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1、第十六讲第十六讲 平方平方守恒守恒差分格式差分格式的几何原理的几何原理(续续)16 平方守恒平方守恒格式的几何原理格式的几何原理(续续)一类新的Runge-Kutta方法显式蛙跳格式的改造和利用16 平方守恒平方守恒格式的几何原理格式的几何原理(续续)一类新的一类新的Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法显式蛙跳格式的改造和利用Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法Runge-Kutta法是以往常用的一种经典数值方法，曾在很多学科的各种模拟计算中发挥过重要作用。然而，随着科学技术的不断发展，Runge-Kutta法越来越难以满足各种高性能科学计算的需要。Runge-
2、KuttaRunge-Kutta方法方法例如，对于方程容易求得其精确解解为：（c0为常数），即无论时间怎么发展，方程的解总是落在一椭圆上。Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法用三阶显式Runge-Kutta法求解得到如下结果：积分十万步积分十万步积分百万步积分百万步积分千万步积分千万步积分一亿步积分一亿步（其中（其中a=0.1,b=0.2,=0.3s）显然，用显然，用Runge-Kutta求解，会把一个椭圆耗散成一个点！求解，会把一个椭圆耗散成一个点！Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法Runge-Kutta法的三个主要特点：1）精度可以任意提高；2）绝对稳定性
3、区域可随着精度的提高而不断扩大；3）显式单步求解。因此，这类格式确有某些优势，仍有很大的利用价值，不能被轻易否定和放弃。Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法利用Runge-Kutta方法构造出一类协调耗散算子就是一个很好的例子。这一节将利用几何原理构造出一类新的显式平方守恒格式，使得其保持原有的计算精度、绝对稳定性乃至表示形式，使得这类经典算法获得新的生命力。Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法k阶Runge-Kutta法的表达式：其中Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法R一类新的一类新的Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法R一类
4、新的一类新的Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法定理定理16.1：对于由几何原来得到的修正Runge-Kutta格式：，若 则该格式为一类新的显式平方守恒格式。一类新的一类新的Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法事实上，对于格式因此 的充要条件为：一类新的一类新的Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法由于，当L的反对称性不成立时，易得：。这显然不是普适的，因此需要利用L的反对称性进行改写。根据Runge-Kutta法的表达式，有一类新的一类新的Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法根据L的反对称性以及Ri的表达式，得到：其中 定理20
5、.1得证。一类新的一类新的Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法定理定理16.2：若L为反对称算子，则由定理20.1确定的显式平方守恒格式具有k阶精度。证明：由于k阶Runge-Kutta方法具有k阶精度，因此有 两边取范数并由平方守恒性得：一类新的一类新的Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法另一方面，由前面推导的公式 可得到 ，这样（两式相减）即 一类新的一类新的Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法由于 而由 可得 ，所以一类新的一类新的Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法这样，将真解代入修正的格式得到：由此证明了修正的格式为k阶
6、精度。一类新的一类新的Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法定理定理16.3：若L不反对称，则由定理20.1确定的显式平方守恒格式仍具有k阶精度。证明：由于k阶Runge-Kutta方法具有k阶精度，因此有 两边取范数得：一类新的一类新的Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法另一方面，由格式的表达式 可得到 ，两式相减即 ，由此易证格式为k阶精度。16 平方守恒平方守恒格式的几何原理格式的几何原理(续续)一类新的Runge-Kutta方法显式蛙跳格式的改造和利用显式蛙跳格式的改造和利用显式蛙跳格式的改造和利用显式蛙跳格式的改造和利用在大气海洋数值模拟中，显式蛙跳格式
7、是一种常用的格式。它有两个优点：1.为显式格式，可以直接求解；2.具有二阶精度，且在同样精度下，比显式Runge-Kutta方法少计算一次空间离散算子。显式蛙跳格式的改造和利用显式蛙跳格式的改造和利用显式蛙跳格式的缺点是用它求解平方守恒系统时存在非线性不稳定性和较强的频散效应，需经某种平滑后才能达到实用。这里对其扬长避短，基于Runge-Kutta法的构造思路，用它构造一个三阶显式格式，并类似地将其改造为显式平方守恒格式。显式蛙跳格式的改造和利用显式蛙跳格式的改造和利用我们利用显式蛙跳格式的解作为预估值：然后类似Runge-Kutta法构造新格式：其中（、和 为待定系数）显式蛙跳格式的改造和利
8、用显式蛙跳格式的改造和利用为了使新构造的格式具有三阶精度，必须满足：另一方面，利用泰列展开式可得：显式蛙跳格式的改造和利用显式蛙跳格式的改造和利用因此，待定系数、和 应该满足：求解得：这样新格式为：显式蛙跳格式的改造和利用显式蛙跳格式的改造和利用新格式与三阶显式Runge-Kutta法很类似，但在同样精度下该格式只需计算二次右端项（因为 LFn-1在前一步已求得），而显式Runge-Kutta法却要计算三次右端项；可以验证，上述格式与三阶显式Runge-Kutta法具有相近的稳定性；该格式要比三阶显式Runge-Kutta经济实用。显式蛙跳格式的改造和利用显式蛙跳格式的改造和利用与显式Rung
9、e-Kutta法一样，新格式 为一耗散格式，我们可以类似前面改造显式Runge-Kutta法的思路，将其改造为普适得平方守恒格式：显式蛙跳格式的改造和利用显式蛙跳格式的改造和利用定理定理16.4：若L反对称，则当n满足：其中 改造的格式保持平方守恒，且有三阶精度。显式蛙跳格式的改造和利用显式蛙跳格式的改造和利用定理定理16.5：若L不是反对称算子，则当n满足：其中 改造的格式仍然保持三阶精度。数值试验数值试验还利用前面的算例，即改造的几种格式求解下列方程组该方程组的精确解为：，（c0为常数），即方程的解总是落在一椭圆上。数值试验数值试验n能量Fn2n能量Fn2n步数原Runge-Kutta格式
10、(=0.9)显式守恒的Runge-Kutta格式显式守恒的Runge-Kutta格式基于蛙跳格式的三阶显式格式(=0.9)基于蛙跳格式的三阶显式平方守恒格式基于蛙跳格式的三阶显式平方守恒格式1000.20000000.20000000.90121030.20000000.20000000.90202641010.19999950.20000000.90121000.19991320.20000000.90170031020.19999470.20000020.90121020.19902200.20000000.90170741030.19994610.20000030.90121010.19
11、032550.20000040.90170751040.19946120.20000240.90121010.12174530.20000130.90170741050.19467680.20000560.90121000.00139630.20000840.90170751060.15272040.20000590.90121000.00000000.20001590.90170691070.01347580.20000690.90120990.00000000.20005790.90170751080.00000000.20000570.90121000.00000000.20005620.9017071数值试验数值试验能量演变能量演变（积分十万步）（积分十万步）原原Runge-KuttaRunge-Kutta法法（积分一亿步）（积分一亿步）守恒守恒Runge-KuttaRunge-Kutta法法（积分一亿步）（积分一亿步）（其中（其中a=0.1,b=0.2,=0.3s）基于蛙跳格式的三阶格式基于蛙跳格式的三阶格式原原Runge-KuttaRunge-Kutta法法第十六讲第十六讲 小结小结基于几何原理，介绍了Runge-Kutta法和显式蛙跳格式；针对这两类格式进行数值试验，并与平方改造前的结果进行了比较。课外练习题课外练习题请验证下列算子的耗散性：其中谢谢！谢谢！
计算地球流体力学：第十六讲 平方守恒差分格式的几何原理（续）
