机器人原理及控制技术:第02章 齐次变换

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1、第二章第二章 齐次坐标变换齐次坐标变换ChapterChapter Homogeneous Transformation Homogeneous Transformation 2.1 2.1 引言引言 2.2 2.2 点向量和平面的描述点向量和平面的描述2.3 2.3 变换变换 2.4 2.4 平移变换平移变换2.5 2.5 旋转变换旋转变换 2.6 2.6 坐标系坐标系2.7 2.7 相对变换相对变换 2.8 2.8 物体的描述物体的描述2.9 2.9 逆变换逆变换 2.10 2.10 一般性旋转变换一般性旋转变换2.11 2.11 等价旋转角与旋转轴等价旋转角与旋转轴 2.12 2.12

2、扩展与缩小扩展与缩小2.13 2.13 透视变换透视变换 2.14 2.14 变换方程变换方程2.15 2.15 小结小结2.1 2.1 引言引言 (Introduction)机器人操作涉及到各物体之间的关系和各物体与机械手之间的关系。这一章将给出描述这些关系必须的表达方法。类似这种表示方法在计算机图形学中已经解决。在计算机图形学和计算机视觉中,物体之间的关系是用齐次坐标变换来描述的。在本课程我们将采用齐次坐标变换来描述机械手各关节坐标之间、各物体之间以及各物体与机械手之间的关系。本章首先介绍向量和平面的表示方法,然后引出向量和平面的坐标变换,这些变换基本上是由平移和旋转组成,因此可以用坐标系

3、来描述各种物体和机械手的空间位置和姿态。稍后还要介绍逆变换,逆变换是运动学求解的基础。a0vzyxzyxpcb0uEH图2.1点向量的描述2.2 2.2 点向量点向量和平面的描述和平面的描述(Notationofpointvectorsandplanes)2.2.1 2.2.1 点向量(点向量(Point vectorsPoint vectors)点向量描述空间的一个点在某个坐标系的空间位置。同一个点在不同坐标系的描述及位置向量的值也不同。如图2.1中,点p在E坐标系上表示为Ev,在H坐标系上表示为Hu,且vu。一个点向量可表示为v=ai+bj+ck通常用一个(n+1)维列矩阵表示,即除x、y

4、、z三个方向上的分量外,再加一个比例因子w,即v=xyzwT其中a=x/w,b=y/w,c=z/w。改变比例因子w,则分量a、b、c的数值相应改变,但描述的还是同一个点向量。如v=3i+4j+5k可表示为v=3451T=68102T=-3-4-5-1T在向量中增加一个比例因子w是为了方便坐标变换中的矩阵运算。已知两个向量a=axi+ayj+azkb=bxi+byj+bzk(2.1)向量的点积是标量。用“”来定义向量点积,即ab=axbx+ayby+azbz(2.2)向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量。用“”表示叉积,即ab=(aybzazby)i+(azbxaxbz)j+(

5、axbyayby)k(2.3)可用行列式表示为i j kab=axayaz(2.4)bxbybz2.2.2 2.2.2 平面(平面(PlanesPlanes)平面可用一个行矩阵表示,即p=abcd(2.5)它表示了平面p的法线方向,且距坐标原点的距离为d/m,其中m=(2.6)如图2.2所示,如果将xy平面沿z轴正方向平移一个单位距离,构成平面p,则p=001-1即a=0,b=0,c=1,d=-1,m=1平面p上任一点v为v=x y11T,它与平面p的点乘为零,即pv=0平面p上方任一点v,如v=0021T,它与平面p的点乘为一个正数,即pv=1平面p下方任一点v,如v=0001T,它与平面p

6、的点乘为一个负数,即pv=-1注意:平面注意:平面 0 0 0 0 无定义。无定义。a2+b2+c2a2+b2+c2图2.2平面的描述0vpzyx1yxH空间的变换是由44矩阵来完成的,它可以表示平移、旋转、扩展和透视等各种变换。如已知点u(在平面p上),它的变换v(在平面q上)用矩阵积表示为v=Hu(2.7)其中H为44变换矩阵,u和v为41的点列向量,相应的平面p到q的变换是q=pH-1(2.8)其中H-1为H的逆阵,p和q为14的平面行向量。经变换后的平面向量q与点向量v的点乘为qv=pH-1Hupu(2.9)与变换前平面p与点u的点乘相等,证明了变换的等效性。2.3 2.3 变换变换(

7、Transformation)2.4 2.4 平移变换平移变换(Translation transformation)用向量 h ai+bj+ck进行平移,其相应的H变换矩阵是100a010bH=Trans(abc)=001c(2.10)0001 因此对向量 u=xyzwT,经H变换为向量v可表示为x+awx/w+ay+bwy/w+bv=z+cw=z/w+c(2.11)w1 可见,平移实际上是对已知向量 u=xyzwT 与平移向量 h=abc1T相加。【例2.1】对点向量 u=2 3 2 1 T 进行平移,平移向量为 h=4 -3 7 1 T,则平移后的向量为 v=6 0 9 1 T,或 1

8、0 0 4 2 6 0 1 0 3 3 0 v=H u=0 0 1 7 2 =9 0 0 0 1 1 1 点向量的平移过程如图2.3所示。对平面的平移则用 H1进行变换,如对平面 p=100-2进行H变换为平面q,则根据变换原理有 1 0 0 -4 0 1 0 3qpH1100-20 0 1 -7 0 0 0 1 100-6 平面p100-2是yz平面沿x正方向移动2个单位形成的平面(图2.3),点u=2321T是平面p上的一个点,它们的点乘pu=0。经H变换后的平面q100-6是yz平面沿x正方向移动6个单位形成的平面,点v=6091T是平面q上一个点,平面q与点v的点乘也应是零,即qv0,

9、说明变换前后的结果不变,证明H变换是正确的。u0zyx3P22图2.3点向量的平移v69qp2.5 2.5 旋转变换旋转变换(Rotation transformation)如图2.4所示,绕 x,y,z 轴旋转一个角的相应变换是10000cos-sin0Rot(x,)=0sincos0(2.12)0001cos0sin00100Rot(y,)=-sin0cos0(2.13)0001cos-sin00sincos00Rot(z,)=0010(2.14)0001注意:角旋转的正方向遵循右手螺旋法则(如图2.4所示)图2.4旋转变换0zyx【例2.2】点 u=7i+3j+2k,它绕z轴旋转90为v

10、,经式(2.14)变换得到(sin=1,cos=0)0-1007-3100037v=Rot(z,90)=001022000111 起始点u和终点v如图2.5所示。如将v点再绕y轴旋转90得到w。用式(2.13)变换得到 0010-32010077w=Rot(y,90)=-100023000111 结果如图2.6所示。如果将上述两次旋转结合起来,写成一个表达式得到 w=Rot(y,90)vRot(y,90)Rot(z,90)u用两个变换矩阵Rot(y,90)、Rot(z,90)和起始点u代入上式计算的结果与前面分两次计算的结果相同。2uzyxv0图2.5Rot(z,90)yuv0zxw图2.6R

11、ot(y,90)Rot(z,90)27为此,先将点u绕z轴旋转90,然后再绕y轴旋转90,我们得到 00100-100720100100037wRot(y,90)Rot(z,90)u=-10000010230001000111如果按着逆序旋转,首先绕y轴旋转90,然后再绕z轴旋转90,其结果为 0-10000107-31000010032w=Rot(z,90)Rot(y,90)u=0100-10002=-70001000111 逆序旋转的结果如图2.7所示。显然,变换的顺序不同,其结果也不同变换的顺序不同,其结果也不同。这从矩阵相乘是不可交换的(ABBA)也可以得到证明。如对经过两次旋转变换得

12、到的点向量w再进行一次平移(平移向量为h4-371T),则可得到如图2.8所示的点向量n。变换过程如下100426010-374n=Trans(4,3,7)w=00173=10000111zuv0yxw 图2.8Trans(4,-3,7)Rot(y,90)Rot(z,90)n72w0zyxu图2.7Rot(z,90)Rot(y,90)2-7v2.6 2.6 坐标系坐标系 (Coordinate frames)齐次变换矩阵H由四个列向量组成,它的前三个列向量称为方向向量,由式(2.12)到式(2.14)的旋转变换(分别绕x、y、z轴旋转角)确定,第四个列向量称为平移向量,它的平移分量(沿x、y、

13、z轴的平移量)由式(2.10)第四列的前三个元素确定。如0014100-3HTrans(4,-3,7)Rot(y,90)Rot(z,90)=0107(2.15)0001 坐标系的原点,即零向量0001T的H变换是4-371T,相当于将原点按平移向量的各个分量进行平移的结果(如图2.9所示)。如果对x、y、z轴的单位向量进行H变换,分别得到4-271T、4-381T和5-371T。这四个向量在图2.9中标出,并形成了一个新坐标系。0zyxzyx0Trans(4,-3,7)Rot(z,90)Rot(y,90)图2.9坐标原点与单位向量的H变换这个新坐标系的x、y、z轴的方向分别是0,1,0,0T、

14、0,0,1,0T和1,0,0,0T,它是由单位向量的H变换减去这个坐标原点的向量得到的。这些方向向量相应于变换矩阵的前三列(见式(2.15)。可见,H变换矩阵描述了一个坐标系绕原参考坐标系旋转和对参考坐标系平移的三个轴的方向和原点的位置(见图2.9)。如图2.10所示,当对一个向量n进行式(2.15)给出的H变换时,原向量n可以被认为是在新坐标系描述的那个向量u,即被变换了的向量u就是相对于参考坐标系描述的同一个向量n。00zzyyxxu(7,3,2,1)n(6,4,10,1)图2.10向量的H变换2.7 2.7 相对变换相对变换(Relative transformation)我们刚刚描述的

15、旋转和平移都是相对于一个固定的坐标系而进行的。这样,在已给的例子里0014100-3Trans(4,-3,7)Rot(y,90)Rot(z,90)=0107(2.16)0001坐标系首先绕参考坐标系z轴旋转90,然后绕y轴旋转90,最后平移4i3j+7k,如图2.9所示。如果以相反次序从左到右来进行这些操作:首先对坐标平移4i3j+7k,然后将它绕当前坐标系的y轴旋转90,此时当前坐标系的y轴与参考坐标系的y轴是相同的。然后再绕着新坐标系(当前的)坐标系的z轴旋转90,所得结果与前面的方法相同(见图2.11)。00zzzzyyyyxxxxRot(y,90)Rot(z,90)Trans(4,-3

16、,7)坐标原点图2.11相对变换 一般的情况下,如果我们用一个旋转和/或平移变换矩阵右乘一个坐标系的变换,那么产生的平移和/或旋转是相对于前一个变换的坐标系(当前坐标系)的轴来说的。如果我们用一个描述平移和/或旋转的变换矩阵左乘一个坐标系的变换,那么产生的平移和/或旋转是相对于基坐标系来说的。【例2.3】给一个坐标系C和一个变换T,T为绕z轴旋转90,并在x轴方向上平移10个单位,当变换是相对于基坐标系产生时,我们用T左乘C得到新的位置x为0-1010100200010100000-11010020 x=TC=001001000100(2.17)000100010001当变换是相对于当前坐标系

17、C轴产生时,我们用T右乘C得到新的位置y为100200-10100-103000-110100000-110y=CT=010000101000(2.18)000100010001结果如图2.12所示。YXTrans(10,0,0)Rot(z,90)0zyxxxxxyyyyzzzzRot(z,90)Trans(10,0,0)图2.12相对于基坐标系和当前坐标系的变换2.8 2.8 物体的描述物体的描述(Object representation)变换可用来描述物体的位置与方向(方位)。如图2.13所示的楔形物体用六个角点来描述,这六个角点是相对于物体所在的参考坐标系的。如果把物体绕z轴旋转90,

18、然后绕y轴旋转90,接着沿x方向平移4个单位,我们可以描述这个变换为00141000Trans(4,0,0)Rot(y,90)Rot(z,90)=01000001这个变换表示了对参考坐标系的旋转和平移操作,变换后物体的六个角点为44664400141-1-111-11-1-111-11000000044000044=01000002201111110001111111变换后该物体在坐标上的方位如图2.13所示。从图2.13可以看出,由于楔形物体的角点与它所在的坐标系有固定的关系,因此没有必要对所有的角点进行变换,只要对物体所在的坐标系进行变换,就可得到变换后的各个角点在基坐标中的位置,将这些角

19、点用直线连接起来就可得到楔形物体的边缘,它与逐点变换的结果完全相同(见图2.14)。(-1,0,0)(-1,0,2)(1,0,2)(1,4,0)(-1,4,0)(1,0,0)zyx0图2.13楔形物体图2.14被变换的楔形物体(4,1,0)(4,-1,4)(4,1,4)(6,1,0)(6,-1,0)(4,-1,0)yx0yxzz2.9 2.9 逆变换逆变换(Inversetransformation)所谓逆变换就是将被变换的坐标系返回到原来的坐标系,在数学上就是求变换矩阵的逆。下面我们写出变换矩阵的一般表达形式nxoxaxpxnyoyaypyT=nzozazpz(2.19)0001式中n,o,

20、a是旋转变换列向量,p是平移向量,其逆是nxnynz-p.noxoyoz-p.oT-1=axayaz-p.a(2.20)0001式中的“.”表示向量的点积。这个结果很容易用式2.19右乘式2.20是单位矩阵来证明。2.10 2.10 一般性旋转变换(一般性旋转变换(Generalrotationtransformation)前面我们介绍的旋转变换都是绕x,y,z轴旋转的旋转变换,这些变换都有一个简单的几何解释。例如:在绕z轴旋转的情况下,表示z轴保持恒定,x轴和y轴将如图2.15所示那样变化。图2.15绕z轴的旋转z0zyyxxCosSinSinCos 如图2.16所示,给出一个变换矩阵C,它

21、绕任意向量k旋转,我们把k当作C坐标系的z轴单位向量。nxoxax0nyoyay0C=nzozaz0(2.21)0001k=axi+ayj+azk(2.22)绕k旋转就相等于绕C坐标系的z轴旋转。Rot(k,)=Rot(Cz,)(2.23)如果我们给一个坐标系T,它在参考坐标系里被描述,它在C坐标系里用X描述,这样T=CX(2.24)其中X描述T相对C的位姿,求X,我们得到X=C-1T(2.25)kTzzyyxxx00图2.16一般性旋转变换CT绕k旋转就等于绕坐标系的z轴旋转Rot(k,)CRot(z,)X(2.26)Rot(k,)CRot(z,)C-1T(2.27)这样Rot(k,)CRo

22、t(z,)C-1(2.28)展开式(2.28),我们发现CRot(z,)C-1仅是k的函数。用C-1右乘Rot(z,),我们得到cos-sin00nxnynz0sincos00oxoyoz0Rot(z,)C-10010axayaz000010001nxcosoxsinnycosoysinnzcosozsin0nxcos+oxsinnycos+oysinnzcos+ozsin0=axayaz0(2.29)0001再用C左乘nxoxax0nyoyay0C=nzozaz0(2.30)0001得到CRot(z,)C-1=nxnxcosnxoxsin+nxoxsin+oxoxcos+axaxnynxco

23、snyoxsin+nxoysin+oyoxcos+ayaxnznxcosnzoxsin+nxozsin+ozoxcos+azax0nxnycosnxoysin+nyoxsin+oyoxcos+axaynynycosnyoysin+nyoysin+oyoycos+ayaynznycosnzoysin+nyozsin+oyozcos+azay0nxnzcosnxozsin+nzoxsin+ozoxcos+axaz0nynzcosnyozsin+nzoysin+ozoycos+ayaz0nznzcosnzozsin+nzozsin+ozozcos+azaz0(2.31)01应用下列关系进行简化:C坐

24、标系任意的行或列与其他行或列的点积为零,因为这些向量是正交的;C坐标系任意的行或列与其自身的点积为I,因为它们是单位量;z向量是x和y向量的叉积:a=no,它有下列分量ax=nyoznzoyay=nzoxnxozaz=nxoynyox正矢Vers=(1cos),简写成Vers,且kx=ax,ky=ay,kz=az。由此可得到简化式为Rot(k,)=kxkxVers+coskykxVerskzsinkzkxVers+kysin0kxkyVers+kzsinkykyVers+coskzkyVerskzxsin0kxkzVerskysinkykzVers+kxsinkzkzVers+cos0(2.3

25、2)0001上式是一般性的旋转变换的重要结论。从这个结论可以得出每一个基本旋转变换。例如:Rot(x,)就是Rot(k,)当kx=1,ky=0,kz=0的情况,将这些值代入式(2.32)得到10000cos-sin0Rot(x,)=0sincos0(2.33)0001这个结果与以前一样。2.11 等价旋转角与旋转轴等价旋转角与旋转轴(Equivalentangleandaxisofrotation)任给一个旋转变换,从(2.32)方程得到一个轴,绕这个轴旋转的等价旋转角可由如下方法得到。已知一个旋转变换Rnxoxax0nyoyay0R=nzozaz0(2.34)0001令R和式(2.32)的R

26、ot(k,)相等,并将对角线各项相加得到nx+oy+az+1=k2xVers+cos+k2yVers+cos+k2zVers+cos+1(2.35)nx+oy+az=(k2x+k2y+k2z)Vers+3cos=1+2cos(2.36)由此可得到旋转角的余弦是cos=1/2(nx+oy+az1)(2.37)对非对角线项相减,我们得到ozay=2kxsin(2.38)axnz=2kysin(2.39)nyox=2kzsin(2.40)把式(2.38)到式(2.40)两边平方并相加有(ozay)2+(axnz)2+(nyox)2=4sin2(2.41)我们得到了sin的表达式sin=1/2(oza

27、y)2+(axnz)2+(nyox)2(2.42)规定这个旋转是绕k正方向旋转,当0180时,在上式中取十号是合理的。这个旋转角被唯一定义为tan=(ozay)2+(axnz)2+(nyox)2/(nx+oy+az1)(2.43)k的各分量为kx=(ozay)/2sin(2.44)ky=(axnz)/2sin(2.45)kz=(nyox)/2sin(2.46)注注意意:当旋转角较小或接近180时,上述三个式子的分子和分母都很小,所计算的k值是不精确的。为此可继续根据式(2.32)和式(2.33)对应元素以及它们的代数和相等的关系来求出k的各个分量。2.12 2.12 扩展与缩小扩展与缩小(St

28、retching and scaling)一个变换Ta0000b00T=00c0(2.47)0001将沿着x轴以a因子,沿着y轴以b因子,沿着z轴c因子均匀扩展着各种物体。假定在一个物体上任意一个点xi+yj+zk,它的变换是axa000 xby0b00ycz=00c0z(2.48)100011这个正好表示出所说的扩展。这样,一个正方体可以由这个变换变成长方体。变换ss0000s00s=00s0(2.49)0001将以s为比例因子来扩展或缩小任一物体。2.13 透视变换透视变换(Perspective transformation)假设由一个简单透镜把一个物体形成的像如图2.17所示。透镜的轴

29、沿着y的方向,焦距为f,物体上的一个点x,y,z成象为x/,y/,z/。y/表示象距,它随着物距y而变化。如果在通过y/而垂直于y的平面(照相机的底片)上画出各个点,那么就形成了一个透视像。射线穿过透镜中心不偏转,则z/y=z/y/(2.50)x/y=x/y/(2.51)根据平行透镜的轴的射线通过焦点,我们可以写出z/f=z/(y/+f)(2.52)x/f=x/(y/+f)(2.53)x/y/和 z/是负数,而 f是正数。用式(2.50)和式(2.52)消去 y/,得z/f=z/(z/y/z+f)(2.54)zyx0(x,y,z)(x,y,z)f图2.17透视变换求出x/=x(1y/f)(2.

30、55)y/=y(1y/f)(2.56)z/=z(1y/f)(2.57)齐次变换p能导出同样结果,变换p是10000100p=0010(2.58)0-1/f01任何一点xi+yj+zk变换为x1000 xy0100yz=0010z(2.59)1y/f0-1/f011用比例因子1y/f除得到的象点x/,y/,z/有x/(1y/f)i+y/(1y/f)j+z/(1y/f)k(2.60)这个结果与前面利用透视原理的结果完全相同。在p变换的第二列最底一元素为1/f,则导出一个沿着y轴的一透视变换。如果1/f是第三列最底一项,那就是沿z轴的透视变换。2.14 2.14 变换方程变换方程(Transform

31、 equations)研究一下图2.18描述的一个物体与机械手情况,机械手用变换 Z相对于基坐标系被定位。机械手的端点用变换 ZT6来描述,而末端执行器用变换 T6E来描述。物体用变换 B相对于基坐标系被定位。最后,机械手末端抓手用变换 BG相对于物体被定位。末端抓手位置的描述有两种方式,一种是相对于物体的描述,一种是相对于机械手的描述。由于两种方式描述的是同一个点,我们可以把这个描述等同起来,得到 ZZT6T6E=BBG(2.61)这个方程可以用有向变换图来表示(见图2.19)。图的每一段弧表示一个变换。从它的定义的坐标系向外指向。用Z-1左乘和用E-1右乘方程(2.61),得到T6=Z-1

32、BGE-1(2.62)0EGBZT6zyx图2.18一个物体与机械手图2.19有向变换图GBET6Z0从有向变换图上我们可以直接得到上述结果,从T6弧线的尾部开始,沿着图形顺时针依次列出各个变换,直到T6弧的箭头为止。在逆变换时,我们从T6弧的箭头开始,按逆时针方向依次列出各个变换,直到T6弧的起始点为止,则可得到T6的逆T6-1=EG-1B-1Z(2.63)对上式求逆得到与式(2.62)完全相同的结果。作为进一步的例子,假设一个物体B的位置不知道,但机械手移动,使得末端抓手正好定位在物体上面。然后用G-1右乘式(2.61)求出B。或者在有向变换图中从B的尾部沿着逆时针方向到达弧B的箭头,直接

33、得到同样结果。B=ZT6EG-1(2.64)同样,我们可以用有向变换图求出变换的连接组。例如ZT6=BGE-1(2.65)用有向变换图简化了变换方程的求解,可以直接写出变换结果。为了避免画圆,我们用图2.20所示的形式表示这个变换图,其中虚线表示那两个节点是被连在一起的,中间各垂线段表示相对坐标系。BGET6Z图2.20有向变换图的另一种形式2.15 小结小结(Summary)l齐次变换可以用来描述空间坐标系的位置与方向。如果坐标系被固定在物体或机械手连杆上,那么该物体或机械手的位置与方向同样很容易被描述。l物体A相对于物体B的齐次变换可以求其逆,来获得物体B相对于物体A的描述。l变换可以表示为旋转变换和/或平移变换的乘积。如果变换是从左到右,那么旋转和/或平移是相对于当前的坐标系。如果变换是从右到左,那么旋转和/或平移是相对于参考坐标系进行。l齐次变换用正交分量来描述坐标系,即用角度的正弦和余弦。这种描述可与旋转联系起来。在一般性旋转的情况下,旋转是绕任意向量旋转角。

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