安德森空气动力学

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1、CHAPTER 9 OBLIQUE SHOCK AND EXPANSION WAVES 斜 激 波 和 膨 胀 波 凹 角 上 的 斜 激 波 ： 流 动 偏 转 角 (turning angle, deflection angle)： 固 体 壁 面 的 偏 转 角 激 波 角 (shock angle)： 波 前 流 动 方 向 与 激 波 夹 角 当 超 声 速 流 动 的 流 动 方 向 被 迫 突 然 变 化 时 ， 就 会 产 生 斜 激 波 。尖 楔 上 的 斜 激 波 ： 流 动 偏 转 角 ： 固 体 壁 面 的 偏 转 角 激 波 角 ： 波 前 流 动 方 向 与 激 波

2、 夹 角尖 楔 半 顶 角 ( wedge half-angle)： 对 尖 楔 ， = = Across the oblique shock wave, the Mach number discontinuously decreases, and the pressure, density, and temperature discontinuously increase. Across the expansion wave, the Mach number continuously increases, and the pressure, density, and temperature

3、continuously decrease. the physical mechanism that creates waves in a supersonic flow超 音 速 流 中 产 生 波 的 物 理 机 理If the upstream flow is subsonic , the disturbances have no problem working their way upstream, thus giving the incoming flow plenty of time to move out of the way of the body. 如 果 上 游 是 亚 音

4、 速 的 ， 扰 动 可 以 毫 不 困 难 地 传 播 到 远 前 方 上 游 ， 因 此 ， 给 了 来 流 足 够 的 时 间 以 绕 过 物 体 。 The information is propagated upstream at approximately the local speed of sound.物 体 存 在 的 信 息 以 近 似 等 于 当地 音 速 的 速 度 传 播 到 上 游 去 。（ 弱 扰 动 ） if the upstream flow is supersonic, the disturbances cannot work their way upstr

5、eam; rather, at some finite distances from the body, the disturbance waves pile up and coalesce, forming a standing wave in front of the body. 如 果 上 游 是 超 音 速 的 ,扰 动 不 能 一 直 向 上 游 传 播 ， 而 是 在 离 开 物 体某 一 距 离 处 聚 集 并 接 合 ， 形 成 一 静 止 波 。 情 形 一 ： 静 止 物 体 产 生扰 动 的 传 播 超 音 速 流 中 产 生 波 （ 激 波 和 膨 胀 波 ） 的 物

6、理 机 理due to the propagation of information via molecular collisions anddue to the fact that such propagation cannot work its way into certain regions of the supersonic flow.通 过 分 子 碰 撞 引 起 的 信 息 传 播 和 这 种 传 播 不 能 到 达 超音 速 流 中 某 些 区 域 。 The disturbance can propagate to the whole space.The disturbance

7、 cannot propagate（ 扩 散 ） to the space before the source.The disturbance can only propagate to special domain.情 形 二 ： 运 动 的 物 体 产 生 的 声 波波 振 面 以 1.4倍 当 地 马 赫 数 运 动 的 声 源 ， 突 破 声 障 ， 形 成 马 赫 波 马 赫 波 和 马 赫 角 MVaVtat 1sin M1sin 1 (9.1)马 赫 波马 赫 角 补 充 ： 超 音 速 流 动 的 影 响 域 和 依 赖 域是 一 对 顶 锥 （ double cone） 影

8、响 域Influence domain影 响 域 M1 影 响 域Influence domain依 赖 域dependence domain If the disturbances are stronger than a simple sound wave, then the wave front becomes stronger than a Mach wave, creating an oblique shock wave at an angle to the freestream, where . This comparison is shown in Fig. 9.4 . Howev

9、er, the physical mechanism creating an oblique shock is essentially the same as that described above for the Mach wave.如 果 扰 动 比 声 波 强 （ 强 扰 动 波 ） ,其 引 起 的 波 振 面 就 会 比 马 赫 波 强 , 产 生 一 个 与 来 流 夹 角 为 的 斜 激 波 ,且 。 这 一 比 较 在 图 9.5中给 出 。 然 而 ， 斜 激 波 产 生 的 物 理 机 理 与 上 面 描 述 的 马 赫 波 的 产 生 完全 相 同 。 EXAMPLE

10、9.1 A supersonic airplane is flying at Mach 2 at an altitude of 16 km. Assume the shock wave pattern from the airplane (see Figure 9.1) quickly coalesces into a mach wave that intersects the ground behind the airplane, causing a “sonic boom” to be heard by a bystander on the ground. At the instant t

11、he sonic boom is heart, how far ahead of the bystander is the airplane? 011 30)21(sin)1(sin M解 ： d16tan )km(7.27577.016tan16 d 斜 波 产 生 的 根 源普 朗 特 梅 耶 膨 胀 波斜 激 波 关 系 式流 过 尖 楔 与 圆 锥 的 超 音 速 流激 波 干 扰 与 反 射脱 体 激 波 激 波 -膨 胀 波 理 论 及 其 在 超 音 速 翼 型 中 的 应 用 .2 OBLIQUE SHOCK RELATIONS (斜 激 波 关 系 式 ） w1 u1 w2u

12、2a b cdef仍 使 用 正 激 波 推 导 中 使 用 的 控 制 体 ：控 制 体 ：面 a,d平 行 于 激 波 ， 面 b,c,e,f垂直 与 激 波 222222 212121 wuV wuV cossin11 11 Vw Vu cossin 22 22 Vw Vu 连 续 方 程 ： fedcba dSV 0 fb dSV 0 ec dSV 0 da dSV 0 02211 AuAu 2211 uu (9.2) w1 u1 w2u2a b cdef 动 量 方 程 ： ss dSpVdSV 压 强 合 力流 入 的 动 量流 出 的 动 量 -将 动 力 方 程 分 解 为 两

13、 个 方 向 ：1、 平 行 斜 激 波 方 向 ： 切 线 方 向 0 wdSVwdSVwdSVwdSV dSpwdSV decfba ecfbfedcba 0)()( 222111 wAuwAu w1 u1 w2u2a b cdef 0)()( 222111 wAuwAu 2211 uu (9.2) 21 ww (9. )The tangential component of the flow velocity is constant across an oblique shock.通 过 斜 激 波 流 动 的 切 向 速 度 分 量 保 持 不 变 动 量 方 程 ：2、 垂 直 斜

14、激 波 方 向 ： 法 线 方 向 ss dSpVdSV 压 强 合 力流 入 的 动 量流 出 的 动 量 - 1 2 1 2a d a dV dS u p dSmu mu p A p A 1 1 1 2 2 2 2 1( ) ( )u A u u A u p A p A w1 u1 w2u2a b cdef 22222111 upup (9.7)（ .7） 式 中 只 出 现 激 波 的 法 向 分 量 da da SdVpSdVVe 222 21 21 1 1 2 2 2 1 1 2 2( )2 2V Ve u A e u A pu A p u A 2 21 1 2 21 1 1 2 2

15、 21 2 02 2p V p Vu e u e 22 2222221111 VhuVhu 22 222211 VhVh 2221222221212221 )()( uuwuwuVV 积 分 形 式 的 能 量 方 程 ： (9. )(9.9)(9.10)(9.11) 22 222211 uhuh (9.12)方 程 (9.2)、 (9.7)、 (9.12)分 别 是 斜 激 波 的 连 续 、 动 量 、 能 量 方 程 。它 们 只 包 含 斜 激 波 的 法 向 速 度 分 量 u1、 u2， 而 不 包 含 斜 激 波 的切 向 速 度 分 量 w1、 w2 Hence, we ded

16、uce that changes across an oblique shock wave are governed only by the component of velocity normal to the wave. 因 此 ， 我 们 得 出 结 论 通 过 斜 激 波 的 流 动 特 性 变 化 只 由垂 直 于 斜 激 波 的 速 度 分 量 决 定 2211 uu (9.2)21 ww (9. )22222111 upup (9.7)22 222211 uhuh (9.12) 归 纳 前 面 推 导 出 的 控 制 方 程 如 下 ： 结 论 ：1： 斜 激 波 不 改 变 切

17、 向 速 度 ， 即 穿 过 斜 激 波 以后 ， 切 向 速 度 不 变 ；2： 如 果 用 斜 激 波 的 法 向 速 度 代 替 正 激 波 的 速度 V1和 V2， 则 斜 激 波 控 制 方 程 组 和 正 激 波 的 完全 相 同 ； 结 论 ：3： 根 据 正 激 波 产 生 的 条 件 可 以 推 断 ， 斜 激 波波 前 法 向 速 度 必 定 是 超 音 速 的 ， 波 后 法 向 速 度必 定 是 亚 音 速 的 。 但 是 注 意 ， 波 后 合 速 度 V2不一 定 是 亚 音 速 的 ， 也 可 能 是 超 音 速 的 ；4： 斜 激 波 的 关 系 式 和 正 激

18、 波 完 全 相 同 ；5： 斜 激 波 除 了 压 缩 流 体 ， 还 使 流 动 方 向 发 生改 变 。 1,1 11 sinn uM Ma 2/)1( 2/11 21, 21,22, n nn M MM 定 义 法 向 马 赫 数 ： (9.18)(9.13) 2,2 22 sinn uM Ma 则 有 ： (9.14)w 1 u1 w2u2a b cdef )1(121 21,12 nMpp (9.16)211212 ppTT (9.17)方 程 (9.14)-(9.17)表 明 对 于 量 热 完 全 气 体 ,斜 激 波 的 特 性 只 依赖 于 上 游 马 赫 数 的 垂 直

19、分 量 M n,1 ,但 是 ,由 (9.13)知 ， Mn,1既 依赖 于 M1又 依 赖 于 . 2,12 1 21 2 ,1( 1)2 ( 1) n nMuu M (9.15) 方 程 (9.18)引 入 了 偏 转 角 进 入 斜 激 波 分 析 ， 为 计 算 我 们 M2我 们 必须 知 道 。 然 而 ， 不 是 一 个 独 立 的 自 变 量 即 第 三 个 参 数 ， 而 是 M1和 的 函 数 。 下 面 推 导 与 M1和 的 函 数 关 系 。 (9.19) 22)tan( wu 2112tan )tan( uu11tan wu (9.20)(9.21)w1 u1 w2

20、u2a b cdef 221 221sin)1( sin)1(2tan )tan( MM 2)2cos( 1sincot2tan 21 221 M M (9.22)(9.23)Equation (9.23) is an important equation. It is called the -M relation , and it specifies as a unique function of M1 and . This relation is vital to the analysis of oblique shock wave, and results from it are plo

21、tted in Fig. 9.9 for =1.4.方 程 (9.23) 被 称 为 -M 关 系 式 ， 它 限 定 了 为 M 1和 的 唯 一 函数 。 这 是 分 析 斜 激 波 特 性 的 最 重 要 的 关 系 式 ， 其 结 果 在 图 9.9（ 旧 版 图 9.7） 中 给 出 （ =1.4） 。（ 隐 式 方 程 ， 一 般 要 迭 代 求 解 ） 斜 激 波 的 强 度 不 仅 取 决 于 波 前 马 赫 数 ， 还 与 激 波角 有 关 系 。 当 给 定 波 前 马 赫 数 M1时 ， 激 波 强 度 仅 取 决 于 激 波角 。图 9.9给 出 的 是 以 波 前 马

22、 赫 数 为 参 数 ， 激 波 角 随 偏 转 角 的 变化 曲 线 ， 这 个 图 非 常 重 要 ， 我 们 要 用 它 来 求 解 和 分 析 斜 激 波 特性 。 图 9.9说 明 了 许 多 与 斜 激 波 相 关 的 物 理 现 象 .例 如 : （ 教 材 中 的 分 析 2） 给 定 M1和 ， 对 应 两 道 斜 激 波 ， 亦 即 通 过 迭 代 计算 ， 可 以 得 出 两 个 激 波 角 。 这 两 个 激 波 角 对 应 两 个 斜 激 波 ： 较 大 激 波 角 激 波较 强 ， 称 强 斜 激 波 ； 较 小 激 波 角 激 波 强 度 较 弱 ，称 弱 斜 激

23、 波 。 在 图 中 ， 有 一 道 近 似 平 行 的 实 线 用 来 区 分 强 、 弱斜 激 波 。 图 中 还 有 一 道 近 似 平 行 的 虚 线 ， 对 应 激 波 跨 过 弱斜 激 波 后 的 波 后 马 赫 数 。 其 上 波 后 马 赫 数 M 21. 弱 激 波 和 强 激 波超 声 速 流 动 中 的 附 体 斜 激 波 总 是 弱 斜 激 波 ；喷 管 流 动 中 ， 反 压 较 高 时 ， 出 口 截 面 可 能 形 成 强 斜 激 波 。 流 动 偏 转 角 与 波 强 的 关 系 ： 教 材 中 分 析 3 1、 当 M2=M1时 ， 越 过 激 波 马 赫 数

24、 不 变 斜 激 波 退化 为 声 波 （ 马 赫 波 ） ， 对 应 流 动 偏 转 角 =0， 对应 的 激 波 角 = （ 马 赫 角 ） 。 2、 当 = /2时 ， 斜 激 波 变 成 正 激 波 ， 对 应 流 动偏 转 角 也 是 0。 3、 在 这 两 种 状 态 之 间 ， 0. 说 明 流 动 偏 转 角 必 存 在 一 个 最 大 值 max， 其 对 应 的激 波 角 为 max.(教 材 中 分 析 1) 0M2=M1 越 过 激 波 马 赫 数 不 变斜 激 波 退 化 为 马 赫 波 =0 波 强 度 =0=0=/2 正 激 波 波 强 度 最 大有 最 大 值

25、max对 应 max 考 虑 另 外 一 个 实 验 。 让 我 们 保 持 M1不 变 而 增 大 偏 转 角 。 如 图9.13所 示 。 随 着 的 增 大 ， 激 波 角 增 大 ， Mn,1是 增 大 的 ， 激 波 将会 变 强 。 但 是 ， 一 旦 角 超 过 max,激 波 会 变 成 脱 体 激 波 。 对 于 图9.11中 M1=2.0的 情 况 ， 230时 就 会 出 现 脱 体 激 波 。图 9.13 增 大 偏 转 角 的 影 响 由 公 式 （ 9.23） ， 有 =f(M1,). 给 定 M1， 如 果 max， 求 不 出 。 此 时 激 波 脱 体 ，成

26、为 脱 体 激 波 。 图 9.10 附 体 激 波 和 脱 体 激 波 最 大 偏 转 角 max的 物 理 意 义 ： 当 实 际 流 动 的 偏 转 角 超 过 最 大 偏 转 角 时 ， 流 动 将 不再 满 足 斜 激 波 流 动 控 制 方 程 斜 激 波 离 开 凹 角 ， 向上 游 移 动 某 一 距 离 成 为 脱 体 激 波 。 最 大 偏 转 角max是 斜 激 波 可 以 附 体 的 最 大 可 能 的 流 动 偏 转 角 。M ， max 。 波 前 马 赫 数 和 激 波 角 的 关 系 ： （ 教 材 分 析 四 ） 对 给 定 半 顶 角 为 的 尖 楔 ：M1

27、 M1 波 强 增 加 ， 更 加 附 体波 强 减 小 ， 容 易 脱 体 M1 图 9.12 增 大 上 游 马 赫 数 的 影 响 小 结 ：1、 对 于 一 个 给 定 的 波 前 马 赫 数 ， 存 在 一 个 max。 max出 现 弯 的 脱 体 激 波 。 0max 5.45lim1 M2、 对 应 一 个 值 （ M2m3， 激 波 强 度 越 来 越 弱 。这 种 反 射 称 为 规 则 反 射 。 马 赫 反 射 （ Mach Reflection) 当 入 射 激 波 在 固 壁 上 的 反 射 不 能 形 成 附 体 激 波 时 ， 将 产 生脱 体 激 波 。 脱

28、体 激 波 与 入 射 激 波 相 交 。 这 种 激 波 反 射 叫 做马 赫 反 射 。反 射 波 后 的 特 性 没 有 理 论 方 法 求 解 ， 可 采 用 数 值 解 法 求 解 。 图 9.20 激 波 在 壁 面 上 的 马 赫 反 射M1 M2入 射 激 波 马 赫 激 波 反 射 激 波 滑 移 线 M3M4 穿 过 两 道 斜 激 波 的 流 动 和 穿 过 一 道 正 激 波 的 流 动 ，一 般 情 况 下 具 有 不 同 的 流 动 参 数 ， 必 然 有 一 道 分 隔线 将 它 们 分 开 。 这 种 把 流 场 分 隔 成 两 个 具 有 不 同 流动 参 数

29、 的 流 线 称 为 滑 移 线 （ slip line） ；穿 过 滑 移 线 静 压 和 流 动 方 向 必 须 相 同 ， 但 是 静 温 、速 度 大 小 等 可 以 不 同 ， 特 别 是 熵 不 相 同 。注 ： 注 意 区 分 滑 移 线 的 间 断 和 激 波 的 间 断 。 激 波的 间 断 是 所 有 参 数 的 间 断 ， 而 滑 移 线 的 间 断 是 某 些参 数 的 间 断 。 异 侧 激 波 的 规 则 相 交 图 9.21 左 行 激 波 与 右 行 激 波 的 规 则 相 交透 射 斜 激 波透 射 斜 激 波左 行 激 波 右 行 激 波 异 侧 激 波 的

30、 马 赫 相 交P653. 同 侧 激 波 的 相 交 两 同 向 激 波 相 交 形 成 一 更 强 的 激 波 CD, 同 时 伴 随 一 个 弱 反 射 波 CE。 这 一 反 射 波 是 必 须 的 ， 以 调 节 保 证 滑 移 线CF分 开 的 4区 和 5区 速 度 方 向 相 同 。图 9.22 两 左 行 波 相 交M1 M2 M3 滑 移 线 两 侧 流 动 参 数 比 较 例 9.7 假 设 由 10o偏 转 角 压 缩 而 产 生 一 斜 激 波 。 波 前 马 赫 数 为 3.6，气 体 压 强 和 温 度 均 为 海 平 面 标 准 状 况 。 这 个 斜 激 波

31、碰 到 在 压 缩角 上 方 的 一 直 壁 。 此 流 动 如 图 9.19所 示 。 计 算 反 射 激 波 与 直 壁 的夹 角 ， 反 射 激 波 之 后 的 压 强 、 温 度 和 马 赫 数 。解 ： 由 图 9.9， 对 于 M1=3.6, =10o, 我 们 可 查 出 ， 1=24o。因 此 ， Mn,1=M1Sin1=3.6Sin24o=1.464查 附 表 B， 则 得 ： 294.1 32.2 7157.0 12122, TTppMn 96.2)1024sin(7157.0)sin( 1 2,2 nMM因 此 有 ：至 此 ， 我 们 得 到 了 入 射 激 波 之 后

32、 的 流 动 特 性 。 即 完 成 了 步 骤 1。 我 们 前 面 求 出 的 入 射 激 波 波 后 的 流 动 特 性 即 为 反 射 激 波 波 前 的流 动 条 件 。 我 们 同 时 知 道 通 过 反 射 激 波 流 动 必 须 偏 转 10度 以 满足 上 壁 面 边 界 条 件 。 由 反 射 激 波 前 马 赫 数 M2=2.96， 偏 转 角=10o ， 查 -M图 （ 图 9.9） ， 可 得 2=27.3o。 由 图 9.19可 以 看出 ： =2-=27.3o-10o=17.3o同 样 ， 由 反 射 激 波 前 的 法 向 马 赫 数 分 量 Mn,2=M2Si

33、n2=1.358,查附 表 B可 得 ： 7572.0 229.1 991.1 3,2323 nMTTpp因 此 有 ： 55.2)103.27sin( 7572.0)sin( 2 3,3 nMM 对 于 海 平 面 标 准 大 气 条 件 ， p1=1atm, T1=288K, 因 此 有 ： 458)288)(294.1)(229.1( 62.4)1)(32.2)(991.1( 112233 112233 KKTTTTTT atmatmpppppp 9.5 DTACHED SHOCK WAVE IN FRONT OF A BLUNT BODY 钝 头 体 前 的 脱 体 激 波 Shock

34、 detachment distance ： 激 波 脱 体 距 离 ； Sonic line:音 速 线图 9.23 绕 钝 头 体 的 超 音 速 流 动 图 9.24 与 图 9.23对 应 的 -M曲 线 在 图 9.23中 ， 点 a处 激 波 与 来 流 垂 直 。 离 开 点 a， 激 波 逐 渐 变 弯 变弱 ， 最 后 在 远 离 物 体 的 地 方 变 为 马 赫 波 （ 图 9.23中 的 e点 ） 。A curved bow shock wave is one of the instances in nature when you can observe all pos

35、sible oblique shock solutions at once for a given freestream Mach number, M1. This takes place between points a to e. 弯 曲 弓 形 激 波 是 可 让 你 观 察 到 在 同 一 来 流 马 赫 数 下 所 有 可 能 的 斜激 波 解 的 例 子 之 一 。 对 应 由 a 至 e之 间 的 各 点 . a-c: 对 应 强 解 ；c: 对 应 最 大 偏 转 角 max 点 。c-c: 对 应 波 后 马 赫 数 小 于 1的 弱 解 。c: 对 应 激 波 之 后 气

36、流 速 度 为 音 速 的 点 。 c-e： 对 应 激 波 之 后 马 赫 数 大 于 1的 弱 解 。 弓 形 激 波 与 钝 头 体 之 间 的 流 动 为 超 音 速 流 和 亚 音 速 流 的 混 合区 。 亚 音 速 区 与 超 音 速 区 的 分 界 线 被 称 为 音 速 线 。脱 体 激 波 的 形 状 ， 激 波 脱 体 距 离 ， 以 及 整 个 流 场 的 解 由 来 流马 赫 数 ， 钝 头 体 的 尺 寸 与 形 状 确 定 。 采 用 数 值 求 解 技 术 可 以得 到 该 流 场 的 解 。 9.6 PRANDTL-MEYER EXPANSION WAVES

37、普 朗 特 -梅 耶 膨 胀 波在 光 滑 无 摩 擦 的 表 面 上 ， 当 超 声 速 流 动 遇 到 尖 凸 角 时 ，由 于 物 理 边 界 的 要 求 ， 流 向 必 须 发 生 偏 转 ， 这 种 扰 动 就会 产 生 膨 胀 波 。 特 别 要 注 意 ： 膨 胀 过 程 是 一 个 等 熵 过 程 。11 1arcsin M 22 1arcsin M M1的 马 赫 线 M2马 赫 线扇 形 膨 胀 区偏 转 必 须 逐 步 进 行 普 朗 特 -迈 耶 （ Prandtl-Meyer） 流 动 ：绕 尖 凸 角 的 定 常 均 匀 平 行 二 维 流 动 ， 可 以 像 斜

38、激 波 那 样用 一 维 方 法 分 析 。 这 种 膨 胀 波 称 为 ： 普 朗 特 -迈 耶 膨 胀 波 。 基 本 假 设 ： 二 维 定 常 超 音 速 流 ， 全 流 场 等 熵 ； 绕 拐 角 偏 转 之 前 ， 所 有 流 线 平 行 于 壁 面 ， 是 直 线 ； 偏 转 之 前 所 有 的 流 动 参 数 均 匀 ， 且 均 为 常 数 ； 完 成 偏 转 后 ， 下 游 所 有 流 动 参 数 也 是 均 匀 的 常 数 ， 流线 平 行 于 拐 角 后 的 壁 面 ； 在 扇 形 膨 胀 波 区 内 ， 沿 着 拐 角 发 出 的 每 一 条 马 赫 线（ 膨 胀 波

39、） 上 ， 流 动 参 数 都 是 常 数 ， 马 赫 线 是 直 线 。 图 9.26 通 过 无 限 弱 波 （ 极 限 马 赫 波 ） 的 无 限 小 变 化 的 几 何 关 系 图P+dPV+dV M+dMPVM 考 虑 一 个 以 无 限 小 的 偏 转 d 引 起 的 非 常 弱 的 波 ，如 上 图 所 示 。 这 个 波 实 际 上 就 是 与 上 游 速 度 夹 角 为 的 马 赫 波 。 我 们 前 面 已 经 证 明 了 通 过 斜 激 波 波 前 波 后的 切 向 速 度 分 量 保 持 不 变 。 所 以 将 波 前 速 度 的 大 小 与方 向 用 AB矢 量 线

40、段 表 示 画 在 波 后 ， 就 与 表 示 波 后 速 度大 小 和 方 向 的 AC矢 量 线 段 构 成 一 个 三 角 形 ABC。 三 个内 角 的 大 小 如 图 所 示 。 注 意 ,波 前 波 后 切 向 速 度 分 量不 变 保 证 了 CB垂 直 于 马 赫 波 。 )2/sin( )2/sin( dVdVV cos)2sin()2sin( ddd sinsincoscos)cos( ddVdV sinsincoscos cos1 tan1 1sincos cos1 ddVdV 对 ABC应 用 正 弦 定 理 ： d1 32111 xxxx 0 tan/VdVd 11t

41、an 2 M VdVMd 12 VdVMd 12 (9.32)Equation (9.23) relates the infinitesimal change in velocity, dV, to the infinitesimal deflection across a wave of vanishing strength. In the precise limit of a Mach wave, of course dV and hence are zero. In this case, Eq. (9.32) is an approximate equation for a finite

42、 , but it becomes a true equality as . Since the expansion fan illustrated in Figs. 9.1b and 9.23 is a region of an infinite number of Mach waves, Eq. (9.32) is a differential equation which precisely describes the flow inside the expansion wave. 方 程 (9.32)式 将 无 限 小 的 速 度 变 化 dV与 通 过 无 限 弱 强 度 波 的 气

43、流 偏 转 角 相 联 系 。 在 对 应 精 确 马 赫 波 的 情 况 下 ， dV=0, 因此 。 (9.32)式 对 于 有 限 值 是 一 个 近 似 方 程 ， 而 当 时 ， 是 一 个 精 确 等 式 。 由 于 图 9.2b 和 9.25 中 的 扇 形 膨 胀 波 是由 无 穷 多 个 马 赫 波 组 成 ， 因 此 ， (9.32)式 是 一 个 精 确 描 述 膨 胀 波 内 部 变 化 的 微 分 方 程 。d dd d 0d0d d 0d 21 120 MM VdVMd 参 照 图 9.25,将 (9.32)式 从 偏 角 为 零 ， 马 赫 数 为 M1的 区 域

44、 1， 积 分到 偏 角 为 ， 马 赫 数 为 M2的 区 域 2：VdVMd 12 (9.32)(9.33) 2020 211 MTTaa 2120 )211( Maa dMMMada 12)211(21 MdMMVdV 2)1(1 1 MaV aMV lnlnln adaMdMVdV （ 9.38) （ 9.39) 同 时 求 导8.40 先 取 对 数 ， 再 同 时 求 导 （ a 0为 常 数 ） 21 22 2/)1(1 1MM MdMMM将 (9.39)式 代 入 到 （ 9.33)式 ， 得 到 ： （ 9.40) MdMMMM 22 2/)1(1 1)( 1tan)1(11

45、tan11)( 2121 MMM （ 9.41) 被 称 为 Prandtl-Meyer函 数 (角 )， 其 具 体 表 达 式 如 下 ：)(M （ 9.42)因 此 ， （ 9.40)的 积 分 可 以 表 示 为 ： )()( 12 MM （ 9.43) )()( 12 MM （ 9.43) is given by Eq. (9.42) for a calorically perfect gas. The Prandtl-Meyer function is very important; it is the key to calculation of changes across an

46、 expansion wave. Because of its importance, is tabulated as a function of M in App. C. For convenience, values of are also tabulated in App.C.对 于 量 热 完 全 气 体 , 由 (9.42)式 给 定 。 Prandtl-Meyer 函 数 非 常 重 要 ， 它 是 计 算 通 过 膨 胀 波 气 体 特 性 变 化 的关 键 ； 由 于 其 重 要 性 ， 作 为 马 赫 数 M的 函 数 在 附 录 C中以 列 表 形 式 给 出 。 同 时

47、马 赫 角 作 为 M的 函 数 也 在 附 录 C中 给 出 。)(M )(M 普 朗 特 迈 耶 流 动 的 计 算设 初 始 马 赫 数 M1， 膨 胀 后 马 赫 数 M2， 流 动 偏 转 角 可 以 表 示 为 ： 1tan)1(11tan11)( 2121 MMM 称 为 普 朗 特 迈 耶 角 。物 理 意 义 ：1、 初 始 为 声 速 的 流 动 膨 胀 到 马 赫 数 为 M时 所 必 须 偏 转 的 角度 ；2、 任 何 超 声 速 流 动 都 可 以 假 想 是 由 声 速 流 经 偏 转 而 来 的 ，所 以 普 朗 特 迈 耶 角 与 马 赫 角 一 样 是 超

48、声 速 流 动 的 特 征 参 数 。 0)1(2)( M )()( 12 MM 普 朗 特 迈 耶 流 动 的 最 大 流 动 偏 转 角 1tan)1(11tan11)( 2121 MMM 马 赫 数 ， 则 ；当 马 赫 数 ， max存 在 最 大 值 （ 量 热 完 全 气 体 ） ： 45.1301112)( limmax mM物 理 意 义 ： 初 始 速 度 为 音 速 时 ， 可 能 的 最 大 流 动 偏 转角 ； 或 者 说 偏 转 这 个 角 度 时 ， 流 动 可 以 膨 胀 到 马 赫 数无 穷 大 。 习 题 9.15实 际 中 ， 最 大 流 动 偏 转 角 不

49、 可 能 实 现 ， 因 为 ：1、 真 实 流 动 有 粘 性 ， 膨 胀 到 移 动 程 度 流 动 从 表 面 分 离 ；2、 与 最 大 流 动 偏 转 角 对 应 的 压 强 是 0， 连 续 介 质 假 设 不成 立 。 22211,01 2,0212 2/)1(1 2/)1(1/ MMTT TTTT )1/(22211,01 2,0212 2/)1(1 2/)1(1/ MMpp pppp 下 面 我 们 应 用 以 上 结 果 给 出 求 解 图 9.26所 示 问 题 的 具 体 步 骤 ：1.对 于 给 定 M1， 由 附 录 C查 得 。2.由 计 算 。3.根 据 第 2

50、步 计 算 出 的 ， 查 附 录C得 到 M2。4.因 为 膨 胀 波 是 等 熵 的 ， 因 此 p0和 T0通 过 膨 胀 波 保 持 不 变 。 即T0,1=T0,2, p0,1=p0,2。 由 (8.40)式 ， (8.42)式 ， 我 们 有 （ 9.44）（ 9.45）)( 1M )()( 12 MM )( 2M)( 2M 例 9.8 马 赫 数 、 压 强 、 温 度 分 别 为 1.5, 1atm, 288K的 超 音 速 气 流 流过 如 图 9.23偏 转 角 为 15o的 凸 角 ， 计 算 M2， T2， p0,2， T0,2以 及 前 马赫 波 及 后 马 赫 波

51、与 上 游 来 流 的 夹 角 。解 ：1.对 于 给 定 M1=1.5， 查 附 录 C得 。2.由 (9.43)式 计 算 得 。3.由 查 附 录 C 91.111 91.261591.1112 91.26 2 atm. atmpppppppp 4690 )1)(671.3)(1(824.7 1 111,01,02,02,022 得 M2=2.0。 (近 似 ）4.由 附 录 A， 对 应 M1=1.5， 有 p0,1/p1=3.671， T0,1/T1=1.45 对 应 M2=2.0， 有 p0,2/p2=7.824， T0,2/T2=1.8 因 为 流 动 是 等 熵 的 ， 所 以

52、 T0,2=T0,1， p0,2=p0,1所 以 ： K KTTTTTTTT 232 )288)(45.1)(1(8.11111,01,02,02,022 KKTTTTT atmppppp 7.416)288(45.1 671.31 11,01,02,0 111,01,02,0 前 马 赫 波 与 上 游 来 流 夹 角 =后 马 赫 波 与 上 游 来 流 夹 角 = 01 81.415.11arcsin 002 15150.21arcsin 补 充 : Prandtl-Myer关 系 式 的 应 用 等 熵 压 缩 马 赫 波 -满 足 Prandtl-Myer关 系 式 可 以 使 用

53、普 朗 特 迈 耶 关 系 式 ， 由 1区 的 流 动 特 性 计 算 2区 的 流 动 参数 。 同 样 可 以 使 用 普 朗 特 迈 耶 关 系 式 ， 由 1区 的 流 动 特 性 计 算 2区 的 流动 参 数 。 DESIGN BOX超 燃 冲 压 发 动 机 (SCRAMjet)的 基 本 设 计 特 征 前 体 波 头 部 开 始 的 激 波 压 缩 气 流 ； 超 燃 冲 压 发 动 机 舱 通 过 进 气 道 内 反 射 激 波系 进 一 步 压 缩 气 流 并 与燃 料 混 合 ， 从 发 动 机 尾部 膨 胀 喷 出 ； 飞 行 器 后 部 膨 胀 面 使 喷 出 气

54、 流 进 一 步 膨胀 发 动 机 整 流 罩 在 设计 飞 行 状 态 要 求 前 体 激波 接 到 整 流 罩 前 缘 如 图 9.30所 示 ： 前 体 激 波 之 后 还 可 以 通 过 等 熵 压 缩 在 气流 进 入 进 气 道 之 前 进 一 步 压 缩 。影响超燃冲压发动机性能和气动特性的因素与物理问题有：前缘钝头降低头部气动加热粘性边界层及激波边界层干扰产生阻力和气动加热；引起气流 分离与再附 层流向湍流转捩影响阻力和气动热激波间干扰引起发动机整流罩严重的气动加热问题 超 燃 冲 压 发 动 机 的 原 理 草 图 ：4-5： 燃 烧 室 （ Combustor) M 高 度

55、(m) M4 A0/A4 P4/p P4(N/m2) T4(K) V4(m/s)7 24407 3.143 10.85 47 911.1 806 175510 29108 4.143 16.49 89.6 851.3 1087 266515 34823 5.502 25.23 185.9 763.2 1600 423920 41989 6.650 33.11 313.6 479.8 2263 5989特 点 :燃 烧 气 流 具 有 高 马 赫 数 例 9.9 在 前 面 的 对 超 燃 冲 压 发 动 机 的 讨 论 中 ， 提 到 了 等 熵 压 缩 波作 为 可 能 的 压 缩 机 制

56、之 一 。 考 虑 如 图 9.34a所 示 的 等 熵 压 缩 。 压缩 波 上 游 的 马 赫 数 和 静 压 分 别 为 ： M1=10， p1=1atm。 气 流 总 的偏 转 角 为 15度 。 计 算 压 缩 波 后 区 域 2的 马 赫 数 和 压 强 。 由 附 录 C， 根 据 2 的 值 ， 可 得 ： 3.1021 在 区 域 2， 3.87153.10212 由 附 录 C， M1=10时 ， 4.62 Matm02.18 )104)(1)(0.424100.23551( 5411,01,02,02,022 ppppppp由 附 录 A， 得 到 p0,1/p1, p0

57、,2/p2 的 值 ， 即 可 得 ： atm42440atm100.4244 51,02,0 pp 例 9.10 考 虑 如 图 9.34b所 示 的 压 缩 凹 角 。 上 游 的 马 赫 数 和 静 压 与例 9.9一 样 分 别 为 ： M1=10， p1=1atm。 气 流 通 过 一 道 斜 激 波 偏 转角 15度 。 计 算 激 波 后 区 域 2的 马 赫 数 、 静 压 和 总 压 。 与 例 9.9相 比较 并 讨 论 比 较 的 意 义 。解 : 由 图 9.9可 得 ： M1=10， =15度 ， 对 应42.320sin10sin 11, MMn 20 4552.0

58、 ,2322.0 ,32.13 B42.3 2,1,02,0121, nn MppppM 得时 ， 查 表 因 此 ： 22.5)1520sin( 4552.0)sin( 2,2 nMM atm)(32.13)( 1 122 pppp (atm)1085.91104244.02322.0)( 35111,01,02,02,0 pppppp 9.7 SHOCK-EXPANSION THEORY : APPLICATIONS TO SUPERSONIC AIRFOILS激 波 膨 胀 波 理 论 及 其 对 超 音 速 翼 型 的 应 用 例 1 平 板 翼 型 ： sin)( cos)( )(

59、23 23 23 cppD cppL cppR (9.46)(9.47)(9.48)(9.46)-(9.48)式 中 ， p3 由 斜 激 波 特 性 计 算 而 得 ， p2由 膨 胀波 特 性 计 算 而 得 。 象 这 样 由 激 波 -膨 胀 波 理 论 (shock-expansion theory)计 算 得 到 解 是 精 确 解 。图 9.26中 ,平 板 翼 型 上 表 面 为 前 缘 处 膨 胀 波 后 的 压 强 p2， 下 表 面 为 前 缘 处 斜 激 波 后 的 压 强 p3， p3 p2， 因 此 平 板 翼型 受 到 合 力 R的 作 用 ， 可 分 解 为 升

60、 力 L和 阻 力 D： PRESSURE DISTRIBUTION ON FLAT PLATE AT SUBSONIC AND SUPERSONIC亚 声 速 平 板 ： 因 前 缘 绕 流 速 度 很 大 ， 前 缘 载 荷 很 大 ， 后 缘 满足 压 强 相 等 的 库 塔 条 件 ， 后 缘 载 荷 为 零 ；超 声 速 平 板 ： 因 超 声 速 绕 流 ， 上 下 表 面 流 动 互 不 影 响 ， 上 下 翼 面 压 强 系 数 大 小 相 等 ， 方 向 相 反 ， 载 荷 系 数 为 常 数 。 什 么 情 况 下 可 以 利 用 激 波 -膨 胀 波 理 论 来 求 解

61、翼 型 的 气动 特 性 ？Whenever we have a body made up of straight-line segments and the deflection angles are small enough so that no detached shock waves occur, the flow over the body goes through a series of distinct oblique shock and expansion waves, and the pressure distribution on the surface (hence th

62、e lift and drag) can be obtained exactly from both the shock- and expansion wave theories discussed in this chapter. 只 要 翼 型 是 由 直 线 段 组 成 的 ， 且 流 动 偏 转 角 足 够 小 能 保 证 没 有脱 体 激 波 出 现 ， 那 么 绕 翼 型 的 超 音 速 流 动 就 是 由 一 系 列 斜 激 波 、膨 胀 波 组 成 的 ， 因 此 ， 我 们 可 以 应 用 激 波 -膨 胀 波 理 论 精 确 地 求解 翼 型 表 面 的 压 力 分 布 进

63、 而 翼 型 的 升 力 和 阻 力 。 例 2： 对 称 菱 形 翼 型 （ Diamond-shape airfoil)受 力 分 析 ： a、 c面 压 强 均 匀 相 等 ， 用 p 2表 示 ， 为 压 缩 偏 转 角 为 的 斜 激 波 后 的 压 强 ； b、 d面 压 强 均 匀 相 等 ， 用 p3表 示 ,为 膨 胀偏 转 角 为 2的 膨 胀 波 后 的 压 强 。 因 为 流 动 是 上 下 对 称 的 ， 所 以 L=0； 而 由 于 p2p3, 所 以 会 有阻 力 分 量 D。 2)(2)sinsin(2 3232 tpplplpD tppD )( 32 即 ：

64、（ 9.49) 讨 论 ：这 一 节 的 结 果 说 明 了 无 粘 、 超 音 速 流 动 的 一 个 非 常重 要 的 特 征 。 由 （ 9.48)式 和 (9.49)式 可 以 看 出 ， 二 维翼 型 在 超 音 速 流 中 将 受 到 一 定 的 阻 力 。 这 和 我 们 在第 3、 4章 中 讨 论 的 低 速 无 粘 不 可 压 缩 流 动 绕 二 维 物体 阻 力 为 零 的 结 果 恰 恰 相 反 。在 超 音 速 流 中 ， 二 维 物 体 要 受 到 的 阻 力 的 作 用 ， 这一 阻 力 被 称 为 波 阻 。 降 低 波 阻 是 超 音 速 翼 型 设 计 中的

65、 一 个 重 要 考 虑 因 素 。 波 阻 的 存 在 在 本 质 上 与 翼 型产 生 的 激 波 有 关 ， 即 与 通 过 激 波 的 熵 增 和 总 压 损 失有 关 。在 同 样 来 流 马 赫 数 下 ， 翼 型 的 厚 度 越 大 ， 其 零 升 波阻 越 大 。 例 9.8 已 知 M1=3 =5 。 求 Cl,Cd. M1=3p15解 ：首 先 计 算 上 表 面 的 p2/p1. 由M1=3, 查 附 表 C，得 。由 及 ，得 ； 查 附 表 C得 668.05573.3622,011,012 pppppp76.542 76.491 12M2=3.27。所 以 ： 其

66、中 ： p0,1/p1 与 p0,2/p2均 由 附 表 A查 得 。 第 二 步 ， 计 算 下 表 面 的 p3/p1。 由 图 9.7可 知 ， 对 于M1=3， ,=23.10 ， 因 此 查 附 表 B， 对 于 Mn,1=1.177, p3/p1=1.458。5 177.11.23sin3sin11, MMn cos)( 23 cppL 125.05cos)668.0458.1(3)4.1( 2 cos)(22 2 1213212111 ppppMcMpLSqLcl sin)( 23 cppD 011.05sin)668.0458.1(3)4.1( 2 sin)(22 2 1213212111 ppppMcMpDSqDcd本 例 的 阻 力 系 数 还 可 利 用 下 面 关 系 简 便 求 解 ：tanldcc 011.05tan125.0tan ld cc因 此 ： 9.9 粘 性 流 :激 波 /边 界 层 干 扰 习 题 9.7半 顶 角 为 30.2。 的 尖 楔 放 入 和 的 自 由 流 中 。 Pitot管 放 在 尖 楔 上 表 面 的 激 波 后 面 ，