行列式按行展开法

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1、行列式按行(列)展开 一、引言12 23 31 111 22 12 21 3333 3 21 3213 22 3111 23 32 a a aa a aaa a aa a aa a a aa 11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a 12 23 3 13 21 311 2 22 322 33 1 21 333 212 3 a a a aa aa a a aa aa aa 22 23 21 23 21 2311 12 1332 33 31 33 31 33a a a a a aa a aa a a a a a 结 论 三 阶 行 列 式 可 以 用 二 阶

2、行 列 式 表 示 .思 考 题 任 意 一 个 行 列 式 是 否 都 可 以 用 较 低 阶 的 行 列 式 表 示 ？ 例 如 11 12 13 1421 22 23 2431 32 33 3441 42 43 44a a a aa a a aD a a a aa a a a 11 12 1423 31 32 3441 42 44a a aM a a aa a a 2 323 23 231A M M 把 称 为 元 素 的 代 数 余 子 式 1 i jij ijA M ija在 n 阶 行 列 式 中 ， 把 元 素 所 在 的 第 行 和 第 列 划 后 ，留 下 来 的 n1阶 行

3、 列 式 叫 做 元 素 的 余 子 式 ， 记 作 . i j ijMijaija结 论 因 为 行 标 和 列 标 可 唯 一 标 识 行 列 式 的 元 素 ， 所 以 行 列式 中 每 一 个 元 素 都 分 别 对 应 着 一 个 余 子 式 和 一 个 代 数 余 子 式 . 一 个 n 阶 行 列 式 ， 如 果 其 中 第 行 所 有 元 素 除 外 都 为 零 ， 那 么 这 行 列 式 等 于 与 它 的 代 数 余 子 式 的 乘积 ， 即 ij ijD a A 11 12 13 1421 22 23 24 3341 42 43 440 0 0a a a aa a a a

4、D aa a a a 11 12 143 3 33 21 22 2441 42 441 a a aa a a aa a a 例 如 3 333 33 33 331a A a M 11 12 1433 21 22 2441 42 44a a aa a a aa a a i ijaija 1121 22 21 20 0nn n nnaa a aD a a a 即 有 11 11.D a M又 1 111 11 111 ,A M M 从 而 11 11.D a A下 面 再 讨 论 一 般 情 形 . 分 析 当 位 于 第 1行 第 1列 时 ,ija 二、行列式按行（列）展开法则定 理 3 行

5、列 式 等 于 它 的 任 一 行 （ 列 ） 的 各 元 素 与 其 对应 的 代 数 余 子 式 乘 积 之 和 ， 即 1 1 2 2 1,2, ,i i i i in inD a A a A a A i n 11 12 13 11 12 1321 22 23 21 22 2331 32 33 31 32 330 0 0 0 0 0a a a a a aa a a a a aa a a a a a 11 12 1321 22 23 21 22 23 21 22 23 31 32 33 31 32 33 31 32 330 0 0 0 0 0a a aa a a a a a a a aa

6、a a a a a a a a 11 11a A 12 12a A 13 13a A21 21 22 22 23 23a A a A a A 31 31 32 32 33 33a A a A a A 同 理 可 得 例 3 1 1 25 1 3 42 0 1 11 5 3 3D 5 1 1 111 1 3 10 0 1 05 5 3 0 31 2 cc 34 cc 3 3 5 1 1( 1) 11 1 15 5 0 5 1 16 2 05 5 0 2 1r r1 3 6 2( 1) 5 5 8 20 5 40. 证 明 用 数 学 归 纳 法2 1 21 1D x x 2 1( )i ji j

7、 x x 例 证 明 范 德 蒙 德 (Vandermonde)行 列 式1 22 2 21 2 11 1 11 21 1 1 ( ).nnn i jn i jn n nnx x xx x xD x xx x x (1)所 以 n=2时 (1)式 成 立 .2 1x x 2 1 3 1 12 2 1 3 3 1 12 2 22 2 1 3 3 1 11 1 1 100 ( ) ( ) ( )0 ( ) ( ) ( )nn nn n n nn nx x x x x xx x x x x x x x xD x x x x x x x x x 假 设 (1)对 于 n 1阶 范 德 蒙 行 列 式

8、成 立 ， 从 第 n行 开 始 ， 后 行减 去 前 行 的 倍 ：1x按 照 第 1列 展 开 ， 并 提 出 每 列 的 公 因 子 ， 就 有1( )ix x 2 1 3 1 1 2( )( ) ( ) ( )n n i jn i jD x x x x x x x x 1( ).i jn i j x x 2 32 1 3 1 1 2 2 22 3 1 1 1( )( ) ( ) nn n n nnx x xx x x x x x x x x n1阶 范 德 蒙 德 行 列 式 推 论 行 列 式 任 一 行 （ 列 ） 的 元 素 与 另 一 行 （ 列 ） 的 对应 元 素 的 代

9、数 余 子 式 乘 积 之 和 等 于 零 ， 即1 1 2 2 0, .i j i j in jna A a A a A i j 11 12 1321 22 23A Aa a a A 21 22 2331 32 321 22 233a a aa aa aaa 分 析 我 们 以 3阶 行 列 式 为 例 . 11 12 1311 11 12 12 13 13 21 22 2331 32 33a a aa A a A a A a a aa a a 把 第 1行 的 元 素 换 成 第 2行 的 对 应 元 素 ， 则 0. 定 理 3 行 列 式 等 于 它 的 任 一 行 （ 列 ） 的 各

10、 元 素 与 其 对应 的 代 数 余 子 式 乘 积 之 和 ， 即 1 1 2 2 1,2, ,i i i i in ina A a A a A D i n 推 论 行 列 式 任 一 行 （ 列 ） 的 元 素 与 另 一 行 （ 列 ） 的 对应 元 素 的 代 数 余 子 式 乘 积 之 和 等 于 零 ， 即 1 1 2 2 0, .i j i j in jna A a A a A i j 1 1 2 2 ,0,ni i ni j j j D i ja A a A a A i j 1 1 2 2 ,0,i j i j i njn D i ja A a A a A i j 综 上 所

11、 述 ， 有同 理 可 得 5 3 1 2 01 7 2 5 20 2 3 1 00 4 1 4 00 2 3 5 0D 例 计 算 行 列 式解 5 3 1 2 01 7 2 5 20 2 3 1 0 0 4 1 4 00 2 3 5 0D 2 5 5 3 1 20 2 3 11 20 4 1 40 2 3 5 2 3 110 0 7 20 6 6 7 210 ( 2) 6 6 20 ( 42 12) 1080. 2 3 12 5 4 1 42 3 5 5320 4140 1320 213521 52 3 1r r2 1( 2)r r 例 设 , 的 元 的 余 子 式 和代 数 余 子 式

12、 依 次 记 作 和 ， 求分 析 利 用 3 5 2 11 1 0 51 3 1 32 4 1 3D D ( , )i jijM ijA11 12 13 14A A A A 及 11 21 31 41.M M M M 11 12 13 1421 22 23 2411 11 12 12 13 13 14 14 31 32 33 3441 42 43 44a a a aa a a aa A a A a A a A a a a aa a a a 1 2 52 0 21 0 0解 11 12 13 14 1 1 11 1 0 51 34 311 32 1A A A A 4 3r r3 1r r 1 1 1 11 1 0 52 2 0 21 1 0 0 1 1 52 2 21 1 0 2 1c c 2 50 2 4. 1 5 2 11 1 0 51 3 1 31 4 1 3 1 0 51 0 51 1 3 4 3r r 1 5 2 11 1 0 51 3 1 30 1 0 0 1 2 11 0 51 1 3 1 32r r 0. 11 21 31 41 11 21 31 41M M M M A A A A