解析几何与向量代数

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1、第 一 节 向 量 代 数 二 、 向 量 的 概 念 三 、 向 量 的 线 性 运 算 一 、 空 间 直 角 坐 标 系 四 、 向 量 的 坐 标 表 示 五 、 向 量 的 模 、 方 向 余 弦 的 坐 标 表 示 1 向 量 代 数六 、 向 量 的 三 种 乘 积 运 算 x yz一 、 空 间 直 角 坐 标 系由 三 条 互 相 垂 直 的 数 轴 按 右 手 规 则组 成 一 个 空 间 直 角 坐 标 系 . 坐 标 原 点 坐 标 轴 x轴 y轴z 轴过 空 间 一 定 点 O , o 坐 标 面 卦 限 (八 个 )面xoy面yozzox面1. 空 间 直 角 坐

2、标 系 的 基 本 概 念 x yzo 在 直 角 坐 标 系 下 11 坐 标 轴 上 的 点 P, Q , R ;坐 标 面 上 的 点 A , B , C点 M特 殊 点 的 坐 标 : 有 序 数 组 ),( zyxP QR )0,( yxA ),0( zyB),( zoxC (称 为 点 M 的 坐 标 )原 点 O(0,0,0) ; M)0,0,(x )0,0( y),0,0( z ),( zyx 坐 标 轴 : 轴x 00zy 00 xz轴y 轴z 00yx坐 标 面 :面yox 0z面zoy 0 x面xoz 0 yx yzo .a或表 示 法 :向 量 的 模 : 向 量 的

3、大 小 或 长 度 ,21MM记作二 、 向 量 的 概 念向 量 : (或 矢 量 ). 1M 2M既 有 大 小 , 又 有 方 向 的 量 称 为 向 量向 径 (矢 径 ):自 由 向 量 : 与 起 点 无 关 的 向 量 .起 点 为 原 点 的 向 量 .单 位 向 量 : 模 为 1 的 向 量 , . a或记作a零 向 量 : 模 为 0 的 向 量 , .0 0或，记作有 向 线 段 M1 M2 , 或 a , ,a或.a或 规 定 : 零 向 量 与 任 何 向 量 平 行 ;若 向 量 a 与 b大 小 相 等 , 方 向 相 同 , 则 称 a 与 b 相 等 ,记

4、作 a b ;若 向 量 a 与 b 方 向 相 同 或 相 反 , 则 称 a 与 b 平 行 , a b ;与 a 的 模 相 同 , 但 方 向 相 反 的 向 量 称 为 a 的 负 向 量 ,记 作因 平 行 向 量 可 平 移 到 同 一 直 线 上 , 故 两 向 量 平 行 又 称 两 向 量 共 线 .若 k (3)个 向 量 经 平 移 可 移 到 同 一 平 面 上 , 则 称 此 k 个 向 量 共 面 .记 作 -a ; 三 、 向 量 的 线 性 运 算1. 向 量 的 加 法三 角 形 法 则 :平 行 四 边 形 法 则 :运 算 规 律 : 交 换 律结 合

5、律三 角 形 法 则 可 推 广 到 多 个 向 量 相 加 .b b abba cba )( )( cba cba a bcba cb)( cba cba )(aa baba s 3a4a 5a2a1a 54321 aaaaas 2. 向 量 的 减 法三 角 不 等 式 ab )( ab 有时特别当,ab aa )( aa baba ab ab aba0baba aa 3. 向 量 与 数 的 乘 法 是 一 个 数 , .a规 定 :时，0，同向与aa ,0时 ,0时 .0 a ;aa ;1 aa 可 见 ;1 aa ;aa 与 a 的 乘 积 是 一 个 新 向 量 , 记 作，反向与

6、aa 总 之 :运 算 律 : 结 合 律 )( a )( a a分 配 律 a)( aa )( ba ba ,0a若a则有单位向量.1 aa 因 此 aaa 例 1. 设 a 为 非 零 向 量 , 则 ( 为 唯 一 实 数 )证 : “ ”. , 取 且再 证 数 的 唯 一 性 . 则,0故. 即a b ab 设 a b b a取 正 号 , 反 向 时 取 负 号 , , a , b 同 向 时则 b 与 a 同 向 ,设 又 有 b a , 0)( aa a b aa b.ab 故,0a而 “ ” 则,0时当 ,0时当 ,0时当已 知 b a ,b 0a , b 同 向a , b

7、反 向 a b 四 . 向 量 的 坐 标 表 示在 空 间 直 角 坐 标 系 下 , 设 点 M ,),( zyxM 则 沿 三 个 坐 标 轴 方 向 的 分 向 量 .kzjyixr ),( zyx xo yz MN BCi jkA ,轴上的单位向量分别表示以zyxkji 的 坐 标 为此 式 称 为 向 量 r 的 坐 标 分 解 式 ,rkzjyix 称为向量, r任 意 向 量 r 可 用 向 径 OM 表 示 .NMONOM OCOBOA ,ixOA ,jyOB kzOC 设 ),( zyx aaaa ,),( zyx bbbb 则ba ),( zzyyxx bababa a

8、),( zyx aaa ab ,0时当 a ab xx ab yy ab zz ab xxab yyab zzab平 行 向 量 对 应 坐 标 成 比 例 :，为实数 例 2. 已 知 两 点在 AB直 线 上 求 一 点 M , 使解 : 设 M 的 坐 标 为 ,),( zyx 如 图 所 示 A BMo11 MA B ,),( 111 zyxA ),( 222 zyxB 及 实 数 ,1得 ),( zyx 11 ),( 212121 zzyyxx 即 .MBAM AM MB AM OAOM MB OMOBAOOM )( OMOBOM OBOA ( 说 明 : 由得 定 比 分 点 公

9、式 : ,1 21 xx ,1 21 yy1 21 zz,1时当 点 M 为 AB 的 中 点 ,于 是 得x ,2 21 xx y ,2 21 yy z 2 21 zz A BMo MA B),( zyx 1 1 ),( 212121 zzyyxx x yz中 点 公 式 : 五 、 向 量 的 模 、 方 向 余 弦 的 坐 标 表 示 式1. 向 量 的 模 与 两 点 间 的 距 离 公 式 222 zyx ),( zyxr 设则 有OMr 222 OROQOP xo yz MN QRP由 勾 股 定 理 得 ),( 111 zyxA 因 A B得 两 点 间 的 距 离 公 式 :

10、),( 121212 zzyyxx 212212212 )()()( zzyyxx 对 两 点 与 ,),( 222 zyxB ,rOM 作OMr OROQOP BABA OAOBBA 例 3. 在 z 轴 上 求 与 点 )7,1,4(A 等 距解 : 设 该 点 为 ,),0,0( zM ,BMAM 因为 2)4( 21 2)7( z 23 25 2)2( z解 得 ,914z 故 所 求 点 为 及 )2,5,3( B.),0,0( 914M思 考 : (1) 如 何 求 在 xoy 面 上 与 A , B 等 距 离 之 点 的 轨 迹 方 程 ?(2) 如 何 求 在 空 间 与 A

11、 , B 等 距 离 之 点 的 轨 迹 方 程 ?离 的 点 . 提 示 :(1) 设 动 点 为 ,)0,( yxM 利 用 ,BMAM 得,028814 yx(2) 设 动 点 为 ,),( zyxM 利 用 ,BMAM 得014947 zyx 且 0z o yzx2. 方 向 角 与 方 向 余 弦设 有 两 非 零 向 量 ,ba 任 取 空 间 一 点 O , ,aOA 作,bOB O AB称 = AOB (0 ) 为 向 量 ba , 的 夹 角 . ),( ab 或类 似 可 定 义 向 量 与 轴 , 轴 与 轴 的 夹 角 . ,0),( zyxr给定与 三 坐 标 轴 的

12、 夹 角 , , r r称为 其 方 向 角 .cos rx 222 zyx x 方 向 角 的 余 弦 称 为 其 方 向 余 弦 . 记 作 ),( ba o yzx r cos rx 222 zyx x cos ry 222 zyx y cos rz 222 zyx z 1coscoscos 222 方 向 余 弦 的 性 质 : :的单位向量向量r rrr )cos,cos,(cos 例 4. 已 知 两 点 )2,2,2(1M 和 ,)0,3,1(2M的 模 、 方 向 余 弦 和 方 向 角 . 解 : ,21 ,23 )20 计 算 向 量)2,1,1( 222 )2(1)1( 2,21cos ,21cos 22cos ,32 ,3 4321MM (21 MM 21MM 例 5. 设 点 A 位 于 第 一 卦 限 ,解 : 已 知角 依 次 为 , 43 求 点 A 的 坐 标 . , 43 则 222 coscos1cos 41因 点 A 在 第 一 卦 限 , 故 ,cos 21 于 是(6 ,21 ,22 )21 )3,23,3(故 点 A 的 坐 标 为 .)3,23,3( 向 径 OA 与 x 轴 y 轴 的 夹 ,6AO且OA OAAO 作业：习题7-1 P-15 3, 5, 6, 7 P-16 B类 2题