开集与闭集

《开集与闭集》由会员分享，可在线阅读，更多相关《开集与闭集（20页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第 二 章 点 集主 讲 ： 胡 努 春 lP0为 E的 接 触 点 ：lP0为 E的 聚 点 ：lP0为 E的 内 点 ： EO p ),( 0,0 有 EO p ),( 0,0 使 得 )(,0 0),( 0 pEO p 有EEEE EEEEE 等 价 于故 的 孤 立 点 全 体由 于说 明 ： 要 证 E是 开 集 ， 只 要 证 要 证 E是 闭 集 ， 只 要 证 )( 显 然因 为 EEEE )( 显 然因 为或 EEEEEE EE 若 E = E , 则 称 E为 开 集 （ E中 每 个 点 都 为 内 点 ) 若 ,则 称 E为 闭 集 （ 与 E紧 挨 的 点 不 跑 到

2、 E外 ） 说 明 ： 要 证 E是 开 集 ， 只 要 证 )( 显 然因 为 EEEE a bx),(),( baO x 证 明 ： 任 取 x (a,b),取 =min|x-a|,|x-b|, 则 ,从 而 x是 （ a,b） 的 内 点 ，故 (a,b)是 开 集 。 说 明 ： 要 证 E是 闭 集 ， 只 要 证 ( ) ( ) ( )c c c cE E E E E E E E E E 或 或 或 因 为 显 然a b xcx baO ,),( 证 明 ： 任 取 x a,bc,取 =min|x-a|,|x-b|, 则 ,从 而 x不 是 a,b的 接 触 点 ，从 而 a,b的

3、 接 触 点 都 在 a,b内 ，从 而 a,b是 闭 集 。 l 即 ： A为 闭 集 当 且 仅 当 A中 的 任 意 收 敛 点 列 收 敛 于 A中 的 点为 E的 接 触 点 的 充 要 条 件 为 存 在 E中 点 列 pn, 使 得或p 0是 E的 聚 点 的 充 要 条 件 为 存 在 E中 的 互 异 的 点 所 成 的 点 列 pn, 使 得 0lim ppnn 0lim ppnn 若 （ 或 ） ,则 称 E为 闭 集 。 （ 与 E接 近 的 点 不 跑 到 E外 ）EE EE 为 开 集， 即从 而 EEE )( EOO xy ),(),( 则 ),( yO EEO

4、x ),( )(ExE )(EE ),( xO EO x ),(,0 使 得Ex ),( xOy ),( yxd )(,0 ),( xEO x 有 ),( xO( , ) ( , ) ( , ) 0, ( )( min ( , ), ( , )x x xO E xd x x d x x O O 知 有当 时 ,有 x ） ),( xOE( , ) ( ) xx O E x x E 取 ， 由)( EE )(Ex E ( , ) ( , ) ( , ) 0, ( )( min ( , ), ( , )x x xO E xd x x d x x O O 知 有当 时 ,有 x ）为 闭 集可 得利

5、 用 E EEEEEEEEE )()()( ),( xO),( xO E )(),( xEO x )( EE lP0为 E的 接 触 点 ：lP0为 E的 聚 点 ：lP0为 E的 内 点 ：lP0为 E的 外 点 ： EO p ),( 0,0 有 EO p ),( 0,0 使 得 )(,0 0),( 0 pEO p 有 cpp EOEO ),(),( 00 ,0 即使 得 b.若 E为 开 集 ， 则 Ec为 闭 集 ; 若 E为 闭 集 ， 则 Ec为 开 集 。 cccc EEEE )()()()( a. lP0为 E的 接 触 点 ：lP0为 E的 内 点 ： EO p ),( 0,0

6、 有 EO p ),( 0,0 使 得CECE 从 而 x不 是 Ec的 接 触 点 ， 也 即 Ec的 接 触 点 一 定 在 Ec内 ， 从 而 ， 即 Ec为 闭 集 。 EOEx x ),(,0, 使 得证 明 ： 设 E为 开 集 ， 即( , ) cxO E 从 而 lP0为 E的 接 触 点 ：lP0为 E的 内 点 ： EO p ),( 0,0 有 EO p ),( 0,0 使 得 EE 证 明 ： 设 E为 闭 集 ， 即cx E 任 取 ， 假 如 x不 是 Ec的 内 点 ， 则 x的 任 一 邻 域 内 至 少 有 一 个 属 于 E的 点 ，cx E 从 而 x为 E

7、的 接 触 点 ， 由 为 闭 集 可 知 x在 E内 ， 这 与 矛 盾 ，所 以 Ec中 的 点 都 为 Ec的 内 点 ， 即 Ec为 开 集 。 a. 空 集 ， Rn为 开 集 ;b. 任 意 多 个 开 集 之 并 仍 为 开 集 ；c. 有 限 个 开 集 之 交 仍 为 开 集 。注 ： 无 限 多 个 开 集 的 交 不 一 定 为 开 集 ， 如 ：En=(0,1+1/n),Rn中 只 有 空 集 和 Rn既 开 又 闭 ，存 在 大 量 既 不 开 又 不 闭 的 集 合 ， 如 ： E=0,1)A B a.空 集 ， Rn为 闭 集 ；b.任 意 多 个 闭 集 之 交

8、 仍 为 闭 集 ；c.有 限 个 闭 集 之 并 仍 为 闭 集 。注 ： 无 限 多 个 闭 集 的 并 不 一 定 为 闭 集 ， 如 ： En=0,1-1/n若 E为 开 集 ， 则 Ec为 闭 集 ;若 E为 闭 集 ， 则 Ec为 开 集 cc AA )( cc AA )( l 定 理 ： 直 线 上 的 任 一 非 空 开 集 都 可 唯 一 地 表 示 成 有限 个 或 可 数 个 互 不 相 交 的 开 区 间 的 并 。( ) ( )( ) ( ) ( 直 线 上 的 闭 集 或 是 全 直 线 ， 或 是 从 直 线 上 挖 去 有 限 个 或可 数 个 互 不 相 交

9、的 开 区 间 所 得 之 集 . 直 线 上 的 闭 集 的 孤 立 点 必 是 其 余 区 间 的 某 两 个 相 邻 开 区间 的 公 共 端 点 ;但 并 不 意 味 无 孤 立 点 的 闭 集 定 为 互 不 相 交 的 闭 区 间 之 并 。 Rn中 的 开 集 一 般 不 能 表 示 成 至多 可 数 个 互 不 相 交 的 开 区 间 之 并 ，但 总 可 表 示 成 至 多 可 数 个 互 不 相交 的 半 开 半 闭 区 间 之 并 .( ) ( )( ) ( ) ( Bolzano-Weierstrass定 理 ： 若 E是 Rn中 的 一 个 有 界 的 无 限 集 ，

10、 则 E至 少 有 一 个 聚 点 .点 列 a1 , a2 , a3 , a4 , a1 = (a11, a12, a13, ,a1n) a2 = ( a21, a22, a23, , a2n) a3 = ( a31, a32, a33, ,a3n) l注 ： 对 无 限 维 空 间 不 一 定 成 立 。 详 细 内 容 参 见 教 材 p-183例 6 设 F为 有 界 闭 集 ， 若 开 集 簇 覆 盖 F（ 即 ） ， 则 中 存 在 有 限 个 开 集 U1 ， U2， ,Un， 它 同 样 覆 盖 F: IiUi iIi UF : IiUi 注 ： 比 较 下 面 几 种 不 同

11、 的 证 法1. 周 民 强 ， 实 变 函 数 p-362. 尤 承 业 ， 基 础 拓 扑 学 p-523. 熊 金 城 ， 点 集 拓 扑 讲 义 p-2024. 教 材 p-42注 ： 逆 命 题 也 成 立 设 F为 Rn中 一 集 合 ， 若 开 集 簇 覆 盖 F（ 即 ） ， 则 中 存 在 可 数 个 开 集 U1 ， U2， ,Un ， ， 它 同 样 覆 盖 F: IiUi iIi UF : IiUi 提 示 ： 利 用 空 间 中 以 有 理 点 为 中 心 ， 正 有 理 数 为 半 径的 圆 全 体 为 可 数 集 ， 开 集 中 的 点 都 为 内 点 ， 以 及

12、 有 理点 全 体 在 R n中 稠 密 和 有 理 数 全 体 是 R的 稠 密 集 证 明 ： 对 任 意 的 y F， 由 于 y G ，F GGFyxyxF : GO yyy ),(,0 使 得故 存 在 ),(1 21 iyiyni OF 使 得 : ),( 21 FyO yy 由 组 成 F的 一 个 开 覆 盖 及有 限 子 覆 盖 定 理 ， 知 存 在 y1, y2, yn F , ,min 2121 nyyy 取 ),( 21 iyiyO 于 是 对 每 个 y F至 少 属 于 某 个 iii yyyii yyyzzy 2121| 且 y与 Gc中 的 任 一 点 z之 间 的 距 离 为 GxF 则 当 |x|时 有 y+x G ， 即