单变量推论统计：假设检验

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1、第 七 讲 假 设 检 验 第 一 节 假 设 检 验 的 基 本 问 题 一 、 假 设 检 验 的 基 本 概 念 对 总 体 的 概 率 分 布 或 分 布 参 数 作出 某 种 “ 假 设 ” ， 根 据 抽 样 得 到 的 样本 观 测 值 ， 运 用 社 会 统 计 的 分 析 方 法 ，检 验 这 种 “ 假 设 ” 是 否 正 确 ， 从 而 决定 接 受 或 拒 绝 “ 假 设 ” ， 这 就 是 本 讲要 讨 论 的 假 设 检 验 问 题 。 1、 什 么 是 假 设 ？ 假 设 ： 定 义 为 一 个 调 研者 或 管 理 者 对 被 调 查 总体 的 某 些 特 征

2、所 做 的 一种 假 定 或 猜 想 。 本 讲 所讨 论 的 假 设 都 是 经 验 假设 ， 而 非 理 论 假 设 。 是对 总 体 参 数 的 一 种 假 设 。 常 见 的 是 对 总 体 均 值 或比 例 和 方 差 的 检 验 ； 在 分 析 之 前 ， 被 检 验 的参 数 将 被 假 定 取 一 确 定值 。我认为到KFC消费的人平均花费15元！ 2、 社 会 调 查 中 常 见 的 假 设 检 验 问 题 根 据 以 往 资 料 ， 某 地 女 青 年 的 平 均 初 婚 年 龄 =20岁 ， 但 今 年 根 据 100名 女 青 年 的 随 机 抽 样调 查 ， =21岁

3、 ， 问 能 否 认 为 该 地 女 青 年 的 初 婚年 龄 比 以 往 有 所 推 迟 ？ 根 据 随 机 抽 样 调 查 ， 文 化 程 度 高 的 家 庭 ， 平 均子 女 数 也 要 少 些 。 两 者 呈 负 相 关 r=-0.3。 问 这样 的 结 论 是 否 具 有 普 遍 意 义 ？ 可 见 ， 假 设 的 内 容 ， 都 是 数 量 化 的 内 容（ =20？ r=-0.3） ， 而 验 证 的 依 据 ， 都 是 凭借 抽 样 调 查 所 得 到 的 结 果 。 （ 抽 样 必 须 从 总 体随 机 抽 取 ）X 什 么 是 假 设 ? 对 总 体 参 数 的 一 种 看

4、 法 总 体 参 数 包 括 总 体 均 值 、比 例 、 方 差 等 分 析 之 前 必 需 陈 述 概 念 事 先 对 总 体 参 数 或 分 布 形 式 作 出 某 种 假 设 然 后 利 用 样 本 信 息 来 判 断 原 假 设 是 否 成 立 类 型 参 数 假 设 检 验 （ 检 验 法 、 t检 验 法 等 ） 非 参 数 假 设 检 验 （ 在 总 体 方 差 未 知 或 知 道 甚 少 的 情 况 下 ，利 用 样 本 数 据 对 总 体 分 布 形 态 等 进 行 推 断 的 方 法 ， 在 推 断过 程 中 不 涉 及 有 关 总 体 分 布 的 参 数 ， 如 卡 方

5、 检 验 ）3. 特 点 采 用 逻 辑 上 的 反 证 法 依 据 统 计 上 的 小 概 率 原 理什 么 是 假 设 检 验 ？ . 因 此 我 们拒 绝 假 设 =20. 如 果 这 是总 体 的 真 实均 值 m = 50H0这 个 值 不 像我 们 应 该 得到 的 样 本 均值 . 假 设 检 验 的 基 本 思 想 3. 小 概 率 原 理 小 概 率 原 理 是 假 设 检 验 的 基 本 依 据 ， 即 认 为小 概 率 事 件 在 一 次 试 验 中 几 乎 是 不 可 能 发 生 的 。当 进 行 假 设 检 验 时 ， 先 假 设 H0正 确 ， 在 此 假 设下 ，

6、 若 小 概 率 事 件 A出 现 的 概 率 很 小 ， 例 如 P（ A）=0.01， 经 过 取 样 试 验 后 ， A出 现 了 ， 则 违 反 了上 述 原 理 ， 我 们 认 为 这 是 一 个 不 合 理 的 结 果 。 例如 ， 我 们 每 天 从 电 视 、 报 纸 上 都 能 看 到 交 通 事 故的 发 生 ， 但 人 们 绝 不 会 因 此 而 放 弃 交 通 工 具 的 使用 。 “ 套 中 人 ” 每 天 带 雨 伞 、 雨 鞋 而 被 视 作 怪 人 。可 见 ， 人 们 总 是 在 不 自 觉 地 运 用 小 概 率 原 理 。 这 时 ， 我 们 只 能 怀

7、疑 作 为 小 概 率 事 件 A的 前 提 假 设 H0的 正 确 性 ， 于 是 否 定 H0。 反 之 ，如 果 试 验 中 A没 有 出 现 ， 我 们 就 没 有 理 由 否定 假 设 H0， 从 而 做 出 接 受 H0的 结 论 。 下 面 我 们 通 过 实 例 来 说 明 假 设 检 验 的 基本 思 想 及 推 理 方 法 。 4、 原 假 设 和 备 择 假 设 原 假 设 H 0是 关 于 总 体 均 值 而 非 样 本 统 计 量 的 假 设总 是 假 设 原 假 设 是 正 确 的原 假 设 可 能 被 接 受 也 可 能 被 拒 绝 备 择 假 设 H 1是 原

8、假 设 的 对 立备 择 假 设 可 能 被 接 受 也 可 能 被 拒 绝备 择 假 设 是 试 图 要 建 立 的 检 验 二 、 假 设 检 验 的 基 本 思 路 与 方 法 (1)建 立 假 设(2)求 抽 样 分 布 (4)计 算 检 验 统 计 量(3)选 择 显 著 性水 平 和 否 定 域 (5)判 定所 所包 有含 统的 计步 检骤 验 根 据 以 往 多 年 的 统 计 表 明 ， 宜 宾 学 院 社 会 统 计 学 的 平 均 成 绩 为 90分 ， 随 机抽 取 100个 学 生 ， 其 平 均 成 绩 为 80分 ， 问 今年 宜 宾 学 院 社 会 统 计 学 成

9、 绩 是 否 下 降 ？ 提 出 原 假 设 和 备 择 假 设 什 么 是 原 假 设 ？ (Null Hypothesis) 1. 待 检 验 的 假 设 ， 又 称 “ 0假 设 ” 2. 如 果 错 误 地 作 出 决 策 会 导 致 一 系 列 后 果 3. 总 是 有 等 号 , 或 4. 表 示 为 H0 H0： m 某 一 数 值 指 定 为 = 号 ， 即 或 例 如 , H 0： m 3190（ 元 ） 为 什 么 叫 0假 设 什 么 是 备 择 假 设 ？ (Alternative Hypothesis) 1. 与 原 假 设 对 立 的 假 设 2. 总 是 有 不

10、等 号 : , 或 3. 表 示 为 H1 H1： m 某 一 数 值 ， 或 m 某 一 数 值 例 如 , H1： m 3910(元 )， 或 m 3910(元 ) 什 么 检 验 统 计 量 ？u 用 于 假 设 检 验 问 题 的 统 计 量u 选 择 统 计 量 的 方 法 与 参 数 估 计 相 同 ， 需 考 虑 是 大 样 本 还 是 小 样 本 总 体 方 差 已 知 还 是 未 知 检 验 统 计 量 的 基 本 形 式 为nxz m 0 规 定 显 著 性 水 平 什 么 是 显 著 性 水 平 ？ 1. 是 一 个 概 率 值 2. 原 假 设 为 真 时 ， 拒 绝

11、原 假 设 的 概 率 被 称 为 抽 样 分 布 的 拒 绝 域 3. 表 示 为 (alpha) 常 用 的 值 有 0.01, 0.05, 0.10 4. 由 研 究 者 事 先 确 定 作 出 统 计 决 策 计 算 检 验 的 统 计 量 根 据 给 定 的 显 著 性 水 平 ， 查 表 得 出 相 应的 临 界 值 Z或 Z/2 将 检 验 统 计 量 的 值 与 水 平 的 临 界 值 进行 比 较 得 出 接 受 或 拒 绝 原 假 设 的 结 论 两 类 错 误 分 析 小 概 率 原 理 是 假 设 检 验 的 基 本 依 据 ， 然 而 ， 对 于 小概 率 事 件 ，

12、 无 论 其 概 率 多 么 小 ， 还 是 可 能 发 生 的 ，所 以 ， 利 用 小 概 率 原 理 为 基 础 的 假 设 检 验 方 法 进 行检 验 ， 可 能 会 做 出 错 误 的 判 断 ， 主 要 有 两 种 形 式 （ 1） 原 假 设 H0实 际 是 正 确 的 ， 但 却 错 误 地 拒 绝 了 H0，这 样 就 犯 了 “ 弃 真 ” 的 错 误 ， 通 常 称 为 第 一 类 错 误 。由 于 仅 当 所 考 虑 的 小 概 率 事 件 A发 生 时 才 拒 绝 H0，所 以 犯 第 一 类 错 误 的 概 率 就 是 条 件 概 率 ：（ 2） 原 假 设 H

13、0实 际 是 不 正 确 的 ， 但 是 却 错 误 地 接 受了 H0， 这 样 就 犯 了 “ 纳 伪 ” 的 错 误 ， 通 常 称 为 第 二类 错 误 。 犯 第 二 类 错 误 的 概 率 记 为 。)|( 00 真拒 HHP X 我 们 自 然 希 望 犯 这 两 类 错 误 的 概 率 越 小 越好 。 但 当 样 本 容 量 n确 定 后 ， 犯 这 两 类 错 误的 概 率 不 可 能 同 时 被 控 制 ， 通 常 在 我 们 根据 历 史 经 验 选 取 恰 当 的 显 著 性 水 平 后 ， 通过 扩 大 样 本 容 量 n的 方 式 来 使 第 二 类 错 误 的概

14、 率 减 小 。 陪 审 团 审 判裁 决 实 际 情 况无 罪 有 罪无 罪 正 确 错 误有 罪 错 误 正 确 H 0 检 验决 策 实 际 情 况H 0为 真 H 0为 假接 受 H 0 1 - 第 二 类 错误 ()拒 绝 H 0 第 一 类 错误 () 功 效 (1-) 错 误 和 错 误 的 关 系你 不 能 同 时 减少 两 类 错 误 ! 第 二 节 单 一 总 体 参 数 的 假 设 检 验Z 检 验 （ 单 尾 和 双 尾 ） t 检 验（ 单 尾 和 双 尾 ） Z 检 验（ 单 尾 和 双 尾 ） c2检 验（ 单 尾 和 双 尾 ）均 值 一 个 总 体 比 例 方

15、 差 建 立 假 设 的 三 种 情 况 ： 计 依 据 ）人 均 收 入 是 否 提 高 的 统可 以 得 出 结 论 ， 作 为 月元元( 871: 871:10 mmHH农村居民月人均收入水平的评估 检 验 中 学 老 师 对 学 生 平 均 成 绩 承 诺 的 有 效 性 ：的 陈 述 ）怀 疑 中 学 老 师 教 学 水 平( 6.67: 6.67:10 mmHH中学老师对学生学习成绩的承诺 统 计 报 表 的 验 证 ： 拒 绝 报 表 数 据 ）元元 ( 2235: 2235:10 mmHH统计数据是否真实的依据 双 侧 检 验 与 单 侧 检 验 (假 设 的 形 式 )假 设

16、 研 究 的 问 题双 侧 检 验 左 侧 检 验 右 侧 检 验H 0 m = m0 m m0 m m0H 1 m m0 m m0 根 据 否 定 域 位 置的 不 同 ， 可 以 将假 设 检 验 分 为 双侧 检 验 和 单 侧 检验 。 在 统 计 中 ，必 须 把 否 定 域分 配 到 抽 样 分布 的 两 端 的 检验 ， 被 称 为 双侧 检 验 。 在 统 计 中 ， 可 以 事 先 能预 测 偏 差 方 向 ， 因 而 可 以把 否 定 域 集 中 到 抽 样 分 布更 合 适 的 一 端 的 检 验 ， 被称 为 单 侧 检 验 。 双 侧 检 验 和 单 侧 检 验 双

17、侧 检 验（ 原 假 设 与 备 择 假 设 的 确 定 ） 双 侧 检 验 属 于 决 策 中 的 假 设 检 验 。 也 就 是 说 ，不 论 是 拒 绝 H0还 是 接 受 H0， 我 们 都 必 需 采取 相 应 的 行 动 措 施 。 例 如 ， 某 单 位 职 工 上 月 平 均 收 入 为 2100元 ，本 月 大 于 或 小 于 2100元 均 属 于 发 生 变 化 。 建 立 的 原 假 设 与 备 择 假 设 应 为 H 0: m 2100 H1: m 2100 双 侧 检 验（ 确 定 假 设 的 步 骤 ） 1. 某 单 位 职 工 上 月 平 均 收 入 为 210

18、0元 ， 本 月 调 查 了100名 职 工 ， 平 均 收 入 为 2200元 ， 标 准 差 为 15元 。问 该 单 位 职 工 本 月 平 均 收 入 与 上 月 相 比 是 否 有 变 化 ？ 2. 步 骤 从 统 计 角 度 陈 述 问 题 (m = 2100) 从 统 计 角 度 提 出 相 反 的 问 题 (m 2100) 必 需 互 斥 和 穷 尽 提 出 原 假 设 (m = 2100) 提 出 备 择 假 设 (m 2100) 有 符 号 双 侧 检 验（ 确 定 假 设 的 步 骤 ） 1. 某 单 位 职 工 上 月 平 均 收 入 为 2100元 ， 本 月 调 查

19、 了100名 职 工 ， 平 均 收 入 为 2200元 ， 标 准 差 为 15元 。 问该 单 位 职 工 本 月 平 均 收 入 与 上 月 相 比 是 否 有 变 化 ？ 解 首 先 建 立 虚 无 假 设 （ H0） 和 研 究 假 设 （ H1） 即 有H0 ： =2100 H1 ： m 2100 选 择 显 著 性 水 平 =0.05， 查 标 准 正 态 分 布 得 由 于 Z=6.67 所 以 ， 拒 绝 虚 无 假 设 ，即 从 总 体 上 说 ， 该 单 位 职 工 平 均 收 入 与 上 月 相比 有 变 化 。96.1 2/05.0 Z 67.6100/150 210

20、02200/ nSXZ m96.12/05.0 Z 双 侧 检 验（ 显 著 性 水 平 与 拒 绝 域 ） /2 双 侧 检 验（ 显 著 性 水 平 与 拒 绝 域 ） /2 双 侧 检 验（ 显 著 性 水 平 与 拒 绝 域 ） /2 双 侧 检 验（ 显 著 性 水 平 与 拒 绝 域 ） /2 例 一 位 研 究 者 试 图 检 验 某 一 社 会 调 查 所 运 用的 抽 样 程 序 ， 该 项 调 查 是 由 一 些 缺 乏 经 验 的 访 问 员 进行 的 。 研 究 者 怀 疑 属 于 干 部 和 知 识 分 子 的 家 庭 抽 得 过多 。 过 去 的 统 计 资 料 表

21、 明 ， 该 街 区 的 家 庭 收 入 是 7500元 ， 标 准 差 是 1500元 ； 此 次 调 查 共 抽 取 100个 家 庭 样本 平 均 收 入 是 7900元 。 问 ： 该 研 究 人 员 是 否 有 理 由 怀疑 该 样 本 有 偏 估 ？ （ 选 用 =0.05）总 体 均 值 和 成 数 的 单 样 本 检 验1 已 知 ， 对 总 体 均 值 的 检 验实 际 上 是 要 检 验 “ 随机 抽 样 ” 这 个 零 假 设 解 根 据 题 意 ， 可 做 如 下 假 设 ， 并 做 单 侧 检 验 因 =0.05， 查 表 得 Z 0.05=1.65， 故 否 定 域

22、 为根 据 中 心 极 限 定 理 ， 检 验 统 计 量计 算 得 检 验 统 计 量 Z的 计 算 表 明 ， 样 本 均 值 比 总 体 均 值 大 2 67个标 准 差 （ ） ， 超 过 了 显 著 性 水 平 规 定 的 临 界 值 ， 调 查 者 应 该否 定 “ 随 机 抽 样 ” 的 零 假 设 。 也 就 是 说 ， 由 于 抽 样 在 程 序 上 不 合 要求 ， 这 项 社 会 调 查 有 必 要 重 新 组 织 。 7500:7500: 10 mm HH )1,01001500 7500 N(X Z 65.167.21001500 75007900 Z 65.1ZX

23、中 心 极 限 定 理 实 际 解 决 了 大 样 本 均 值 的 检 验 问题 。 假 定 样 本 比 较 大 (n 50， 这 在 社 会 调 查 中 一 般都 能 得 到 满 足 )， 样 本 均 值 的 抽 样 分 布 就 与 总 体 分 布无 关 ， 而 服 从 正 态 分 布 。 当 H0成 立 时 ， 样 本 均 值 的观 察 值 比 较 集 中 地 分 布 在 总 体 均 值 周 围 ； 当 H0不成 立 时 ， 将 对 有 明 显 偏 离 的 趋 势 。 因 而 ， 我 们可 以 在 选 定 的 显 著 性 水 平 上 ， 通 过 计 算 检 验 统 计 量Z， 对 零 假

24、设 进 行 检 定 。 注 ： 当 未 知 时 ， 只 要 样 本 量 很 大 ， 就 可 用 S来 代 替 。 但 对 于 小 样 本 ， Z检 验 就 要 用 t 检 验 来替 代 了 ， 而 且 还 必 须 严 格 限 于 正 态 总 体 。X 解 根 据 题 意 ， 可 作 如 下 的 假 设 ， 并 做 双 侧 检 验 H0： 2330元 H1： 2330元因 0.05， 查 正 态 分 布 表 得 Z/2 1.96， 故 否 定 域 |Z|1.96 计 算 检 验 统 计 量 Z 1.20 1 96 所 以 ， 不 能 认 为 该 单 位 人 均 月 收 入 不 是 2330元 ，

25、 即 不 能认 为 该 统 计 报 表 有 误 。 nX/ m nSX/ m81/150 23302350 例 某 单 位 统 计 报 表 显 示 ， 人 均 月 收 入 为 2330元 ， 为 了 验证该 统 计 报 表 的 正 确 性 ， 作 了 共 81人 的 抽 样 调 查 ， 样 本 人 均 月 收 入为 2350元 ， 标 准 差 为 150元 ， 问 能 否 说 明 该 统 计 报 表 显 示 的 人 均 收 入 的 数 字 有 误 (取 显 著 性 水 平 0.05)。 此 乃 “ 总 体 均 值” 零 假 设 的 检 验 )%95( 88096.105.0 03.3-5021

26、880871 880H808 2 2 0 ,50n1 1 的 可 靠 程 度 否 定 原 假 设即 有有 误 的 。， 可 以 认 为 统 计 报 表 是 元均 收 入 为据 抽 样 调 查 不 能 认 为 人因 此 拒 绝 原 假 设 ， 即 根 ，体 平 均 数 存 在 显 著 差 异， 说 明 样 本 平 均 数 和 总因 为 时 ， 对 应 的 临 界 值 元：元 ；：解 ： ）代 替未 知 ， 用： 选 择 检 验 统 计 量 （ 当方 法 m mm ZZ ZnSXZ H S 为 了 验 证 统 计 报 表 的 正 确 性 ， 作 了 共 五 十 人 的 抽 样 调 查 ， 人均 收

27、 入 的 结 果 有 ： ， 问 能 否 证 明 统 计报 表 中 人 均 收 入 =880元 是 正 确 的 （ 显 著 性 水 平 =0.05） 。 假 设 检 验 与 区 间 估 计 的 联 系 元元 ， 21871 SX 元 。假 设 推 翻 了 原小 概 率 事 件 ， 从 而 也 就 说 出 现 了出 来 的 区 间 内 ， 也 就 是 样 本 计 算未 包 含 在 ），即 ： 的 区 间 为 ：的 就 不 否 定 原 假 设如 果 求 出 的 区 间 包 含 （ 区 间 估 计 ） ：方 法 ， 880 %95880 82.687 865.18( 502196.187196.1

28、95% , 2 mm m m nX HO 单 侧 检 验（ 原 假 设 与 备 择 假 设 的 确 定 ） 检 验 研 究 中 的 假 设 将 所 研 究 的 假 设 作 为 备 择 假 设 H1 将 认 为 研 究 结 果 是 无 效 的 说 法 或 理 论 作为 原 假 设 H0。 或 者 说 ， 把 希 望 (想 要 )证 明的 假 设 作 为 备 择 假 设1. 先 确 立 备 择 假 设 H 1 单 侧 检 验（ 原 假 设 与 备 择 假 设 的 确 定 ）n 例 如 ， 根 据 抽 样 调 查 ， 九 个 人 的 平 均初 婚 年 龄 是 23.5岁 ， 该 地 区 平 均 初

29、婚年 龄 是 否 超 过 20岁 ？ 属 于 研 究 中 的 假 设 建 立 的 原 假 设 与 备 择 假 设 应 为 H 0: m 20 H1: m 20 单 侧 检 验（ 原 假 设 与 备 择 假 设 的 确 定 ） 检 验 某 项 声 明 的 有 效 性 将 所 作 出 的 说 明 (声 明 )作 为 原 假 设 对 该 说 明 的 质 疑 作 为 备 择 假 设 先 确 立 原 假 设 H01. 除 非 我 们 有 证 据 表 明 “ 声 明 ” 无 效 ， 否 则就 应 认 为 该 “ 声 明 ” 是 有 效 的 2.小 样 本 总 体 均 值 的 检 验 （ 学 生 t分 布

30、） 中 心 极 限 定 理 解 决 了 大 样 本 均 值 的 检 验 问 题 。 但是 当 n较 小 时 ， 用 这 种 方 法 求 出 的 概 率 可 能 是 错 误 的 ，有 必 要 做 某 种 修 正 。 于 是 有 人 设 计 了 另 一 种 检 验 统计 量 )1(1 ntnSXt m 这 个 统 计 量 最 初 是 由 戈 塞 特 (1876一 1937)用 笔 名“ 学 生 ” 发 表 ， 所 以 这 个 统 计 量 的 抽 样 分 布 称 为 学 生 t分 布 。 比 较 t和 Z， 我 们 注 意 到 它 们 的 分 子 相 同 ， 而 分母 却 稍 有 不 同 ： 为 S

31、所 代 替 (这 一 点 无 须 解 释 )； 根 号 下 是 n1。 当 Z为 t替 代 时 ， 虽 用 因 子 n1所 导 致 的 修 正 看 起来 不 大 ， 但 在 样 本 容 量 较 小 时 ， 这 种 修 正 就 会 起 很 大作 用 了 。 所 以 当 不 知 道 值 、 且 样 本 容 量 较 小 时 ， 我们 应 该 考 虑 应 用 t分 布 而 不 是 Z分 布 。 采 用 n1的原 因 ： 样 本 数据 的 离 散 程 度小 于 总 体 数 据的 离 散 程 度 。 n1实 际 为 自由 度 数 k。 例 已 知 初 婚 年 龄 服 从 正 态 分 布 。 根 据 10人

32、 的 调查 有 = 23.5岁 ， S=3岁 ， 问 是 否 可 以 认 为 该 地 区 的 平均 初 婚 年 龄 已 超 过 20岁 ？ （ =0.01） 解 H0： m=20； H1： m20 因 为 n小 ， 又 不 知 值 ， 因 此 用 t检 验 对 自 由 度 9来 讲 ， 单 侧 检 验 和 显 著 性 水 平 0.01， 查表 知 否 定 域 为 t值 等 于 或 大 于 2.821。 再 计 算 检 验 统 计 量X 821.25.39/3 205.231 nSXt m 因 此 拒 绝 H 0， 即 可 以 认 为 在 显 著 性 水 平 为 0.01的条 件 下 ， 该 地

33、 区 的 初 婚 年 龄 已 超 过 20岁 。 单 侧 检 验（ 显 著 性 水 平 与 拒 绝 域 ） 左 侧 检 验（ 显 著 性 水 平 与 拒 绝 域 ） H 0值临 界 值 样 本 统 计 量拒 绝 域 接 受 域 置 信 水 平 左 侧 检 验（ 显 著 性 水 平 与 拒 绝 域 ） 右 侧 检 验（ 显 著 性 水 平 与 拒 绝 域 ） 右 侧 检 验（ 显 著 性 水 平 与 拒 绝 域 ） 提 出 原 假 设 : H0: m 25% 选 择 备 择 假 设 : H1: : m 25% 右 侧 检 验（ 例 子 ） 3.大 样 本 成 数 的 检 验 有 时 ， 需 要

34、对 总 体 中 具 有 某 种 特 征 的 单 位在 总 体 中 所 占 的 的 比 例 p（ 即 总 体 成 数 ） 作显 著 性 检 验 ， 如 人 口 中 的 失 业 率 、 学 龄 儿 童中 的 失 学 率 等 等 。 成 数 检 验 与 二 项 检 验 的 联系 是 不 言 而 愈 的 。 因 为 在 二 项 检 验 中 ， 随 机变 量 是 样 本 的 “ 成 功 ” 次 数 x。 而 在 成 数 检 验 中 ，随 机 变 量 是 样 本 的 “ 成 功 ” 比 例 （ 即 样 本成 数 ） ， 这 样 在 n 一 定 的 情 况 下 ， 显 然 有 p pn xnq 1nxp 既

35、 然 是 一 个 随 机 变 量 ， 那 么 把 具 体 概 率 赋 予 样本 成 数 的 每 一 个 取 值 ， 我 们 就 得 到 了 样 本 成 数 的 抽 样分 布 。 根 据 中 心 极 限 定 理 ， 我 们 不 难 想 见 ， 当 n足 够 大时 ， 样 本 成 数 的 抽 样 分 布 也 服 从 正 态 分 布 。 由 于 数 学上 很 容 易 证 明 ， ， 这 样 一 来 ，对 于 大 样 本 (n30， np5)， 成 数 的 检 验 统 计 量 Z 可 表示 为 npqpD )(npqppZ / p ppE )( 例 某 地 区 成 年 男 性 中 吸 烟 者 占 64

36、%， 经 过 戒 烟宣 传 后 进 行 抽 样 调 查 ， 发 现 100名 被 调 查 者 中 ， 有 55人 是 吸 烟 者 ， 试 问 戒 烟 宣 传 是 否 有 成 效 （ =0.05） 解 已 知 n 100 30， np l00 0.64 64 5， 故 可 使用 正 态 检 验 。 又 知 0.55， p 0.64， q 0.36， 则 H0： p=0.64 H1： p0.64 据 题 意 ， 选 择 单 侧 检 验 ， 因 0.05， 查 正 态 分 布 表 得 否 定 域 为 |Z|1 65 。 再 计 算 检 验 统 计 量 因 此 ， 否 定 零 假 设 ， 即 认 为

37、戒 烟 宣 传 收 到 了 显 著 成 效 。65.188.1100/36.064.0 64.055.0 npqppZ p 练 习 ： 1. 为 了 检 验 统 计 报 表 的 正 确 性 ， 作 了 共 50人 的 抽 样 调 查 ， 人均 收 入 为 871元 ， 标 准 差 为 21元 ， 问 能 否 证 明 统 计 报 表 中 人 均 收 入880元 是 正 确 的 ？ （ =0.05） 2. 许 多 人 在 周 末 睡 懒 觉 以 弥 补 工 作 日 的 睡 眠 不 足 。 最 佳 睡 眠协会 的 报 告 说 ， 我 们 之 中 有 61%的 人 在 周 末 每 夜 睡 眠 多 于

38、7小 时 。 从350个 成 年 人 的 一 组 随 机 样 本 发 现 235人 在 上 周 末 有 多 于 7小 时 的睡 眠 。 以 0.05的 显 著 水 平 ， 这 证 据 证 明 有 61%以 上 该 周 末 每 夜 多于 7小 时 的 睡 眠 吗 ？ 3. 原 有 的 研 究 表 明 ， 上 海 家 庭 中 不 和 的 占 30 。 从 上 海 随 机 抽 取 20名 户 家 庭 ， 调 查 得 出 20 的 家 庭 不 和 。 问 能 否 得 出 上 海 家 庭 关系 改 善 的 结 论 ？ （ =0.05） 4.一 家 保 险 公 司 说 ， 客 户 索 赔 的 90%在 3

39、0天 以 内 办 好 。 为 检验 公 司 的 这 种 说 法 ， 消 协 选 取 了 75次 公 司 索 赔 的 一 组 随 机 样 本 ，发 现 55次 索 赔 在 30天 内 办 好 ， 他 们 有 充 分 理 由 支 持 “ 在 30天内 办 好 索 赔 小 于 90%”的 论 点 吗 ？ （ =0.05） 5. 通 过 试 管 受 精 （ IVF)怀 孕 的 第 一 个 婴 儿 1978年 在 英 格 兰 出生 。 在 此 后 的 20年 间 ， 1000万 妇 女 因 为 不 育 接 受 了 这 种 护 理 ， 这种 方 法 的 平 均 成 功 率 为 22.5%， 但 是 随 着

40、 技 术 的 不 断 进 步 ， 其成 功 率 还 在 不 断 上 升 。 假 定 使 用 IVF方 法 企 图 克 服 不 育 的 200个妇 女 的 一 项 最 新 研 究 证 明 ， 61个 是 成 功 怀 孕 的 。 此 结 果 证 明 样本 的 成 功 率 比 基 于 历 史 成 功 率 所 期 望 的 更 大 吗 （ =0.05） 6. 某 研 究 员 为 证 实 知 识 分 子 家 庭 的 平 均 子 女 数 低 于工 人 家 庭 的 平 均 子 女 数 （ 2.5人 ） ， 随 机 抽 取 了 100户知 识 分 子 家 庭 进 行 调 查 ， 发 现 ， 平 均 子 女 数 为 2.1人 ，标 准 差 为 1.1人 ， 上 述 看 法 能 否 得 以 证 实 ？（ =0.05） 7. 据 原 有 资 料 ， 某 城 市 居 民 彩 电 的 拥 有 率 为 60 ，现 根 据 最 新 100户 的 抽 样 调 查 ， 彩 电 的 拥 有 率 为 62 。问 能 否 认 为 彩 电 拥 有 率 有 所 增 长 ？ （ =0.05）