测量误差与测量结果处理

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1、第 二 章 测 量 误 差 与 测 量 结 果 处 理 本 章 知 识 将 对 测 量 当 中 的 误 差 概 念 、 来 源 、 类别 以 及 测 量 数 据 的 处 理 等 进 行 学 习 。本 章 主 要 知 识 点 1 误 差 的 概 念 及 表 示 方 法 （ 重 点 ）2 误 差 的 分 析 和 处 理 （ 重 难 点 ）3 测 量 数 据 的 处 理 （ 重 难 点 ）4 误 差 的 合 成 与 分 配 （ 难 点 、 略 ） 第 一 节 误 差 的 概 念 及 表 示 方 法2.1.1 常 用 测 量 术 语1、 一 次 测 量 和 多 次 测 量一 次 测 量 ： 对 一 个

2、 被 测 量 进 行 一 次 测 量 的 过 程 ，也 称 必 须 测 量 。多 次 测 量 ： 对 一 个 被 测 量 进 行 不 止 一 次 的 测 量 ，可 观 测 结 果 的 一 致 性 。2、 等 精 度 测 量 和 非 等 精 度 测 量等 精 度 测 量 ： 测 量 条 件 保 持 不 变 的 多 次 测 量 。非 等 精 度 测 量 ： 测 量 条 件 不 能 维 持 不 变 情 况 下 的多 次 测 量 。 3、 真 值 、 最 佳 值 、 实 际 值 、 约 定 真 值真 值 ： 被 测 量 本 身 的 真 实 值 ， 用 A0表 示 ， 通 常 真值 是 不 可 知 的

3、， 实 际 中 通 常 用 最 佳 值 来 代 替 。最 佳 值 ： 在 理 想 情 况 下 ， 在 排 除 系 统 误 差 的 前 提下 ， 进 行 无 数 次 测 量 的 算 术 平 均 值 就 是 真 实 值 。将 满 足 一 定 测 量 精 度 的 、 有 限 次 测 量 的 算 术 平 均值 就 是 最 佳 值 ， 也 称 为 实 际 值 、 实 际 真 值 或 者 相对 真 值 ， 用 A表 示 。实 际 值 ： 满 足 规 定 准 确 度 要 求 ， 用 来 代 替 真 值 使用 的 量 值 。 常 用 高 一 等 级 或 数 级 的 计 量 标 准 所 测得 的 量 值 作 为

4、 实 际 值 。约 定 真 值 A S： 法 令 形 式 定 下 来 的 实 物 基 准 。 4、 示 值也 称 为 测 量 值 或 者 指 示 值 ， 是 指 测 量 器 具 的 读 数装 置 所 指 示 出 来 的 被 测 量 的 数 值 ， 用 表 示 。 5、 测 量 误 差测 量 结 果 与 被 测 真 值 的 差 异 ， 通 常 可 以 分 为 绝 对误 差 和 相 对 误 差 俩 种 。6、 测 量 准 确 度测 量 结 果 与 真 值 一 致 的 程 度 ， 用 准 确 度 等 级 描 述 。7、 测 量 精 密 度误 差 （ 或 者 测 量 值 ） 分 布 的 密 集 或 离

5、 散 程 度 。8、 标 称 值测 量 器 具 上 标 定 的 数 值 ， 例 如 砝 码 上 的 标 定 值 。 2.1.2 测 量 误 差 的 来 源测 量 的 目 的 是 得 到 被 测 量 的 真 实 结 果 （ 真 值 ） ，但 真 值 往 往 很 难 获 取 。 测 量 值 与 真 值 间 的 差 异 称为 测 量 误 差 。对 客 观 事 物 认 识 的 局 限 性 、 测 量 工 具 不 准 确 、 测量 手 段 不 完 善 、 环 境 影 响 或 者 测 量 工 作 中 的 疏 忽等 都 会 产 生 测 量 误 差 ， 误 差 是 不 可 避 免 的 。 例 如 ：1、 前

6、次 测 量 和 后 次 测 量 的 结 果 不 一 致 ；2、 不 同 仪 器 测 量 时 测 得 的 结 果 间 存 在 差 异 ；3、 同 一 个 人 、 同 一 台 仪 器 的 俩 次 测 量 误 差 不 同 ；4、 对 同 一 被 测 量 采 用 不 同 方 法 测 量 也 存 在 误 差 。 有 测 量 就 有 误 差 ， 误 差 存 在 于 一 切 科 学 实 验 和 测量 的 全 过 程 ， 不 含 误 差 的 测 量 是 不 存 在 的 。测 量 误 差 并 不 可 怕 ， 重 要 的 是 我 们 要 知 道 实 际 测量 的 精 确 程 度 和 产 生 误 差 的 原 因 。

7、研 究 误 差 的 目 的 ， 归 纳 起 来 可 有 如 下 几 个 方 面 ：1、 正 确 认 识 误 差 的 来 源 和 性 质 以 减 小 测 量 误 差 ；2、 正 确 处 理 测 量 数 据 ， 以 得 到 接 近 真 值 的 结 果 ；3、 合 理 地 制 定 测 量 方 案 ， 组 织 科 学 实 验 ， 正 确 地选 择 测 量 方 法 和 测 量 仪 器 ；4、 在 设 计 仪 器 时 ， 需 要 使 用 误 差 理 论 进 行 分 析 并适 当 控 制 可 能 的 误 差 因 素 ， 以 减 小 测 量 误 差 。 误 差 的 来 源 分 主 要 有仪 器 误 差 ： 也

8、 称 设 备 误 差 ， 因 设 计 、 制 造 、 装 配的 不 完 善 以 及 仪 器 使 用 过 程 中 的 元 器 件 老 化 、 零部 件 损 坏 等 引 入 的 误 差 。使 用 误 差 ： 也 称 操 作 误 差 ， 指 对 测 量 设 备 操 作 不当 造 成 的 误 差 。人 身 误 差 ： 由 于 测 量 人 员 的 感 觉 和 运 动 器 官 不 完善 、 固 有 习 惯 等 产 生 的 误 差 。环 境 误 差 ： 也 称 影 响 误 差 ， 由 于 各 种 环 境 因 素 与要 求 的 测 量 条 件 不 一 致 所 造 成 的 误 差 。方 法 误 差 ： 测 量

9、方 法 不 完 善 （ 不 当 ） 或 测 量 原 理不 严 密 所 引 起 的 误 差 ， 也 称 理 论 误 差 。 2.1.3 测 量 误 差 的 分 类1、 按 照 误 差 的 表 示 方 法 分 可 以 分 为 ： 绝 对 误 差 、 相 对 误 差 、 引 用 误 差 （ 用 于 表示 仪 器 时 ） 2、 按 照 误 差 的 性 质 分 可 以 分 为 ： 系 统 误 差 、 随 机 （ 偶 然 ） 误 差 、 疏 失 （ 粗大 ） 误 差3、 按 照 测 量 误 差 的 来 源 可 以 分 为 ： 仪 器 误 差 、 使 用 误 差 、 人 身 误 差 、 环 境 误差 、 方

10、 法 误 差 2.1.4 测 量 误 差 的 表 示 方 法1、 绝 对 误 差 ： 测 量 结 果 与 被 测 量 的 真 值 间 的 差 值 。0Axx 因 A0不 可 知 或 难 以 获 取 ， 常 用 实 际 值 A来 代 替 。Axx 即 ：与 绝 对 误 差 大 小 相 等 、 符 号 相 反 的 量 值 为 修 正 值 。xAxc 即 ：修 正 值 是 由 上 一 级 标 准 (基 准 )检 定 或 由 生 产 厂 家以 表 格 、 曲 线 或 者 公 式 的 形 式 给 出 。 测 量 时 利 用修 正 值 可 得 被 测 量 的 实 际 值 。 绝 对 误 差 含 正 负 号

11、 ，可 以 表 示 偏 大 或 者 偏 小 VUuU 11001010 mVU 97.7)03.0(8 例 2.1.1 已 知 被 测 电 压 真 值 U0为 100V， 用 电 压 表测 量 指 示 值 (示 值 )u为 101V， 则 其 绝 对 误 差 为 ?例 2.1.2 用 晶 体 管 毫 伏 表 10mV挡 测 量 时 示 值 8mV，8mV处 修 正 值 是 -0.03mV， 被 测 电 压 的 实 际 值 为 ?VU 1100101 1 VU 1562 例 2.1.3 已 知 俩 被 测 电 压 实 际 值 U1= 100V和 U2= 5V，指 示 值 (示 值 )分 别 为

12、u1=101V和 u2=6V， 则 其 绝 对误 差 分 别 为 ? 俩 者 的 测 量 准 确 程 度 相 同 吗 ? 2 相 对 误 差 %100 Ax A 绝 对 误 差 可 以 反 映 测 量 误 差 的 大 小 和 方 向 ， 但 不 能说 明 测 量 的 准 确 程 度 ， 因 此 引 入 相 对 误 差 。 相 对 误差 有 3种 不 同 的 表 示 形 式 ： 实 际 （ 值 ） 相 对 误 差 ： 绝 对 误 差 与 被 测 量 的 实 际值 的 百 分 比 值 。 示 值 相 对 误 差 ： 绝 对 误 差 与 读 数 值 （ 指 示 值 ） 的百 分 比 。 %100 x

13、xx %100 mmm xx 满 度 （ 相 对 ） 误 差 或 引 用 误 差 ： 仪 器 量 程 内 最 大绝 对 误 差 与 测 量 仪 器 满 度 值 （ 量 程 上 限 ） 的 百 分 比 。常 用 来 定 义 仪 表 的 准 确 度 等 级 ， 用 s表 示 。 按 m值分 为 0.1、 0.2、 0.5、 1.0、 1.5、 2.5、 5.0共 7级 。例 如 ， 1.0级 表 示 仪 表 最 大 满 度 相 对 误 差 值 不 超 过 1.0%， 仪 表 等 级 越 大 ， 测 量 准 确 度 就 越 低 。%)100(% max mm xxs mm xx max 例 2.1.

14、4 要 测 量 一 个 40V左 右 的 电 压 ， 有 两 块 电 压表 ， 其 中 一 块 量 程 为 50V、 1.5级 ， 另 一 块 量 程 为100V、 1.0级 ， 问 应 选 用 哪 一 块 表 测 量 比 较 合 适 ？解 ： 第 一 块 电 压 表 测 量 的 绝 对 误 差 为 ：结 论 ： 因 为 要 测 量 的 是 同 一 个 被 测 量 ， 故 只 要 比 较 两 块 表测 量 时 产 生 的 绝 对 误 差 即 可 。 U1 50V ( 1.5%)= 0.75V第 二 块 电 压 表 测 量 的 绝 对 误 差 为 ： U2 100V ( 1.0%)= 1.0V

15、U1答 ： 应 选 用 第 一 块 电 压 表 测 量 。 例 .1.5 测 量 两 个 电 压 ， 分 别 得 测 量 值 为U1x=103V， U2x=12V， 实 际 值 为 U1=100V， U2=10V， 求两 次 测 量 的 绝 对 误 差 和 实 际 相 对 误 差 。解 ： 两 次 测 量 的 绝 对 误 差 、 相 对 误 差 分 别 为 : U2=U2x U2 =12 10=2V A1=3/100=3%A2=2/10=20% U1=U1x-U1=103 100=3V例 2.1.6 已 知 某 被 测 电 压 为 80V， 用 1.5级 100V量 程的 电 压 表 测 量

16、， 可 能 产 生 的 最 大 绝 对 误 差 为 多 少 ？解 ： 因 为 xx maxxms 所 以 xmax= 1.5% 100= 1.5V结 论 ： 两 个 不 同 的 测 量 对 象 ， 绝 对 误 差 不 能 衡 量 准 确 程 度 。 例 2.1.7 用 电 压 表 校 准 万 用 表 时 测 得 的 两 个 电 压 值100V、 50V， 而 用 万 用 表 测 得 的 值 分 别 是 90V、 40V，求 两 次 测 量 的 绝 对 误 差 、 修 正 值 、 实 际 相 对 误 差 ？解 ： 根 据 题 意 知 ， 电 压 表 的 测 量 值 （ 校 准 值 ） 是 更高

17、精 度 等 级 的 测 量 值 ， 可 作 为 实 际 值 ， 因 此 ：UA1=100V Ux1=90V UA2=50V Ux2=40V U1=90V 100V= 10V C1= U1=10VA1= U/UA1 100%=-10V/100V 100%=-10% A2= U2/UA2 100%=-10V/50V 100%=-20%S)。微 差 法 实 际 上 是 将 被 测 量 x与 已 知 标 准 量 S比 较 ，但 是 不 要 求 俩 者 完 全 相 等 ， 只 要 求 二 者 接 近 即 可 ，其 差 值 可 由 小 量 程 仪 表 读 出 （ 或 指 示 出 与 该 差 值成 比 例

18、的 量 ） 。 绝 对 误 差 : Sx相 对 误 差 : xxSxx 因 为 : SS 并 令 : 可 得 : SS Sxx x由 于 Sx 或 者 所 以 Sx 或 者 很 小 ,使 得 仪 器 相对 误 差 对 测 量 误 差 x 影 响 大 大 减 小 .xSS SSS SS S 解 : VUUxS xS 199100 xxxxsxs UUxxUUxSUxUS SSSxSSxxx SUUUU ss %05.0%510010 例 2.2.1 设 US=100V， Ux=99V， 仪 表 相 对 测 量 误 差 US/US= 5%， 标 准 US的 误 差 小 的 可 以 忽 略 不 计

19、， 求测 量 电 压 Ux的 相 对 误 差 。 补 偿 法 ： 补 偿 法 相 当 于 部 分 替 代 法 或 不 完 全 替 代法 。 常 用 在 高 频 阻 抗 、 电 压 、 衰 减 量 等 的 测 量 中 。谐 振 法 测 电 容例 2.2.2 如 图 为 谐 振 法 测 电 容 原 理 图 ， 当 电 压 表 电压 达 到 最 大 值 是 产 生 谐 振 ， 则 020200 4 1)(2 1 CLfCCCLf xx 因 Cx与 f0、 L、 C0有 关 ，它 们 的 准 确 度 都 会 影 响Cx的 准 确 度 ， 因 此 Cx的测 量 准 确 度 很 难 提 高 。 补 偿 法

20、 测 电 容 先 断 开 Cx， 调 节 标 准 电容 Cs使 电 路 谐 振 ， 设 此时 电 容 为 Cs1， 此 时 有而 后 保 持 信 号 源 频 率 不 变 ， 接 入 Cx， 重 新 调 整 标准 电 容 达 到 谐 振 ， 设 此 时 电 容 为 Cs2， 则 有 )(2 1 010 CCLf s 21 ssx CCC )(2 1 020 CCCLf xs Cx仅 与 标 准 电 容 有 关 ， 因 而 测 量 准 确 度 要 高 的 多 。 对 照 法 (或 交 换 法 )： 利 用 交 换 被 测 量 在 测 量 系 统中 的 位 置 或 测 量 方 向 等 ， 设 法 使

21、 两 次 测 量 中 ， 误 差源 对 被 测 量 的 作 用 相 反 ， 取 两 次 测 量 值 的 平 均 值 作为 测 量 结 果 。 可 很 大 程 度 消 除 系 统 误 差 的 影 响 ， 特 别 适 用 于 平 衡 对 称结 构 的 测 量 装 置 中 ， 并 通 过 交 换 法 可 检 查 其 对 称 性 是 否 良好 。 (a) 天 平 称 重 xW W1l1 l2 xWW2 l1 l2 1 1 2xW l W l2 2 1xW l W l第 一 次 平 衡第 二 次 平 衡上 两 式 相 乘 、 开 方 得 ：1 2 1 21( )2xW WW W W 1 2 1 21(

22、)2x s s s sR R R R R 交 叉 读 数 法 ： 交 叉 读 数 法 是 对 照 法 的 一 种 特 殊 形式 。 以 LC谐 振 电 路 为 例 ， 其 谐 振 曲 线 如 图因 在 谐 振 点 fx=f0附 近 曲线 平 坦 ， 电 压 变 化 小 ，很 难 准 确 判 断 谐 振 状 态 ，因 而 引 入 一 定 的 方 法 误差 ： 2 21 fffx 021 UUQffx 若 U/U0=2%， Q=100，则 误 差 f/fx为 1 10-3。改 用 交 叉 读 数 法 ， 测 出 两 个 失 谐 频 率 f1和 f2， 则52 1025.181 Qffx （ 3）

23、消 除 或 削 弱 系 统 误 差 的 其 他 方 法 利 用 修 正 值 或 修 正 因 数 加 以 消 除根 据 校 正 曲 线 、 校 正 数 据 或 校 正 公 式 进 行 修 正 。 随 机 化 处 理对 同 一 被 测 量 利 用 多 台 仪 器 测 量 取 平 均 值 。 智 能 仪 器 中 系 统 误 差 的 消 除（ a） 、 直 流 零 位 校 准测 量 输 入 端 直 流 短 路 时 的 输 出 电 压 ， 并 存 下 测 得 的数 据 ， 实 际 测 量 中 将 测 得 值 与 其 相 减 即 可 。（ b） 、 自 动 校 准测 量 仪 器 各 种 电 路 因 素 引

24、 起 的 系 差 用 微 处 理 器 实 现自 动 校 准 。 2.2.2 随 机 误 差 的 判 断 和 处 理1 随 机 误 差 （ 偶 然 误 差 或 随 差 ） 的 定 义 及 产 生 原 因随 机 误 差 ： 对 同 一 量 值 进 行 一 系 列 等 精 度 重 复 测 量时 ， 测 量 结 果 出 现 无 规 律 随 机 变 化 的 误 差 。主 要 由 影 响 微 弱 、 变 化 复 杂 而 又 互 不 相 关 的 多 种 因素 共 同 造 成 。 是 多 因 素 微 小 误 差 的 总 和 ， 原 因 有 测 量 仪 器 中 零 部 件 配 合 不 稳 定 或 有 摩 擦 ,

25、仪 器 内 部部 件 产 生 噪 声 等 ； 温 度 及 电 源 电 压 的 频 繁 波 动 ,电 磁 场 干 扰 、 地 基 振动 等 ； 测 量 人 员 感 觉 器 官 的 无 规 则 变 化 ， 读 数 不 稳 定 等原 因 引 起 的 误 差 均 可 造 成 随 机 误 差 。 2 随 机 误 差 的 特 点（ 1） 在 多 次 测 量 中 ， 绝 对 值 小 的 误 差 出 现 的 次 数比 绝 对 值 大 的 误 差 出 现 的 次 数 多 。（ 2） 在 多 次 测 量 中 ， 绝 对 值 相 等 的 正 误 差 与 负 误差 出 现 的 概 率 相 同 ， 即 具 有 对 称

26、性 。（ 3） 测 量 次 数 一 定 时 ， 误 差 的 绝 对 值 不 会 超 过 一定 的 界 限 ， 即 具 有 有 界 性 。（ 4） 随 机 误 差 的 算 术 平 均 值 随 测 量 次 数 的 增 加 而趋 近 于 零 ， 正 负 误 差 具 有 抵 偿 性 。采 用 多 次 测 量 求 平 均 可 以 削 弱 随 机 误 差 。 只 要 测 量次 数 足 够 多 ， 随 机 误 差 的 影 响 就 可 以 足 够 小 。 随 机 误 差 的 平 均 值 :3 随 机 误 差 分 散 程 度 的 计 算在 统 计 学 里 ， 一 组 测 量 数 据 可 由 总 体 平 均 值

27、或 分 散程 度 来 描 述 。 算 术 平 均 值 说 明 了 测 量 值 的 总 体 平 均大 小 ， 测 量 数 据 的 分 散 程 度 一 般 用 方 差 和 标 准 差 来表 示 ， 表 示 测 量 结 果 的 精 密 程 度 。若 设 测 量 次 数 为 n， 每 次 测 量 值 为 xi， 实 际 值 为 A 算 术 平 均 值 ni ixnx 11 ni ini i Axnn 11 )(11 Axx iii 随 机 误 差AxAxnAnxn ni inini i 111 111当 n 时 ， Axi 0 但 是 实 际 应 用 中 测 量 无数 次 是 不 可 能 的 ， 当

28、测量 次 数 足 够 大 时 ， 可 近似 认 为 算 术 平 均 值 就 是实 际 值 。 剩 余 误 差 : xxv ii 01 111111 ni ini ini inini ini i xnnxxnxxxv当 n 时 ， 残 差 的 代 数 和 等 于 零 。随 机 误 差 反 映 了 实 际 测 量 的 精 密 度 ， 即 测 量 值 的 分散 程 度 ， 但 因 其 具 有 抵 偿 性 而 不 能 用 其 算 术 平 均 值来 衡 量 测 量 值 的 精 密 度 。通 常 用 方 差 或 标 准 差 来 表 示 测 量 值 的 精 密 程 度 。实 际 中 ， 由 于 真 实 值

29、或 实 际 值 很 难 获 取 ， 因 此 随 机误 差 的 定 义 也 过 于 理 想 化 ， 因 此 定 义等 式 两 边 求 和 得 样 本 方 差 （ 简 称 方 差 ） ： ni inni in nAxn 1 21 22 1lim)(1lim 标 准 误 差 （ 均 方 根 误 差 ， 也 称 标 准 偏 差 或 标 准 差 ） ni inni in nAxn 1 21 2 1lim)(1lim 平 均 误 差 in n 1lim随 机 误 差 落 在 区 间 的 概 率 为 68.3% ， 极 限 误 差 3随 机 误 差 落 在 区 间 的 概 率 为 95.4% 22 ，随 机

30、 误 差 落 在 区 间 的 概 率 为 99.7% 33 ， 实 际 中 测 量 为 有 限 次 ， 随 机 误 差 用 残 差 代 替 ， 标 准差 用 其 估 计 值 来 代 替 。 标 准 差 估 计 值 ni ini i vnxxn 1 21 2 11)(11 nn xx 算 术 平 均 值 的 标 准 差或 者 ni i xnxn 1 2211 贝 塞 尔公 式若 在 相 同 条 件 下 将 同 一 被 测 量 分 成 m组 ， 每 组 重 复 n次 测 量 ， 则 每 组 测 得 值 都 有 一 个 算 术 平 均 值 。 由 于随 机 误 差 的 存 在 ， 这 些 算 术 平

31、 均 值 也 具 有 分 散 性实 际 中 不 再 区 分 ， 直 接 写 成 nvn xni i 1 211 2.2.3 粗 大 误 差 的 判 断 和 处 理1 粗 大 误 差 的 定 义 和 产 生 原 因粗 大 误 差 ： 指 在 一 定 的 测 量 条 件 下 ， 由 于 操 作 不 当 、测 量 失 误 等 原 因 造 成 ， 测 量 值 明 显 偏 离 实 际 值 所 造成 的 测 量 误 差 ， 又 称 为 疏 失 误 差 或 粗 差 。通 常 由 于 读 数 错 误 、 记 录 错 误 、 操 作 不 正 确 、 测 量条 件 的 意 外 改 变 等 因 素 造 成 的 ，

32、明 显 歪 曲 测 量 结 果 。 2 测 量 结 果 置 信 概 率 与 置 信 区 间置 信 概 率 （ 或 称 置 信 度 ） ： 用 来 描 述 测 量 结 果 在 数学 期 望 附 近 某 一 确 定 范 围 内 的 可 能 性 有 多 大 ， 一 般用 百 分 数 表 示 。 这 个 确 定 的 范 围 称 为 置 信 区 间 ， 即是 极 限 误 差 的 范 围 。 极 限 误 差 ： 定 义 为 一 个 随 机 误 差 的 极 限 值 。 通 常 用标 准 差 的 若 干 倍 表 示 。 显 然 ， 对 于 同 一 测 量 结 果 ，所 取 置 信 区 间 愈 宽 ， 则 置

33、信 概 率 愈 大 ， 反 之 愈 小 。 3 可 疑 数 据 的 剔 除 方 法莱 特 准 则 ： 在 测 量 数 据 为 正 态 分 布 、 且 测 量 次 数 足够 多 时 ， 如 果 某 个 测 量 数 据 的 剩 余 误 差 的 绝 对 值 满足 条 件 ：可 以 认 为 该 测 量 值 是 可 疑 数 据 ， 应 剔 除 。4 测 量 结 果 （ 不 含 系 差 与 粗 差 ） 的 表 示3 xxv ii xxx 3 2.2.4 测 量 误 差 一 般 处 理 原 则1、 利 用 粗 大 误 差 判 断 原 则 ， 首 先 判 断 和 剔 除 测 量数 据 中 的 粗 大 误 差

34、；2、 若 系 统 误 差 远 远 大 于 随 机 误 差 的 影 响 时 ， 可 忽略 随 机 误 差 ， 按 系 统 误 差 进 行 处 理 ；3、 若 系 统 误 差 极 小 或 已 得 到 修 正 ， 按 随 机 误 差 处理 ；4、 系 统 误 差 与 随 机 误 差 相 差 不 大 ， 二 者 均 不 可 忽略 时 ， 应 分 别 按 不 同 的 办 法 处 理 ， 然 后 估 计 其 最 终的 综 合 影 响 。 第 三 节 测 量 误 差 的 表 示 和 处 理2.3.1 测 量 结 果 的 评 价对 测 量 结 果 可 采 用 正 确 度 ， 精 密 度 和 准 确 度 三

35、种评 价 方 法 。准 确 度 ： 表 示 测 量 结 果 中 系 统 误 差 大 小 程 度 ；精 密 度 ： 表 示 测 量 结 果 中 随 机 误 差 的 大 小 程 度 ，简 称 为 精 度 ； 一 般 用 标 准 （ 偏 ） 差 来 表 示 ；精 确 度 ： 测 量 结 果 系 统 误 差 与 随 机 误 差 的 综 合 ，表 示 测 量 结 果 与 真 值 的 一 致 程 度 ； 例 2.3.1 用 一 块 0.5级 的 电 压 表 测 量 电 压 ， 当 量 程为 10 时 ， 指 针 落 在 大 于 8.5 的 附 近 区 域 ， 这 时测 量 数 据 应 取 几 位 ？解 :

36、 Vsxx m 05.0%5.010%max 可 见 ， 测 量 值 应 为 8.51、 8.52、 8.53等 ， 即 小 数 点后 面 取 俩 位 。2.3.2 测 量 数 据 的 处 理1 误 差 位 对 齐 法测 量 误 差 的 小 数 点 后 面 有 几 位 ， 则 测 量 数 据 的 小 数点 后 面 也 取 几 位 。 例 2.3.2 某 直 流 50V量 程 的 万 用 表 ， 其 分 辨 力 (刻 度盘 能 准 确 读 出 的 最 小 数 值 或 最 小 刻 度 )为 1V， 则 ：32.7V和 32.75V俩 种 读 数 那 一 个 是 恰 当 的 ?32.7V是 恰 当

37、的 。结 论 ： 上 例 中 32.7V被 称 为 测 量 记 录 值 ， 最 后 一 位 称 为 欠准 数 字 。 欠 准 数 字 后 面 再 有 数 字 是 无 意 义 的 。2 有 效 数 字 表 示 法有 效 数 字 ： 指 测 量 数 值 中 ， 从 左 边 第 一 位 非 零 数字 算 起 到 含 有 存 疑 数 字 为 止 的 所 有 数 字 。一 般 数 据 最 后 一 位 是 欠 准 确 度 的 估 计 数 字 ， 称 为存 疑 数 字 。 有 效 数 字 的 位 数 表 达 了 测 量 的 准 确 度 ，不 能 多 写 也 不 能 少 写 。 例 2.3.3 请 问 0.0

38、3560的 有 效 数 字 是 几 位 ？ 3000V可 以改 写 成 3KV、 3.0KV、 3.00KV、 3.000KV吗 ?答 :0.03560有 效 数 字 是 4位 。3000V只 能 改 写 为 3.000KV。电 子 测 量 中 ， 如 果 未 标 明 测 量 误 差 或 者 仪 器 分 辨 力(由 此 在 测 量 数 据 中 多 估 读 一 位 即 可 得 记 录 值 )， 通常 认 为 有 效 数 字 具 有 不 大 于 欠 准 数 字 (最 后 一位 )+0.5单 位 的 误 差 ， 称 为 0.5误 差 原 则 。例 2.3.4 试 分 别 判 断 下 列 数 字 的

39、最 大 误 差 ,0.0453V、0.453V、 0.43V、 40.67 ?答 ： 它 们 的 最 大 误 差 分 别 为 ： 0.00005V、 0.0005V、 0.005V、 0.005 。 有 效 数 字 舍 入 规 则 ： 当 测 量 数 据 中 有 多 余 的 有 效 数字 时 ， 这 些 数 字 是 没 有 意 义 的 ， 需 要 对 测 量 结 果 超过 保 留 位 数 的 多 余 数 字 要 进 行 舍 入 处 理 。 舍 入 规 则如 下 ：（ 1） 当 被 舍 的 数 字 大 于 5时 ， 则 舍 去 5向 前 进 一 位 ；（ 2） 当 被 舍 的 数 字 小 于 5

40、时 ， 直 接 舍 去 不 进 位 ；（ 3） 当 被 舍 的 数 字 刚 好 为 5时 ， 其 前 一 位 为 奇 数 时舍 5进 位 ， 反 之 舍 5不 进 位 ；例 2.3.5 将 下 列 数 字 保 留 到 小 数 点 后 一 位 :12.34、12.36、 12.35、 12.45.解 :结 果 分 别 为 :12.3、 12.4、 12.4、 12.4。 有 效 数 字 运 算 规 则 ： 当 需 要 对 几 个 测 量 数 据 进 行 运算 时 ， 要 考 虑 有 效 数 字 保 留 多 少 位 的 问 题 ， 以 便 不使 运 算 过 于 麻 烦 而 又 能 正 确 反 映

41、测 量 精 度 。计 算 结 果 位 数 的 保 留 原 则 上 取 决 于 各 参 与 计 算 的 数据 中 精 度 最 差 的 那 一 项 。（ 1） 加 法 运 算 ： 以 小 数 点 后 位 数 最 少 的 为 准 （ 若 无小 数 点 ， 则 以 位 数 最 少 的 为 准 ） ， 计 算 时 各 数 据 位数 可 比 其 多 取 一 位 （ 安 全 数 字 ） 进 行 计 算 。 00927.3469547.803.152838.10 01.34 009.34695.803.15284.10 01.34 01.3470.803.1528.10 （ 2） 减 法 运 算 ： 当 相

42、减 两 数 相 差 较 远 时 ， 原 则 同 加法 运 算 ， 当 两 数 很 接 近 时 ， 可 能 带 来 很 大 的 相 对 误差 ， 因 此 第 一 要 选 用 测 量 方 法 ， 尽 量 避 免 减 法 运 算 ，第 二 在 运 算 中 多 取 一 些 有 效 数 字 。（ 3） 乘 除 法 运 算 ： 以 有 效 数 字 位 数 最 少 的 为 准 ， 其余 参 与 运 算 的 数 字 及 结 果 的 有 效 数 字 位 数 与 之 相 等 。365.3548.3508.4 28.051708.4 28.043.517 5.3508.48804.14408.4 28.043.51

43、7 为 保 证 必 要 的 精 度 ， 参 与 乘 除 法 运 算 的 各 数 及 最 终运 算 结 果 也 可 以 比 有 效 数 字 位 数 最 少 的 数 多 取 一 位 。 （ 4） 乘 方 、 开 方 运 算 ： 运 算 结 果 比 原 数 多 保 留 一位 有 效 数 字 。 例 如 ： 28.16265 07.34.9 10322.1115 8.7728.27 422 2.3.3 测 量 结 果 的 处 理 （ 等 精 度 测 量 ）当 对 某 一 量 进 行 等 精 度 测 量 时 ， 测 量 结 果 中 可 能 包含 系 统 误 差 、 随 机 误 差 以 及 粗 大 误 差

44、 ， 为 给 出 正 确合 理 的 测 量 结 果 ， 应 进 行 如 下 数 据 处 理 ： 1、 将 测 量 数 据 按 先 后 次 序 列 表 。2、 求 算 术 平 均 值 ： ni ixnx 1 xxii 3、 计 算 每 一 次 测 量 值 的 剩 余 误 差 ： ni ivn 1 2114、 计 算 标 准 差 估 计 值 ： 3 xxv ii5、 按 莱 特 准 则 判 断 粗 大 误 差 ， 即 根 据 剔 除 坏 值 。6、 若 有 系 统 误 差 ， 则 修 正 或 消 除 后 重 新 测 量 。nx 7、 求 算 术 平 均 值 的 标 准 差 估 计 值 ：8、 写

45、出 测 量 结 果 的 表 达 式 ： xxA 3 例 2.3.6 对 某 电 压 进行 16次 等 精 度 测 量 ，如 表 所 示 xi vi vi (vi)21 205.30 0.00 +0.09 0.00812 204.94 -0.36 -0.27 0.07293 205.63 +0.33 +0.42 0.17644 205.24 -0.06 +0.03 0.00095 206.65 +1.356 204.97 -0.33 -0.24 0.05767 205.36 +0.06 +0.15 0.02258 205.16 -0.14 -0.05 0.00259 205.71 +0.41 +

46、0.50 0.2510 204.70 -0.60 -0.51 0.260111 204.85 -0.44 -0.35 0.1225 12 205.35 +0.05 +0.14 0.019613 205.21 -0.09 0.00 0.000014 205.19 -0.11 -0.02 0.000415 205.21 -0.09 0.00 0.000016 205.32 +0.02 +0.11 0.0121Vx 30.205)1( 解 ： 并 列 入 表 中） 计 算（ 6 iv 21.2055 x）（ 并 列 入 表 格 中xxv ii )2( 知的 原 则按 ,3)4( iv 3302.13

47、4434.0)3( 第 5个 数 据 含 粗 大 误 差 ，为 坏 值 ， 应 剔 除 ， 剩 15个 数 据 重 新 计 算 。无 粗 大 误 差再 无 坏 值原 则 知， 按 照）（ )(,381.038 iv 27.0)(1417 151 2 i iv）（ 07.01527.01510 x） 计 算（ 。， 由 图 可 见 无 系 统 误 差做 图 判 断 有 无 系 统 误 差） 对（ 9 iv Vxx x 2.02.205311 ：） 写 出 测 量 结 果 表 达 式（ 作 业 P56-602.1 2.4 2.5 2.12 2.13 2.15 2.16 2.17 2.27 2.28

48、 2.29 第 四 节 测 量 误 差 的 合 成 和 分 配 2211 xxfxxfy 前 面 的 学 习 中 已 知 直 接 测 量 时 存 在 系 统 误 差 、 随机 误 差 以 及 粗 大 误 差 ， 在 实 际 测 量 中 一 个 被 测 量 的获 得 可 能 包 括 几 种 直 接 测 量 误 差 。 那 么 如 何 根 据 若干 个 直 接 测 量 的 误 差 求 解 总 测 量 误 差 呢 ？2 4 1 测 量 误 差 的 合 成1 误 差 传 递 公 式绝 对 误 差 传 递 公 式 ： imi i xxfy 1 相 对 误 差 传 递 公 式 ： 2211 lnln xx

49、 fxx fy mi iiy xx f1 ln2 系 统 误 差 的 合 成 若 测 量 中 各 种 随 机 误 差 可 以 忽 略 ， 则 总 合 的 系 统 误差 可 由 各 分 项 系 统 误 差 合 成 。 jmj jy xf 1 3 随 机 误 差 的 合 成若 各 分 项 的 系 统 误 差 为 零 ， 则 总 合 的 随 机 误 差 为 mj jjy xf1 2 4 2 测 量 误 差 的 分 配1 等 准 确 度 分 配 当 总 误 差 中 各 分 项 性 质 相 同 、 大 小 相 近 时 ， 采 用等 准 确 度 分 法 ， 即 分 配 给 各 分 项 的 误 差 彼 此

50、相 同 。2 等 作 用 分 配 当 分 项 误 差 性 质 不 同 时 ， 采 用 等 作 用 分 配 方 法 ， 即分 配 给 各 分 项 的 误 差 在 数 值 上 不 一 定 相 等 ， 但 它 们 对测 量 误 差 总 和 的 作 用 是 相 同 的 。3 抓 住 主 要 误 差 项 进 行 分 配 在 各 分 项 误 差 中 某 项 误 差 特 别 大 时 ， 这 时 就 可 以 不考 虑 次 要 分 项 的 误 差 ， 或 酌 情 分 给 次 要 分 项 少 量 误 差比 例 ， 确 保 主 要 项 的 误 差 小 于 总 合 的 误 差 。 若 主 要 误 差 项 有 若 干 项 ， 可 把 误 差 在 这 几 个 主 要 误差 项 中 分 配 ， 考 虑 采 用 等 准 确 度 或 等 作 用 分 配 原 则 。