时域离散信号和时域离散系统

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1、第 一 章 ： 时 域 离 散 信 号 与 时 域 离 散 系 统 第 二 章 ： 时 域 离 散 信 号 和 系 统 的 分 析 第 三 章 ： 离 散 傅 立 叶 变 换 第 四 章 ： 快 速 傅 里 叶 变 换 第 五 章 ： 时 域 离 散 系 统 的 基 本 网 络 结 构 第 六 章 ： 无 限 脉 冲 响 应 数 字 滤 波 器 的 设 计 第 七 章 ： 有 限 脉 冲 响 应 数 字 滤 波 器 的 设 计 第 八 章 ： 其 他 类 型 的 数 字 滤 波 器 本 章 主 要 内 容1.1 引 言 1.2 时 域 离 散 信 号 1.3 时 域 离 散 系 统1.4 时

2、域 离 散 系 统 的 输 入 输 出 描 述 法 线 性 常 系 数 差 分方 程 1.5 模 拟 信 号 数 字 处 理 方 法1.6 小 结第 一 章 时 域 离 散 信 号 和 时 域 离 散 系 统 引 言 信 号 通 常 是 一 个 自 变 量 或 几 个 自 变 量 的 函 数 。 如 果 仅 有 一 个 自 变 量 ，则 称 为 一 维 信 号 ； 如 果 有 两 个 以 上 的 自 变 量 ， 则 称 为 多 维 信 号 。 本书 仅 研 究 一 维 数 字 信 号 处 理 的 理 论 与 技 术 。 关 于 信 号 的 自 变 量 ， 有多 种 形 式 ， 可 以 是 时

3、间 、 距 离 、 温 度 、 电 压 等 ， 我 们 一 般 地 把 信 号看 作 时 间 的 函 数 。 本 章 作 为 全 书 的 基 础 ， 主 要 学 习 时 域 离 散 信 号 的 表 示 方 法 和 典 型 信号 、 线 性 时 不 变 系 统 的 因 果 性 和 稳 定 性 ， 以 及 系 统 的 输 入 输 出 描 述法 ， 线 性 常 系 数 差 分 方 程 的 解 法 。 最 后 介 绍 模 拟 信 号 数 字 处 理 方 法 。 时 域 离 散 信 号 对 模 拟 信 号 xa(t)进 行 等 间 隔 采 样 ， 采 样 间 隔 为 T， 得 到 - n 这 里 n取

4、整 数 。 对 于 不 同 的 n值 ， xa(nT)是 一 个 有 序 的 数 字 序列 ： xa(-T)、 xa(0)、 xa(T) ， 该 数 字 序 列 就 是 时 域 离 散信 号 。 实 际 信 号 处 理 中 ， 这 些 数 字 序 列 值 按 顺 序 放 在 存 贮 器 中 ，此 时 nT代 表 的 是 前 后 顺 序 。 为 简 化 ， 采 样 间 隔 可 以 不 写 ， 形 成x(n)信 号 ， x(n)可 以 称 为 序 列 。 对 于 具 体 信 号 ， x(n)也 代 表 第 n个 序 列 值 。 a t=nT ax (t) =x (nT), -n 时 域 离 散 信

5、 号 需 要 说 明 的 是 ， 这 里 n取 整 数 ， 非 整 数 时 无 定 义 ， 另 外 ，在 数 值 上 它 等 于 信 号 的 采 样 值 ， 即 x(n)=xa(nT)， - n 信 号 随 n的 变 化 规 律 可 以 用 公 式 表 示 ， 也 可 以 用 图 形 表 示 。 如 果 x(n)是 通 过 观 测 得 到 的 一 组 离 散 数 据 ， 则 其 可 用集 合 符 号 表 示 ， 例 如 :x(n)= 1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1 时 域 离 散 信 号 常 用 的 典 型 序 列 单 位 采 样 序 列 d(n) 单 位 采 样 序 列 也 可

6、以 称 为 单 位 脉 冲 序 列 ， 特 点 是 仅 在 n=0时 取 值 为 1， 其 它 均 为零 。 它 类 似 于 模 拟 信 号 和 系 统 中 的 单 位 冲 激 函 数 (t)， 但 不 同 的 是 (t)在 t=0时 ，取 值 无 穷 大 ， t 0时 取 值 为 零 ， 对 时 间 t的 积 分 为 1。 单 位 采 样 序 列 和 单 位 冲 激信 号 如 图 所 示 。 1 0 1 2 31 n(n)( a ) (t) t0( b )1, 0( ) 0, 0nn n 时 域 离 散 信 号 单 位 阶 跃 序 列 u(n) 单 位 阶 跃 序 列 如 图 所 示 。 它

7、 类 似 于 模 拟 信 号 中 的 单 位 阶 跃 函 数 u(t)。 (n)与 u(n)之 间 的 关系 如 下 式 所 示 ： (n)= u(n) - u(n-1) 1, n0u(n)= 0, n0 u(n) 0 1 2 3 1 n k=0u(n)= (n-k) 时 域 离 散 信 号 矩 形 序 列 RN(n) 上 式 中 N称 为 矩 形 序 列 的 长 度 。 当 N=4时 ， R4(n)的 波 形 如 图 所 示 。 矩 形 序 列 可 用 单 位 阶 跃 序 列 表 示 ， 如 下 式 ： RN(n)=u(n)-u(n-N)N N-11,0nR (n)= 0,elseR4(n)

8、0 1 2 31 n 时 域 离 散 信 号 Example 给 定 信 号 x(n) ：（ 1） 试 用 延 迟 的 单 位 脉 冲 序 列 及 其 加 权 和 画 出 表 示 x(n)序 列 ；（ 2） 令 x1(n) 2 x(n-2)， 试 画 出 x1(n)的 波 形 ；（ 3） 令 x2(n) 2 x(n+2)， 试 画 出 x2(n)的 波 形 ；（ 4） 令 x3(n) x(2 - n)， 试 画 出 x3(n)的 波 形 。解 ： （ 1） 2n+5, -4n-1x(n)= 6, 0n40, 其 他( ) 3 ( 4) ( 3) ( 2) ( 1) 6 ( ) 6 ( 1) 6

9、 ( 2) 6 ( 3) 6 ( 4)x n n n n nn n n n n 时 域 离 散 信 号 Example （ 2） x1(n)的 波 形 是 x (n)的 波 形 右 移 2个 单 位 ， 再 乘 以 2， 波 形 如 下 。 n0 1 2 3 4 5 126-2-6 x1(n) 6 时 域 离 散 信 号 Example（ 3） x2(n)的 波 形 是 x (n)的 波 形 左 移 移 2个 单 位 ， 再 乘 以 2， 波 形 如下 。 x2(n) n0 1 2-2 -1 1262-2-6 -4 -3 时 域 离 散 信 号 Example（ 4） x3(n)的 波 形 ：

10、 先 画 x (-n)的 波 形 ， 然 后 右 移 移 2个 单 位 ， 波 形如 下 。 x3(n)0 1 26 3 1 -3-1 n 时 域 离 散 信 号 Example 给 定 信 号 x(n) ： 试 用 延 迟 的 单 位 脉 冲 序 列 及 其 加 权 和 画 出 表 示 x(n)序 列5 4( ) ( 1) ( 1)x n R n R n 0 0-1 1( ) ( 1) ( ) ( 4)x n n n n R5(n+1)-R4(n-1) x (n)n n 时 域 离 散 信 号 实 指 数 序 列 x(n)=anu(n)， a为 实 数 如 果 |a| 1， 则 称 为 发

11、散 序 列 。 其 波 形 如 图 所 示 。 时 域 离 散 信 号 正 弦 序 列 x(n) = sin( n) 式 中 称 为 正 弦 序 列 的 数 字 域 频 率 ， 单 位 是 弧 度 ， 它 表 示 序 列 变化 的 速 率 ， 或 者 说 表 示 相 邻 两 个 序 列 值 之 间 变 化 的 弧 度 数 。 如 果 正 弦 序 列 是 由 模 拟 信 号 xa(t)采 样 得 到 的 ， 那 么 xa(t)=sin( t) xa (t)|t=nT = sin( nT) x(n) = sin( n) 因 为 在 数 值 上 ， 序 列 值 与 采 样 信 号 值 相 等 ， 因

12、 此 得 到 数 字 频 率 与 模 拟 角 频 率 之 间 的 关 系 为 T 它 表 示 凡 是 由 模 拟 信 号 采 样 得 到 的 序 列 ， 模 拟 角 频 率 与 序 列 的数 字 域 频 率 成 线 性 关 系 。 由 于 采 样 频 率 f s与 采 样 周 期 T互 为 倒 数 ，也 可 以 表 示 成 下 式 ： / sf 时 域 离 散 信 号 复 指 数 序 列 x(n) = e( +j 0)n式 中 0为 数 字 域 频 率 ， 设 =0， 用 极 坐 标 和 实 部 虚 部 表 示 如下 式 ： x(n)=e j 0n x(n)=cos( 0n)+jsin( 0n

13、) 由 于 n取 整 数 ， 下 面 等 式 成 立 ： e j( 0+2 M)n= e j 0n, M=0, 1, 2 时 域 离 散 信 号 如 果 对 所 有 n存 在 一 个 最 小 的 正 整 数 N， 使 下 面 等 式 成 立 ： 周 期 序 列 x(n)=x(n+N), - n 0时 称 为 x(n)的 延 时 序 列 ； 当 n0 0时 ， 称 为 x(n)的 超 前 序 列 。 x(-n)则 是 x(n)的 翻 转 序 列 ， 用 图 (c)表 示 。 x(mn)是 x(n)序 列每 隔 m点 取 一 点 形 成 的 ， 相 当 于 时 间 轴 n压 缩 了 m倍 。 当

14、m = 2时 ，其 波 形 如 图 (d)所 示 。 时 域 离 散 系 统 设 时 域 离 散 系 统 的 输 入 为 x(n)， 经 过 规 定 的 运 算 ， 系 统 输 出 序 列 用y(n)表 示 。 设 运 算 关 系 用 T 表 示 ， 输 出 与 输 入 之 间 关 系 用 下 式 表示 ： y(n)=T x(n) 其 框 图 如 图 所 示 。 在 时 域 离 散 系 统 中 ， 最 重 要 的 是 线 性 时 不 变 系 统 ， 因 为 很 多 物 理 过 程 可 用这 类 系 统 表 征 。 y(n)x(n) T 时 域 离 散 系 统 线 性 系 统 满 足 叠 加 原

15、 理 的 系 统 称 为 线 性 系 统 设 x1(n)和 x2(n)分 别 作 为 系 统 的 输 入 序 列 ， 其 输 出 分 别 用 y1(n)和 y2(n)表 示 ，即 y1(n)=T x1(n) ， y2(n)=T x2(n) 那 么 线 性 系 统 一 定 满 足 下 面 两 个 公 式 ： T x1(n)+x2(n) = y1(n)+y2(n) (*) T a x 1(n) = a y1(n) (*) 满 足 (*)式 称 为 线 性 系 统 的 可 加 性 ； 满 足 (*)式 称 为 线 性 系 统 的 比 列 性 或 齐 次 性 ， 式 中 a是 常 数 。 将 以 上

16、两 个 公 式 结 合 起 来 ， 可 表 示 成 ： y(n)=T ax1(n)+bx2(n) =ay1(n)+by2(n) 上 式 中 ， a和 b均 是 常 数 。 时 域 离 散 系 统 【 例 】 证 明 y(n)=ax(n)+b (a和 b是 常 数 )， 所 代 表 的 系 统 是 非 线 性 系 统 。证 明 ： y1(n)=T x1(n) =ax1(n)+b y2(n)=T x2(n) =ax2(n)+b y(n)= T x1(n)+x2(n) =ax1(n)+ax2(n)+b y(n) y1(n)+y2(n)因 此 ， 该 系 统 不 是 线 性 系 统 。 用 同 样 的

17、 方 法 可 以 证 明 下 式 也 是 线 性 系统 0( ) ( )sin( )4y n x n n 时 域 离 散 系 统 时 不 变 系 统 如 果 系 统 对 输 入 信 号 的 运 算 关 系 T 在 整 个 运 算 过 程 中 不 随 时 间变 化 ， 或 者 说 系 统 对 于 输 入 信 号 的 响 应 与 信 号 加 于 系 统 的 时 间 无 关 ， 则这 种 系 统 称 为 时 不 变 系 统 ， 用 公 式 表 示 如 下 ： y(n) = T x(n) y(n-n0) = T x(n-n0) 【 例 1】 检 查 y(n)=ax(n)+b代 表 的 系 统 是 否

18、是 时 不 变 系 统 ， 上 式 中 a和 b是 常 数 。 解 ： y(n)= ax(n)+b y(n-n 0) = ax(n- n0)+b T x(n- n0) ax(n- n0)+b y(n- n0) = T x(n- n0) 因 此 该 系 统 是 时 不 变 系 统 。 时 域 离 散 系 统【 例 2】 检 查 y(n)=nx(n)所 代 表 的 系 统 是 否 是 时 不 变 系 统 。 解 : y(n)=nx(n) y(n-n0)=(n- n0)x(n- n0) T x(n- n0) =nx(n- n0) y(n- n0) T x(n- n0) 因 此 该 系 统 不 是 时

19、 不 变 系 统 。 同 样 方 法 可 以 证 明 所 代 表 的 系 统 不 是 时 不 变 系 统 。 0( ) ( )sin( )4y n x n n 时 域 离 散 系 统 线 性 时 不 变 系 统 输 入 与 输 出 之 间 的 关 系 设 系 统 的 输 入 x(n)= (n)， 系 统 输 出 y(n)的 初 始 状 态 为 零 ， 定 义 这 种条 件 下 系 统 输 出 称 为 系 统 的 单 位 取 样 响 应 ， 用 h(n)表 示 。 换 句 话 说 ， 单 位 取 样 响 应 即 是 系 统 对 于 (n)的 零 状 态 响 应 。 用 公 式 表示 为 h(n)

20、=T (n) h(n)和 模 拟 系 统 中 的 单 位 冲 激 响 应 h(t)类 似 ， 都 代 表 系 统 的 时 域 特 征 。 设 系 统 的 输 入 用 x(n)表 示 ， 按 照 上 式 表 示 成 单 位 采 样 序 列 移 位 加 权 和 为 ( ) ( ) ( )mx n x m n m 时 域 离 散 系 统 根 据 线 性 系 统 的 叠 加 性 质 又 根 据 时 不 变 性 质 式 中 的 符 号 “ *” 代 表 卷 积 运 算 ， (*)式 表 示 线 性 时 不 变 系 统 的 输 出 等 于 输 入 序 列和 该 系 统 的 单 位 取 样 响 应 的 卷

21、积 。 只 要 知 道 系 统 的 单 位 取 样 响 应 ， 按 照 (*)式 ，对 于 任 意 输 入 x(n)都 可 以 求 出 系 统 的 输 出 .( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) (*)mm my n T x m n my n x m n my n T x m h n mx n h n ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )mm my n T x m n my n x m n my n T x m h n mx n h n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22、 ( ) ( )mm m y n T x m n my n x m n my n T x m h n mx n h n ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )m m my n T x m ny n x m n my n T x m h n mx n h n ( ) ( ) ( )( ) ( ) )( ) ( ) ( )( ) ( ) (*)my n T x m n my n x m n my n T x m h n mx h n ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ( ) (*)mm my n T x m n my n

23、 x m n my n T x m h n mx n h n ( ) ( ) ( ) ( ( )( ) ( ) ( ) ( ) (*)mm my n T x m ny n x m ny n T x m h nx n h n 时 域 离 散 系 统例 ： 设 线 性 时 不 变 系 统 的 单 位 取 样 响 应 为 h(n)=anU(n), 0a1， 则 输 入 序 列 x(n)=U(n)时 ， 输 出 序 列 y(n)=? )(11)()( )()()()()( 10 nuaaamnumua mnhmxnhnxny nnm mm m m 时 域 离 散 系 统 卷 积 中 主 要 运 算 是

24、 翻 转 、 移 位 、 相 乘 和相 加 ， 这 类 卷 积 称 为 序 列 的 线 性 卷 积 。 设 两 序 列 分 别 的 长 度 是 N和 M， 线 性 卷 积后 的 序 列 长 度 为 N+M-1。 线 性 卷 积 服 从 交 换 律 、 结 合 律 和 分 配 律 。它 们 分 别 用 公 式 表 示 如 下 ： x(n)* h1(n)*h2(n) x(n)*h(n) = h(n)*x(n) = (x(n)*h 1(n)*h2(n) x(n)* h1(n)+h2(n) = x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) h1(n) h2(n)h1(n) h2(n) y(n)x(n)

25、y(n)x(n) h1(n)h2(n) y(n)x(n) h 1 (n) h2(n) y(n)x(n) （ a） （ b） （ c） （ d） * 两 系 统级 联 两 系 统并 联 时 域 离 散 系 统( ) ( ) ( ) ( ) ( )mx n x m n m x n n 两 个 有 用 的 公 式 ： 0 0( ) ( ) ( )( ) ( )my n x n n nx m n n m 0 0( ) ( ) ( )( ) ( )my n x n n nx m n n m x(n- n0)序 列 本 身 与 单 位 取 样 序 列 的 线 性 卷 积 等 于 序 列 本 身序 列 与

26、一 个 移 位 的 单 位 取 样 序 列 (n n0)的 线 性卷 积 等 于 序 列 本 身 移 位 n0 时 域 离 散 系 统 系 统 的 因 果 性 和 稳 定 性 定 义 一 ： 如 果 系 统 n时 刻 的 输 出 ， 只 取 决 于 n时 刻 以 及 n时 刻 以 前 的 输 入序 列 ， 与 n时 刻 以 后 的 输 入 序 列 无 关 ， 则 称 该 系 统 具 有 因 果 性 质 ， 或 称 该系 统 为 因 果 系 统 。 如 果 n时 刻 的 输 出 还 取 决 于 n时 刻 以 后 的 输 入 序 列 ， 在 时 间 上 违 背 了 因 果 性 ，系 统 无 法 实

27、 现 ， 则 系 统 被 称 为 非 因 果 系 统 。 因 此 系 统 的 因 果 性 是 指 系 统 在 物 理 上 的 可 实 现 性 。 定 义 二 ： 当 n0时 ,序 列 值 恒 等 于 零 的 序 列 称 之 为 因 果 序 列 。 定 义 三 ： 线 性 时 不 变 系 统 具 有 因 果 性 的 充 分 必 要 条 件 是 系 统 的 单 位 取 样响 应 满 足 下 式 ： h(n)=0， n 0 结 论 ： 因 此 ， 因 果 系 统 的 单 位 取 样 响 应 必 然 是 因 果 序 列 时 域 离 散 系 统 因 果 性 系 统 的 条 件 从 概 念 上 也 容 易

28、 理 解 ， 因 为 单 位 取 样 响 应 是 输 入为 (n)的 零 状 态 响 应 ， 在 n=0时 刻 以 前 即 n0时 ， 没 有 加 入 信 号 ，输 出 只 能 等 于 零 ， 因 此 得 到 因 果 性 条 件 如 上 式 。 对 于 模 拟 系 统 的 非 因 果 系 统 是 不 能 实 现 的 ， 但 是 对 于 数 字 系 统 ， 利 用系 统 中 的 存 储 性 能 ， 有 些 非 因 果 系 统 是 可 以 近 似 实 现 ， 只 是 系 统 的输 出 有 延 时 。 时 域 离 散 系 统 0 1 2 1 n x(n) 0 11 1 n h(n) 0 1 2 1

29、n h (n) （ a ） （ b ） （ c ） 0 1 2 1 n y(n) 3 1 2 3 0 1 2 1 n y (n) 3 2 3 （ d ） （ e ） 非 因 果 系 统 的 延 时 实 现 先 存 储 ， 后 捐 据计 算进 行 卷 积 计 算 时 域 离 散 系 统 稳 定 系 统 ： 是 指 系 统 有 界 输 入 ， 系 统 输 出 也 是 有 界 的 。 系 统 稳 定 的 充 分 必 要条 件 是 系 统 的 单 位 取 样 响 应 绝 对 可 和【 例 1】 设 线 性 时 不 变 系 统 的 单 位 取 样 响 应 h(n) = anu(n)， 式 中 a是 实

30、常 数 ， 试分 析 该 系 统 的 因 果 稳 定 性 。 解 ： 由 于 n 0时 ， h(n)=0， 所 以 系 统 是 因 果 系 统 。 又 当 且 仅 当 |a|1时 因 此 系 统 稳 定 的 条 件 是 |a|1； 否 则 ， |a| 1时 ， 系 统 不 稳 定 。( ) n h n 10 0 1( ) lim lim nNn nN Nn n n ah n a a a 1( ) 1n h n a 时 域 离 散 系 统【 例 2】 设 系 统 的 单 位 取 样 响 应 h(n)=u(n)， 求 对 于 任 意 输 入 序 列 x(n)的 输出 y(n)， 并 检 验 系 统

31、 的 因 果 性 和 稳 定 性 。 解 : h(n)=u(n) y(n)=x(n)*h(n)= 因 为 当 n-k0的 方 向 递 推 ，是 一 个 因 果 解 。 但 对 于 差 分 方 程 ， 其 本 身 也 可 以 向 n0， 求 输 出 序 列 y(n)。 解 ： 由 差 分 方 程 可 得 ： y(n-1)=a-1(y(n)- (n) n=1时 ： y(0) = a-1(y(1)- (1) =0 n=0时 ： y(-1) = a-1(y(0)- (0) = -a-1 n=-1时 ： y(-2) = a -1(y(-1)- (-1) = -a-2 n=-n ： y(n-1)=-a n

32、-1 将 n-1用 n代 替 ， 得 到 y(n) = -anu(-n-1) 模 拟 信 号 数 字 处 理 方 法 在 绪 论 中 已 介 绍 了 数 字 信 号 处 理 技 术 相 对 于 模 拟 信 号 处 理 技 术 的 许 多优 点 ， 因 此 往 往 希 望 将 模 拟 信 号 经 过 采 样 和 量 化 编 码 形 成 数 字 信 号 ，再 采 用 数 字 信 号 处 理 技 术 进 行 处 理 ； 处 理 完 毕 ， 如 果 需 要 ， 再 转 换 成模 拟 信 号 ， 这 种 处 理 方 法 称 为 模 拟 信 号 数 字 处 理 方 法 。 其 原 理 框 图 如图 所 示

33、1、 采 样 定 理 及 A/D变 换 器 对 模 拟 信 号 进 行 采 样 可 以 看 作 一 个 模 拟 信 号 通 过 一 个 电 子 开 关 S。 设电 子 开 关 每 隔 周 期 T合 上 一 次 ， 每 次 合 上 的 时 间 为 T， 在 电 子 开 关 输 出 端 得 到 其 采 样 信 号预滤A/DC数字信号处理D/AC平滑滤波ya(t)xa(t) ( )ax t 模 拟 信 号 数 字 处 理 方 法对 模 拟 信 号 进 行 采 样 电 子 开 关 的 作 用S等 效 一 个 矩 形脉 冲 串单 位 冲 激 串 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )na

34、a anP t t nTx t x t P t x t t nT ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )na a anP t t nTx t x t P t x t t nT 模 拟 信 号 数 字 处 理 方 法 上 式 中 (t)是 单 位 冲 激 信 号 ， 在 上 式 中 只 有 当 t=nT时 ， 才 可 能 有 非 零 值 ， 因 此 写 成 下 式 ： 根 据 频 域 卷 积 定 理 ： 两 信 号 在 时 域 相 乘 的 傅 里 叶 变 换 等 于 两 个 信 号 分 别的 傅 里 叶 变 换 的 卷 积 。 可 以 推 导 得 ：( ) ( )( ) ( ) (

35、 ) ( ) ( )na a anP t t nTx t x t P t x t t nT ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 ( )a aa a k skX j FT x tx j FT x tP j FT P tP j a k ( ) ( ) ( )a anx t x T t nT ( ) ( ) ( )a anx t x T t nT ( ) ( ) ( )a anx t x t nT ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 ( )a aa a k skX j FT x tx j FT x tP j FT P tP j a k 模 拟 信 号 数 字 处

36、理 方 法 式 中 ， s=2 /T， 称 为 采 样 角 频 率 ， 单 位 是 弧 度 /秒 上 式 表 明 采 样 信 号 的 频 谱 是 原 模 拟 信 号 的 频 谱 沿 频 率 轴 ， 每 间 隔 采 样角 频 率 s复 出 现 一 次 ， 或 者 说 采 样 信 号 的 频 谱 是 原 模 拟 信 号 的 频 谱 以 s为 周 期 ， 进 行 周 期 性 延 拓 而 成 的 。 /2/21 1( )2( ) ( )1( ) ( ) ( )21 2 ( ) ( )21 ( ) ( )1 ( )sT jkk T ska a a ska sk a ska t e dtT TP j kT

37、X j X j P jX j k dTX j k dT X j jkT 模 拟 信 号 数 字 处 理 方 法 在 下 图 中 ， 设 xa(t)是 带 限 信 号 ， 最 高 截 止 频 率 为 c， 其 频谱 Xa(j )如 图 所 示 。 0cc Xa(j)P(j) ss （a）（b）00 Xa(j) 0 Xa(j)cs （c） （d） ss s 2s2s 以 s为 周 期 进 行 的周 期 延 拓单 位 冲 激 串 的 频 谱 频 谱 混 叠 模 拟 信 号 数 字 处 理 方 法 采 样 恢 复 0 Xa(j ) G(j ) xa(t) ya(t) 0 G(j ) / T / T 0

38、 Xa(j ) （ a ） （ b ） （ c ） （ d ） 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1( ) ( ), 21( ) ( ), 2 aa aa a a a c sa a c sY j FT Y t X j G jY t F T Y jY t x tY t x t ( )G j 1, 210, 2 ssT 模 拟 信 号 数 字 处 理 方 法 一 般 频 谱 函 数 是 复 函 数 ， 相 加 应 是 复 数 相 加 ， 前 两 图 仅 是 示 意 图 。一 般 称 fs/2为 折 叠 频 率 ， 只 有 当 信 号 最 高 频 率 不 超 过 该 频 率 时 ，才 不

39、 会 产 生 频 率 混 叠 现 象 ， 超 过 fs /2的 频 谱 会 折 叠 回 来 形 成 混叠 现 象 ， 因 此 频 率 混 叠 均 产 生 在 fs /2附 近 。 【 结 论 （ 采 用 定 理 ） 】 (1)对 连 续 信 号 进 行 等 间 隔 采 样 形 成 采 样 信 号 ， 采 样 信 号 的 频谱 是 原 连 续 信 号 的 频 谱 以 采 样 频 率 为 周 期 进 行 周 期 性 的 延 拓 形 成的 。 (2)设 连 续 信 号 x a(t)是 带 限 信 号 ， 最 高 截 止 频 率 为 c， 如 果采 样 角 频 率 s 2 c， 那 么 让 采 样 信

40、 号 通 过 一 个 增 益 为 T，截 止 频 率 为 s/2的 理 想 低 通 滤 波 器 ， 可 以 唯 一 地 恢 复 出 原 连 续信 号 xa(t)。 否 则 s /T区 域 有 较 多 的 高 频 分 量 ， 表 现 在 时 域 上 ，就 是 恢 复 出 的 模 拟 信 号 是 台 阶 形 的 。 因 此 需 要 在 D/AC之 后 加 平 滑 低 通滤 波 器 ， 滤 除 多 余 的 高 频 分 量 ， 对 时 间 波 形 起 平 滑 作 用 ， 这 也 就 是 在模 拟 信 号 数 字 处 理 框 图 中 ， 最 后 加 平 滑 滤 波 的 原 因 。 虽 然 这 种 零 阶

41、 保 持 器 恢 复 的 模 拟 信 号 有 些 失 真 ， 但 简 单 、 易 实 现 ， 是 经 常 使 用 的 方 法 。 0 /2( ) ( )sin( /2)/2 Tj t j tj TH j h t e dt e dtTT eT 模 拟 信 号 数 字 处 理 方 法零 阶 保 持 器 的 频 率 特 性 本 章 小 结1， 离 散 时 间 信 号 与 离 散 时 间 系 统 是 数 字 信 号 处 理 运 作 的 基础 。 模 拟 信 号 通 过 时 间 离 散 化 ， 可 以 最 经 济 地 提 取 其 有 效 信 息， 并 能 适 用 计 算 机 作 处 理 。2， 离 散 时 间 信 号 或 称 作 序 列 。 应 牢 记 常 用 基 本 序 列 的 表 达 式 及相 互 间 的 几 个 关 系 式 ， 并 搞 清 它 的 定 义 域 、 周 期 性 等 。3， 离 散 时 间 系 统 是 对 离 散 时 间 信 号 进 行 相 加 、 相 乘 和 延 时 的 运算 系 统 。 它 有 线 性 /非 线 性 、 移 变 /移 不 变 、 因 果 /非 因 果 、 稳定 /不 稳 定 之 分 。4， 常 系 数 线 性 差 分 方 程 描 述 LIS的 信 号 传 输 关 系 ， 并 可 展 现 运 算结 构