指数函数的单调性的应用

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1、指 数 函 数 的 定 义 :( 0 1),xy a a a R 形 如 且 的 函 数叫 做 指 数 函 数 它 的 定 义 域 为 图 象 性 质y x0y=1 (0,1) y=ax(a1) y x(0,1) y=10y=ax(0a1 0a 0 时 ， y 1.当 x 0 时 ， . 0 y 1 当 x 1；当 x 0 时 ， 0 y 1。 01 x y xy 2xy 21 xy 3xy 31 xy 31 xy 21 深 入 探 究 ， 加 深 理 解 在 第 一 象 限沿 箭 头 方 向底 增 大底 互 为 倒 数 的两 个 函 数 图 像关 于 y轴 对 称 练 习 1:用 “ ”填

2、空 1_a1)3( 43 ， 则若 a n_m)125.0()81()2( ， 则若 nm b_a7.17.1)1( ， 则若 ba 应 用 :比 较 大 小例 1、 比 较 下 列 各 组 数 的 大 小 ： 、 、 、 、解 ： 1.72.5、 1.73可 以 看 作 函数 y=1.7x的 两 个 函 数 值 1.71 y=1.7 x在 R上 是 增 函 数又 2.53 1.72.5 0 0.81.30.61.335.2 7.1,7.1 3.13.1 6.0,8.0)1,0(, 2131 aaaa 且 1.33.0 9.0,7.1 解 ： 0.3 3.11.7 0.9 1 xa y a R

3、 当 时 ， 是 上 的 增 函 数 ， 1 13 2a a 0 1 xa y a R 当 时 ， 是 上 的 减 函 数 ， 1 13 2a a比 较 指 数 幂 大 小 的 方 法 ： 、 异 指 同 底 ： 构 造 函 数 法 (一 个 ), 利 用 函 数 的 单 调 性 ,若底 数 是 参 变 量 要 注 意 分 类 讨 论 。 、 异 底 同 指 :构 造 函 数 法 (多 个 ),利 用 函 数 图 象 在 y轴 左 右两 侧 的 特 点 。 1.70.31， 而 0.93.11)1,0(, 2131 aaaa 且 1.33.0 9.0,7.1 、 、 函 数 图 像 的 变 换

4、( 0, 1)xy a a a 且内 加 左 移 ， 内 减 右 移 ；外 加 上 移 ， 外 减 下 移 。)(xay )(xay - xay -xay )0( 条 件（ 1） 平 移 变 换 （ 2） 对 称 变 换 与 关于y对称（ ） 对 称 变 换 与 关 于 x对 称xay xay - 与 关 于 原 点 对 称 xay xay - 与 关 于 y对 称xay |xay 与 是 x轴 上 方 的不 变 ， x轴 下 方 的 翻 折 到 x轴 上 方 去xay |b| xay 小 结 ：1.通 过 这 两 节 课 ， 你 对 指 数 函 数 有 什 么 认 识 ？2.在 这 节 知

5、识 中 主 要 通 过 什 么 方 法 来 学 习 指数 函 数 性 质 ？布 置 作 业 ：习 题 2.1 A组 5、 7、 8 数 形 结 合 思 想 方 法 从 具 体 的 到 一 般 的 学 习 方 法 练 习 2:右 图 曲 线 是 下 列 指 数 函 数 的 图 像 xxxx d yc yb ya y 判 断 a、 b、 c、 d、 1这 五 个 数 的 大 小 。 0 xy答 案 ： ba1d0 2 2(2) 3 x xy 2 2x x t 解 ： 设 2 2x Rt x x 21 1x 1于 是 原 函 数 化 为 3, 1 ty t 3ty R 在 上 是 增 函 数 11

6、3 3tt 当 时 0 03该 函 数 的 值 域 为 ，0 3y 21 211 1 11 2 (2) (3)2 2x x xxy y y 练 习 求 下 列 函 数 的 值 域 ： （ ） 11 , 2 , 01 tt y tx 解 ： （ ） 令 则 11, , 02 tt x y t （ 2） 令 则 22 12 1 1, , 12 tt x x x y t （ 3） 令 则 0， 1 1， 0， 1 0， 2 形如 的值域的求解 ，应先求出 的值域 ， 再由单调性求出 的值域 ，若a的范围不 确定 ，则需对a进行讨论 。 形 如 的 值 域 的 求 解 ， 应 先 求 出 的值 域 ，

7、 再 结 合 y=f（ u） 确 定 出 的 值 域 。)( xafy xau)( xafy 形 如 的 定 义 域 就 是 定 义 域 。)(xfay )(xf 1 14 3 1 2 xf x例 判 断 函 数 的 奇 偶 性3 1 0 3 1 0 x x x解 ： 0 0 f x 的 定 义 域 为 ， ， 关 于 原 点 对 称 1 1 1 11 1 f ff f，与 互 为 相 反 数 f x f x猜 想 与 可 能 互 为 相 反 数 0 f x f x只 须 计 算 是 否 为 即 可 1 13 1 2 xf x 1 13 1 2 xf x 1 11 213 x 3 11 3 2

8、 x x 1 3 1 03 1 xxf x f x f x f x f x 是 奇 函 数 23 1xf x m m 练 习 若 函 数 是 奇 函 数 ， 求 实 数 的 值 0 0f x 解 ： 函 数 的 定 义 域 为 ， ， 0 0f xx 函 数 是 奇 函 数对 任 意 ， ， ， 都 有 f x f x 0f x f x 即2 2 03 1 3 1 x xm m 2 2 2 01 3 113 xx m 2 2 2 01 3 113 xx m 2 3 2 2 01 3 3 1xx x m 2 3 2 2 01 3 x x m 2 3 1 2 01 3x x m 2 2 0m 1m

9、 增 增 增 减 减 增 增 减 减 减 增 减 y f u u g x y f g x 同 增 异 减 2 2 312 x xy例 5 求 函 数 的 单 调 区 间2 12 3 2 tt x x y解 ： 令 则二 次 函 数 指 数 函 数 2 2 3 1 t x x x开 口 向 上 ， 对 称 轴221 2 31 2 3 x t x xx t x x当 时 ， 为 减 函 数 当 时 ， 为 增 函 数12 ty又 为 减 函 数11 xx当 时 ， 原 函 数 为 增 函 数 当 时 ， 原 函 数 为 减 函 数 11 原 函 数 的 增 区 间 为 ， 原 函 数 的 减 区

10、间 为 ， 1 | 1|11 2 312 23 2 1x xxyyy 例 6 作 出 下 列 函 数 的 图 像 0 1a解 法 一 ： 利 用 11 0 1 xx a令 ， 则1, 4 x y于 是 14图 像 经 过 的 定 点 坐 标 为 ，解 法 二 ： 利 用 图 像 1 1 3 x x xy a y a y a 01， 11 ， 14 ， 1 3 0 1xy a a a 练 习 求 函 数 且 的 图 像 经 过 的 定 点 坐 标 x 3解 ： 可 画 出 函 数 y 2 的 图 像 x 3y 2 xy 2 偶 函 数 xx 0时 ， y 2 32 , 1xy m mm 练 习

11、函 数 在 区 间 上 递 增 求 实 数 的 取 值 范 围 右 移 3个 单 位 3， 指 数 函 数 幂 函 数 2312 x x 练 习 求 方 程 的 实 根 个 数23 12 xx 解 ： 该 方 程 的 实 根 是 函 数 y= 的 图 像 与 函 数 y= 的 图 像 交 点 的 横 坐 标 1个 1 2xx a aa 练 习 若 关 于 的 方 程 有 两 个 不 等 实 根 求 实 数 的 取 值 范 围 12 xy ay a 解 ： 由 已 知 ， 得 函 数 的 图 象 与 函 数 的 图 象 有 两 个 不 同 的 交 点1 xy a 1xy a x轴 上 方 的 图

12、 象 不 变 ， 下 方 的 翻 上 去 xy a 下 移 1个 单 位 1 0 1a a 分 和 两 种 情 况 10， 2 _ _1 0 1,xy a b a aa b 练 习 已 知 函 数 且 的 图 象 不 经 过 第 一 象 限 ， 求1xy a b 解 ： xy a 1 01 0bb 时 ， 上 移时 ， 下 移 1 0 1a a 分 和 两 种 情 况 0， 1 ， 0 2 35x ax aa 1例 7 已 知 关 于 的 方 程 有 正 根3 求 实 数 的 取 值 范 围 2 30, 5x ax a 1解 ： 存 在 能 使 方 程 成 立30 xx 1根 据 ， 利 用

13、指 数 函 数 的 单 调 性 求 出 的 范 围3a a从 而 可 得 到 一 个 关 于 的 不 等 式 ， 解 之 ， 即 可 求 出 的 范 围 3 2，2 3 2 12 12 xxaya f x f x 例 8 已 知 函 数 是 定 义 在 R上 的 奇 函 数 （ 1） 求 的 值 （ ） 求 的 值 域 （ 3） 判 断 的 单 调 性 2 2 1 0 111 14x xy a a a a a 例 9函 数 且 在 区 间 ， 上 的 最 大 值 为 ， 求 实 数 的 值 22 2 2 2 1x x xa ta a ty t t 解 ： 令 则 于 是 21 2t , 11xt a x 下 面 求 ， 的 范 围 1 0 1a a 分 和 两 种 情 况 13或 3 作 业 ：练 习 册 4.2A组 5， 6， 7练 习 册 4.2B组 1,2,3,4试 卷 4.4复 习 与 小 结 （ 12题 不 做 ）订 正 4.2指 数 函 数 的 图 像 和 性 质 （ 1） （ 2）