行列式计算方法小结

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1、主要内容1.定义nnnn nnaaa aaa aaaD 21 22221 11211 nn n njjjj jjjjjN aaa 21 2121 21)()1(2.性质 5条3.展开定理 )(,0 )(, 2211 si siDAaAaAa sninsisi 4.几个重要结果| BABC OA llkl lkkk 范德蒙行列式P.17例2三角形行列式的值等于对角元之乘积 行 列 式 的 计 算 方 法 小 结可从计算方法和行列式特征两个角度总结。1. 直接用定义（非零元素很少时可用）2. 化三角形行列式法此法特点：(2) 灵活性差，死板。程序化明显，对阶数较低的数字行列式和一些较特殊的 字母行

2、列式适用。3.降阶法利用性质，将某行(列)的元尽可能化为0，然后按行(列)展开.阶n 阶1n 阶2此法灵活多变，易于操作，是最常用的手法。 一.方法 *4. 递推公式法 (见附录1)*5、数学归纳法 (见附录2)*6. 加边法（升阶）(见附录3) 二、特征1. 奇数阶反对称行列式 的值为零。 . 阶数不算高的数字行列式，可化为三角形行列式或结合展开定理计算. 非零元素很少的行列式，可直接用定义或降阶法。一些特殊行列式的计算（包括一些重要结果） | ijaD为对称行列式jiij aa 例是对称行列式432 320 201 | ijaD为反对称行列式jiij aa )0( iia必有例032 30

3、1 210 是反对称行列式032 301 210 不是反对称行列式两种重要行列式加到P.17 例 （P.17）证明奇数阶反对称行列式的值为零。证0000 321 32313 22312 11312 nnn nnnaaa aaa aaa aaaD 转置0000 321 32313 22312 11312 nnn nnnaaa aaa aaa aaa 0000)1( 321 32313 22312 11312 nnn nnnn aaa aaa aaa aaa 1各行提Dn)1(当n为奇数时有 DD 0 D 例),2,1,0(000 000 00022 11 12101 niaac ac ac bb

4、bbaD inn nnn 11 llac iii nnnni iii aaa bbbbbaca 0000 0000 0000 21 12110 nni iii aabaca 110 )( 2. “箭形”行列式 化成三角形行列式如:练习册P.2 6(2)题 axxxx xaxxx xxaxx xxxx 4321 4321 4321 4321例)1( aaa xxxx 000 000 000 4321另外：见P.21例6, P.4118题3. 除对角线以外各行元素对应相同,可化成三角形行列式或箭形行列式13xaaxxx xaxx xxax xxxxD 432 432 432 43211111另aa

5、ax 001 001 001 000114,3,21 i llx iib可化箭形行列式 例 P.43 25题是x,y ab bababaD 000 000 000 000 n阶按第一列展开abababaa 0000 000 000 000 n-1阶bababbn 00 00 000)1( 1 n-1阶nnn ba 1)1( 某行（列）至多有两个非零元素的行列式，可用降 阶法或定义或递推公式法或归纳法 5. 各行(列)总和相等的行列式 (赶鸭子法)例 计算行列式(P.20 a 换为y)xyyy yyxy yyyxDn xyyynx yyxynx yyyynx )1( )1( )1( ),3,2(

6、1 nilli ),.,3,2(1 nirr i xyy yyx yyyynx 111)1( yxyx yyyynx 000 0001)1( 1)(1)1( nyxynx 1)()1( nyxynx*或 y 乘第1列加到后面各列： yxyxynx 001 001 0001)1( * 例如 (P.39 12(6) 、(7)，P.40 15(3),P.44 27 如：P.41 18, P.42 19, 20(2)、(3) 1列(行)“1”的巧妙利用 6 范德蒙(Vandermonde)行列式（重要结果）).2( n1131211 2232221 321 1111 nnnnn nnn xxxx xx

7、xx xxxxV nij ji xx1 )( )()()( 111141312 xxxxxxxxxx nn )()( 2212423 xxxxxxxx nn )()( 33134 xxxxxx nn )( 221 nnnn xxxx )( 1 nn xx12 13233 12222 112111111 nnnn nnnTn xxx xxx xxx xxxV 8421 641641 27931 1111V例 计算行列式12 )( )( )()( 34 2423 141312 xx xxxx xxxxxx )42( )32)(34( )12)(14)(13( 解 V是 的范德蒙行列式，2,4,3,

8、1 4321 xxxx故8421 641641 27931 1111V 注： 显然，范德蒙行列式 0nV .21互不相同，nxxx _01 641641 27931 8421)( 32 xxxxxf的根练习册P.6： 12张 .0 nji Vxx若某xxxxx 4321 4324,3,2 3142 281 232 D将一不含的非零元素化成零，某行可能会出现公因子，提公因子，可降次。322 rr 1220 281 232 7. 部分对角线上含参数的行列式例 为何值时,D=0? 120 281 232)1( 2)3)(1( .031 D时或即得 附录1. 递推公式法特征：某行（列）至多有两个非零元

9、素。方法：按此行（列）展开，可能会导出递推公式。qpDD nn 11）：形式（212 nnn qDpDD）：形式（ 例1(另见A26) 12210 1000 0010 0001 nnn axaaaa xxxD 按第一行展开好，还是按第一列展开好？按第一列展开1221 100 000 001 nn axaaa xxxx 100 001 0001)1( 10 xxa n n-1阶11 01 )1()1( nnn axD 01 axDn 01 axDD nn 由此得递推公式：因此有：12211 100 000 001 nnn axaaa xxxD 01201 )( aaxDxaxDD nnn 012

10、2 axaDx n 01232 axaaxDx n 012233 axaaxDx n 013322 axaaxDx nnn 212122 1 nnnn axaxaxaxD而D2=?012211 axaaxaxxD nnnnnn 于是得：解法2：从最后一列开始每列乘以x加到前一列，再按第一列展开。 例2 210000 121000 012000 000210 000121 000012 nD按第一行展开12 nD 212 nn DD按第一列展开210000 121000 012000 000210 000120 000011 由此可得递推公式：212 nnn DDD 211 nnnn DDDD因

11、此有 12 DD 又因为321 122 D 221 D故1 1 nn DD则.1 nDn递推公式法的 步骤：1. 降阶，得到递推公式；2. 利用高中有关数列的知识，求出行列式 。nD技巧！ 附录2、数学归纳法例 证明范德蒙(Vandermonde)行列式).2( n11 31211 2232221 321 1111 nnnnn nnn xxxx xxxx xxxxV nij ji xx1 )( )()()( 111141312 xxxxxxxxxx nn )()( 2212423 xxxxxxxx nn )()( 33134 xxxxxx nn )( 221 nnnn xxxx )( 1 nn

12、 xx 证明(数学归纳法)时，有当2 .1 n 21 11 xx 12 xx ，结论成立。立。阶范德蒙行列式结论成假设对于1 .2 n成立。阶范德蒙行列式结论也下证对n倍，则行的行开始，逐行减去上一中从第在1xnVn )()()(0 )()()(00 1111 1213231222 1133122 11312 xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxV nnnnn nn nn 按第1列展开 )()()( )()()( 1213231222 1133122 11312 xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxx nnnnn nn n )()( 11312 xxxxxx n

13、22322 22322 32 111 nnnn nnxxx xxx xxx 根据归纳假设有：)()( 11312 xxxxxxV nn nij ji xx2 )( nij ji xx1 )(综上所述，结论成立 。)2( n阶1n 附录3. 加边法（升阶）要点：将行列式加一行一列，利用所加的一行（列）元素 ，将行列式化成三角形行列式。 mxxx xmxx xxmxD n nnn 21 21 21例9 用加边法计算mxxx xmxx xxmx xxx n nnn 21 21 21 210001 n+1阶还可用赶鸭子法！ 将第1行的(-1)倍分别加到第2行，第3行，.，第n+1行得：mmm xxxD

14、 nn 001 001 0011 21(1) 若m=0，则 10 1 1 nnxDn，若0 )2( m列：后加到第列都乘以、列、列、中第将11132 mnDn n+1阶“箭形”行列式从加边前的Dn 得出 mmm xxxmxD nni in 000 000 0001 211 )1()( 1 ni in mxm )()1( 11 ni inn xmm 综 合 练 习 题2. 用多种方法计算下列行列式155164 1020 9847 4050 D (2). 111 22 22 bbaa babaD (3). (1). 1111 3232 23 32xxx xxx xxx xxxD _,.1 1121

15、的逆序数为则的逆序数为已知排列iiiaiii nnn 3. 计算行列式nnn n mmm mbb bb aa aaC 1 111 1 111设m阶行列式|A|=a, n阶行列式|B|=b, CB A则,00*4. 计算行列式,3475344 53542333 32221222 3212)( xxxx xxxx xxxx xxxxxf设的根的个数。求方程0)( xf 综 合 练 习 题 解 答 _,.1 1121的逆序数为则的逆序数为已知排列iiiaiii nnn ann 2 )1(因此, 2 )1()()( 1121 nniiiNiiiN nnn )(2 )1()( 2111 nnn iiiN

16、nniiiN 因为: 对于任何两个数码 ,在一排列中要么构成逆序,要么不构成逆序. kj ii ,如: 2 )13(321)231()132( NN 2. (1)解法一：化成三角形行列式155164 1020 9847 4050 D 155164 1020 4050 984721 rr155164 1020 4050 9323612 14 rr解法二：把 化成0, 再按第三行展开32a 451615 0021 7849 005441 ll解法三：945 7821 54451615 7849 0021 005432 rr 155164 1020 9847 4050 D (2).计算行列式111

17、22 22 bbaa babaD 解法一：解法二：11 2)( 2 bbaba 3)( ba )( ab按第一列展开，各行提3)( ba注意：若按图示法计算不易化简。110 20 )(,2 221312 bba babballll D 111 )(20 )()(0,2 13223 abab abababarrarra D 1111 3232 23 32xxx xxx xxx xxxD(3). 解法一)( 3x )( 2x )( x454 6254 32 1000 100 101 xxxx xxxxx xxx 34)1( x 1111 3232 23 32xxx xxx xxx xxx解法二:用

18、赶鸭子法,提公因子11 11 111)1( 323 23232 xx xx xx xxxxxx )1()1)(1()1()1(0 )1(1)1(0 )1()1(101)1( 22 222 2 3232 xxxxxxx xxxxx xxxxx xxxxxx 22 22232 111)1)(1)(1( xxxx xx xxxxxxx 化三角形行列式或降成二阶 3. 计算行列式nnn n mmm mbb bb aa aaC 1 111 1 111设m阶行列式|A|=a, n阶行列式|B|=b, CB A则,00解将第n+1列作n次相邻交换，到第1列，将第n+m列作n次相邻交换，到第m列,共作了mn次

19、列交换，得：BAC mn 0 0)1( abBA mnmn )1(|)1( *4. 计算行列式,3475344 53542333 32221222 3212)( xxxx xxxx xxxx xxxxxf设的根的个数。求方程0)( xf解3475344 53542333 3212 32122)( 21 xxxx xxxx xxxxrrxf 3475344 53542333 3212 111112 xxxx xxxxxx rr提利用一行“1” 3730 2210 1010 1111 xxx )1(5 xx有两个根。故方程0)( xf 373 221 101 xxx670 120 101 xxx 67 121 xxx另一解法见学习指导书。