理论力学作业答案

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1、第 2章 拉 格 朗 日 方 程一 、 约 束 及 其 分 类1).理 想 约 束 和 非 理 想 约 束 ： 系 统 中 所 有 约 束 力 的 虚 功 的 代 数 和 为 零 的 约 束 是 理 想 约 束 ，否 则 称 为 非 理 想 约 束 。2).完 整 约 束 与 非 完 整 约 束 ： 约 束 方 程 仅 是 坐 标 和 时 间 的 函 数 的 约 束 是 完 整 约 束 ； 约 束方 程 不 仅 和 坐 标 与 时 间 ， 还 和 速 度 有 关 ， 则 是 非 完 整 约 束3).定 常 约 束 和 非 定 常 约 束 ： 约 束 方 程 中 不 显 含 时 间 的 是 定

2、常 约 束 ， 反 之 为 非 定 常 约 束0 ii iN rF 二 、 达 朗 贝 尔 方 程 和 拉 格 朗 日 方 程1).达 朗 贝 尔 (dAlembert)方 程 ： 如 果 系 统 所 受 到 的 约 束 是 理 想 的 ， 则 有 ： 这 是 理 想 约 束 体 系 动 力 学 的 普 遍 方 程 。2).拉 格 朗 日 (Lagrange)方 程 ： 相 比 牛 顿 力 学 ， 拉 格 朗 日 动 力 学 方 程 取 较 简 洁 的 形 式 ， 并且 拉 格 朗 日 方 程 是 从 能 量 角 度 来 写 的 动 力 学 方 程 ， 有 其 普 遍 意义 。 0i iiii

3、 rrmF .,2,1 sQqLqLdtd 2.3 用 达 朗 贝 尔 方 程 写 出 习 题 1.24的 运 动 微 分 方 程解 ： 取 m位 矢 OM与 OO连 线 夹 角 为 ， 取 极 坐 标 系 则 reRr cos2 eeRr r cossin2 eeRr r cossin2cossincos2 2 )cossin(2cossin2 eeReteRr rr 代 入 达 朗 贝 尔 方 程 ： ， 并 化 简 得0)( rrmF 0)cossin( 2 r系 数 为 零 0cossin 2 RM oo y t x 2.6 用 拉 格 朗 日 程 写 出 习 题 1.20的 运 动

4、微 分 方 程解 ： 如 图 ， 取 底 面 圆 心 处 为 坐 标 原 点 ， 建 立 柱 坐 标 系 ， 质 点 到轴 距 为 R有 几 何 关 系 zr ezeReRv tan),tan( 2 zRzRR 22222 2222222 )tan()tan1(21 )tan(tan2121 zRzm zzRzmmvT mgzV mgzzRzmVTL 22222 )tan()tan1(21 代 入 完 整 保 守 体 系 的 拉 格 朗 日 程 ， 并 化 简 得 ： 0tan2)tan( 0)tan(tan)tan1( 2 2222 zRz gRzz RR 2 R1 m 代 入 完 整 保

5、守 体 系 的 拉 格 朗 日 方 程 ， 并 化 简 得2.7 用 拉 格 朗 日 方 程 写 出 习 题 1.21的 运 动 微 分 方 程解 ： 建 立 柱 坐 标 系 ， 取 R， 为 广 义 坐 标222 Rrz 222 RRr RzvRvRv kn 22222 222 )(2 RrmgRRr rRmL 0202 2222222 222 2 Rr gRRRRr rRRRr r RR 由 几 何 关 系 ：2.8 用 拉 格 朗 日 方 程 写 出 习 题 1.24的 运 动 微 分 方 程解 ： 以 为 广 义 坐 标 ， 取 极 坐 标 系 0)(2 222 VrrmT 代 入 完

6、 整 保 守 体 系 的 拉 格 朗 日 方 程 ， 并 化 简 得tRr ,cos2 )coscos2(2 )cos2()()sin2(2 22222 222 mR RRmVTL 0cossin 2 RMoo y t x 则2.9 用 拉 格 朗 日 方 程 写 出 习 题 1.27的 运 动 微 分 方 程解 ： 体 系 为 自 由 度 为 2的 完 整 约 束 体 系 ， 取 x,y为 广 义 坐 标220222 14)(2 yxeVyxmT 代 入 完 整 保 守 体 系 的 拉 格 朗 日 方 程 ， 并 化 简 得 04 04 23220 2 23220 2 yx yeym yx

7、xexm 220222 14)(2 yxeyxmVTL A B o y x 2.11 光 滑 刚 性 抛 物 线 R2=2pz以 恒 定 角 速 度 绕 铅 直 轴 z旋 转 ， 其 上 套 有 质 量为 m的 小 环 .(1)试 求 小 环 的 拉 格 朗 日 函 数 及 运 动 方 程 ； (2)小 环 可 稳 定 某 处 时 ， ？解 ： 建 立 柱 坐 标 系 ， R为 广 义 坐 标 ，代 入 完 整 保 守 体 系 的 拉 格 朗 日 方 程 ，则 pRmgmgzVRpRRRmzRRmT 2)(2)(2 222222222 pmgRpRRRRmVTL 2)(2 22 22222 0

8、 22222 RpRRpgRRpRRdtd 化 简 得 到 ， 0)( 22222 pgRRpRRRRp 当 小 环 稳 定 时 ， R为 定 值 ， 即 有 00 RR 代 入 上 式 ， 可 得 pgRRp 22即 pg z yx m o R z 2.12 质 量 为 m的 质 点 约 束 在 光 滑 的 旋 转 抛 物 面 x2+y2=az的 内 壁 运 动 ， z轴 为 铅 直 轴 。 写 出 (1)质 点 的 运 动 方 程 ， (2)质 点 做 圆 周 运 动 所 满 足 的 条件 。解 ： 体 系 自 由 度 为 2的 完 整 约 束 体 系 ， 选 用 柱 坐 标 系 ， R,

9、为 广 义 坐 标代 入 完 整 保 守 体 系 的 拉 格 朗 日 方 程 ， 并 化 简 得mgzVzRRmT )(2 2222 将 约 束 条 件 x2+y2=R2 az， 代 入 得 2222222 )4(2 RamgRaRRRmVTL 02 02841 2222 2RR agRRRaRRaR 若 质 点 做 圆 周 运 动 ， 有 00 RR ag22 可 得 即 gzagRR 22 22 gzv 22 当 t=0时 ， 有 v=v0， z=h， 得 ghv 22 0 由 杆 AC， DG力 矩 平 衡 ：2.13 图 中 所 示 是 一 台 磅 秤 的 简 化 机 构 .试 证 明

10、 ： 若 ， 则在 平 衡 条 件 下 ， 秤 锤 的 重 量 P与 重 物 P在 秤 台 的 位 置 无 关 ， 且若 有 ， 则 有 ： ACFABFP DFFEFFFGP )( 21 21 ABACEFDF EFFGPP 证 明 ： 由 受 力 平 衡 ， B处 受 力 为 (P-F1)又 有 F1 F1， F2 F2 DFACABFPEFFFGP )( 11ABACEFDF EFPFGP 即 秤 锤 的 重 量 P与 重 物 P在 秤 台 的 位 置 无 关 ， 且 EFFGPP P F2A B C D E F GF2 F1 F1 P 体 系 为 完 整 保 守 平 衡 系 统 ：2.

11、15 一 水 平 的 固 定 光 滑 钉 子 M与 光 滑 铅 直 墙 面 的 距 离 为 d， 一 长 为 l的 均 匀 棒 AB搁 在 钉 子 上 ， 下 端 靠 在 墙 上 ， 求 平 衡 时 棒 与 墙 的 夹 角解 ： 以 M点 为 原 点 建 立 直 角 坐 标 系 ， 有 )cotcos2( dlmgV 即 0)sinsin2(0 2 dlmgV3 2sin ldarc1)2) )cotcos2(,sin2 dlydlx 由 图 )sinsin2( 2dly 由 虚 功 为 零 0 ymg 即 0)sinsin2( 2 dlmg 3 2sin ldarc 任 意 ， B MAd

12、则2.18 质 量 为 m1和 m2的 两 个 质 点 用 一 固 有 长 度 为 l， 重 量 可 忽 略 的 弹簧 连 接 ， 放 置 在 半 径 R的 光 滑 球 壳 内 ， 求 平 衡 时 两 质 点 的 位 置 。解 ： m1o和 m2o分 别 和 铅 垂 线 的 夹 角 为 ， 原 点 为 o化 简 得 2212211 )2sin2(21)coscos( RlkRgmRgmVVV kmg 21,体 系 为 完 整 保 守 平 衡 系 统 ： 0V 02sin22cossin 02sin22cossin 212122 212111 Rlkgm Rlkgm m2om 1 令2.23 质 量 为 m， 电 荷 为 q的 粒 子 在 轴 对 称 电 场 和 均 匀 磁 场 中 运 动 。 写 出 粒 子 的 拉 格 朗 日 函 数 和 运 动 微 分 方 程 。解 ： 由 题 中 ，代 入 ：在 柱 坐 标 系 中 ， 有 ： eRBA RE 0021 ln 0)( 0)2( 0 202 002zmdtd RqBmRdtd RqBRqEmRRm reREE 0 kBB 0reREE 0 kBB 0 zr ezeRvVAqqmvL eR,21 20 qLqLdtd 化 简 得 ：