多元函数微分法习题课

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1、第 七 讲 多 元 函 数 微 分 法 习 题 课 多 元 函 数 微 分 法 习 题 课一 、 内 容 小 结二 、 题 型 练 习 多 元 函 数 微 分 法 习 题 课一 、 内 容 小 结二 、 题 型 练 习 一 、 内 容 小 结（ 一 ） 多 元 复 合 函 数 求 导 法 则（ 二 ） 隐 函 数 求 导 法 则 一 、 内 容 小 结（ 一 ） 多 元 复 合 函 数 求 导 法 则（ 二 ） 隐 函 数 求 导 法 则 多 元 复 合 函 数 的 五 种 基 本 类 型类 型 举 例 复 合 关 系 图 求 导 法则 注),()( tsxxfu )( )(),( tyy t

2、xxyxfu ),( ),(),( styy stxxyxfu )( )(),( ty txtyxfu ),(),( yxzzyxfu 一 中 间 变 量 ， 多 自 变 量外 层 一 元 ， 内 层 多 元多 中 间 变 量 ， 一 自 变 量外 层 多 元 ， 内 层 一 元多 中 间 变 量 ， 多 自 变 量外 层 多 元 ， 内 层 多 元一 个 变 量 既 是 中 间 变 量又 是 自 变 量多 个 变 量 既 是 中 间 变 量又 是 自 变 量 注一 个 关 键 ： 画 出 复 合 关 系 图 .三 点 注 意 ： 勿 漏 中 间 变 量分 清 层 次 关 系搞 清 对 谁 求

3、 偏 导 ， 把 谁 看 成 常 数多 元 复 合 函 数 的 高 阶 偏 导 数高 阶 偏 导 数 与 原 来 函 数 具 有 相 同 的 复 合 关 系依 次 求 导先 四 则 ,后 复 合注 意 符 号 的 含 义 一 、 内 容 小 结（ 一 ） 多 元 复 合 函 数 求 导 法 则（ 二 ） 隐 函 数 求 导 法 则 一 、 内 容 小 结（ 一 ） 多 元 复 合 函 数 求 导 法 则（ 二 ） 隐 函 数 求 导 法 则 F(x,y)=0 yxFFxy ddF(x,y,z)=0 zyzx FFyzFFxz , Fx表 示 F对 x求 偏 导分 子 和 分 母 不 要 颠 倒

4、不 要 丢 掉 负 号 0),( 0),( vuyxG vuyxF ),( ),( yxvv yxuu一 个 方 程 确 定 的 隐 函 数两 个 方 程 确 定 的 隐 函 数 组确 定 因 变 量 个 数 与 自 变 量 个 数 .明 确 变 量 个 数 与 方 程 个 数确 定 因 变 量 个 数 方 程 个 数确 定 自 变 量 个 数 变 量 个 数 方 程 个 数(1)(2) 明 确 因 变 量 与 自 变 量 . 题 目 要 求(3) 方 程 两 边 求 偏 导 . 多 元 函 数 微 分 法 习 题 课一 、 内 容 小 结二 、 题 型 练 习 多 元 函 数 微 分 法 习

5、 题 课一 、 内 容 小 结二 、 题 型 练 习 二 、 题 型 练 习（ 一 ） 多 元 复 合 函 数 求 导 法（ 二 ） 隐 函 数 求 导 法（ 三 ） 隐 函 数 组 求 导 法（ 四 ） 微 分 形 式 不 变 性（ 五 ） 杂 题 二 、 题 型 练 习（ 一 ） 多 元 复 合 函 数 求 导 法（ 二 ） 隐 函 数 求 导 法（ 三 ） 隐 函 数 组 求 导 法（ 四 ） 微 分 形 式 不 变 性（ 五 ） 杂 题 u例 1 设 arctan2 2( )e yxz x y 求 2 .zx y 1 简 单 、 具 体 函 数2 复 合 函 数 ： 外 层 具 体 、

6、 内 层 具 体u例 2 设 e ( ), sin , cos ,xu y z y x z x 求 d .duxu例 3 设 2 2, cos , sin ,z u v uv u x y v x y 求 , .z zx y u例 4 设 2arctan( ), , e ,xz u uv u x v y 求 , .z zx y u例 5 设 2 , cos ,z x u u xy 求 , .z zx y u例 6 设 2 2( ,e )xyz f x y 求 , .z zx y u例 7 设 2( , ), 2 , ,z f u v u x y v x y 求 , .z zx y u例 8 设

7、2 2( , ),z f xy x y 求 2 22 , .z zx x y 3 复 合 函 数 ： 外 层 抽 象 、 内 层 具 体4 简 单 函 数 与 复 合 函 数 的 运 算u例 9 设 1 ( ) ( ),z f xy y x yx 求 2 .zx y u例 10设 2 2 ,( )yz f x y 求 , .z zx y u例 11设 ( , , ), ( , ), ( , ),u f x y t x x s t y y s t 求 , .u us t u例 12设 ( , , ), ( , ), ( , ),u f x y z y x t t h x z 求 .uxu例 13

8、设 ( , , ), ( , ), ( ),w F x y z z f x y y x 求 d .dwxu例 14设 ( , , ), ( , , ), ( , ),z f x u v v g x y u u h x y 求 , .z zx y 5 复 合 函 数 ： 外 层 抽 象 、 内 层 抽 象 多 层 复 合 二 、 题 型 练 习（ 一 ） 多 元 复 合 函 数 求 导 法（ 二 ） 隐 函 数 求 导 法（ 三 ） 隐 函 数 组 求 导 法（ 四 ） 微 分 形 式 不 变 性（ 五 ） 杂 题 二 、 题 型 练 习（ 一 ） 多 元 复 合 函 数 求 导 法（ 二 ）

9、隐 函 数 求 导 法（ 三 ） 隐 函 数 组 求 导 法（ 四 ） 微 分 形 式 不 变 性（ 五 ） 杂 题 （ 二 ） 隐 函 数 求 导 法1 一 个 方 程 确 定2 两 个 方 程 确 定 （ 二 ） 隐 函 数 求 导 法1 一 个 方 程 确 定2 两 个 方 程 确 定 u例 15设 2 2ln arctan ,yx y x 求 d .dyxu例 16设 ln ,x zz y 求 , .z zx y 方 程 由 具 体 函 数 构 成方 程 由 抽 象 的 简 单 函 数 构 成u例 17设 ( , ), ( , ), ( , )x x y z y y x z z z x

10、 y 由 方 程 F(x,y,z)=0确 定 ,证 明 1x y zy z x 方 程 由 抽 象 的 复 合 函 数 构 成例 18设 ( , )z z x y 由 方 程 确 定 ,证 明.z zx y z xyx y ( , ) 0z zF x yy x 例 19 设 ( , )z z x y 由 方 程 确 定 ,计 算( )x az f y bz .z za bx y （ 二 ） 隐 函 数 求 导 法1 一 个 方 程 确 定2 两 个 方 程 确 定 （ 二 ） 隐 函 数 求 导 法1 一 个 方 程 确 定2 两 个 方 程 确 定 u例 20u例 21两 个 方 程 均 由

11、 具 体 函 数 构 成一 个 具 体 、 一 个 抽 象设 2 3( , , ) ,f x y z xy z 2 2 2 3 0,x y z xyz ( , )z z x y（ 1） 若 (1,1,1) .fx是 上 述 方 程 确 定 的 隐 函 数 ， 求( , )y y x z（ 2） 若 (1,1,1) .fx是 上 述 方 程 确 定 的 隐 函 数 ， 求设 ( , , ),w f x y z z=z(x,y)由 方 程 5 5 5 1z xy z 确 定 ， 求 2 2, .w wx x u例 22u例 23两 个 抽 象设 ( ),u f z 确 定 ，z=z(x,y)由 方

12、 程 ( )z x yg z 求 证 ( ) .u ug zy x 求 设 ( , , ),u f x y z z=z(x,y)由 方 程 ( , , ) 0 x y z , .u ux y 确 定 ， 二 、 题 型 练 习（ 一 ） 多 元 复 合 函 数 求 导 法（ 二 ） 隐 函 数 求 导 法（ 三 ） 隐 函 数 组 求 导 法（ 四 ） 微 分 形 式 不 变 性（ 五 ） 杂 题 二 、 题 型 练 习（ 一 ） 多 元 复 合 函 数 求 导 法（ 二 ） 隐 函 数 求 导 法（ 三 ） 隐 函 数 组 求 导 法（ 四 ） 微 分 形 式 不 变 性（ 五 ） 杂 题

13、u例 24u例 25 设 2( , ),( , )u f ux v yv g u x v y 求 , .u vx x 设 ( , ),y f x t 确 定 ，t由 方 程 ( , , ) 0F x y t 求 证 d .d f F f Fy x t t xf F Fx t y t u例 26 设 ( )u u x 确 定 ，由 方 程 组 ( , )( , , ) 0( , ) 0u f x yg x y zh x z 求 ( ).u x 二 、 题 型 练 习（ 一 ） 多 元 复 合 函 数 求 导 法（ 二 ） 隐 函 数 求 导 法（ 三 ） 隐 函 数 组 求 导 法（ 四 ） 微

14、 分 形 式 不 变 性（ 五 ） 杂 题 二 、 题 型 练 习（ 一 ） 多 元 复 合 函 数 求 导 法（ 二 ） 隐 函 数 求 导 法（ 三 ） 隐 函 数 组 求 导 法（ 四 ） 微 分 形 式 不 变 性（ 五 ） 杂 题 d dz u ux yu x y 原 理设 ( , ),z f u v z可 微u、 v为 自 变 量 d d dz zz u vu v u、 v为 中 间 变 量u=u(x,y)、 v=v(x,y) ( ( , ), ( , )z f u x y v x yd d dz zz x yx y dz u z v xu x v x dz u z v yu y

15、v y du d dz v vx yv x y dv无 论 u、 v为 自 变 量 还 是 中 间 变 量 ， z的 全 微 分 形 式 是 一 样 的全 微 分 形 式 不 变 性 应 用d( ) d du v u v d( ) d duv u v v u 2d dd v u v v uu u 无 论 u、 v为 自 变 量 ,还 是 任 意 多 元 函数 均 成 立全 微 分 公 式u例 27u例 28u例 29 u例 30 2 2 2u ,xx y z 求 d .u设 2 2 2 2arctan , , ,vz u x y v x yu 求 , .z zx y 设 , ,x yu f y

16、 z 求 , , .u u ux y z 设 ( , , ), ( , ), ( , ),u f x y z y x t t h x z 求 .ux设 u例 31设 ( , ),y f x t 确 定 ，t由 方 程 ( , , ) 0F x y t 求 证 d .d f F f Fy x t t xf F Fx t y t 二 、 题 型 练 习（ 一 ） 多 元 复 合 函 数 求 导 法（ 二 ） 隐 函 数 求 导 法（ 三 ） 隐 函 数 组 求 导 法（ 四 ） 微 分 形 式 不 变 性（ 五 ） 杂 题 二 、 题 型 练 习（ 一 ） 多 元 复 合 函 数 求 导 法（ 二

17、 ） 隐 函 数 求 导 法（ 三 ） 隐 函 数 组 求 导 法（ 四 ） 微 分 形 式 不 变 性（ 五 ） 杂 题 (五 )杂 题1 变 量 代 换2 变 上 限 函 数 (五 )杂 题1 变 量 代 换2 变 上 限 函 数 u例 32设 cos , sin ,x r y r 化 为将 u ux yy x 极 坐 标 r和 表 示 的 式 子 .u例 33 设 u=f(x,y)是 可 微 函 数（ 1） 如 果 u=f(x,y)满 足 0,f fx yx y 证 明 u=f(x,y)在 极 坐 标 系 中 只 与 有 关 .（ 2） 如 果 u=f(x,y)满 足 1 1 ,f fx

18、 x y y 证 明 u=f(x,y)在 极 坐 标 系 中 只 是 r 的 函 数 .u例 34 以 u,v作 为 新 的 变 量 ， 变 换 2 0,xx xy yy x yz z z z z 其 中 ： 2 2, 1.u x y v x y (五 )杂 题1 变 量 代 换2 变 上 限 函 数 (五 )杂 题1 变 量 代 换2 变 上 限 函 数 u例 35 设 10( , ) ( ) d ,u x y f t xy t t 0 , 1,x y 其 中 f(t)在 0,1上 连 续求 2 22 2, .u ux y u例 36 设 2 2 2( , ) d ,x y txf x y e t 求 (1,2), (1,2).x yf fu例 37 设 f(x,y)具 有 连 续 偏 导 数 1 2(1,1) 1, (1,1) , (1,1) .f f a f b 令 ( ) ( , ( , ( , ),u x f x f x f x x 求 (1).uu例 38 设 f(x,y)具 有 连 续 二 阶 偏 导 数 ，2 3( ,2 ) , ( ,2 ) , ( ,2 ) ,x xyf x x x f x x x f x x x 求 ( ,2 ).yyf x x