多元函数的极值与最优化问题课件.ppt

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1、 第 八 章 第九节一 、 多 元 函 数 的 无 条 件 极 值 二 、 多 元 函 数 的 最 值多元函数的极值与最优化问题三 、 多 元 函 数 的 条 件 极 值 拉 格 朗 日 乘 数 法 一 、 多 元 函 数 的 无 条 件 极 值的 图 形观 察 二 元 函 数22 yxe xyz 1. 极 值 定 义 若 函 数极 大 值 和 极 小 值 统 称 为 极 值 , 使 函 数 取 得 极 值 的 点),(),( 00 yxfyxf ),(),( 00 yxfyxf ),(),( 00 yxPyxfz 在 点 的 某则 称 函 数 在 点 取 得 极 大 值),( 00 yx邻

2、域 内 有 定 义 且 满 足称 为 极 值 点 . ).,( 00 yxf推 广 ： n 元 函 数 f (P ), )()()( 00 PfPfPf ：极 小 值 ),),( 00 nRPPPUP (极 小 值 ).,( 00 yxf定 义 8.10 )(),( PUyx 处 无 极 值 在 函 数)0,0( xyz 处 有 极 大 值 在 函 数)0,0( 22 yxz (1)(2)(3)处 有 极 小 值 在 函 数)0,0( 43 22 yxz 例 2例 3例 1 不 妨 设 ),( yxfz 在 点 P ),( 00 yx 处 有 极 大 值 , ),( yxf ),( 00 yx

3、f , 证即 )(),( PUyx 2. 多 元 函 数 取 得 极 值 的 条 件定 理 8.10 (必 要 条 件 )设 函 数 ),(),( 00 yxyxfz 在 点且 在 该 点 取 得 极 值 ， 则 有 具 有 偏 导 数 ， .0),( ,0),( 00 00 yxf yxfyx 即 0),( 00 yxfx ; 类 似 地 可 证 0),( 00 yxfy . 则令 ),()( 0yxfx )()()( 00 xUxxx 处 可 导在 00),()( xxyxfx 0)( 0 x )(),(),(),( 0000 PUyxyxfyxf 推 广 ： 如 果 三 元 函 数 ),

4、( zyxfu 在 点 ),( 000 zyxP 具 有 偏 导 数 ， 则 它 在 点),( 000 zyxP 处 有 极 值 的 必 要 条 件 为 : 0),( 000 zyxfx ， 0),( 000 zyxfy ， 0),( 000 zyxfz . 注 12 仿 照 一 元 函 数 ， 凡 能 使 一 阶 偏 导 数 同 时 为 零的 点 ， 均 称 为 多 元 函 数 的 驻 点 .驻 点 可 导 函 数 的 极 值 点 例 如 : 点 )0,0( 是 函 数 xyz 的 驻 点 ， 但 不 是 极 值 点 . 事 实 上 ， , xzyz yx 0)0,0( 0)0,0(yxzz

5、 .)0,0( 的 驻 点是 xyz 0)0,0(),(0 zyxzxy ，（ 一 、 三 象 限 的 点 ） 时但 当 0)0,0(),(0 zyxzxy ，（ 二 、 四 象 限 的 点 ） 时当 .)0,0( 的 极 值 点不 是 xyz yxzo问 题 ： 如 何 判 定 一 个 驻 点 是 否 为 极 值 点 ？ 定 理 8.11(充 分 条 件 )若 函 数 的在 点 ),(),( 00 yxyxfz 0),(,0),( 0000 yxfyxf yx ,),( 00 yxf xx ,),( 00 yxf yx ),( 00 yxf yyA B C某 邻 域 内具 有 二 阶 连 续

6、 偏 导 数 , 且记则 A0 时 是 极 小 值 .2) 当3) 当 时 , 不 能 判 定 , 需 另 行 讨 论 .,0)1 2 时当 BAC 02 BAC 02 BAC 是 极 值 ，),( 00 yxf时 , 不 是 极 值 .),( 00 yxf 即 有 ),( 00 yxf00 0 极 小 值,0A 极 大 值,0A 非 极 值 )(需 用 其 他 方 法 确 定不 定 是 极 值)( 2BAC 求 函 数 ),( yxfz 极 值 的 一 般 步 骤 ： 求 极 值 可 疑 点 ：1 判 断2 ,)1( 定利 用 极 值 的 充 分 条 件 判 .)2( 利 用 极 值 的 定

7、 义若 充 分 条 件 不 满 足 ， 则 点 ；驻 点 、 偏 导 数 不 存 在 的 例 4 22 yxz 均 不 存 在 ，)0,0(),0,0( yx zz例 5 .)(333 的 极 值为 常 数求 aaxyyxz 解 1 求 驻 点 033 033 22 axyz ayxzyx .0)0,0()0,0(22 zyxz 处 取 得 极 小 值在但 033 033 22 axyz ayxzyx 当 a=0 时 ， 有 唯 一 驻 点 ： (0,0)当 a 0 时 ， 0 ayxyx 0)(3 )(3 0222 aaxx axaxz ayxx否 则代 入 ，,02 axx得 axx ,0

8、),(),0,0( aa有 驻 点 ： 0)()( 22 yxayx ： 0)( ayxyx 2 判 断 axyzayxz yx 33,33 22 ,6xzA xx ,3azB xy ,6yzC yy 2BAC 2936 axy(1) 当 a 0 时 ，驻 点 )0,0( 09 2 aA ),( yxz ),( aa 027 2 a a6)0( a )0( a非 极 值 极 小 值 极 大 值 时 ，即 当 0a . )0,0(333取 得 极 值 不在axyyxz 时 ，当 0a ;),( ),(3 333 aaaz aaaxyyxz 得 极 小 值 ： 取在时 ，当 0a .),( ),(

9、3 333 aaaz aaaxyyxz 得 极 大 值 ： 取在(2) 当 a =0 时 ， 在 唯 一 驻 点 (0,0)处 ， 2BAC 0)936( )0,0(2 axy充 分 判 别 法 失 效 ！ 0)0,0(,33 zyxz此 时 ， xyo +)0,0(0)0,(0 3 zxxzx 时 ，当 )0,0(0)0,(0 3 zxxzx 时 ，当 不 是)0,0( .33 的 极 值 点yxz 当 a =0 时 ， .333 无 极 值axyyxz - 二 、 多 元 函 数 的 最 值函 数 f 在 有 界 闭 区 域 D上 连 续函 数 f 在 该 区 域 D上 一 定 取 得 最

10、 值假 设 : 目 标 函 数 可 微 且 只 有 有 限 个 驻 点 .内 部 的 极 值 可 疑 点 ，在求 出 Dyxf ),(1 ),2,1(),( niyx ii );,2,1(),( niyxf ii 计 算 ： ;,),(2 00 MmDyxf 的 边 界 上 的 最 值在求(这 实 际 上 是 条 件 极 值 问 题 ， 边 界 方 程 即 为 条 件方 程 )情 形 1 D是 有 界 闭 区 域 ， .),( 上 连 续在 Dyxfz 求 最 值 的 一 般 方 法 ： ),2,1(),(3 niyxf ii 比 较 函 数 值 ，大 值的 大 小 ， 则 最 大 者 为 最

11、与 MMm 00, .m最 小 者 为 最 小 值情 形 2 .),( 数是 实 际 问 题 中 的 目 标 函yxfz ),(),( yxfyxf 的 最 值 客 观 上 存 在 ， 且若 .),(. 的 边 界 上 的 最 值在不 必 求的 最 值 点 Dyxf .为 极 值 点也 无 须 判 别 该 驻 点 是 否在 D内 有 唯 一 的 驻 点 ， 则 认 为 该 驻 点 即 为 f (x, y) 解例 6 ,平 面 上 求 一 点在 xOyD 2222 )21 162( yxyx 设 (x,y)为 该 三 角 形 内 任 一 点 ,三 直 线 的0162 yx 及使 它 到 0,0

12、yx .距 离 平 方 之 和 最 小所 求 点 一 定 在 x=0, y=0, x+2y-16=0 三 直 线所 围 三 角 形 的 内 部 .则 它 到 三 直 线 的 距 离 平 方 和 为 :目 标 函 数(x, y) xyo8 16x+2y-16=0 xD 解 得 .516,58 yx.516,58 即 为 所 求所 以 点 yD 53254512 yx ,056454518 xy .0为 唯 一 驻 点 ， 51658 而 驻 点 唯 一 ,由 问 题 性 质 知 存 在 最 小 值 , .516564532545956 222 yxxyyxD 例 7 求 函 数 f (x, y)

13、 = x2 + 2y2 - x2y2 在 区 域0,4),( 22 yyxyxD上 的 最 大 值 和 最 小 值 .解 (方 法 1) xyO1 先 求 f (x, y)在 D内 的 驻 点 .024 ,022 2 2yxyf yxxfyx由 ),1,2(),1,2(内 驻 点 为 ：得 D .2)1,2( f且 -2 2 xyO L1L2上 ， 记在 边 界 )22(0:1 xyL 2)0,()( xxfxg 在 L1上 , f (x, y) 的 最 大 值 为g ( 2)= f ( 2,0)= 4， 最 小 值 为g (0)= f (0,0)= 0. 上 ， 记在 边 界 )0(4: 2

14、22 yyxL )4,()( 2xxfxh )22(85 24 xxx2 再 求 f (x, y)在 D边 界 上 的 最 值 -2 2:)22(0104)( 3 得 驻 点由 xxxxh xyO L1L2-2 2:)22(0104)( 3 得 驻 点由 xxxxh ,25,25,0 321 xxx 8)2,0()0( fh )4,()( 2xxfxh )22(85 24 xxx .47)23,25()25( fh在 L2上 , f (x, y) 的 最 大 值 为 8， 最 小 值 为 .47综 上 , f (x, y) 在 D上 的 最 大 值 为 8， 最 小 值 为 0. 实 例 小

15、王 有 200元 钱 ， 他 决 定 用 来 购 买 两 种 急 需 物 品 ： 计 算 机 磁 盘 和 录 音 磁 带 ， 设 他 购 买 x 张 磁 盘 ， y 盒 录 音 磁 带 达 到 最 佳 效 果 ， 效 果 函 数 为 ：三 、 条 件 极 值 、 拉 格 朗 日 乘 数 法设 每 张 磁 盘 8 元 ， 每 盒 磁 带 10 元 ， 问他 如 何 分 配 这 200 元 以 达 到 最 佳 效 果 yxyxU lnln),( 一 般 地 ， 所 谓 条 件 极 值 ， 就 是 求 ),( yxfz 在 附 加 条 件 ： 下 的 极 值 ， 即 求0),( yx 0),( ),

16、(yx yxfz .)( 的 极 值所 确 定 的 函 数 xzz 问 题 的 实 质 ： 求 yxyxU lnln),( . 200108:下 的 极 值 点在 条 件 yx 求 条 件 极 值 的 方 法 主 要 有 两 种 ： ),(,0),( xyyyx 解 出即 由 中 ， 转 化 成 求再 代 入 ),( yxf )(, xyxfz 的 无 条 件 极 值 .2. 拉 格 朗 日 乘 数 法1. 将 条 件 极 值 转 化 为 无 条 件 极 值下 的 极 值 可 疑 点 . 0),(),( yxyxfz 在 条 件找 函 数 1 构 造 函 数 ),(),(),( yxyxfyx

17、F 解 出 x0, y0, 2 解 方 程 组 0),( 0),(),( 0),(),( yxF yxyxfF yxyxfF yyy xxx 3 判 断 ， 得 极 值 可 疑 点 ： ),( 00 yx.),( 00 是 否 为 极 值 点yx 拉 格 朗 日 函 数 (1) 拉 格 朗 日 乘 子 步 骤 ： .为 某 一 常 数其 中 原 理 ： 设 处 取 得 极 值在 点 ),(0),( ),( 00 yxyx yxfz .)(, 0处 取 得 极 值在 xxxyxfz ，内 有 连 续 的 一 阶 偏 导 数在 某 )(, 0PUf .0),(),( 00000 yxyxP y 0

18、)dd(dd 00 xxyxxx xyffxz ),( ),(dd 00 000 yx yxxy yxxx 而 00 )dd(dd xxyxxx xyffxz ),( ),(),(),( 00 000000 yx yxyxfyxf yxyx 0),(),( ),(),( 0000 0000 yxyx yxfyxf xyyx ， 则令 ),( ),( 00 00 yx yxf yy 0),(),( 0000 yxyxf yy 0),(),( 0000 yxyxf xx 0),(),( 0000 yxyxf yy 0),( 00 yx这 正 是 (1)式 . 条 件 极 值 的必 要 条 件注 拉

19、 格 朗 日 乘 数 法 可 推 广 到 自 变 量 多 于 两 个 的 情 形 ： 0),( tzyx条 件 ： 0),( tzyx1 构 造 拉 格 朗 日 函 数 ),( ),(),(),( 2 1tzyx tzyxtzyxftzyxF .21 为 常 数，其 中 2 解 方 程 组如 ： 目 标 函 数 ),( tzyxfu 0),( 0),( 000021 21 21 21 21 tzyxF tzyxF fF fF fF fF tttt zzzz yyyy xxxx 得 极 值 可 疑 点 ： ).,( 0000 tzyx3 判 断 . 例 7 求 函 数 f (x, y) = x2

20、 + 2y2 - x2y2 在 区 域0,4),( 22 yyxyxD上 的 最 大 值 和 最 小 值 .解 (方 法 2)在 D内 与 边 界 L1上 同 方 法 1.上 ， 构 造 函 数在 边 界 )0(4: 222 yyxL ),4(2),( 222222 yxyxyxyxF xyO L1L2-2 2 04 0224 0222 22 22yxF yyxyF xxyxFyx令 解 得 极 值 可 疑 点 ： .2,0,2325 yxyx 8)2,0( f,47)23,25( f综 上 , f (x, y) 在 D上 的 最 大 值 为 8， 最 小 值 为 0. 例 8解 ).0,0(

21、 22 hR xOyhz yxhRz的 最 大 长 方 体 体 积 面平 行 于所 围 锥 体 内 作 出 的 底 面 和 平 面试 求 在 圆 锥 面 设 长 方 体 位 于 第一 卦 限 内 的 一 个 顶 点的 坐 标 为 (x, y, z), 则 长方 体 的 长 ， 宽 ， 高 分别 为 2x,故 长 方 体 的 体积 2y, h - z. x yzo (x, y, z)zhh ),( zyxF解 方 程 组 xF令 :约 束 条 件 .022 RzyxhV ）（ zhyx 22 hz Ryx0 ,0zF F )( zhxFy ,4 ）（ zhxy 目 标 函 数),( 22 Rzy

22、xh )( zhy ,022 yxhx ,022 yxhy)( zhxy ,0 Rxy .022 Rzyxh hR 31324 2maxV进 一 步 可 解 得 .32,32 hzRyx 由 实 际 问 题 存 在 最 大 值 ,得,xy - ,xy 得代 入 ,2 xRhz 得代 入 .2Rx 及 可 疑 的 极 值 点 唯 一 ,有 ）（ zhxy4 .278 2hR这 种 解 法 具 有 一 般 性 例 9解 .2881243 196 222 的 最 近 点 和 最 远 点上 求 距 平 面在 曲 面 zyx zyx ),(196 222 zyxzyx 上 任 取 一 点在 曲 面 :此

23、 点 到 所 给 平 面 的 距 离d .2881243 zyx 196 222 zyx 222 1243 目 标 函 数约 束 条 件 2)2881243( zyxB转 化 为 求 函 数 令2)2881243(),( zyxzyxF )1( 0962)2881243(6 xzyxFx注 )2( 02)2881243(8 yzyxFy )3( 02)2881243(24 zzyxFz )4( .196 222 zyxF .值 可 使 求 解 简 单在 相 同 约 束 条 件 下 的 极 196 222 zyx解 方 程 组 )1(0962)2881243(6 xzyxFx )2( 02)28

24、81243(8 yzyxFy )3(02)2881243(24 zzyxFz )4(.196 222 zyxF ,)2(),1( 移 项将 ),1()2( 除 以并 以 )2( 2)2881243(8 yzyxFy 1(962)2882 xz )5(72 yx 得,)3( 移 项将 ),2()3( 除 以并 将 )3( 2)2881243(24 zzyxFz )6(3 yz 得可 解 得代 入将 )4()6(),5( ,81y于 是 .83,9 zx 83,81,983,81,9 及从 而 得 到 点 ,83,81,9 是 距 平 面 最 近 的 点 .83,81,9 是 距 平 面 最 远

25、的 点 ,中 可 知代 入 d 注意常用解题技巧 例 10 沿使 得 函 数 上 求 一 点 ，在 球 面 222 222 ),( 1222 zyxzyxf zyx A(1,1,1) 到 点 B(2,0,1)的 方 向 导 数 具 有 最 大 值 .解 AB ),0,1,1( ABl e AB ),0,21,21( ),(grad zyx ffff )2,2,2( zyxl 着 点 目 标 函 数 ： lfu lf e)(grad )(2 yx条 件 ： 1222 222 zyx )1,1,1(A )1,0,2(B ),( zyxP ),( zyxP ),( zyxPx zo y),( zyx

26、P )1222(2),( 222 zyxuzyxF 令 )1222()( 222 zyxyx 解 方 程 组 ： 041 xFx 041 yFy 04 zFz 01222 222 zyxF (1)(2)(3)(4)由 (1) y (2) x, 得 ,0 xy .xy 由 (3)， 得 .0z代 入 (4)， 得 ,014 2 x ,21x ,21y极 值 可 疑 点 ： )0,21,21(),0,21,21( )0,21,21()(2)0,21,21( yxu 22)0,21,21( u ).0,21,21( 所 求 点 为 ： 内 容 小 结1. 如 何 求 函 数 的 无 条 件 极 值第

27、 一 步 利 用 必 要 条 件 在 定 义 域 内 找 驻 点 .解 方 程 组第 二 步 利 用 充 分 条 件 判 别 驻 点 是 否 为 极 值 点 .2.如 何 求 函 数 的 条 件 极 值(1) 简 单 问 题 用 代 入 法 转 化 为 无 条 件 极 值 问 题 求 解,),( yxfz 0),( 0),( yxf yxfyx如 对 二 元 函 数(2) 一 般 问 题 用 拉 格 朗 日 乘 数 法 求 解 先 作 拉 格 朗 日 函 数例 如 求 二 元 函 数 下 的 极 值 ,然 后 解 方 程 组第 二 步 作 拉 格 朗 日 函 数 ， 求 驻 点 并 判 别 比

28、 较 驻 点 及 边 界 点 上 函 数 值 的 大 小 (闭 区 域 ) 根 据 问 题 的 实 际 意 义 确 定 最 值 (实 际 问 题 )第 一 步 找 目 标 函 数 , 确 定 定 义 域 ( 及 约 束 条 件 )3. 函 数 的 最 值 应 用 问 题 在 条 件 求 出 驻 点 . ),( yxfz 0),( yx ),(),( yxyxfF 0 xxx fF 0 yyy fF 0 F 思 考 题1. 值 点 ，内 唯 一 的 驻 点 ， 且 是 极在 是上 可 微 ，在 区 域若 D yxfyxDyxf ),(),(),( 00 上 的 最 值 ？在是 否 一 定 是 D

29、yxfyxf ),(),( 00答 ： 不 一 定 .:反 例 11,41),( ,24),( 223 yxyxD xyyxxyxf ).0,0(7)1,4(,),( 0)0,0(),0,0(),( ffyxf fDyxf 但的 极 大 值为 且内 有 唯 一 驻 点 ：在问 ： 已 知 平 面 上 两 定 点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试 在 椭 圆 周 上 求 一 点 C, 使 ABC 面 积 S 最 大 .解 C BAoy xED设 C 点 坐 标 为 (x , y),2. 21 031 013 yx kji )103,0,0(21 yx)0,0(149 22 yxy

30、x则 ACABS 21 10321 yx 作 拉 格 朗 日 函 数解 方 程 组得 驻 点 对 应 面 积而 比 较 可 知 , 点 C 与 E 重 合 时 , 三 角 形 面 积 最 大 . )491()103( 222 yxyxF 092)103(2 xyx 042)103(6 yyx 0491 22 yx 646.1S,54,53 yx ,5.3,2 ED SS 点 击 图 中 任 意 点动 画 开 始 或 暂 停D E 备 用 题例 4-1 讨 论 函 数 及是 否 取 得 极 值 .解 显 然 (0,0) 都 是 它 们 的 驻 点 ,在 (0,0)点 邻 域 内 的 取 值, 因

31、 此 z(0,0) 不 是 极 值 .因 此 ,022 时当 yx 222 )( yxz 0)0,0( z为 极 小 值 .正负0 33 yxz 222 )( yxz 在 (0,0)点 x yzo并 且 在 (0,0) 都 有 02 BAC33 yxz 可 能 为 0)()0,0( )0,0(222 yxz 例 5-1 求 函 数解 第 一 步 求 驻 点 .得 驻 点 : (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第 二 步解 方 程 组 A B C),( yxfx 0963 2 xx),( yxfy 063 2 yy 的 极 值 .求 A、 B、 C的 值 ，

32、并 列 表 判 别,66),( xyxf xx ,0),( yxf yx 66),( yyxf yy xyxyxyxf 933),( 2233 (1,0) (1,2) (-3,0) (-3,2) A B C 2BAC 极 值 ,66),( xyxf xx ,0),( yxf yx 66),( yyxf yyA B C 1206极 小 ，72 12 -12 -12 0 0 0-6 6 -6 -72 -72 72 无 极 值 无 极 值 极 大 ,31 xyxyxyxf 933),( 2233 -5 求 由 方 程 yxzyx 22222 0104 z 确 定 的 函 数 ),( yxfz 的 极

33、 值 . 将 方 程 两 边 分 别 对 yx, 求 偏 导 04222 04222 yy xx zzzy zzzx解 )2(2121 zz yz z xz yx 例 5-2 隐 函 数 求极 值 问 题 即 驻 点 为 )1,1( -P , 将 上 方 程 组 再 分 别 对 yx, 求 偏 导 数 , ,1,1,0,0 yxzz yx 得令 ,21| ,0| ,21| zzC zB zzA Pyy Pxy Pxx 函 数 在 P有 极 值 .将 )1,1( P 代 入 原 方 程 , 有 6,2 21 zz , 当 21 z 时 ， 所 以 2)1,1( fz 为 极 小 值 ； 当 62

34、 z 时 ， 041A , 所 以 6)1,1( fz 为 极 大 值 . )2(0)2( 1 22 zzBAC , 故 04121 2)2,1,1( zxx zzA 例 6-1解 ),0,1(),0,0( 1PO三 点已 知 平 面 直 角 坐 标 系 中 :, 21 的 距 离 平 方 之 和到 点目 标 函 数 为 点 PPOP),( yxfu 22 yx ,22233 22 yxyx .1,0,0),( yxyxyxD解 方 程 组 ),1,0(2P 上 求 点所 围 的 闭 区 域试 在 DPOP 21 的 距 离 平 方 之 和 为使 它 到 点 21, PPO 22)1( yx

35、22 )1( yx xyo D 1P2P),( yxfx ),( yxfy ,026 x .026 y),( yxP .最 大 和 最 小 得 唯 一 的 可 疑 极 值 点,31,31 .3431,31 f .321 组 成，的 边 界 由 三 条 线 段如 图 ， LLLD其 次 考 虑 f(x,y)在 D的 边 界 上 的 取 值 情 况 . xyo D 1L 2L3L上 ，在 1L ),( yxf 223 2 xx ,35313 2 x ,10 x)0,(xf ,22233),( 22 yxyxyxf 最 小 值 是 .35031 ，f的 最 大 值 是上故 在 fL 1 ,3)0,1

36、( f ,22233),( 22 yxyxyxf,2上在 L )1,(),( xxfyxf 366 2 xx,23216 2 x ,10 x的 最 大 值 是上故 在 fL2 ,3)0,1()1,0( ff最 小 值 是 .322121 ，f,3上在 L ),0(),( yfyxf 223 2 yy ,35313 2 y ,10 yxyo D 1L 2L3L ，），（），（ 30110 ff .3431,31 f比 较 上 述 各 点 的 函 数 值 可 知 ,函 数 的 最 大 值 是函 数 的 最 小 值 是最 小 值 是 .35310 ，f的 最 大 值 是上故 在 fL3 ,3)1,0

37、( f 例 6-2解 设 水 箱 长 ,宽 分 别 为 x , y m ,则 高 为水 箱 所 用 材 料 的 面 积 为令 得 驻 点某 厂 要 用 铁 板 做 一 个 体 积 为 2 的 有 盖长 方 体 水 箱 ,问 ： 当 长 、 宽 、 高 各 取 怎 样 的 尺 寸 时 , ,m2xy2A yx xyy 2 xyx 2 yxyx 222 )0,0( yx0)2(2 2 xyAx 0)2(2 2 yxAy 3m )2,2( 33 才 能 使 用 料 最 省 ? 根 据 实 际 问 题 可 知 最 小 值 在 定 义 域 内 应 存 在 ,因 此 可 断 定 此 唯 一 驻 点 就 是

38、 最 小 值 点 .即 当 长 、 宽 均 为 高 为时 , 水 箱 所 用 材 料 最 省 .,23 3222 233 例 6-3 有 一 宽 为 24cm 的 长 方 形 铁 板 , 把 它 折 起 来解 设 折 起 来 的 边 长 为 x cm, 则 断 面 面 积x24做 成 一 个 断 面 为 等 腰 梯 形 的 水 槽 ,倾 角 为 ,A xx cos2224 x224(21 xsin) xxx sincossin2sin24 22 x224 x使 断 面 面 积 最 大 . )20,120:( xD为 问 怎 样 折 法 才 能 xcos24 x cos2 2 0)sin(cos

39、 222 x令 xA sin24 xsin4 0cossin2 xA解 得由 题 意 知 ,最 大 值 在 定 义 域 D 内 达 到 ,而 在 域 D 内 只 有一 个 驻 点 ,故 此 点 即 为 所 求 .,0sin 0 x xxxA sincossin2sin24 22 )0,120:( 2xD 0cos212 xx 0)sin(coscos2cos24 22 xx (cm)8,603 x 求 二 元 函 数 )4(),( 2 yxyxyxfz 在 直 线 6 yx ， x轴 和 y轴 所 围 成 的 闭 区 域 D上 的 最 大 值 与 最 小 值 . 解1 先 求 函 数 在 D内

40、 的 驻 点 ， 如 图 , x yzo例 7-1 xyo 6 yxD D yxyxxyyxfx 2)4(2),(解 方 程 组 0)238( yxxy得 区 域 D内 部 唯 一 驻 点 )1,2( , 且 4)1,2( f , 2 再 求 ),( yxf 在 D边 界 上 的 最 值 ， 在 边 界 0 x 和 0y 上 , 0),( yxf 在 边 界 6 yx 上 ， 即 xy 6 0)24( )4(),( 2 22 yxx yxyxxyxfy 得 4,0 21 xx ,2|6 4 xxy ,64)2,4( f 比 较 后 可 知 4)1,2( f 为 最 大 值 , 64)2,4(

41、f 为 最 小 值 . 02)6(4)( 2 xxxxh由于 是 )2)(6()6,( 2 xxxxf)(xh xyo 6 yxD )2,4( 注 )4(),( 2 yxyxyxf ,6 3)238()1,2( )1,2( xyyxyfA xx,4 2)238()1,2( )1,2( xyyxxfB xy 8)2()1,2( )1,2(2 xfC yy 032 2 BAC 0A .),()1,2( 的 极 大 值为 yxff 求 122 yx yxz 的 最 大 值 和 最 小 值 . ,0)1( )(2)1( 22222 yx yxxyxzx ,0)1( )(2)1( 22222 yx yx

42、yyxzy 得 驻 点 )21,21( 和 )21,21( , 解 由例 7-2 即 边 界 上 的 值 为 零 . ,21)21,21( z ,21)21,21( z所 以 最 大 值 为 21 ， 最 小 值 为 21 . 因 为 01lim 22 yx yxyx 无 条 件 极 值 ： 对 自 变 量 除 了 限 制 在 定 义 域 内 外 ，并 无 其 他 条 件 . 在 第 一 卦 限 内 作 椭 球 面 1222222 czbyax 的 切 平 面 ， 使 切 平 面 与 三 个 坐 标 面 所 围 成 的 四 面 解 设 ),( 000 zyxP 为 椭 球 面 上 一 点 ,

43、令 1),( 222222 czbyaxzyxF , 202| axF Px 则 ， 202| byF Py ， 202| czF Pz 例 8-1体 体 积 最 小 ， 求 切 点 坐 标 . )( 020 xxax )( 020 yyby 0)( 020 zzcz ,化 简 为 12 02 02 0 czzbyyaxx , 该 切 平 面 在 三 个 轴 上 的 截 距 各 为 02xax ， 02yby ， 02zcz ,所 围 四 面 体 的 体 积 000 222661 zyx cbaxyzV , 过 ),( 000 zyxP 的 切 平 面 方 程 为 在 条 件 12202202

44、20 czbyax 下 求 V的 最 小 值 , 令 ,lnlnln 000 zyxu ),( 000 zyxG 000 lnlnln zyx )1( 220220220 czbyax ,01 0,0,0 220220220 000 cybyax GGG zyx由 最 大 最 小最 小u ucbaV zyx cbaV 6lnln6 222000 222 当 切 点 坐 标 为 ( 3a ， 3b ， 3c )时 , 四 面 体 的 体 积 最 小 01021 021 021 220220220 2 00 2 00 2 00 czbyax czz byy axx 即 可 得 30 ax 30 b

45、y ，30 cz abcV 23min . 例 8-2解 设 内 接 三 角 形 各 边 所 对 的 圆 心 角 为 x , y , z ,2zyx 这 三 个 角 所 对 应 的 三 角 形 的 面 积 分 别 为,sin2211 xRS ,sin2212 yRS zRS sin2213 0,0,0 zyx作 拉 格 朗 日 函 数 )2(sinsinsin zyxzyxF 求 半 径 为 R 的 圆 的 内 接 三 角 形 中 面 积 最 大 者 .则 zyx 解 方 程 组 zyx0cos x , 得 32zyx 故 圆 内 接 正 三 角 形 面 积 最 大 , 最 大 面 积 为 3

46、32sin21 2max RS .433 2R0cos y 0cos z 02 zyx )2(sinsinsin zyxzyxF 为 边 的 面 积 最 大 的四 边 形 ,试 列 出 其 目 标 函 数 和 约 束 条 件 .提 示 : dcbaS sin21sin21 )0,0( 目 标 函 数 : dcdcbaba cos2cos2 2222 约 束 条 件 : dcba , a bcd 答 案 : , 即 四 边 形 内 接 于 圆 时 面 积 最 大 .例 8-3 求 平 面 上 以设 四 边 形 的 一 对 内 角 分 别 为 , 例 8-4 要 设 计 一 个 容 量 为 则 问

47、 题 为 求令解 方 程 组解 设 x , y , z 分 别 表 示 长 、 宽 、 高 ,下 水 箱 表 面 积 最 小 .x , y , z 使 在 条 件xF 02 zyyzyF 02 zxxzzF 0)(2 yxyxF 00 Vzyx试 问 水 箱 长 、 宽 、 高 等 于 多 少 时 所 用 材 料 最 省 ？的 长 方 体 开 口 水 箱 , 0Vzyx yxzyzxS )(2 )()(2 0VzyxyxzyzxF xy z0V 得 唯 一 驻 点 ,22 3 0Vzyx 3 024V 由 题 意 可 知 合 理 的 设 计 是 存 在 的 ,长 、 宽 为 高 的 2 倍 时

48、 ， 所 用 材 料 最 省 .因 此 , 当 高 为 ,3 40Vx y z思 考 :1) 当 水 箱 封 闭 时 , 长 、 宽 、 高 的 尺 寸 如 何 ?提 示 : 利 用 对 称 性 可 知 , 3 0Vzyx 2) 当 开 口 水 箱 底 部 的 造 价 为 侧 面 的 二 倍 时 , 欲 使 造 价最 省 , 应 如 何 设 拉 格 朗 日 函 数 ? 长 、 宽 、 高 尺 寸 如 何 ? 提 示 : )()(2 0VzyxyxzyzxF 2长 、 宽 、 高 尺 寸 相 等 . 将 正 数 12分 成 三 个 正 数 zyx , 之 和 使 得zyxu 23 为 最 大 .

49、 解 令 )12(),( 23 zyxzyxzyxF , 12 002 03 233 22 zyx yxF yzxF zyxF zyx 则 2x 3y , 得 xyyx 32,0)32( 例 8-5 x 3z , 得 xzzx 31,0)3( 代 入 ， 得 x = 6, 从 而 y =4, z =2故 解 得 唯 一 驻 点 )2,4,6( ， .6912246 23max u故 最 大 值 为 依 题 意 ， 最 大 值 必 存 在 例 9-1解 .1,22 短 距 离到 坐 标 原 点 的 最 长 与 最 交 线 上 的 点求 两 曲 面 zyxzyx为 交 线 上 任 一 点 ，设 )

50、,( zyx )1()(),( 22222 zyxzyxzyxzyxF作 拉 格 朗 日 函 数 .222 zyxd 解 方 程 组 该 点 到 原 点 的 距 离 ,022 xx ,2 3111 yx得 ,359),( 222 zyxd .359),( 111 zyxd最 长 距 离 为最 短 距 离 为 ,022 yy ,02 z ,022 zyx .01 zyx ;321 z ,2 3122 yx .322 z.222 zyxd )1()(),( 22222 zyxzyxzyxzyxF 可 知 ，代 入 d 例 9-2 之 间 的 最 短 距 离 与 平 面求 旋 转 抛 物 面22 2

51、2 zyx yxz解 ,022 ,),( 22 dzyxP yxzzyxP 的 距 离 为到 平 面 则上 任 一 点为 抛 物 面设 分 析 最 小 即 且 使满 足 ， 使 得本 题 变 为 求 一 点 )22(61( 22610 ,),( 22 22 zyxd zyxdzyx zyxzyxP .2261 zyxd ),()22(61),( 222 yxzzyxzyxF 令 )(, )(,)( )(,)( )(,)( yxz zzyxF yzyxF xzyxFzyx .81,41,41 zyx解 此 方 程 组 得 得 .647241414161min d ),81,41,41(即 得 唯 一 驻 点 处 取 得 最 小 值 驻 点 ， 故 必 在 一 定 存 在 ， 且 有 唯 一根 据 题 意 距 离 的 最 小 值)81,41,41(