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1、第 二 节 洛 必 达 法 则 在 函 数 商 的 极 限 中 ， 如 果 分 子 分 母 同 是 无 穷 小 量或 同 是 无 穷 大 量 ， 那 么 极 限 可 能 存 在 ， 也 可 能 不 存 在 ，这 种 极 限 称 为 未 定 式 ， 记 为洛 必 达 法 则 是 求 函 数 极 限 的 一 种 重 要 方 法 . (1) 0)(lim)(lim xgxf axax ； (2) 0)( xg ； 则 Axg xfax )( )(lim (或 ).(证 略 ) (3) Axg xfax )( )(lim (或 ), ，00 .00 定 理 (洛 必 达 法 则 ) 设 函 数 )(x
2、f 和 )(xg 在 点 ax 的 某 去 心 邻 域 内 有 定 义 且 可 导 ,且 满 足 下 列 条 件 ： )( )(lim)( )(lim xg xfxg xf axax 1. ax 可 改 为 x ； 2. )(lim)(lim xgxf axax 时 洛 必 达 法 则 仍 成 立 ； 3.若 不 是 “ 0 0 ” 或 “ ” 未 定 式 ,不 能 使 用 洛 必 达 法 则 ； 4.洛 必 达 法 则 可 多 次 使 用 ； 5.当 )( )(lim xg xf 不 存 在 时 ,且 不 是 ,不 能 说 )( )(lim xg xf 不 存 在 ,只 能 说 此 时 使
3、用 洛 必 达 法 则 失 败 ,需 另 想 它 法 . 说 明 ： 例 1 xxx 1)1(lim0 1 )1(lim 10 xx .例 2 123lim 23 31 xxx xxx 123 33lim 2 21 xx xx 26 6lim1 x xx .23 )00( )00(用 洛 必 达 法 则 求 极 限 例 题 。 )00( 例 3 x xx 1sinarctan2lim 2 211 1lim xxx 221lim xxx .1 )00(x xx 1arctan2lim 等 价 无 穷小 替 换 例 4 )( 注 : 0 lnlim x xx , 0 . xxx lnlim xxx
4、 2 11limxx 2lim .0 注 : x xx elim , 0 . 例 5 5elim xxx )( 45elim xxx !5elim xx . 例 6 xxx 3tantanlim2 xxx 3sec3seclim 222xxx 222 cos 3coslim31 xx xxx sincos2 3sin3cos6lim31 2 xxxx xx sin3sinlimcos3coslim 22 .3 )( 或 解 ： xx x 3tantanlim2 xxxx xx cos3coslim3sinsinlim 22 xxx sin3sin3lim2 .3 及 时分 离非 零因 子 xx
5、x sin3sin3lim2 例 7 x x xx 10 )1(elim ，xxy 1)1( ，x xy )1ln(ln .)1ln(1 2x xxxyy )1( )1ln()1()1(lim 210 xx xxxx xx 2010 )1ln()1(lim1 )1(lim x xxxxx xxx x xx 2 )1ln(lime 0 .2e )00( 例 8解 .coslim x xxx 求 1sin1lim xx 原 式 ).sin1(lim xx 极 限 不 存 在洛 必 达 法 则 失 效 。 )cos11(lim xxx 原 式 .1.)1ln( 1coslim 20 xxxx 求例
6、9 不 能 使 用 洛 必 达 法 则 。 xxxx xx 1coslim)1ln(lim 00 原 式 .001 解 型 未 定 式 解 法00 ,1,0,0 例 10 )0( 关 键 :将 其 它 类 型 未 定 式 化 为 或 型 未 定 式 。00 型） 0 1 步 骤 : ,10 .0100 或xx x lnlim0 ( 0 ) x xx lnlim0 10 1lim xxx xx 0lim1 .0 例 11 )( 0101 .00 00 型） 2步 骤 : xxx 1)1ln( 1lim0 )1ln( )1ln(lim0 xx xxx 20 )1ln(lim x xxx x x x
7、 21 11lim0 .21)1(2 1lim0 xx )00( 步 骤 : 型00 ,1,0)3 ln0 1ln0ln010 00 取 对 数 .0 例 12 )0( 0 0e .1xx xtan0lim xxx lntanlim0e x xx 20 sinlime xxx lntan0 elim 对 数 恒 等 式 xx lne xxx cotlnlim0e 例 13 xx x 111lim )1( xxx ln111 elim xxx 1lnlim1e11 lim 1e xx .e 1或 解 (重 要 极 限 法 )： xx x 111lim xx x 111 )1(1lim .e 1 例 14 .)(cotlim ln10 xx x )( 0,ln )ln(cotln xxy取 对 数 得 xx x ln )ln(cotlim0 x xxx 1 csccot1lim 20 xx xx sincoslim0 ,1.e 1原 式 ,)(cot ln 1xxy 令解 练 习 ：P137 习 题 3-21.(2)(4)(5)(7)(9)(12)(13)(14)(15)(16)3. 4.
微分中值定理与导数的应用第二节
