)=0， 则 得 复 频 域 解 的零 输 入 分 量 为 ： )()()( 0 xX sszi它 只 决 定 于 网 络 的 原 始 状 态 向 量 Txxx )( )( )()( 0000 321x如 果 网 络 原 处 于 零 状 态 ， 即 x(0 )=0， 则 可 得 复 频域 解 的 零 状 态 分 量 : )()()( sss zs BFX 它 只 决 定 于 网 络 的 激 励 源 向

18、 量 TsFsFs )( )()( 21F 将 状 态 方 程 的 复 频 域 解 进 行 拉 普 拉 斯 反 变 换 ， 即得 状 态 方 程 的 解 为 )()(_)()()( ssst BFxx 11 0 例 1 用 拉 普 拉 斯 变 换 解 状 态 方 程 )(txxxx 21612118 316 2121x 211)0( )0()0( 21xxx已 知 网 络 的 原 始 状 态 向 量 解 ： 1、 求 预 解 矩 阵 (s)。 2118 3162118 31610 01 ssss AI 618 31211 ssss )()( AI 618 3121542 1 ssss ).)(

19、（ ).)(. )()( 5426356 18312162 ssss sss AI式 中 ssF 1)(2、 激 励 函 数 的 象 函 数 ss ssssss 5050 6 165021 611121612110 .)()( BFx )()()()( sss BFxX 0 ss ssss sss ssss s 5050 6 16542 6542 18 542 31542 50 . ).)().)( ).)().)( . ).)( . ).)().)( )(.)( ).)( )()(.( 542 51450 542 4165542 16506118 542 1616150 2 ss s sss

20、 sssss sss sss sss 5410672531 54456726031361 . .ss sss tt tt ee eetx tx 542 54221 1067531 45676031361 . .)( )(反 变 换 得 t 0+ 输 出 变 量 的 拉 普 拉 斯 变 换 式 )()()( sss DFCXR )()(_)()()( ssss DFBFxCR 0 )()(_)()( sss FDBCxC 0零 输 入 分 量 零 状 态 分 量 例 2 已 知 某 网 络 的 状 态 方 程 和 输 出 方 程 如 下 ： )()(tf tfxxxx 212121 11 013

21、2 10 )()(tf tfxxrrr 2121321 10 01 0020 11 01设 输 入 激 励 函 数 为网 络 原 处 于 零 状 态 。 求 输 出 函 数 。 )(sin)(),()( tttfttf 21 解 ： 此 题 中 ， 常 数 矩 阵 为 10 01 0020 11 01 11 0132 10 DC BA 11 32 1 ssss )()( AI预 解 矩 阵 )()( )()( 2121 2 21121 3 ss sss ssss s 10 01 0011 012121 2 21121 320 11 01 )()( )()( ss sss ssss sDBC )

22、(s 10 01 0021221 22 2122 21121 4 )()( )( )()( ss sss s ss ssss s )()( )( )()( 21 2521 22 2124 21121 4 2 ss ssss s sss ssss s输 入 激 励 的 象 函 数 为 111 221 ssFssF )( )( DBC )(s )(sin)(),()( tttfttf 21 因 原 始 状 态 为 零 ， 故 输 出 向 量 的 拉 普 拉 斯 变 换 式 为 )()()()( ssss zs FDBCRR 11121 2521 22 2124 21121 4 22 ssss ss

23、ss s sss ssss s )()( )( )()( )()( )( )()( 121 443 12 424 121 424 223 223 223 ssss sss sss sss ssss sss 1 10132541252 21 ssssssR /)(/)(部 分 分 式 展 开 得 1 522542 22 sssssR /)(/)( 1582516152 23 ssssssR /)(/)( )()cossin()( tttetr t 5152542 22 )()cossin()( ttteetr tt 10310154252 21 )()cossin()( ttteetr tt 515851652 23 经 反 变 换 得 到 输 出 变 量