多元函数微分法在几何上的应用

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1、)1()( )()( tz ty tx oz yx M. ),( 0 000 ttt zzyyxxM 对 应 于 ;),( 0000 ttzyxM 对 应 于设 M8.6 多 元 函 数 微 分 法 在 几 何 中 的 应 用 考 察 割 线 趋 近 于 极 限 位 置 切 线 的 过 程 zzzyyyxxx 000tt t上 式 分 母 同 除 以 ,t oz yx M M割 线 的 方 程 为MM ,000 zzzyyyxxx , tztytxT 割线的方向向量),(),(),( ,0 000 tttTtMM 切线的方向向量割线的极限位置时当， 曲 线 在 M处 的 切 线 方 程 .)(

2、)()( 00000 0 tzztyytxx 切 向 量 ： 切 线 的 方 向 向 量 称 为 曲 线 的 切 向 量 . )(),(),( 000 tttT 法 平 面 ： 过 M点 且 与 切 线 垂 直 的 平 面 . 0)()()( 000000 zztyytxxt 例 1 求 曲 线 : t u uduex 0 cos ， ty sin2tcos , tez 31 在 0t 处 的 切 线 和 法 平 面 方 程 .解 当 0t 时 ， ,2,1,0 zyx,costex t ,sincos2 tty ,3 3tez ,1)0( x ,2)0( y ,3)0( z切 线 方 程 ,

3、32211 0 zyx法 平 面 方 程 ,0)2(3)1(2 zyx .0832 zyx即 情 形 1.空 间 曲 线 方 程 为 ,)( )( xz xy ,),( 000 处在 zyxM ,)()(1 00000 xzzxyyxx .0)()()( 00000 zzxyyxxx 法 平 面 方 程特 殊 地 ： (x)(x),zx,yx 可 视 为 参 数 方 程切 线 方 程 情 形 2.空 间 曲 线 方 程 为 ,0),( 0),( zyxG zyxF切 线 方 程 ,000000 yx yxxz xzzy zy GG FF zzGG FF yyGG FF xx 法 平 面 方 程

4、 .0)()()( 000000 zzGG FFyyGG FFxxGG FF yx yxxz xzzy zy视 x为 自 变 量 ， 方 程 组 确 定 的 隐 函 数 为 y=y(x),z=z(x), TGG FFGG FFGG FFdxdzdxdyT yx yxxz xzzy zy ,/,1* 000 例 2 求 曲 线 6222 zyx ， 0 zyx 在点 )1,2,1( 处 的 切 线 及 法 平 面 方 程 .解 1视 曲 线 方 程 为 一 般 式 方 程 ,直 接 利 用 情 形 2的 公 式 ; 解 2 视 为 情 形 1， 将 所 给 方 程 的 两 边 对 x求 导 并

5、移 项 ，得 1dxdzdxdy xdxdzzdxdyy ,zy xzdxdy ,zy yxdxdz 由 此 得 切 向 量 ,1,0,1 T所 求 切 线 方 程 为 ,110211 zyx法 平 面 方 程 为 ,0)1()2(0)1( zyx 0 zx ,0)1,2,1( dxdy ,1)1,2,1( dxdz 设 曲 面 方 程 为 0),( zyxF ),(),(),( 000 tttT 曲 线 在 M处 的 切 向 量在 曲 面 上 任 取 一 条 通过 点 M的 曲 线 ,)( )()(: tz ty tx 8.6.2 曲 面 的 切 平 面 与 法 线 n TM,0)(),()

6、,( tttF 有 0)(),( )(),()(),( 0000 00000000 tzyxF tzyxFtzyxFz yx 又有 ),(),(),( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx令则 ,Tn 由 于 曲 线 是 曲 面 上 通 过 M 的 任 意 一 条 曲 线 ， 它 们 在 M 的 切 线 都 与 同 一 向 量 n 垂 直 ， 故曲 面 上 通 过 M 的 一 切 曲 线 在 点 M 的 切 线 都 在 同 一 平 面 上 ， 这 个 平 面 称 为 曲 面 在 点 M 的 切 平 面 .切 平 面 方 程 为 0)(,( )(,()(,( 0000 0000

7、0000 zzzyxF yyzyxFxxzyxF z yx通 过 点 ),( 000 zyxM 而 垂 直 于 切 平 面 的 直 线 称 为 曲 面 在 该 点 的 法 线 . ),(),(),( 000 0000 0000 0 zyxF zzzyxF yyzyxF xx zyx 法 线 方 程 为 ),(),(),( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx曲 面 在 M处 的 法 向 量 即垂 直 于 曲 面 上 切 平 面 的 向 量 称 为 曲 面 的 法 向 量 .特 殊 地 ： 如 果 空 间 曲 面 方 程 形 为 ),( yxfz 曲 面 在 M处 的 切 平

8、面 方 程 ,)(,()(,( 0000000 zzyyyxfxxyxf yx 曲 面 在 M处 的 法 线 方 程 .1),(),( 000 000 0 zzyxf yyyxf xx yx ,),(),( zyxfzyxF 令 )(,()(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx 切 平 面上 点 的竖 坐 标的 改 变量 的 全 微 分在 点函 数 ),(),( 00 yxyxfz 因 为 曲 面 在 M处的 切 平 面 方 程 为 ),( yxfz 在 ),( 00 yx 的 全 微 分 ， 表 示 曲 面),( yxfz 在 点 ),( 000 zyx 处 的 切 平 面

9、上的 点 的 竖 坐 标 的 改 变 量 . 全 微 分 的 几 何 意 义 ： 若 、 、 表 示 曲 面 的 法 向 量 的 方 向 角 ， 并 假定 法 向 量 的 方 向 是 向 上 的 ， 即 使 得 它 与 z 轴 的 正向 所 成 的 角 是 锐 角 ， 则 法 向 量 的 方 向 余 弦 为 ,1cos 22 yx x fff ,1cos 22 yx y fff .1 1cos 22 yx ff Mn T .,2;20,1, 取 负 号， 取 正 号 yx ffn 例 3 求 旋 转 抛 物 面 122 yxz 在 点 )4,1,2(处 的 切 平 面 及 法 线 方 程 .解

10、 ,1),( 22 yxyxf )4,1,2()4,1,2( 1,2,2 yxn ,1,2,4 切 平 面 方 程 为 ,0)4()1(2)2(4 zyx ,0624 zyx法 线 方 程 为 .14214 2 zyx 例 4 求 曲 面 32 xyez z 在 点 )0,2,1( 处 的切 平 面 及 法 线 方 程 .解 ,32),( xyezzyxF z,42 )0,2,1()0,2,1( yFx ,22 )0,2,1()0,2,1( xFy,01 )0,2,1()0,2,1( zz eF令切 平 面 方 程法 线 方 程 ,0)0(0)2(2)1(4 zyx ,042 yx .001

11、221 zyx 例 5 求 曲 面 2132 222 zyx 平 行 于 平 面064 zyx 的 各 切 平 面 方 程 .解 设 为 曲 面 上 的 切 点 ,),( 000 zyx切 平 面 方 程 为 0)(6)(4)(2 000000 zzzyyyxxx依 题 意 ， 切 平 面 方 程 平 行 于 已 知 平 面 ， 得,664412 000 zyx .2 000 zyx 因 为 是 曲 面 上 的 切 点 ，),( 000 zyx ,10 x所 求 切 点 为满 足 方 程 ),2,2,1( ),2,2,1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx 2164 zyx 0)2(12)

12、2(8)1(2 zyx 2164 zyx切 平 面 方 程 (1)切 平 面 方 程 (2) 空 间 曲 线 的 切 线 与 法 平 面曲 面 的 切 平 面 与 法 线（ 当 空 间 曲 线 方 程 为 一 般 式 时 ， 求 切 向量 注 意 采 用 推 导 法 ）（ 求 法 向 量 的 方 向 余 弦 时 注 意 符 号 ）小 结思 考 题 如 果 平 面 01633 zyx 与 椭 球 面163 222 zyx 相 切 ， 求 . 思 考 题 解 答 ,2,2,6 000 zyxn设 切 点 ),( 000 zyx依 题 意 知 切 向 量 为 3,3 32236 000 zyx ,0

13、0 xy ,3 00 xz 切 点 满 足 曲 面 和 平 面 方 程 ,01693 01693 2020220 0020 xxx xxx .2 一 、 填 空 题 : 1、 曲 线 2,1,1 tzt tyttx 再 对 应 于 1t 的 点 处 切 线 方 程 为 _； 法 平 面 方 程 为 _. 2、 曲 面 3 xyze z 在 点 )0,1,2( 处 的 切 平 面 方 程 为 _； 法 线 方 程 为 _. 二 、 求 出 曲 线 32, tztytx 上 的 点 ,使 在 该 点 的 切 线 平 行 于 平 面 42 zyx . 三 、 求 球 面 6222 zyx 与 抛 物

14、 面 22 yxz 的 交 线 在 )2,1,1( 处 的 切 线 方 程 . 练 习 题 四 、 求 椭 球 面 12 222 zyx 上 平 行 于 平 面 02 zyx 的 切 平 面 方 程 . 五 、 试 证 曲 面 )0( aazyx 上 任 何 点 处 的 切 平 面 在 各 坐 标 轴 上 的 截 距 之 和 等 于 a . 一 、 1、 011682,81421 21 zyxzyx ； 2、 0 211 2,042 z yxyx . 二 、 )271,91,31()1,1,1( 21 PP 及 . 三 、 02 0202111 1 z yxzyx 或 . 四 、 2112 zyx . 练 习 题 答 案