两向量的混和积

《两向量的混和积》由会员分享，可在线阅读，更多相关《两向量的混和积（51页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、三 、 两 向 量 的 混 和 积 ( ) 即 则 有设 向 量 = (ax , ay , az), = (cx , cy , cz), = (bx , by , bz),2.混 合 积 的 坐 标 表 示 式 zy zy bb aa zx zx bb aa yx yx bb aai j k , )( zy zy bb aa zx zx bb aa yx yx bb aacx cy cz, zyx zyx bbb aaa i j k )( .ccc bbb aaa zyx zyx zyx混 合 积 性 质 ：(1) = = = = = 事 实 上 ，若 , , 在 同 一 个 平 面 上 ，则

2、 垂 直 于 它 们 所 在 的 平 面 ，故 垂 直 于 , 即( ) = 0(2) , , 共 面 = 0 混 合 积 ( ) 的 绝 对 值 等 于 以 , , 为 棱的 平 行 六 面 体 的 体 积 V 的 数 值 。 h 平 行 六 面 体 所 以 ，= |( ) | 3、 混 合 积 ( ) 的 几 何 意 义 | ijphV = S h = | | ijp| S底 面 积高 h 为 在 上 的 投 影 的 绝 对 值a b = |a| Prjab 例 5:已 知 空 间 内 不 在 一 个 平 面 上 的 四 点 A (x 1 , y 1 , z 1), B ( x 2 , y

3、 2 , z 2), C (x 3 , y 3 , z 3), D (x 4 , y 4 , z 4) 求 四 面 体 ABCD 的 体 积 。解 ： 四 面 体 ABCD 的 体 积 等 于 以 AB, AC 和 AD 为 棱 的 平 行 六 面 体 体 积 的 六 分 之 一 ，.|61 ADACABV AB = (x2 x1, y2 y1, z2 z1),AC = (x 3 x1, y3 y1, z3 z1),AD = (x4 x1, y4 y1, z4 z1),即 所 以 ，V = , , ,61 141414 131313 121212 zzyyxx zzyyxx zzyyxx 其

4、中 行 列 式 前 的 符 号 必 须 与 行 列 式 的 符 号 一 致 。 3 平 面 及 其 方 程(一 ) 平 面 的 点 法 式 方 程1. 法 向 量 :若 一 非 零 向 量 n垂 直 于 一 平 面 . 则 称 向 量 n为平 面 的 法 向 量 .注 : 1 对 平 面 , 法 向 量 n不 唯 一 ;2 平 面 的 法 向 量 n与 上 任 一 向 量 垂 直 .一 、 平 面 方 程 2. 平 面 的 点 法 式 方 程设 平 面 过 定 点 M0(x0, y0, z0), 且 有 法 向 量 n=(A,B, C).对 于 平 面 上 任 一 点 M(x, y, z),

5、向 量 M0M与 n垂 直 . yxz M0 M nOn M0 M = 0而 M0 M =(x x0, y y0, z z0),得 : A(x x 0) +B( y y0) +C( z z0) = 0称 方 程 (1) 为 平 面 的 点 法 式 方 程 . (1) 例 1: 求 过 点 (2, 3, 0)且 以 n = (1, 2, 3)为 法 向 量 的 平 面 的 方 程 .解 : 根 据 平 面 的 点 法 式 方 程 (1), 可 得 平 面 方 程 为 :1 (x 2) 2 (y + 3) + 3 (z 0) = 0即 : x 2y + 3z 8 = 0 n M3M2M1解 : 先

6、 找 出 该 平 面 的 法 向 量 n.由 于 n与 向 量 M1M2, M1M3都 垂 直 .而 M1M2=(3, 4, 6) M1M3=(2, 3, 1)可 取 n = M1M2 M1M3132 643 kji = 14i + 9j k例 2: 求 过 三 点 M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和 M3(0, 2, 3) 的 平 面 的 方 程 .所 以 , 所 求 平 面 的 方 程 为 :14(x 2) + 9(y + 1) (z 4) = 0即 : 14x + 9y z 15 = 0 M1M3M1M2， 共 面M1M， ,0)( 31211 MMMMMM即 (二 )

7、 平 面 的 三 点 式 方 程设 平 面 过 不 共 线 的 三 点M2 ( x 2 , y 2 , z 2), M3 (x 3 , y 3 , z 3),M1 (x 1 , y 1 , z 1),对 于 平 面 上 任 一 点 M (x , y , z), .0131313 121212 111 zzyyxx zzyyxx zzyyxx平 面 的 三 点 式 方 程 . (2) 设 平 面 与 x, y, z 轴 的 交 点 依 次 为 P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三 点 o yPxz QR(三 ) 平 面 的 截 距 式 方 程.00 0 ca b

8、a zyax则 abcabzacybcx 有得 1 czbyax当 cba , 非 零 时 (3) (四 )平 面 的 一 般 方 程1、 定 理 1: 任 何 x, y, z的 一 次 方 程 . Ax +By +Cz +D = 0都 表 示 平 面 ,且 此 平 面 的 一 个 法 向 量 是 : n = (A, B, C )证 : A, B, C不 能 全 为 0, 不 妨 设 A 0, 则 方 程 可 以 化 为0)0()0()( zCyBADxA它 表 示 过 定 点 , 且 法 向 量 为 n = (A, B, C ) 的 平 面 .)0,0,(0 ADM 注 ： 一 次 方 程

9、: Ax + By + Cz + D = 0 (4)称 为 平 面 的 一 般 方 程 . 例 3: 已 知 平 面 过 点 M0(1, 2, 3), 且 平 行 于平 面 2x 3y + 4z 1= 0, 求 其 方 程 .解 : 所 求 平 面 与 已 知 平 面 有 相 同 的 法 向 量 n =(2 3, 4)2(x +1) 3(y 2) + 4(z 3) = 0即 : 2x 3y + 4z 4 = 0 2. 平 面 方 程 的 几 种 特 殊 情 形(1) 过 原 点 的 平 面 方 程由 于 O (0, 0, 0)满 足 方 程 , 所 以 D = 0. 于 是 , 过 原 点 的

10、 平 面 方 程 为 :A x + B y + C z = 0Ax +By +Cz +D = 0 (2) 平 行 于 坐 标 轴 的 平 面 方 程考 虑 平 行 于 x轴 的 平 面 Ax + By + Cz + D = 0, 它 的 法 向 量 n =(A, B, C)与 x 轴 上 的 单 位 向 量 i =(1, 0, 0)垂 直 , 所 以n i = A 1 + B 0 + C 0 = A = 0于 是 :平 行 于 x 轴 的 平 面 方 程 是 By + Cz + D = 0;平 行 于 y 轴 的 平 面 方 程 是 Ax + Cz + D = 0; 平 行 于 z 轴 的 平

11、 面 方 程 是 Ax + By + D = 0.特 别 : D = 0时 , 平 面 过 坐 标 轴 . (3) 平 行 于 坐 标 面 的 平 面 方 程平 行 于 xOy 面 的 平 面 方 程 是 Cz + D = 0;平 行 于 xOz 面 的 平 面 方 程 是 By + D = 0; 平 行 于 yOz 面 的 平 面 方 程 是 Ax + D = 0. (即 z = k)(即 y = k)(即 x = k) 例 4: 求 通 过 x 轴 和 点 (4, 3, 1)的 平 面 方 程 .解 : 由 于 平 面 过 x 轴 , 所 以 A = D = 0.设 所 求 平 面 的 方

12、 程 是 By + Cz = 0又 点 (4, 3, 1)在 平 面 上 , 所 以3B C = 0 C = 3B所 求 平 面 方 程 为 By 3Bz = 0即 : y 3z = 0 1 n1n2 2若 已 知 两 平 面 方 程 是 :1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0法 向 量 n1 = (A1, B1, C1)2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0法 向 量 n2 = (A2, B2, C2)1.定 义 1 两 平 面 的 法 向 量 的 夹 角 (通 常 指 锐 角 )称 为 两 平 面 的 夹 角 .二 、 两 平 面 的 夹 角 ,),(),

13、(),( 212121 21 两 者 中 的 锐 角和 应 是的 夹 角与平 面 nnnnnn ),cos( 21 nn | | 21 21 nn nn 222222212121 212121 | CBACBA CCBBAA cos所 以 1 n1n2 2 平 面 1与 2 相 互 平 行 212121 CCBBAA 规 定 : 若 比 例 式 中 某 个 分 母 为 0, 则 相 应 的分 子 也 为 0.平 面 1与 2 相 互 垂 直 A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0特 别 : 例 5: 一 平 面 通 过 两 点 M1(1, 1, 1)和 M2(0, 1, 1), 且 垂直

14、 于 平 面 x+y+z = 0, 求 它 的 方 程 .解 : 设 所 求 平 面 的 一 个 法 向 量 n = ( A, B, C )已 知 平 面 x+ y+ z = 0的 法 向 量 n1=( 1, 1, 1) 所 以 : n M1M2 且 n n1 而 M1M2 = ( 1, 0, 2)于 是 : A ( 1) + B 0 + C (2) = 0 A 1 + B 1 + C 1 = 0 解 得 : B=CA= 2C取 C = 1, 得 平 面 的 一 个 法 向 量n = (2, 1, 1)所 以 , 所 求 平 面 方 程 是2 (x 1) + 1 (y 1) + 1 (z 1)

15、 = 0即 : 2x y z = 0M1(1, 1, 1) , M2(0, 1, 1) 设 P0(x0, y0, z0)是 平 面 Ax+By+Cz+D = 0外 一 点 , 求 P0到 这 平 面 的 距 离 d.在 平 面 上 任 取 一 点 P1(x1, y1, z1) P0P1 Nn则 P1P0 =(x0 x1, y0 y1, z0 z1)过 P0点 作 一 法 向 量 n =(A, B, C)于 是 : 01jPr PPd n | 01 n n PP 222 101010 )()()( CBA zzCyyBxxA 三 、 点 到 平 面 的 距 离 又 A(x0 x1)+B(y0y1

16、)+C(z0z1) = Ax0+By0+Cz0+D(Ax1+By1+Cz1+D) = Ax0+By0+Cz0+D所 以 , 得 点 P0到 平 面 Ax+By+Cz+D=0的 距 离 :222 000 CBA DCzByAxd (5) 例 6:求 点 A (1, 2, 1)到 平 面 :x + 2y +2z 10=0的 距 离 133221 10122211 222 d (一 )空 间 直 线 的 一 般 方 程已 知 平 面 1: A1x + B1y + C1z + D1 = 02: A2x + B2y + C2z + D2 = 0那 末 , 交 线 L上 的 任 何 点 的 坐 标 满 足

17、 :A1x + B1y + C1z + D1 = 0A2x + B2y + C2z + D2 = 0不 在 交 线 L上 的 点 不 满 足 方 程 组 (1)(1)称 方 程 组 (1)空 间 直 线 的 一 般 方 程 . x yzO 1 2L 4 空 间 直 线 及 其 方 程一 . 空 间 直 线 的 方 程空 间 直 线 可 看 成 是 两 个 不 平 行 平 面 与 的 交 线1 2 而 s 的 坐 标 m, n, p 称 为 直 线 L的 一 组 方 向 数 .s L1.定 义 1 与 空 间 直 线 L平 行 的 向 量 s = (m, n, p), 称 为 该 直 线 的 方

18、 向 向 量 . 2. 直 线 的 对 称 式 方 程已 知 直 线 L过 M0(x0, y0, z0)点方 向 向 量 s =(m, n, p)在 L上 任 取 一 点 M(x, y, z), 有 M0 M/s.而 M0 M=(xx0, yy0, zz0)所 以 得 比 例 式 pzznyymxx 000 (2)称 为 空 间 直 线 的 对 称 式 方 程 或 点 向 式 方 程 .sM0 LM tpzznyymxx 000 令 得 : x = x0 + m ty = y0 + n tz = z0 + p t称 为 空 间 直 线 的 参 数 方 程 . (3)(三 ) 空 间 直 线 的

19、 参 数 式 方 程 例 1: 写 出 直 线 x + y + z +1 = 02x y + 3z + 4 = 0的 对 称 式 方 程 .解 : (1) 先 找 出 直 线 上 的 一 点 M0(x0, y0, z0)令 z0 = 0, 代 入 方 程 组 , 得x + y +1 = 02x y + 4 = 0解 得 : 32 ,35 00 yx )0,32,35(0 M所 以 , 点 在 直 线 上 . (2) 再 找 直 线 的 方 向 向 量 s .由 于 平 面 1: x + y + z +1 = 0的 法 线 向 量 n1=(1, 1, 1)平 面 2: 2x y+3z+4 = 0

20、的 法 线 向 量 n2=(2,1, 3)所 以 , 可 取 312 111 kji = 4i j 3k于 是 , 得 直 线 的 对 称 式 方 程 : 3132435 zyx21 nns 例 2: 求 通 过 点 A(2, 3, 4)与 B(4, 1, 3)的 直 线 方 程 .所 以 , 直 线 的 对 称 式 方 程 为 142322 zyx解 : 直 线 的 方 向 向 量 可 取 AB = (2, 2, 1) s1 s2已 知 直 线 L1, L2的 方 程 , : 1 11 11 11 pzznyymxxL s1 =(m1, n1, p1), : 2 22 22 22 pzzny

21、ymxxL s2 =(m2, n2, p2)定 义 2 两 直 线 的 方 向 向 量 间的 夹 角 称 为 两 直 线 的夹 角 , 常 指 锐 角 .二 . 两 直 线 的 夹 角 1. L1与 L2的 夹 角 的 余 弦 为 :cos |)cos(| 21 ,ss 222222212121 21212121 21 | | pnmpnm ppnnmm ss ss2. L1垂 直 于 L2 m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 = 03. L1平 行 于 L2 .212121 ppnnmm .1222:13411: 21 的 夹 角和求 直 线 zyxLzyxL解 : 直 线 L1,

22、L2的 方 向 向 量 s1=(1, 4, 1 ) s2=(2, 2, 1)有 : | | 21 21 ss ss 22 )1()2(21)4(1 |)1(1)2()4(21| 222222 4 所 以 :cos |),cos(| 21 ss例 3: 当 直 线 与 平 面 垂 直 时 , 规 定 夹 角 .2 已 知 : 直 线 的 方 向 向 量 s =( m, n, p )平 面 的 法 向 量 n =( A, B, C )那 末 , 2)( ns, LLn s称 为 L与 平 面 的 夹 角 .定 义 3 直 线 L与 它 在 平 面 )20( 上 投 影 直 线 L的 夹 角 ,三

23、. 直 线 与 平 面 的 夹 角 (1) L与 的 夹 角 的 正 弦 为 : sin |),cos(| sn 222222 | pnmCBA CpBnAm PCnBmA :即即 : Am + Bn + Cp = 0|n|s|s|n(2) L与 垂 直 s / n(3) L与 平 行 s与 n垂 直 例 4. 判 定 下 列 各 组 直 线 与 平 面 的 关 系 . .3224:37423:)1( zyxzyxL 和解 : L的 方 向 向 量 s =(2, 7, 3) 的 法 向 量 n =(4, 2, 2)s n = (2) 4 + (7) (2) + 3 (2) = 0又 M0(3,

24、 4, 0)在 直 线 L上 , 但 不 满 足 平 面 方 程 ,所 以 L与 平 行 , 但 不 重 合 . 81446:723:)2( zyxzyxL 和解 : L的 方 向 向 量 s =( 3, 2, 7 ) 的 法 向 量 n =( 6, 4, 14 ) L 与 垂 直 . .3:431232:)3( zyxzyxL 和解 : L的 方 向 向 量 s =( 3, 1, 4 ) 的 法 向 量 n =( 1, 1, 1 )s n = 3 1 + 1 1 + (4) 1 = 0又 L上 的 点 M0(2, 2, 3)满 足 平 面 方 程 ,所 以 , L 与 重 合 . 1. 点

25、到 直 线 的 距 离例 5. 求 点 p0(1, 2, 1)到 直 线 141 32 2: zyxl的 距 离 d . p0 slp1分 析 ： 过 p0 作 l 的 垂 线 ，垂 足 为 p1, 则 d=| p0 p1|关 键 ： 求 出 p1 的 坐 标方 法 ： 过 点 p0作 平 面 与 l垂 直 ， 设 l与 平 面 的 交 点为 p 1， 则 线 段 p0 p1 与 l 垂 直 。 p1即 为 垂 足 。 四 . 点 到 直 线 的 距 离 及 平 面 束 方 程 解 : (1) 直 线 l 的 方 向 向 量 s = (2, 1, 1)过 p0(1, 2, 1), 以 s为 法

26、 向 量 作 平 面 : 2(x1) + (y2) + (z1) = 0即 : 2x + y + z 5 = 0(2) 求 l 与 的 交 点将 直 线 l 方 程 写 出 参 数 方 程 形 式 ：x = 2 + 2ty = 3 + tz = 4 + t , 代 入 平 面 的 方 程 ：2(2 + 2t) + (3 + t) + (4 + t) 5 = 0即 6t + 6 =0, t = 1, 交 点 p 1(0, 2, 3) 520)1(| 22210 ppd s lp1 p0(1, 2, 1) 1 41 32 2: zyxl 2. 平 面 束 方 程设 直 线 l ： 1 : A1x+

27、B1y+C1z+D1 = 0 (1)2 : A2x+B2y+C2z+D2 = 0 (2)其 中 A1, B1, C1与 A2, B2, C2不 成 比 例 ， 即 1/2建 立 三 元 一 次 方 程 : : (A1x+B1y+C1z+D1 )+(A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3).)( 为 任 意 实 数 l ： 1 : A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (1)2 : A2x+B2y+C2z+D2 = 0 (2) .)( 为 任 意 实 数: (A1x+B1y+C1z+D1 ) +(A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3)考 查 直 线 l 与 平 面 的 关 系 ： (1

28、) 直 线 l 上 的 任 何 点 p(x, y, z)满 足 方 程 (1)、 (2)， 也 满 足 方 程 (3)。 故 ： 方 程 (3)表 示 通 过 直 线 l 的 平 面 ， 且 对 于不 同 的 值 ， 方 程 (3)表 示 通 过 直 线 l 的 不 同 平 面 。 (2) 通 过 直 线 l 的 任 何 平 面 (除 2以 外 )都 包 含在 方 程 (3)的 一 族 平 面 内 。这 是 因 为 ： 对 于 直 线 l 外 任 意 一 点 p0(x0, y0, z0)若 不 在 2 : A2x+B2y+C2z+D2 = 0 上令 ： 2020202 10101010 DzC

29、yBxA DzCyBxA l ： 1 : A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (1)2 : A2x+B2y+C2z+D2 = 0 (2)p0(x0, y0, z0)过 直 线 l 与 点 p0 的 平 面 为 :0 2222 2020202 10101011111 )DzCyBx(A DzCyBxA DzCyBxA)DzCyBx (A 故 ： 对 于 直 线 l, 方 程 (3)包 含 了 (除 2外 的 )过 直线 l的 全 体 平 面 。 .)( 为 任 意 实 数: (A1x+B1y+C1z+D1 ) +(A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3) 定 义 ： 对 于 直 线 l ,

30、 通 过 l 的 平 面 的 全 体 称 为 平 面 束 。对 于 直 线 l : 1 : A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (1)2 : A2x+B2y+C2z+D2 = 0 (2)方 程 (A1x+B1y+C1z+D1 )+(A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3)称 为 l 的 平 面 束 方 程 (表 示 缺 少 一 个 平 面 2的 平 面 束 ) 例 6:一 平 面 通 过 直 线 l : x + y z = 0 x y + z 1 = 0和 点 p0(1, 1, 1 )建 立 它 的 方 程 .解 ： 过 直 线 l 的 平 面 束 方 程 为(x + y z ) + (

31、x y + z 1) = 0 点 p0(1, 1, 1 )在 平 面 上 ， 代 入 方 程 ， 得3 2 = 0, 23所 求 平 面 为 ： (x + y z ) + (x y + z 1) = 0 23即 ： 5x y + z 3 = 0 例 7 .求 直 线 l : x + y 1=0, y + z + 1=0. 在 平 面 : 2x + y + 2z = 0上 的 投 影 直 线 方 程 .解 ： 设 投 影 直 线 为 l， 则 由 l与l决 定 的 平 面 与 平 面 垂 直 。过 l 的 平 面 束 方 程 为 ，0)1()1( zyyx .02)1(2 ,01)1( zyx即与 平 面 : 2x + y + 2z = 0垂 直 的 平 面 满 足 ：.1 得 代 入 平 面 束 方 程 ， 得 ll ： ,0)1(1 zyyx .02zx故 : 投 影 直 线 l: xz 2 = 0 2x+y +2z = 0 即 ll : 2x + y + 2z = 0